RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA Elemetarym pojęciem w rachuku prawdopodobieostwa jest zdarzeie elemetare tz. możliwy wyik pewego doświadczeia p. rzut moetą: wyrzuceie orła lub reszki arodziy człowieka: urodzeie się chłopca lub dziewczyki rzut kostką: wyrzuceie ściaki z odpowiedią liczbą oczek itp. Def. Przestrzeią zdarzeo elemetarych azywamy zbiór ={ω 1, ω 2, + składający się z wszystkich możliwych zdarzeo elemetarych w daym doświadczeiu. Zdarzeiem azywamy dowoly podzbiór A. -algebrą zdarzeo w przestrzei azywamy rodzię (zbiór) zdarzeo taki, że: 1. 2. A A 3. i N: A i A i i = A 1 A 2 A ( suma może byd skooczoa lub ie) Wiosek: Jeżeli jest -algebrą zdarzeo w przestrzei, to. Ozaczeia: zdarzeie azywamy zdarzeiem iemożliwym zdarzeie A = \ A azywamy zdarzeiem przeciwym do A zdarzeie azywamy zdarzeiem pewym Wiosek: Jeżeli i: A i, to i A i

Np. 1. Robotik wyprodukował elemetów pewego urządzeia. Niech zdarzeie A i polega a tym, że i-ty elemet jest wadliwy (i=1,,). Zapisz zdarzeia: a) A-żade z elemetów ie jest wadliwy: A = A 1 A 2 A b) B-co ajmiej jede elemet jest wadliwy: B = A 1 A 2 A k<1 k i c) C-tylko jede elemet jest wadliwy: C =,A i A k - i<1 d) D-co ajwyżej jede elemet ie jest wadliwy: D = (A 1 A 2 A ),A i k<1 A k - i<1 2. Rzucamy moetą tak długo, aż upadie dwa razy pod rząd a tę samą stroę. Opisz przestrzeo zdarzeo elemetarych oraz zdarzeia: a) gra skooczy się przed piątym rzutem b) będzie potrzeba parzysta liczba rzutów c) moeta igdy ie upadie pod rząd a tę samą stroę = { (r 1, r 2,, r ): 2 r i *O, R+ r ;1 = r r i r i;1, dla i < } A = {(O,O),(R,R),(O,R,R),(R,O,O),(R,O,R,R),(O,R,O,O)} B = {(r 1, r 2,, r ): 2 r i *O, R+ r ;1 = r r i r i;1, dla i < } C = {(r 1, r 2,, r, ): r i *O, R+ r i r i;1, dla i N } k i

Def. Mówimy, że zdarzeia A i B wykluczają się A B = Np. W doświadczeiu polegającym a wylosowaiu jedej karty z talii, zdarzeia A-wylosowaie króla i B-wylosowaie damy wykluczają się. Def. Niech będzie przestrzeią zdarzeo elemetarych, będzie -algebrą zdarzeo w. Prawdopodobieostwem w przestrzei azywamy fukcję P: taką, że 1. A : 0 P(A) 1 2. P( ) = 1 3. jeżeli {A i } jest zbiorem zdarzeo parami się wykluczających ( tz. i j A i A j = ), to P A i = P(A i ) i i Wioski: Jeżeli A,B, to 1. P(A ) = 1 - P(A) 2. Jeżeli B A, to P(A\B) = P(A) P(B) 3. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Def. Trójkę (,,P) azywamy przestrzeią probabilistyczą. Np. Doświadczeie polega a rzucie moetą. = {O,R}, = {,{O},{R}, }, P(O) = P(R) = 1 2 Trójka (,,P) jest przestrzeią probabilistyczą dla tego doświadczeia. Def. Mówimy, że zbiór zdarzeo {A i } jest iezależy i 1, i 2,, i : P A i1 A i2 A i = P A i1 P A i2 P(A i )

