Teoretyczne i praktyczne aspekty dynamicznej analizy progu rentowności

ZESZYTY TEORETYCZNE RACHUNKOWOŚCI, tom 61 (117), Warszawa 011 Teoretyczne i praktyczne aspekty dynamicznej analizy progu rentowności Wprowadzenie Adam Żwirbla * Jak słusznie zauważa E. Nowak (00, s. 86 87), w długim okresie koszty stałe, jednostkowe koszty zmienne oraz ceny sprzedaży, czyli parametry, od których zależy próg rentowności, ulegają zmianom. Powyższy fakt wymaga nowego podejścia badawczego, co wspomniany autor nazywa dynamiczną analizą progu rentowności, zaś jedną z takich idei jest analiza wrażliwości progu rentowności. Według W. Gabrusewicza (Czubakowska, Gabrusewicz, Nowak 006, s. 4), Analiza wrażliwości polega na badaniu reakcji progu rentowności, czyli zmiany jego wysokości, na zmianę cen i kosztów przy czym przedsiębiorstwo jest bardziej wrażliwe na zmianę tych czynników, jeśli mniejszym zmianom towarzyszą odpowiednio większe zmiany progu rentowności. Przed laty w polskiej literaturze ekonomicznej pojawiła się idea uwzględniania inflacji w analizie progu rentowności, której twórcą i propagatorem jest S. Sojak. W mniemaniu tegoż autora, o zmianie progu rentowności decyduje tylko relacja między indywidualną stopą inflacji dla kosztów zmiennych i stałych a indywidualną stopą inflacji dla przychodów, a stąd wyprowadza poniższe wnioski. Jeśli >, to progi rentowności ilościowy i wartościowy w warunkach inflacji są mniejsze niż w tradycyjnych warunkach. Jeśli <, to progi rentowności ilościowy i wartościowy w warunkach inflacji są wyższe niż w tradycyjnych warunkach 1. * Dr Adam Żwirbla, Prodziekan Wydziału Nauk Społecznych i Technicznych WSHE we Włocławku, e-mail: adam.zwirbla@interia.pl 1 Zob. Sojak (1996, s. 16 17; 1999, s. 19 i dalsze; 00, s. 77 8). Do publikacji tegoż autora odwołują się m.in. (Karmańska, 006, s. 917 9), (Nita, 008, s. 164). 16

Wspomniany E. Nowak (00, s. 94) odwołuje się do powyższej koncepcji dodając, iż w pierwszym przypadku ( > ) koszty własne produkcji rosną wolniej od ceny sprzedaży produktu, co jest korzystne dla przedsiębiorstwa, ponieważ następuje poprawa rentowności produkcji, zaś w drugim przypadku ( < ) koszty własne produkcji rosną szybciej od ceny sprzedaży danego produktu, zatem z punktu widzenia przedsiębiorstwa jest to sytuacja niekorzystna, gdyż maleje rentowność jego produkcji. Autor niniejszego artykułu nie podziela wymienionego poglądu, przy czym swoją argumentację opiera nie tylko na przykładzie liczbowym, ale także wyprowadza ogólną formułę obliczeniową, z której wynikają stosowne uwarunkowania wzrostu i spadku progu rentowności oraz zmian zysku operacyjnego. T. Dudycz (00, s. 108) w swojej rozprawie posiłkuje się pojęciem statycznego i dynamicznego wspomagania operacyjnego. Okazuje się, że obie kategorie ekonomiczne mają istotne znaczenie przy określaniu zmian względnych progu rentowności a także zysku operacyjnego, co stanowi kanwę niniejszego artykułu. Ogólnie mówiąc, celem zasadniczym artykułu jest: 1) wyprowadzenie i analiza formuł obliczeniowych określających zmianę progu rentowności oraz zmianę zysku operacyjnego; ) weryfikacja dotychczasowych poglądów na temat analizy zachowania się progu rentowności w przypadku uwzględnienia inflacji; ) przedstawienie propozycji korekty podstawowej formuły obliczeniowej progu rentowności. Autor stosuje metodę dedukcyjną, czyli wychodząc od wyprowadzonych ogólnych formuł rozważa szczególne przypadki analizy wrażliwości progu rentowności. Oryginalnością artykułu jest przede wszystkim podważenie dotychczasowego poglądu związanego z analizą progu rentowności w warunkach wzrostu cen. Ponadto autor koryguje koncepcję modyfikacji klasycznej formuły progu rentowności, a także przy stosowaniu procentowego ujęcia progu rentowności proponuje inne podejście metodologiczne. 1. Analiza wrażliwości zysku i progu rentowności produkcji jednorodnej 1.1. Rozważania wstępne W ogólnym ujęciu, operacyjny próg rentowności (zwany często punktem krytycznym) to taki poziom sprzedaży (wyrażony w jednostkach naturalnych 164

lub pieniężnych), który umożliwia pokrycie wszystkich kosztów. Z matematycznego punktu widzenia jest to miejsce zerowe funkcji liniowej opisującej zysk operacyjny EBIT. Próg rentowności produkcji jednoasortymentowej jest uzależniony od trzech parametrów, co możemy zapisać następująco: KS BEP( KS, p, kz) ujęcie ilościowe, (1) p kz KS p BEP W ( KS, p, kz) ujęcie wartościowe, () p kz gdzie: KS koszty stałe okresu, p cena jednostkowa sprzedaży, kz jednostkowe koszty zmienne (przy czym: p > kz). Niech wszystkie trzy parametry równocześnie ulegną zmianie, wówczas otrzymamy nowy próg rentowności postaci: oraz gdzie: BEP ( KS(1 1) BEP ujęcie ilościowe, () p(1 ) kz(1 ) KS(1 1) p(1 ) BEP W ujęcie wartościowe, (4) p(1 ) kz(1 ) W BEP ) skorygowany próg rentowności, i (i = 1,,) stopy procentowe parametrów KS, p, kz, i% przy czym: i oraz i < 1, co wynika z definicji stopy procentowej, 100 pozostałe oznaczenia jw.. Ponadto musi być spełniony warunek gwarantujący istnienie progu rentowności, tj.: m p ( 1 ) kz(1 ) (1 ), p czyli p 1 ) kz(1 ). ( J. Jakubczyc wprowadza pojęcie stopy procentowej, która na ogół jest zwana stopą (tempem) zmiany, zob. tegoż autora (008, s. 51). 165

