PODSTAWY MATEMATYKI INANSOWEJ WZORY I POJĘCIA PODSTAWOWE ODSETKI, A STOPA PROCENTOWA KREDYTU (5) ODSETKI OD KREDYTU KWOTA KREDYTU R R- rocza stopa oprocetowaia kredytu t - okres trwaia kredytu w diach 365 - długość roku bakowego w diach (1) KWOTA ZWROTU (6) (2) OPROCENTOWANIE KREDYTU (3) ODSETKI OD KREDYTU (4) KWOTA ZWROTU ODSETKI PROSTE i ODSETKI SKŁADANE odsetki za koleje okresy trwaia lokaty aliczae są od tej samej podstawy (7) (8) O Ozaczeia: P- początkowa kwota lokaty (początkowa kwota kapitału) - końcowa wartość lokaty (kwota zwracaa po upływie okresów bazowych) i - oprocetowaie lokaty za jede okres bazowy - liczba okresów bazowych trwaia lokaty Ods - odsetki za cały okres trwaia lokaty Odsetki za koleje okresy trwaia lokaty aliczamy od kwoty powiększoej o odsetki.
(9) P (1 + i) 10) Ods P [ ( 1 + i ) 1] PRZYKŁAD Załóżmy, że chcemy ulokować w baku kwotę 10 000 zł a okres pół roku i mamy do wyboru dwa baki (A i B). W obu bakach oferowaa jest rocza stopa oprocetowaia 4,4%. Jedak w baku (A) odsetki aliczae są tylko a koiec okresu trwaia lokaty, atomiast w baku (B) odsetki aliczae są i kapitalizowae co kwartał. BANK (A) Zgodie ze wzorem (7) P (1 + i ) 10 000 (1 + 0.022 1) 10 220 zł zgodie ze wzorem (6) 90 i 1,085% 4,4% 365 ( t) Pe it Efektywa stopa procetowa dla kapitalizacji ciągłej: E e i t BANK (B) Zgodie ze wzorem (9) P (1 + i ) 10 000 (1 + 0.011) 10 221,21
STOPA PROCENTOWA NOMINALNA I EEKTYWNA ERSP - efektywa rocza stopa procetowa PRZYKŁAD Chcemy wziąć kredyt w baku P gdzie R19%, a odsetki ależy płacić co miesiąc. Jeżeli zaiwestoway kapitał przyrasta o stały procet częściej iż raz a rok. 11) ERSP 1 + i 1 i - oprocetowaie za jede bazowy okres czasu (miesiąc, kwartał,...) - liczba okresów bazowych w roku (liczba kapitalizacji w okresie jedego roku) Jeżeli zaiwestoway kapitał przyrasta o stały procet ie częściej iż raz a rok. ERSP (1 + i) 1 i - oprocetowaie za cały okres trwaia iwestycji (rok, 2 lata,...) - liczba lat trwaia iwestycji W baku S : R19,2%, a odsetki ależy płacić co kwartał. Który bak wybrać? ERSP(P) (1+ 0,19/12) 12 1 1,20745 1 0,20745 20,745% ERSP(S) (1+0,192/4) 4 1 1,20627 1 0,20627 20,627%
AMORTYZACJA KREDYTU Ulokowaliśmy w baku 1000 zł i po 2 latach oszczędzaia otrzymaliśmy 1250 zł. Ile wyiosła efektywa rocza stopa oprocetowaia aszego rachuku w tym okresie jeżeli bak kapitalizował odsetki co kwartał. WARUNKI UDZIELANIA KREDYTU. OPRÓCZ KWOTY I ROCZNEJ STOPY OPROCENTOWANIA OKREŚLA SIĘ SPOSÓB SPŁATY (AMORTYZACJI) KREDYTU USTALAJĄC PLAN SPŁATY KREDYTU. NA PODSTAWIE PLANU SPORZĄDZA SIĘ TABELĘ SPŁATY KREDYTU ZWANĄ TEŻ TABELĄ AMORTYZACJI KREDYTU ERSP (1 + i) 1 Efektywa stopa kwartala ERSP(1+0,0283) 4-10,0574 -
Wartość pieiądza w czasie Wartość przyszła pieiądza (future value of moey- VM) (13) P (1 + i) Wartość obeca pieiądza (preset value of moey PVM) P (14) ( ) i +
y 1. 2. P ( ) P Strumieie pieiędzy (Cash lows-) 10 000 ( ) 15 000 15 000 10 000
Wartość obeca i przyszła strumieia pieiędzy i Wartość obeca 0 jest rówa 0 Wartość obeca 1 jest rówa ( + i) Wartość obeca 2 jest rówa ( + i) M Wartość obeca jest rówa ( ) + i Wartość przyszła 0 jest rówa 0 (1+i) Wartość przyszła 1 jest rówa 1 (1+i) -1 Wartość przyszła 2 jest rówa 2 (1+i) -2 M Wartość przyszła jest rówa (1+i) - ( + i) + ( + i) + L + j ( + ) j i j P + + L+ ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) P j j ( + i ) j
Załóżmy, że w wyiku pewej iwestycji spodziewamy się uzyskać w okresie kolejych miesięcy dochody w kwotach 10, 15, 20, 20 tys zł odpowiedio a koiec każdego miesiąca. Mamy obliczyć wartość przyszłą tego strumieia przychodów a koiec 4 miesiąca przy założeiu, że miesięcza stopa procetowa wyosi 3%. 4, i0,03 P A + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P B + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tys z tys z
