Materiał powtarzay w II etapie II. Ciągi 3 1, dla parzystych 1. Wyzacz sześć początkowych wyrazów ciągu a = { +1, dla ieparzystych. Które wyrazy ciągu a = są rówe 1? 3. Pomiędzy liczby 7 i 5 wstaw 5 liczb tak, aby tworzyły ciąg arytmetyczy. Wypisz te liczby.. Uzasadij, że liczby, 1, 5 5 w podaej kolejości tworzą ciąg arytmetyczy. 5 1 5+ 5. Oblicz sumę stu początkowych wyrazów ciągu geometryczego (b ), w którym b 1 = π i iloraz q =. 6. Oblicz x wiedząc, że liczby, x 5, 36 tworzą ciąg geometryczy. 7. Day jest ciąg a = 1. Wyzacz wzór ogóly ciągu b = a + a, gdzie N +. 8. Ciąg (a ) day jest wzorem a = 0, gdzie N +. Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. 9. Wpłacoo a lokatę 5000 zł. Oblicz sta oszczędości po trzech latach, jeżeli oprocetowaie w skali roku wyosi %, a odsetki są kapitalizowae co pół roku. 10. Zajdź średią arytmetyczą drugiego i czwartego wyrazu ciągu a = 3 +1. 11. Oblicz sumę wszystkich liczb aturalych, które przy dzieleiu przez 3 dają resztę i są miejsze od. 1. Liczby x 1 i x są pierwiastkami rówaia x x + 3 = 0. Wykaż, że liczby x 1, 3, x tworzą ciąg geometryczy. 13. Pierwszy wyraz ciągu arytmetyczego rówa się, a piąty jest rówy 1. Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu. 1. Liczby 3,x,y są kolejymi wyrazami ciągu arytmetyczego. Jeśli liczbę x zmiejszymy o 5, a liczbę y zwiększymy o 17, to otrzymae liczby będą kolejymi wyrazami ciągu geometryczego. wyzacz wartości liczbowe x i y. 15. Day jest ciąg arytmetyczy (a ) dla 1, w którym a 7 =1, a 1 =11. Oblicz pierwszy wyraz a 1 i różicę r ciągu (a ).Sprawdź, czy ciąg (a 7, a 8, a 11 ) jest geometryczy. 16. W pewym ciągu arytmetyczym wyraz dziesiąty jest liczbą dwa razy większą iż wyraz piąty i zarazem liczbą o miejszą od wyrazu piętastego. Zajdź pierwszy wyraz i różicę tego ciągu. 17. Day jest ciąg ( ) a określoy wzorem a 1 3 dla 1. Oblicz a 3a1 18. Oblicz sumę wszystkich parzystych liczb całkowitych dodatich ie większych od 500 i iepodzielych przez 5.
19. Marek chce przekopać przydomowy ogródek. Pierwszego dia przekopał 7m². Aby przyspieszyć prace postaowił każdego astępego dia przekopać o m² więcej iż poprzediego. W którym diu zakończy pracę, jeśli powierzchia ogródka wyosi 7,83 a? 0. Drugi wyraz mootoiczego ciągu geometryczego wyosi 6, a czwarty. Wyzacz sumę 10-ciu początkowych wyrazów tego ciągu. 1. W ciągu geometryczym różica kwadratów pierwszego i drugiego wyrazu wyosi 1, zaś różica kwadratów pierwszego i trzeciego wyrazu 15. Zajdź piąty wyraz tego ciągu.. Liczby 7, x+5, y-, -8 są kolejymi wyrazami ciągu arytmetyczego. Oblicz x y. 3. Zajdź te wyrazy ciągu a = +1+8, które są liczbami aturalymi.. Ciąg (a ) jest określoy wzorem a = 3 dla 1. Sprawdź, którym wyrazem tego ciągu jest liczba 3 ( + 3). 5. Ciąg (6, x, 18) jest arytmetyczy, a ciąg (x, 8, y, z) jest geometryczy. Oblicz x, y oraz z. 6. Za trzy książki, których cey tworzą ciąg geometryczy, zapłacoo 57 złotych. Za pierwszą i drugą razem zapłacoo o 3 złote więcej iż za trzecią. Ile zapłacoo za każdą z książek? 7. W ciągu geometryczym a = 6, a 5 = 16. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. 8. Liczby a, -, b w podaej kolejości tworzą ciąg arytmetyczy, a poadto a-b=17. Oblicz a i b. 9. Wyzacz wzór ogóly rosącego ciągu arytmetyczego wiedząc, że suma trzech początkowych wyrazów wyosi 57, a wyrazy pierwszy, piaty i dwuasty tworzą w podaej kolejości ciąg geometryczy.