oraz Mamy zatem warunek konieczny istnienia progu rentowności postaci: 1 r 1. (5) Stąd otrzymujemy wskaźniki dynamiki zmiany progu rentowności: B) A) Ponadto mamy zależność: BEP ( p kz)(1 1) d ( BEP) (6) BEP p(1 ) kz(1 ) BEPW ( p kz)(1 1)(1 ) d( BEPW ) (7) BEP p(1 ) kz(1 ) W d BEPW ) d( BEP) (1 ). (8) ( Dość proste przekształcenia prowadzą do formuł na odchylenia względne progu rentowności. Znajdujemy zatem następujące wskaźniki: 1) wskaźnik relatywnej zmiany ilościowego progu rentowności T ( BEP) p( ) kz( ) 1 p(1 ) kz(1 ) ) wskaźnik relatywnej zmiany wartościowego progu rentowności 1 ( p kz) 1(1 ) kz( ) T ( BEPW ) (10) p(1 ) kz(1 ) Wzory (9) (10) informują, o jaki ułamek (procent) wzrósł lub zmalał ilościowy (wartościowy) próg rentowności z tytułu zmiany parametrów KS, p, kz. Mamy następnie zależność: lub T( BEPW ) T( BEP) d( BEP) (11) T( BEPW ) (1. (1) ) T( BEP) Stąd otrzymujemy następującą relację między oboma rodzajami progów rentowności: T ( BEP), gdy 0 T ( BEPW ) T ( BEP), gdy 0 (1) T ( BEP), gdy 0 (9) 166

Oznacza to, że wzrost (spadek) ceny powoduje, iż względna zmiana progu wartościowego jest większa (mniejsza) niż progu ilościowego. 1.. Zagadnienie tempa zmiany zysku operacyjnego Zakładamy, że zysk operacyjny EBIT ulega zmianie z tytułu zmiany ceny jednostkowej (p), kosztów jednostkowych zmiennych (kz) oraz kosztów stałych (KS). Mamy zatem BIT T( EBIT), (14) EBIT gdzie: EBIT EBIT EBIT oraz EBIT q p(1 ) kz(1 )] KS(1 ). lub [ 1 Ostatecznie otrzymujemy gdzie: KS E( KS), EBIT T ( EBIT ) E( KS) (15) 1 E( p) E( kz) T EBIT ) E( p)( ) E( kz)( ), (16) ( 1 1 1 q p E( p), EBIT qkz E( kz) mnożnik kosztów stałych, EBIT ceny oraz kosztów jednostkowych zmiennych (Żwirbla, 006, s. 164 190). 1.. Analiza wrażliwości punktu krytycznego Rozważmy scenariusze zmiany jednego z trzech parametrów progu rentowności. Scenariusz I Zakładamy, że ulega zmianie tylko cena jednostkowa, zaś pozostałe parametry pozostają na wyjściowym poziomie. Mamy wówczas sytuację: 1 = = 0 oraz = ( 0) (17) Wtedy wzory (9) (10) upraszczają się do postaci: T 1 ( BEP) p, (18) p(1 ) kz 167

a stąd otrzymujemy funkcję gdzie: m r p T1 () dla, > r, (19) r stopa marży jednostkowej (parametr) ( > r wynika z warunku istnienia progu rentowności). W przypadku wartościowego progu otrzymujemy zależność: T ( BEP ) a stąd otrzymujemy inne ujęcie postaci: T 1 1 W kz, (0) p(1 ) kz ( r 1) ( ), czyli T1 ( ) (1 r) T1 ( ) dla r (1) r Poniższe rysunki (rys. 1 i ) przedstawiają poziom względnej zmiany ilościowego oraz wartościowego progu rentowności w zależności od stopy zmiany ceny jednostkowej. Rysunek 1. Tempo zmiany ilościowego progu rentowności w zależności od stopy zmiany ceny produktu r y f () Źródło: opracowanie własne. y=-1 168

Rysunek. Tempo zmiany wartościowego progu rentowności w zależności od stopy zmiany ceny produktu r y f () Źródło: opracowanie własne. y=(r-1) Wniosek 1 A) Przy ustalonym r, obie funkcje są funkcjami homograficznymi malejącymi, a stąd wynika, że przy wzroście procentowym obniżka BEP oraz BEPW jest mniej niż proporcjonalna, zaś przy spadku procentowym zwyżka BEP oraz BEPW jest więcej niż proporcjonalna. B) Tempo zmiany zysku operacyjnego jest uzależnione od mnożnika ceny, co wyraża poniższy wzór: T ( EBIT ) E( ). () 1 p Scenariusz II Zakładamy, że ulega zmianie tylko koszt jednostkowy zmienny, zaś pozostałe parametry pozostają na wyjściowym poziomie. Mamy wówczas sytuację: 0 oraz ( 0 ) () 1 Na podstawie wzorów (9) (10) otrzymujemy kz T ( BEP) T ( BEPW ), (4) p kz(1 ) 169

a stąd mamy funkcję: dla (1 r) T ( ) T ( ) (5) r (1 r) r 1 (wynika z warunku istnienia progu rentowności). 1 r Kolejny rysunek (rys. ) ilustruje zależność tempa zmiany progu rentowności w zależności od stopy zmiany jednostkowych kosztów zmiennych. Rysunek. Tempo zmiany progu rentowności w zależności od stopy zmiany jednostkowych kosztów zmiennych produktu y f () Źródło: opracowanie własne. r 1 r y=-1 Wniosek A) Można wykazać, że przy ustalonym parametrze r funkcja T() jest funkcją rosnącą; stąd wynika, że przy wzroście procentowym zwyżka BEP oraz BEPW jest więcej niż proporcjonalna, zaś przy spadku procentowym obniżka BEP oraz BEPW jest mniej niż proporcjonalna. B) Tempo zmiany zysku operacyjnego wyraża formuła: T ( EBIT ) E( kz). (6) 170