Strumieie rówych płatości A A A A A A... A 0 1 2 3 4 5 6... Strumień rówych płatości dokoywaych a koiec kolejych, rówych okresów czasu. wartość przyszła strumieia a koiec - tego okresu. A wysokość pojedyczej płatości liczba okresów bazowych i oprocetowaie za jede okres bazowy j j + i j poieważ 0 0, 1 2... A A (1+i) -1 +A (1+i) -2 +...+A(1+i)+A (1+i ) i + i A [( ) ] + i ( + i) A i A + i : Załóżmy, że przez okres 10 lat będziemy oszczędzać a mieszkaie i wpłacać a rachuek oszczędościowy kwotę 50 zł a koiec każdego okresu(miesiąca). Rachuek jest oprocetoway w wysokości 2,5 % miesięczie. Ile uzbieramy po 10 latach? A50 zł, i0,025, 10 12120 ( + ) A
Wartość obeca rozpatrywaego strumieia P + P A i ( ) + i i( + i) : Zajomy propouje am odkupieie od iego samochodu. Propouje sprzedaż a raty. Chce byśmy dziś zapłacili 5000, a przez koleje 6 miesięcy płacili jeszcze po 1000 zł. Jeżeli oprocetowaie kredytów bakowych wyosi 5% miesięczie to za ile zajomy chce am sprzedać samochód? P ( ) ( ) czyli zajomy wyceił samochód a 10 075,7. Czy koszt kredytu zależy od częstości płaceia odsetek? : Wzięto kredyt w wysokości 10 000 zł. Rocza stopa procetowa wyosi 60 %. Kredyt ma być zwrócoy po upływie dwóch miesięcy. W ujęciu omialym suma odsetek od kredytu płacoych co miesiąc jest rówa kwocie odsetek płacoych jedorazowo. Dla porówaia ależy policzyć wartość przyszłą a koiec drugiego miesiąca Przypadek 1 Odsetki płacoe jedorazowo po upływie dwóch miesięcy2 Ods 2 Ods2(10000 0,05)1000 0 1 2 t
Przypadek 2 Odsetki płacoe a koiec pierwszego i drugiego miesiąca. 0 1 2 t Ods(1+i)+Ods(2+i)Ods (2+0,05) (10000 0,05)1025 Wiosek Efektywy koszt kredytu jest w przypadku 2 większy. Efektywy koszt kredytu zależy ie tylko od wysokości stopy % ale rówież od częstości płaceia odsetek. Jest tym większy im częściej ależy płacić odsetki od kredytu (przy iezmieej omialej stopie procetowej). Czy efektywy koszt kredytu zależy od tego czy i jak często ależy płacić raty kapitałowe? Rozpatrujemy dwa przypadki kredytów udzieloych a okres dwóch miesięcy. W obu przypadkach kwota kredytu i stopa procetowa są takie same, a odsetki ależy płacić po upływie każdego miesiąca. Przypadek 1 Całą kwotę kredytu (kapitał) spłacamy jedorazowo a koiec drugiego miesiąca. 1 Ods(1+i)+Ods+KK+Ods(2+i) K+K i (2+i)K (1+2 i+i 2 )K (1+i) 2 0 kredyt 1 2 t Przypadek 2 kredyt odsetki Odsetki+kredyt odsetki+rata odsetki+rata
2(Ods+0,5K) (1+i)+0,5 Ods+ 0,5K (K i+0,5k) (1+i)+0,5K i+0,5k K i+k i 2 +0,5K+0,5K i+0,5k i+0,5 K 2 K i+k i 2 +KK (i 2 +2 i+1) K(1+i) 2 W obu przypadkach łącza wartość wszystkich płatości związaych ze spłatą każdego kredytu sprowadzoa do wartości przyszłej a koiec 2 miesiąca wyosi K(1+i) 2 Efektywy koszt kredytu ie zależy od częstości i wysokości płacoych rat kapitałowych. a) cała wpłata (5 000) a koto spłaty kredytu Tabela amortyzacji kredytu Saldo kredytu a początku kolejego półrocza Odsetki za ostati okres Rata kapitałowa 1 10 000 0 5 000 5 000 2 5 000 4500 5 000 0 4500 10 000 Saldo kredytu a koiec półrocza Wzieliśmy kredyt. Mamy go spłacić jedorazowo (kapitał+odsetki) po upływie 12 miesięcy. W połowie roku osiągęliśmy ieprzewidywaly dochód w wysokości ½ kwoty kredytu i chcemy za jego pomocą spłacić częściowo kredyt (czego ie zabraia umowa kredytowa). Jak bak powiie zaksięgować wpłacaą przez as kwotę pieiędzy? Jako ratę kapitałową czy odsetki? b) bak pobrał ajpierw odsetki za pierwsze 6 miesięcy trwaia kredytu Saldo kredytu a początku kolejego półrocza Tabela amortyzacji kredytu Odsetki za ostati okres Rata kapitałowa 1 10 000 3000 2 000 8 000 2 8 000 2400 8 000 0 Saldo kredytu a koiec półrocza
W przypadku kredytów ceą jedostkową będzie cea (czyli ależe odsetki) za 1 złotówkę kredytu za ustaloy okres czasu (p. rok). Nie zależy oa od kwoty kredytu i okresu jego trwaia. Miarą kredytu, jego kosztu, która uwzględia dwa istote parametry wpływające a efektywy koszt kredytu stopę procetową oraz częstość płaceia odsetek jest efektywa rocza stopa oprocetowaia kredytu Nomiala rocza stopa kredytu60%, odsetki ależy płacić co miesiąc. Ile wyosi efektywa rocza stopa % tego kredytu. i0,6 (30/365) ERSP(1+i) -1(1+0,049) 12-1 1,78-10,78