Np. W doświadczeiu polegającym a rzucie trzema moetami, jeżeli wiemy, że rzuty są od siebie iezależe prawdopodobieostwo zdarzeia A-wyrzucoo trzy orły wyosi P A = P O 1 P O 2 P O 3 = ( 1 2 )3 = 1 8 gdzie O i - wyrzuceie orła a i-tej moecie ELEMENTY KOMBINATORYKI Większośd doświadczeo, dla których obliczamy prawdopodobieostwo, ma bardzo dużo wyików. Wtedy do obliczeia prawdopodobieostwa ależy użyd kombiatoryki. Wyróżiamy trzy podstawowe schematy kombiatorycze: permutacje, wariacje i kombiacje. W kombiatoryce częste zastosowaie ma tzw. reguła iloczyu Tw. reguła iloczyu Jeżeli pewe doświadczeie moża wykoad w k etapach, przy czym etap 1-szy moża wykoad a 1 sposobów, etap 2-gi a 2 sposobów,, etap k-ty a k sposobów, to całe doświadczeie moża wykoad a N = 1 2 k sposobów. N = 1 2 k Def. Permutacja bez powtórzeo Permutacją bez powtórzeo -elemetowego zbioru A={a 1, a 2,, a } azywamy każdy -wyrazowy ciąg, w którym każdy elemet zbioru A występuje dokładie raz. Np. Permutacjami bez powtórzeo zbioru A={1,2,3} są ciągi (1,2,3), (2,1,3), (3,1,2) itd. Tw. Liczba P wszystkich permutacji bez powtórzeo zbioru -elemetowego wyosi! P =!

Przykład: Na ile sposobów moża ustawid 24 osoby w szereg tak, aby dae trzy osoby stały obok siebie? Dae trzy osoby mogą stad obok siebie a 3! sposoby. Jeżeli potraktujemy je jako jedą osobę, to w szeregu moża ustawid je a 22 sposoby. Pozostałe 21 osób moża ustawid w szeregu a 21! sposobów. Stosujemy regułę iloczyu otrzymując N = 22 3! 21! Def. Permutacje z powtórzeiami Permutacją -elemetową z powtórzeiami zbioru k-elemetowego A={a 1, a 2,, a k }, w której elemet a 1 powtarza się 1 razy, elemet a 2 powtarza się 2 razy,, elemet a k powtarza się k razy, przy czym 1 + 2 + + k =, azywamy każdy -wyrazowy ciąg, w którym poszczególe elemety zbioru A powtarzają się wskazaa liczbę razy. Tw. Liczba P 1, 2,, k wszystkich -wyrazowych permutacji z powtórzeiami zbioru k-elemetowego wyosi! 1! 2! k! P 1, 2,, k =! 1! 2! k! Przykład: Na ile sposobów moża z liter A, A, A, E, K, M, M, T, T, Y ułożyd słowo, iekoieczie mające jakiekolwiek zaczeie? Litera A powtarza się trzy razy, a litery M oraz T po dwa razy, czyli N = 10! 3! 2! 2!

Def. Wariacja bez powtórzeo Wariacją k-wyrazową bez powtórzeo ze zbioru -elemetowego A={a 1, a 2,, a }, gdzie k, azywamy każdy k-wyrazowy ciąg różych elemetów tego zbioru. Np. Ciąg (7,2,5,4) jest czterowyrazową wariacją bez powtórzeo ze zbioru A={0,1,2,3,,9} Tw. Liczba Vk wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeo ze zbioru -elemetowego wyosi,k- =! ;k! = 1 2 ( k + 1). V k =,k- Przykład: Na ile sposobów moża sześd z dziesięciu poumerowaych kul wrzucid do sześciu szuflad tak, aby w każdej szufladzie zalazła się tylko jeda kula? Stosujemy 6-cio wyrazową wariację bez powtórzeo zbioru 10-cio elemetowego N = 10,6- = 10! 4! Def. Wariacja z powtórzeiami Wariacją k-wyrazową z powtórzeiami ze zbioru -elemetowego A={a 1, a 2,, a }, azywamy każdy k-wyrazowy ciąg elemetów tego zbioru. Np. Ciag (4,2,4,2,2) jest pięciowyrazową wariacją z powtórzeiami ze zbioru A={2,3,4} Tw. Liczba W k wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeiami ze zbioru -elemetowego wyosi k. W k = k Przykład: Cetrala telefoicza pracuje a umerach sześciocyfrowych. Ilu aboetów może zarejestrowad, jeżeli umer ie może zaczyad się od zera?