Scenariusz III Zakładamy, że ulega zmianie tylko całkowity koszt stały, zaś pozostałe parametry pozostają na wyjściowym poziomie. Mamy wówczas sytuację: 0 oraz 1 ( 0 ) (7) Na podstawie wzorów (9) (10) otrzymujemy czyli mamy funkcję: T ( BEP) T ( BEP ), (8) W T ( ) ( ). (9) T Wniosek A) Oznacza to, że wzrost oraz spadek procentowy kosztów stałych dają taką samą zmianę progu rentowności, czyli identyczne zwiększenie lub zmniejszenie poziomu progu rentowności. B) Tempo zmiany zysku operacyjnego wyraża się wzorem: T ( EBIT ) E( KS ). (0) Rozważmy ponadto kilka scenariuszy zmian jednoczesnych parametrów progu rentowności. Scenariusz IV (optymistyczny) Zakładamy, że: 1) cena sprzedaży i koszty zmienne jednostkowe ulegają zmianie o ten sam procent, ) koszty stałe pozostają na wyjściowym poziomie. Mamy wtedy: 1 0 oraz ( 0 ) (1) Na podstawie wzorów (9) (10) otrzymujemy: T 4 ( BEP) dla 1 oraz T 4 ( BEP W ) 0, () 1 171

a stąd mamy funkcje: T 4 ( ) oraz T 4 ( ) 0 () 1 Rysunek 4 pokazuje, jak zmienia się tempo zmiany progu rentowności przy takiej samej stopie zmiany ceny i kosztów jednostkowych zmiennych. Rysunek 4. Tempo zmiany progu rentowności w przypadku jednakowej względnej zmiany ceny i kosztów jednostkowych zmiennych produktu 1 y f () Źródło: opracowanie własne. y=-1 Wniosek 4 A) Zmiana ilościowego progu rentowności zależy tylko od i jest to funkcja homograficzna malejąca. Gdy parametr rośnie, to próg rentowności maleje mniej niż proporcjonalnie, gdy zaś parametr ten maleje, to wzrost progu ilościowego jest więcej niż proporcjonalny. Ponadto zauważamy, że przy tym wariancie nie ulega zmianie wartościowy próg rentowności. B) Tempo zmiany zysku operacyjnego kształtuje stopień dźwigni operacyjnej, co jest ujęte wzorem: T4 ( EBIT ) [ E( p) E( kz)] DOL ( q), (4) gdzie: DOL(q) stopień dźwigni operacyjnej (mnożnik przychodowo-kosztowy). 17

Scenariusz V (pesymistyczny) Zakładamy, że: 1) koszty stałe i koszty zmienne jednostkowe ulegają zmianie o ten sam procent, ) cena sprzedaży pozostaje na wyjściowym poziomie. Mamy wtedy: 0 oraz 1 ( 0 ) (5) Na podstawie wzorów (9) (10) otrzymujemy 5 T ( BEP ) T ( BEP 5 Stąd mamy funkcję: W ) p, dla p kz(1 ) T5 ( ) T5 ( ), r (1 r) r 1 (6) 1 r czyli oba rodzaje progów rentowności ulegają takiej samej zmianie. (7) Rysunek 5 ilustruje zależność względnej zmiany progu rentowności od stopy zmiany obu rodzajów kosztów. Rysunek 5. Tempo zmiany progu rentowności w zależności od równoczesnej względnej zmiany kosztów stałych i kosztów zmiennych produktu y f () r 1 r Źródło: opracowanie własne. 1 y 1 r Określenia optymistyczny oraz pesymistyczny dla podanych zmian czynników sprawczych wzięto z pracy (Hamrol, 010, s. 190). 17

Wniosek 5 A) Przy ustalonym parametrze r funkcja T5 () jest funkcją homograficzną rosnącą, a zatem, gdy parametr rośnie, to próg rentowności wzrasta więcej niż proporcjonalnie, gdy zaś parametr ten maleje, to spadek progu ilościowego jest mniej niż proporcjonalny. B) Tempo zmiany zysku operacyjnego wyraża się wzorem: T ( EBIT ) [ E( kz) E( KS)] [1 E( )]. (8) 5 p Scenariusz VI Zakładamy, że wszystkie parametry ulegają takiej samej zmianie, czyli przyjmujemy, iż jest spełniona równość: 1 ( 0 ), (9) wówczas mamy T ( BEP) 0 i T ( BEP ), (40) 6 6 W co daje nam proste zależności funkcyjne postaci: T ( ) 0 oraz T ( ). (41) 6 Wniosek 6 A) Z taką sytuacją mamy do czynienia w warunkach inflacji, gdy występuje wzrost ogólnego poziomu cen dóbr i usług w gospodarce, zaś parametr oznacza ogólny poziom inflacji (stopę inflacji). Pierwsza zależność jest oczywista, gdyż inflacja nie wpływa na produkcję w ujęciu ilościowym. Druga zależność informuje, iż wartościowy próg rentowności uwzględniający inflację jest wyższy o stopę inflacji od progu rentowności ustalonego w warunkach braku inflacji (por. Sojak, 00, s. 74 i dalsze). B) Tempo zmiany zysku operacyjnego wyraża formuła. 6 T ( EBIT ) [ E( KS) E( kz) E( )]. (4) 6 p Oznacza to, że w powyższym przypadku wartościowy próg rentowności zmienia się tak samo jak zysk operacyjny. Scenariusz VII Zakładamy, że wzrost ceny danego produktu jest inny niż wzrost ogólnego poziomu cen dóbr i usług w gospodarce. W takim przypadku stopę inflacji w gospodarce przyjmujemy dla kosztów stałych i jednostkowego kosztu zmiennego, zaś cenę sprzedaży produktu korygujemy o indywidualny indeks jej wzrostu (Nowak, 00, s. 9). 174