Matura 015 (maj i czerwiec) 1. W rosącym ciągu geometryczym (a ), określoym dla > 0, spełioy jest waruek a = 3a 1. Iloraz q tego ciągu jest rówy A) 1 3 B) 1 3 C) 3 3 3 D) 3. Kwotę 0 zł ulokowao w baku a roczą lokatę oprocetowaą w wysokosci % w stosuku roczym. Po zakończeiu lokaty od aliczoych odsetek odprowadzay jest podatek w wysokości 19%. Maksymala kwota, jaką po upływie roku będzie moża wypłacić z baku, jest rówa A) 0 (1-81 D) 0 (1-19 ) ) B) 0 (1 + 19 ) C) 0 (1 + 81 ) 3. W ieskończoym ciągu arytmetyczym (a ), określoym dla > 0, suma jedeastu początkowych wyrazów tego ciągu jest rówa 187. Średia arytmetycza pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu jest rówa 1. Wyrazy a 1, a 3, a k ciągu (a ), w podaej kolejości, tworzą owy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczy (b ). Oblicz k.. Ciąg geometryczy (a ) jest określoy wzorem a =, dla > 0. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest rówa: A) (1-10 ) B) -(1-10 ) C) (1+ 10 ) D) -(1+ 10 ) 5. Suma pierwszego i szóstego wyrazu pewego ciągu arytmetyczego jest rówa 13. Wyika stąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest rówa A) 13 B) 1 C) 7 D) 6 6. Day jest ieskończoy rosący ciąg arytmetyczy (a ), dla > 0 taki, że a 5 = 18. Wyrazy a 1, a 3 oraz a 13 tego ciągu są odpowiedio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewego ciągu geometryczego. Wyzacz wzór a - ty wyraz ciąg (a ). Matura 016 (maj) 1. Czterasty wyraz ciągu arytmetyczego jest rówy 8, a różica tego ciągu jest rówa ( 3 ). Siódmy wyraz tego ciągu jest rówy A) 37 B) 37 C) 5 D) 5. Ciąg (x, x+3, x+3) jest geometryczy. Pierwszy wyraz tego ciągu jest rówy A) - B) 1 C) 0 D) -1 3. Ciąg (a ) jest określoy wzorem a = + dla 1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby aturalej.
II. Ciągi - odpowiedzi 1. a 1 =, a = 5, a 3 =, a = 11, a 5 =, a 6 = 17. a 3 = 1 3. 6 3 ; 6 1 3 ; 6; 5 3 ; 5 1 3. Wykazać p., że: 5. S = π 1 50 1+ 6. x = 7 lub x = 17 7. b = (+) 8. wyrazy 5 1 + 5 5, gdzie N+ 9. 5000 (1,0) 6 5630,81zł 10. 3 17 11. 1650 1. x 1 = 1, x = 3 lub odwrotie 13. S 7 = 66,5 = 1 5+ 1. x = 17, y = 31 lub x = 1, y = 5 15. a 1 = 11, r =. Ciąg (a 7, a 8, a 11 ) jest geometryczy. 16. a 1 = 5, r = 5 17. a + 3a 1 = 11 9 16 18. S = 50000 19. W 15. diu 0. S 10 = 3069 1. a 5 = 1 lub a 5 = 1. x y = 1 3 3. Wyrazy ciągu (a ) które są liczbami aturalymi, to: 1,,, 8. Liczba 3 ( + 3) jest czwartym wyrazem ciągu (a ) 5. x = 1, y = 19, z = 768 6. 1, 18, 7 7. a 1 = 8. a=3, b=-7 9. a = 3 + 13
Matura 015 (maj i czerwiec) - odpowiedzi 3 1. C) 3. C) 0 (1 + 81 3. k=11. B) -(1-10 ) 5. A) 13 6. a = ) 1. A) 37 Matura 016 (maj) - odpowiedzi. D) -1 3. a + a +1 = (( + 1))