Stosujemy sześciowyrazowe wariacje z powtórzeiami ze zbioru cyfr {0,1,,9}, od których odejmujemy wariacje zaczyające się od cyfry 0 N = W 10 6 W 10 5 = 10 6 10 5 Def. Kombiacja bez powtórzeo Kombiację k-elemetową bez powtórzeo ze zbioru -elemetowego A={a 1, a 2,, a }, k, azywamy każdy k-elemetowy podzbiór tego zbioru. Np. Zbiór {2,4,6} jest trzyelemetowa kombiacją ze zbioru A={0,1,2,,9} Tw. Liczba Ck wszystkich k-elemetowych kombiacji bez powtórzeo ze zbioru -elemetowego wyosi k =!. k! ;k! C k = k Przykład: Na ile sposobów moża wybrad 9 par szachowych spośród 20 szachistów z kraju A i 15 szachistów z kraju B, jeżeli w każdej parze mają byd szachiści z różych krajów? Wybieramy po 9 szachistów z każdego kraju, ustawiamy szachistów z kraju A w szeregu i dobieramy dla ich parterów z kraju B. N = C 9 20 C 9 15 9! Def. Kombiacja z powtórzeiami Rozważamy elemety różych rodzajów, przy czym elemety tego samego rodzaju traktujemy jako idetycze. Kombiacją k-elemetową z powtórzeiami z rodzajów elemetów, azywamy każdy k-elemetowy zbiór, którego każdy elemet jest jedego z tych rodzajów. Kombiacja z powtórzeiami jest w pełi określoa przez podaie liczby elemetów poszczególych rodzajów wchodzących w jej skład.

Tw. Liczba Kk wszystkich k-elemetowych kombiacji z powtórzeiami z rodzajów elemetów + k 1 wyosi. k K k + k 1 = k Przykład: Na ile sposobów moża ułożyd bukiet z pięciu kwiatów, mając 10 róż, 9 tulipaów i 7 żokili? Stosujemy pięcioelemetową kombiację z powtórzeiami z 3 rodzajów elemetów N = K 3 5 = 7 3 PRZYKŁADY OKREŚLANIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I. Prawdopodobieostwo klasycze Niech = A 1 A 2 A, gdzie A i, zbiór {A i } jest zbiorem zdarzeo parami wykluczających się o jedakowych prawdopodobieostwach P(A i ) = 1. Jeżeli A = A i1 A i2 A ik, to prawdopodobieostwo A określamy jako P(A) = k. Zdarzeia A i1, A i2,, A ik azywamy zdarzeiami sprzyjającymi zdarzeiu A. Np. 1. Rzucamy kością do gry. Oblicz prawdopodobieostwo wyrzuceia liczby oczek podzielej przez 3. Wszystkich zdarzeo elemetarych jest 6, zdarzeo sprzyjających A jest 2 P(A) = 2 6 = 1 3. 2. Z ury, w której jest m 3 kul białych i 3 kul czarych, losujemy ze zwracaiem 3 kule. Oblicz prawdopodobieostwo wylosowaia 3 kul czarych. I wariat rozwiązaia: Zdarzeia wylosowaia kuli czarej za kolejym razem są iezależe.

Prawdopodobieostwo wylosowaia kuli czarej za jedym razem wyosi :m. P(A) = ( :m )3. II wariat: = {(k 1, k 2, k 3 ): k i *1,, + m++, Ω = + m 3 A = {(k 1, k 2, k 3 ): k i *1,, ++, A = 3 P(A) = ( :m )3. 3. Z ury, w której jest m 3 kul białych i 3 kul czarych, losujemy bez zwracaia 3 kule. Oblicz prawdopodobieostwo wylosowaia 3 kul czarych. = {*k 1, k 2, k 3 }: k i *1,, + m++, Ω = A = {*k 1, k 2, k 3 }: k i *1,, ++, A = 3 P(A) = (;1)(;2). (:m)(:m;1)(:m;2) + m 3 4. Losowo rozmieszczoo kul w komórkach. Oblicz prawdopodobieostwo, że dokładie jeda komórka jest pusta. Ω = dokładie jeda komórka jest pusta jeżeli w jedej komórce są 2 kule, a w (-2) komórkach po jedej kuli A = 2! P(A) = ;1! 2 1 II. Prawdopodobieostwo geometrycze Niech będzie pewym ograiczoym podzbiorem R k, zdarzeiami z będą podzbiory mające miarę m(a) (p. dla k=1 mające długośd, dla k=2 pole, dla k=3 objętośd). Prawdopodobieostwo zdarzeia A określamy wzorem P(A) = m(a) m(ω).