Niech 1 ( 0 ) stopa inflacji w gospodarce, ( 0 ) stopa wzrostu cen rozpatrywanego produktu, wtedy dla ilościowego progu rentowności otrzymujemy formułę: Stąd wynika, iż: ( p( ) T 7 BEP) (4) p(1 ) kz(1 ) 0, T 7 ( BEP) 0, (44) 0, Następnie dla progu wartościowego otrzymujemy formułę postaci: ( p (1 ) kz (1 ) T7 BEPW ) (45) p(1 ) kz(1 ) W obu przypadkach musi być spełniony warunek konieczny istnienia progu rentowności, tj.: (46) r. 1 Zauważmy, że znak (dodatni lub ujemny) formuły (45) zależy od licznika, co prowadzi do czterech przypadków, które są przedstawione poniżej. 1. Zakładając, że > 0, otrzymujemy dwa przypadki: T7 (BEPW) > 0, gdy r > oraz T7 (BEPW) < 0, gdy r <, (47). Zakładając, że < 0, otrzymujemy trzeci i czwarty przypadek T7 (BEPW) > 0, gdy r < oraz T7 (BEPW) < 0, gdy r > (48) gdzie: m r, zaś. p ( 1 ) Można wykazać, że jeśli r =, wówczas mamy równość: T (BEPW) = 0. Dla zysku operacyjnego otrzymujemy, korzystając z wyjściowej formuły, następujące formuły: 175

czyli lub T 7 ( EBIT T7 ( EBIT ) E( p) [ E( kz) E( KS)], (49) ) [ E( p ) E( p ) ] [ E( p ) E( kz) E( KS )]. (50) Stąd ostatecznie otrzymujemy T ( EBIT ) E( p) ( ) (51) 7 T7 ( EBIT ) [1 E( p)] E( p) Oznacza to, że w tym przypadku zmiana zysku operacyjnego EBIT jest sumą zmiany: 1) T ( EBIT ) [1 E( p)] z tytułu stopy inflacji w gospodarce, ) T ( EBIT ) E( p) z tytułu stopy wzrostu cen Powyższą formułę przedstawmy następująco: T 7 ( EBIT Stąd otrzymujemy: 1) T7 (EBIT) > 0, gdy ) T7 (EBIT) < 0, gdy przy czym: ) E( p ) ( ) ( )[ E( p )] dla (5). lub E( p) E( p) lub E( p) E( p) (5) (54) Oznacza to, że przy danym mnożniku ceny i przy ustalonym przykładowo poziomie stopy inflacji w całej gospodarce, można znaleźć wielkość stopy wzrostu cen, która gwarantuje wzrost zysku. 176

Przykład 1 Firma Meblarska MAJA spółka z o.o. z siedzibą w Toruniu produkuje łóżeczka dziecięce z drewna sosnowego. W ciągu okresu wytwarza i sprzedaje średnio 00 łóżeczek za średnią cenę 500 zł każdy. Na wyprodukowanie ponosi następujące koszty: 1) koszty zmienne 00 zł, ) koszty stałe 0.000 zł. Przewiduje się, że w następnym okresie inflacja będzie wpływać na wyniki ekonomiczne, stąd zalecenie, aby rozpatrzyć dwa warianty tzw. indywidualnych poziomów inflacji, czyli: wariant I = 0,1; = 0,, oraz wariant II = 0,; = 0,1. Należy dokonać oceny zmian progów rentowności oraz zysku operacyjnego dla obu wariantów uwzględniania wpływu inflacji. W powyższym przykładzie mamy wstępne obliczenia: EBIT oraz 00(50000) 0.000 0.000 00500 500 00 E ( p) 5,0 ; r 0, 4. 0.000 500 Następnie znajdujemy pomocnicze wielkości oraz dla obu wariantów stóp inflacji. Mamy więc 0, 0 1, 0,1 0, 1 0,45 ; 0, 8 0, (1 0 1, ) 0,1 (1 0, ) 0,1 0, oraz 1 1;. 0,1 0, 0, 0,1 W tabeli 1 zamieszczono wartości indywidualnych poziomów inflacji, relacje odpowiednich parametrów, które stanowią swoistą charakterystyką warunków początkowych sprzedaży, a także wyniki końcowe. Warunek konieczny istnienia progu rentowności jest spełniony, ponieważ: 0,1 0, 1) w przypadku pierwszym mamy relację: r 0,4 0, 09, 1 0,1 0, 0,1 ) w przypadku drugim mamy relację: r 0,4 0, 08. 1 0, 177

Tabela 1. Analiza progu rentowności i zysku operacyjnego EBIT w warunkach inflacji Stopy inflacji Charakterystyka warunków początkowych Tempo zmiany progu rentowności i zysku Cena sprzedawanego produktu rośnie szybciej niż koszty jego wytworzenia 1 = 0,1; 1 = 0, 1 < 1 r < 1 E(p) > 1 T 7 ( BEP) 0 T7 ( BEPW ) 0 T ( EBIT) 0 Cena sprzedawanego produktu rośnie wolniej niż koszty jego wytworzenia = 0,; = 0,1 r > E (p) > Źródło: opracowanie własne. < r > E (p) > 7 T7 ( BEP) 0 T7 ( BEPW ) 0 T7 ( EBIT) 0 Z powyższego przykładu liczbowego wynika, że otrzymane tempa zmiany progów rentowności zachowują się zgodnie z postulatem S. Sojaka. Rozważmy następnie przykład liczbowy o trochę innych danych wyjściowych. Przykład W wyniku podjętych działań oszczędnościowych podjętych przez właścicieli firmy MAJA obniżono koszty zmienne jednostkowe do poziomu 00 zł na sztukę. Przyjmijmy ponadto dwa warianty tzw. indywidualnych poziomów inflacji na poziomie: wariant I = 0,; = 0,15, oraz wariant II = 0,15; = 0,. W powyższym przykładzie mamy wstępne obliczenia: EBIT 00(500 00) 0.000 40.000 oraz 00 500 500 00 E( p ),5 ; r 0, 6. 40.000 500 Warunek konieczny istnienia progu rentowności jest spełniony, co łatwo pokazać. Następnie znajdujemy wielkości pomocnicze, tj. oraz dla obu wariantów zmian stóp inflacji. 178

Mamy więc 0,15 0, 0, 0,15 1 0,8 ; 0, 0,15 ( 1 0, ) 0, (1 0,15 ) 0, 0,15 oraz 1 4 ;. 0, 0,15 0,15 0, W tabeli zamieszczono wartości zmiennych egzogenicznych i, tzw. charakterystyki warunków początkowych, a także wyniki końcowe. Tabela. Analiza progu rentowności i zysku operacyjnego EBIT w warunkach inflacji Stopy inflacji Charakterystyka warunków początkowych Tempo zmiany progu rentowności i zysku Cena sprzedawanego produktu rośnie wolniej niż koszty jego wytworzenia 1 0, ; 1 0, 15 1 1 T7 ( BEP) 0 r 1 T7 ( BEPW ) 0 E ( p) 1 T7 ( EBIT) 0 Cena sprzedawanego produktu rośnie szybciej niż koszty jego wytworzenia 0,15 ; 0, Źródło: opracowanie własne. T7 ( BEP) 0 T7 ( BEPW ) 0 E ( p) T ( EBIT) 0 r Zauważmy, że w pierwszym przypadku, kiedy stopa wzrostu ceny jest niższa od stopy inflacji w gospodarce, mamy sytuację: T ( EBIT ) 0,x(1,5) 0, 0, zaś T ( EBIT ) 0,15,5 0,75 0. Łącznie otrzymujemy zatem: T ( EBIT ) T ( EBIT ) T ( EBIT ) 0,075 0. 7 Z tabeli odczytujemy, że jeśli: 1) >, wówczas ilościowy próg rentowności ulega zmniejszeniu, zaś wartościowy próg rentowności, także zysk operacyjny EBIT, ulegają zwiększeniu; 7 179

) <, wówczas oba rodzaje progu rentowności, a także zysk operacyjny EBIT, ulegają zwiększeniu. Powyższy przykład potwierdza rozważania ogólne, że ocena zmiany progu rentowności, oraz zmiany zysku operacyjnego na podstawie tylko relacji między parametrami i jest błędnym podejściem metodologicznym. Przypuśćmy, że ogólna stopa inflacji w gospodarce przyjmuje wartość = 0,1, 5 jeśli zaś stopa wzrostu ceny danego produktu wyniesie, wówczas będziemy 8 mieć: T ( BEP) 0 oraz T ( BEP W ) 0. Jeśli = 0 stała w pewnym czasie inflacja w gospodarce, wówczas będziemy mieć: 1 0 ( ) [1 ]. 1 0 (55) Na podstawie powyższej zależności można ocenić ex ante zachowanie się progu rentowności, przy ustalonym poziomie inflacji w gospodarce, gdy zmianie ulega cena produktu. 1.4. Analiza wrażliwości progu rentowności w ujęciu procentowym Studia literaturowe wskazują, iż niektórzy ekonomiści analizę progu rentowności opierają na tzw. ujęciu procentowym progu rentowności, tj.: BEP( q) BEP (%) 100%, (56) q gdzie: BEP(q) próg ilościowy, q maksymalna możliwa wielkość sprzedaży określona na podstawie prognozy popytu (lub zdolności produkcyjnej) 4. 4 Podaną formułę określa się jako: 1) stopień wykorzystania zdolności produkcyjnej (Kowalczyk, Kusak, 006), ) stopień zaspokojenia przewidywanego popytu (Sierpińska, Jachna, 004). 180

Z wymienionym progiem jest ściśle powiązany tzw. operacyjny współczynnik bezpieczeństwa, zwany też stopą marginesu bezpieczeństwa, który wyraża formuła: q BEP( q) S b 100%. (57) q W rozważaniach H. Sobolewskiego (1997) formuła postaci: KS(1 1) BEP (%) 100 (58) q[ p(1 ) kz(1 )] przyjęła nazwę: odchylenie progu rentowności i stanowi ważkie narzędzie analityczne 5. Ogólnie biorąc, tzw. wskaźnik poziomu określa relację dwóch różnych wielkości, które łączy związek przyczynowo-skutkowy, a przykładem tego typu wielkości ekonomicznej jest wskaźnik poziomu kosztów, który najczęściej jest określany jako relacja kosztu własnego sprzedaży do przychodów ze sprzedaży (Gabrusewicz, 005, s. 14). Wspomniana refleksja podpowiada, iż próg rentowności w ujęciu procentowym mógłby przyjąć nazwę wskaźnik poziomu progu rentowności. Krótko mówiąc, formuła (56) informuje, jaki procent wolumenu sprzedaży wyrobu jest skonsumowany przez ilościowy próg rentowności. Należy zwrócić uwagę, iż próg rentowności w ujęciu procentowym jest niezastąpiony w analizie porównawczej, zwłaszcza gdy mamy do czynienia z ilościowymi progami rentowności o różnych jednostkach miary, np. BEP1 (q) w sztukach, BEP (q) w kg. Odchylenie progu rentowności może być rozumiane dwojako, czyli jako 6 : 1) odległość od punktu zerowego (braku progu rentowności) i w tym przypadku jest to wielkość ekonomiczna z kategorii destymulatorów, tj. im mniejsza wartość, tym lepiej, i odwrotnie; ) odległość od wartości tego progu dla wyjściowych wartości czynników kształtujących próg rentowności. KS Jeśli zatem przyjmiemy, że BEP O (%) 100, to będziemy mieć p kz następujące sytuacje: 5 Należy zauważyć, iż wspomniany autor we wcześniejszych publikacjach formułę (58) nazywa progiem rentowności, zob. (Sobolewski 1997, s. 07; Kurtys, 001, s. 0 04). Nawiasem mówiąc, A. Ćwiąkała-Małys i W. Nowak posiłkują się powyższym ilorazem przy konstrukcji tzw. uogólnionego popytowego progu rentowności, (009, s. 1 1). 6 Pojęcie odchylenie jest na ogół rozumiane jako odchylenie czego (od czego), np. odchylenie kompasu, odchylenie od normy. 181