Np. 1. Na odciku [0,1] umieszczamy losowo, tz. zgodie z prawdopodobieostwem geometryczym oraz iezależie, dwa pukty x i y, które dzielą te odciek a trzy odciki. Oblicz prawdopodobieostwo, że moża z tych odcików zbudowad trójkąt. Pukty x,y moża traktowad jako współrzęde x i y puktu ależącego do kwadratu o wierzchołkach (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Kwadrat te będzie teraz przestrzeią. m( )=1. Aby z odcików moża było zbudowad trójkąt, każdy z ich musi byd krótszy od 1 2. Dla x<y: x< 1 2, y-x<1 2 i 1-y<1 2 m(a)=2 1 8 P(A) = 1 4 2. Losowo wybrao dwie dodatie liczby x i y ie większe od 1. Oblicz prawdopodobieostwo, że ich suma jest ie większa iż 1, a iloczy ie miejszy iż 0,09. = [0,1] [0,1], m( )=1 Zdarzeie A jest figurą zawartą pomiędzy wykresami y = 1 x oraz y = 0,09 x. x + 0,09 x 0,9 m(a) = (1 x 0,09 1 = 0 x = 0,1 x = 0,9 0,1 P(A) = 0,4 0,09l9 x )dx=0,4 0,09l9

Def. Prawdopodobieostwo warukowe zdarzeia A pod warukiem zdarzeia B dae jest wzorem P(A B) P A B =, dla P B > 0 P(B) Prawdopodobieostwo warukowe zdarzeia A jest prawdopodobieostwem tego zdarzeia, w sytuacji, gdy zależy oo od dodatkowych waruków (zajścia zdarzeia B). Wioski: 1. Zdarzeia A i B są iezależe P(A) = P(A B), gdy P(B)>0. 2. Jeżeli (,,P) jest przestrzeią probabilistyczą, B i P(B)>0, to (,,P(. B)) jest przestrzeią probabilistyczą (tz. prawdopodobieostwo warukowe spełia aksjomaty prawdopodobieostwa) Np. Dae są dwie ury, w pierwszej są 2 czare i 1 biała kula, a w drugiej 2 białe i 1 czara. Z pierwszej ury losujemy z prawdopodobieostwem 1 4, a z drugiej z prawdopodobieostwem 3 4. Oblicz prawdopodobieostwo, że wyciągiemy czarą kulę z drugiej ury. Niech A-wylosowaie kuli czarej, B-wylosowaie ury drugiej. P(B) = 3 4, P(A B) = 1 3 P(A B) = P(A B)P(B) = 1 4 Tw. wzór a prawdopodobieostwo całkowite Jeżeli zbiór {A i }, A i jest zbiorem zdarzeo parami wykluczających się i P(A i ) i P B = P B A i P(A i ), dla B i = 1, to

Tw. wzór Bayesa Jeżeli zbiór {A i }, A i jest zbiorem zdarzeo parami wykluczających się i P(A i ) i P(B)>0, to P A i B = P B A i P(A i ). P(B) = 1 oraz Np. 1. Na taśmę trafiają wyroby wytwarzae przez dwa automaty. Stosuek ilościowy produkcji pierwszego automatu do produkcji drugiego wyosi 3:2. Pierwszy automat wytwarza 65% produktów pierwszej jakości, a drugi 85%. Z taśmy wybieramy jede produkt. Oblicz prawdopodobieostwo, że będzie to produkt pierwszej jakości. A i -wybray produkt jest wyprodukoway przez i-ty automat, A-wybray produkt jest pierwszej jakości P(A 1 ) + P(A 2 ) = 1 i P(A 1) P(A 2 ) = 3 P(A 2 1) = 3 i P(A 5 2) = 2 5 P(A) = P(A 1 ) P(A A 1 ) + P(A 2 ) P(A A 2 ) = 3 65 + 2 85 = 73 5 100 5 100 100 2. Jeżeli produkt ma defekt, to automat wykrywa go w 90% przypadków, jeżeli ie ma defektu, to mimo to automat iformuje o defekcie w 1% przypadków. W partii jest 2% produktów mających defekt. Oblicz prawdopodobieostwo, że losowo wybray produkt wykryty jako uszkodzoy, jest rzeczywiście uszkodzoy. A-produkt jest uszkodzoy, B-automat wykrył uszkodzeie P(A) = 0,02; P(B A) = 0,9; P(B A ) = 0,01 P B A P(A) 0,9 0,02 P(A B) = = = 0,018 = 0,6474 P(B) P B A P A :P B A P(A ) 0,018:0,01 0,98