A) BEP(%) > BEPO (%) zaszła zmiana negatywna; B) BEP(%) < BEPO (%) zaszła zmiana pozytywna. Oznacza to, iż zastosowanie powinna mieć formuła postaci: gdzie: BEP p. p.) BEP(%) BEP (%), (59) ( O BEPO (%) wyjściowy (bazowy) poziom procentowego progu rentowności. W kontekście wzoru (57) staje się zasadne wprowadzenie kolejnego pojęcia, tj. zmiany stopy marginesu bezpieczeństwa (w punktach procentowych): BEP( q) BEP ( q) Sb Sb Sb 100 %. (60) q Łatwo dostrzec, że zachodzi równość: BEP ( q) BEP( q) BEP( q) S b [ ] 100% (61) BEP( q) q Stąd ostatecznie otrzymujemy formułę na znajdowanie zmiany stopy marginesu bezpieczeństwa: ( p. p.) BEP(%) T( BEP). (6) S b Z powyższej formuły wynika, że stopa zmiany marginesu bezpieczeństwa zachowuje się asymetrycznie w relacji do zmiany parametrów progu rentowności, czyli identycznie jak to zachodzi w przypadku zmian tychże parametrów. Przykład Przedsiębiorstwo Produkcyjno-Handlowe Do-Ka-Ma z siedzibą w Toruniu zajmuje się produkcją i sprzedażą kompletów zabawek dziecięcych w cenie 5 zł za jeden komplet. Na produkcję składają się następujące koszty: KS = 0.000 zł koszty stałe; kz = 175 złkomplet koszty zmienne. W ciągu okresu firma wytwarza i sprzedaje średnio.15 kompletów zabawek dziecięcych. Należy zbadać wrażliwość przedsiębiorstwa na zmiany czynników kształtujących próg rentowności, zakładając wahania w przedziale [ 10 %; +10 %]. Rozważmy trzy sytuacje zmiany parametrów progu rentowności i na tej podstawie obliczymy tempo zmiany progu rentowności, a także ocenimy zmianę stopy marginesu bezpieczeństwa. 18

Na podstawie powyższych danych otrzymujemy: BEP( q ) 0.000 0.000.000sztuk, BEP O (%) 100% 64% 5175.15( 5 175 ) bazowy próg rentowności w ujęciu procentowym (punkt odniesienia). Wyniki wszystkich obliczeń zamieszczono w tabeli. Zgodnie z wnioskami, które wynikały z rozważań teoretycznych, zmiany korzystne progu rentowności są mniejsze od zmian niekorzystnych, przy tych samych zmianach względnych ceny oraz kosztów jednostkowych zmiennych. Podobny wniosek wypływa przy zmianie stopy marginesu bezpieczeństwa. Próg rentowności jest w tym przypadku najbardziej wrażliwy na zmiany ceny sprzedaży, zaś zakresy zmiany jednostkowych kosztów zmiennych oraz całkowitych kosztów stałych niewiele się od siebie różnią. Tabela. Wyniki analizy wrażliwości ilościowego progu rentowności Zmiana 1. ceny sprzedaży: a) zwyżka o 10 % b) obniżka o 10 %. jednostkowych kosztów zmiennych: a) zwyżka o 10 % b) obniżka o 10 %. całkowitych kosztów stałych: a) zwyżka o 10 % b) obniżka o 10 % Źródło: opracowanie własne. Tempo zmiany ilościowego progu rentowności (w %) Zmiana stopy marginesu bezpieczeństwa (w p. p.) Korzystne Niekorzystne Zwiększenie Zmniejszenie 17, 6,5 11,1 16,9 9,9 1, 6, 7,9 10,0 10,0 6,4 6,4 W świetle zależności (6), stopa marginesu bezpieczeństwa zmienia się multiplikatywnie w relacji do odchylenia początkowego progu rentowności, który w analizowanym przykładzie wynosi 64 %. Refleksja H. Sobolewskiego (010, s. 188), iż największe odchylenie wielkości progu rentowności wystąpiło przy zmianie ceny sprzedaży, da się wyjaśnić za pomocą pojęcia elastyczności stopnia pierwszego (Żwirbla, 007, s. 49 61). Mamy bowiem następujące elastyczności cząstkowe progu rentowności względem: 1) ceny jednostkowej p 1 (6) E( p) p kz r 18

) jednostkowych kosztów zmiennych ) kosztów stałych Zauważmy następnie, że zachodzi relacja: kz 1 E ( kz) 1 0, (64) p kz r E ( KS) 1 (65) E(p) > E(kz), (66) to zaś oznacza, że próg rentowności jest bardziej czuły na zmianę ceny niż na zmianę kosztów jednostkowych zmiennych. Przedział wahań względnych zmian progu rentowności dla cen sprzedaży oraz jednostkowych kosztów zmiennych jest uzależniony od stopy jednostkowej marży pokrycia, a zatem zależy od relacji kosztów zmiennych do przychodów. Zmiany progu rentowności są takie same jak zmiany kosztów stałych, a stąd wypływa wniosek, iż zmiany relacji między kosztami stałymi i zmiennymi nie mają żadnego wpływu na odchylenie progu rentowności.. Próba modyfikacji podstawowej formuły obliczeniowej progu rentowności W literaturze przedmiotu spotykamy propozycję modyfikacji formuły ilościowego progu rentowności ze względu na występowanie zmiennych kosztów progresywnych i degresywnych. J. Duraj (004, s. 5) pisze m.in.: Uwzględniając w rozważaniach elastyczność zmiennych kosztów, trzeba uzupełnić formułę ilościowego i wartościowego progu rentowności o współczynnik elastyczności tych kosztów, gdyż w ten sposób uzyskujemy pełniejszą przystawalność tego modelu do rzeczywistych warunków działania przedsiębiorstwa. W świetle sugestii J. Duraja, wspomniany wzór ilościowego progu rentowności powinien przyjąć postać następującą: BEP KS p kz(1 ec), gdzie: ec współczynnik elastyczności kosztów zmiennych, pozostałe oznaczenia jak poprzednio. (67) 184

Powyższa modyfikacja budzi pewne wątpliwości, co wykażą poniższe rozważania. Na płaszczyźnie analizy kosztów stosuje się m.in. następujące formuły: 1) elastyczność kosztów zmiennych KZ q e :, (68) KZ q przy czym: e > 1 koszty zmienne progresywnie, 0 < e < 1 koszty zmienne degresywnie, e = 1 koszty zmiennie proporcjonalnie; ) elastyczność kosztów jednostkowych względem produkcji kz q e j :, (69) kz q gdzie: KZ kz jednostkowe koszty zmienne, q KZ przyrost kosztów zmiennych, q przyrost wielkości produkcji, kz przyrost jednostkowych kosztów zmiennych. Można ponadto wykazać, że zachodzi równość: a zatem ostatecznie otrzymujemy 7 : e j = e 1, Zauważmy, iż z formuły (69) otrzymujemy: kz e j q kzx, a stąd mamy ostatecznie q 0, e 1 e j 0, e 1 (70) 0, e 1 7 Agnieszka N. Duraj pisze m.in., że należy brać pod uwagę występowanie zmiennych kosztów progresywnych i degresywnych, dla których współczynnik elastyczności przyjmuje odpowiednio wartości większe i mniejsze od zera, zob. (Duraj, red., 006, s. 189 190). 185

kz q kz(1 e j ). q (71) Oznacza to, że proponowana modyfikacja formuły na próg rentowności powinna przyjąć postać następującą: BEP KS, p kz[1 e ( dq 1)] gdzie: q1 dq wskaźnik dynamiki wielkości produkcji, q 0 pozostałe oznaczenia jw. W świetle zależności, ujętej wzorem (7), stwierdzamy, że: 1) w przypadku kosztów zmiennych progresywnych ) w przypadku kosztów zmiennych degresywnych j (7) BEP BEP, (7) BEP BEP. (74) Godne uwagi staje się znalezienie skali poprawki, co można ocenić znajdując tempo zmiany progu rentowności za pomocą wzoru: BEP BEP kz e j ( dq 1) 100%. (75) p kz[1 e ( dq 1)] Przykład 4 Na podstawie danych z przykładu oraz przyjmując, że e = 1, zaś dq = 1,, znajdziemy, o ile procent zmieni się próg rentowności z tytułu wprowadzonej korekty. Mamy więc BEP BEP 175 0, ( 1, 1) 100% 7%. 5 175 [1 0, ( 1, 1)] Jak widać, jest to zmiana, której nie należy lekceważyć przy wnikliwej analizie progu rentowności. j 186

Podsumowanie Jeśli chcemy przeprowadzić analizę wrażliwości w przypadku produkcji wieloasortymentowej, to należy skorzystać z następujących wzorów: EBIT PS KZ KS zysk operacyjny EBIT, (76) oraz KS (77) BEP W wartościowy próg rentowności, KZ 1 PS gdzie: KS jak we wzorze (), KZ = qi kzi zagregowany koszt zmienny, PS = qi pi zagregowany przychód ze sprzedaży. Przyjmijmy następnie, że stopy zmiany są jednakowe dla składników agregatu kosztów zmiennych oraz przychodu ze sprzedaży, wówczas analogiczne, jak w przypadku produkcji jednorodnej, przekształcenia prowadzą do następujących formuł obliczeniowych: 1) tempo zmiany zysku operacyjnego EBIT T 1 ( EBIT ) E( KS ) E( PS ) E( KZ ), (78) ) względna zmiana wartościowego progu rentowności gdzie: ( PS KZ) 1(1 ) KZ( ) T ( BEPW ). PS(1 ) KZ(1 ) (79) 1 stopa zmiany kosztów stałych, stopa zmiany składników agregatu przychodów ze sprzedaży oraz stopa zmiany składników agregatu kosztów zmiennych, oraz KS KZ PS E( KS), E( KZ), E( PS) mnożniki kosztów stałych, kosztów zmiennych oraz przychodów ze EBIT EBIT EBIT sprzedaży. 187

Podobieństwo wzorów (78) i (79) oraz (15) i (10), które występowały przy produkcji jednorodnej, umożliwia przeprowadzenie analogicznych rozważań dotyczących wrażliwości modelu zysku oraz wartościowego progu rentowności przy produkcji wieloasortymentowej. Z przedstawionych rozważań związanych z tematyką analizy progu rentowności da się wyciągnąć kilka istotnych wniosków, które zostaną przedstawione poniżej. 1) Statyczne oraz dynamiczne wspomaganie operacyjne, których wyrazem ilościowym jest parametr r, oraz mnożniki zysku operacyjnego, pełnią ważką rolę w metodyce analizy zmian progu rentowności i zysku operacyjnego. ) Wykresy funkcji T(), które przedstawiają związek funkcyjny między tempem zmiany progu rentowności a stopą zmiany odpowiedniego parametru progu rentowności, wskazują na asymetrię zmiany tegoż wskaźnika, tj. zauważa się większą inercję (bezwładność) w kierunku zmian korzystnych niż w kierunku zmian niekorzystnych. ) Wzrost (spadek) poziomu parametru r powoduje zmniejszenie (zwiększenie) względnych zmian progu rentowności dla tego samego poziomu czynnika egzogenicznego, jedynie w przypadku scenariusza optymistycznego względne zmiany progu rentowności są niezależne od parametru r. 4) Ujęcie procentowe progu rentowności powinno być skojarzone ze znajdowaniem tempa zmiany progu rentowności (w %) oraz ze zmianą stopy marginesu bezpieczeństwa (w p.p.). 5) Uwzględnienie zmian progresywnych oraz degresywnych kosztów zmiennych przy szukaniu progu rentowności wymaga zastosowania zaproponowanej formuły obliczeniowej. 6) Przedstawiana w literaturze przedmiotu analiza progu rentowności w warunkach inflacji jest błędna metodologicznie. 7) Tempo zmiany ilościowego progu rentowności jest niezmiennikiem formuły obliczeniowej, czyli wynik jest taki sam niezależnie od ujęcia tego progu. Powiemy, że statyczne oraz dynamiczne wspomaganie operacyjne to czynniki endogeniczne (wewnętrzne), zaś wielkości oraz to czynniki egzogeniczne (zewnętrzne) względnych zmian progów rentowności oraz względnej zmiany zysku. Konkluzja końcowa przedstawionych rozważań prowadzi do stwierdzenia, iż wyprowadzanie wniosków ogólnych na podstawie analizy przykładu liczbowego prowadzi najczęściej na manowce nauki, co Thomas H. Huxley ujął słowami Piękna teoria zniszczona przez złośliwy, wstrętny fakcik. Autor niniejszego artykułu żywi nadzieję, iż jego krytyczne spojrzenie na niektóre koncepcje metodologiczne stanie się zaczynem do dalszego doskonalenia narzędzi badawczych na gruncie rachunkowości zarządczej. 188

Literatura Czubakowska K., Gabrusewicz W., Nowak E., (006), Podstawy rachunkowości zarządczej, PWE, Warszawa. Ćwiąkała-Małys A., Nowak W. (009), Wybrane metody pomiaru efektywności podmiotu gospodarczego, Wydawnictwo Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław. Dudycz T. (00), Finansowe narzędzia zarządzania wartością przedsiębiorstwa, Wydawnictwo AE we Wrocławiu, Wrocław. Duraj J. (004), Podstawy ekonomiki przedsiębiorstwa, PWE, Warszawa. Duraj J. (red.), (006), Metody oceny projektów gospodarczych, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź. Gabrusewicz W. (005), Podstawy analizy finansowej, PWE, Warszawa. Hamrol M., (red.), (010), Analiza finansowa przedsiębiorstwa. Ujęcie sytuacyjne, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Poznań. Jakubczyc J. (008), Metody oceny projektu gospodarczego, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. Karmańska A. (red.) (006), Rachunkowość zarządcza i rachunek kosztów w systemie informacyjnym przedsiębiorstwa, Difin, Warszawa. Kowalczyk J., Kusak A. (006), Decyzje finansowe firmy. Metody analizy, Wydawnictwo C.H. Beck, Warszawa. Kurtys E. (red.), (001), Analiza finansowa przedsiębiorstwa w przykładach i zadaniach, Wydawnictwo AE w Poznaniu, Poznań. Nita B., (008), Rachunkowość w zarządzaniu strategicznym przedsiębiorstwem, Oficyna Wolters Kluwer, Warszawa. Nowak E. (00), Zaawansowana rachunkowość zarządcza, PWE, Warszawa. Sierpińska M., Jachna T. (004), Ocena przedsiębiorstwa według standardów światowych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. Sobolewski H. (1997), Rachunkowość zarządcza, Wydawnictwo WSB w Poznaniu, Poznań. Sojak S. (1996), Rachunkowość w warunkach inflacji, Wydawnictwo Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, Toruń. Sojak S. (1999), Rachunkowość zarządcza w warunkach inflacji, TNOiK Dom Organizatora, Toruń. Sojak S. (00), Rachunkowość zarządcza, TNOiK Dom Organizatora, Toruń. Żwirbla A. (006), Mnożniki zysku jako narzędzie analizy wrażliwości zysku, Zeszyty Teoretyczne Rachunkowości, tom 1 (87), s. 164 190, SKwP, Warszawa. Żwirbla A. (007), Rozwój metod ilościowych analizy ekonomicznej, Wydawnictwo Adam Marszałek, Toruń. 189

Streszczenie Ocena kondycji finansowej jest niezbędna nie tylko dla bieżącego zarządzania przedsiębiorstwem, ale również planowania jego przyszłości. Analiza wrażliwości progu rentowności jest użytecznym narzędziem planowania, jak również nieodzownym elementem poprawnej oceny dotychczasowej działalności przedsiębiorstwa. Celem artykułu jest zaprezentowanie analizy progu rentowności jako jednej z bardzo istotnych koncepcji dla współczesnej rachunkowości zarządczej. W artykule przedstawiono nowe ujęcie wybranych aspektów analizy wrażliwości progu rentowności. Artykuł ujmuje bardzo ważne i praktycznie przydatne zagadnienia analizy progu rentowności, zaś nowe podejście metodologiczne jest oryginalnym wkładem autora na polu metod rachunkowości zarządczej. Summary The theoretical and practical aspects of sensitivity analysis of profit model The evaluation of financial condition is essential not only for actual managing but also for planning the future of an enterprise. Sensitivity analysis is a handy tool of planning and also is an indispensable element of correct appreciation of the firm's past activities. The aim of the article is to present the breakeven analysis as one of the most significant concepts of contemporary management accounting. The paper discusses a new approach to some aspects of breakeven sensitivity analysis. The presented article shows some very important and practically useful aspects of breakeven analysis. The new methodological treatment is the author's original contribution in the field of management accounting methods. 190