FIZYKA METALI - LABORATORIUM 6 Wyznaczanie modułu sztywności metodą wahadła torsyjnego 1. CEL ĆWICZENIA Celem laboratorium jest zdobycie umiejętności i wiedzy w zakresie wyznaczania modułu sztywności G z wykorzystaniem wahadła torsyjnego.. WSTĘP Odkształcenia sprężyste występują w każdym materiale. Odkształcenia te mogą pojawid się w wyniku działających na ciało sił zewnętrznych bądź zmian jego temperatury [1], []. Odkształcenie materiału prowadzi do przemieszczenia się jego cząstek z początkowych położeo równowagi w węzłach sieci krystalicznej. Tym przemieszczeniom przeciwdziałają siły oddziaływania między cząsteczkami w wyniku, czego w odkształcanym ciele pojawiają się siły sprężyste [1]. Siły te równoważą siły zewnętrzne, które wywołują to odkształcenie [1]. Odkształcenie możemy nazwad sprężystym, jeżeli znika ono po ustaniu działania wywołujących je sił zewnętrznych [1], [], [3]. Po ustaniu działania sił zewnętrznych cząstki ciała stałego powracają do swoich początkowych położeo równowagi. W przypadku odkształceo niesprężystych następuje nieodwracalna przebudowa sieci krystalicznej, w wyniku, czego początkowy kształt ciała nie zostaje zachowany [1]. Odkształcenia niesprężyste są inaczej nazywane odkształceniami plastycznymi []. Odkształcenie sprężyste może także przekształcid się w plastyczne, gdy ciało jest poddawane długotrwałym działaniu nawet małych sił zewnętrznych [1]. Działające siły wewnętrzne są powodem powstawania naprężeo σ w materiale, które wyliczamy następująco: F S spr o [MPa] )1( 1
F spr - wartośd siły sprężystej, [N]; S o - początkowe pole powierzchni przekroju poprzecznego ciała, *mm ]. Naprężeniem nazywamy siły sprężyste przypadające na jednostkę początkowego pola powierzchni przekroju porzecznego ciała []. W przypadku, gdy siła F spr jest skierowana wzdłuż normalnej do powierzchni S, to naprężenie nazywamy normalnym, a w przypadku, gdy jest ona skierowana stycznie do powierzchni nazywamy je naprężeniem stycznym [1]. Zgodnie z prawem Hooke a odkształcenia sprężyste są wprost proporcjonalne do wywołujących je oddziaływao zewnętrznych. Przy dostatecznie małych odkształceniach praktycznie wszystkie ciała można uważad za sprężyste. Naprężenie maksymalne, przy którym załamuje się prawo proporcjonalności naprężenia i względnego odkształcenia, nazywa się granicą sprężystości [1], []. Najprostszym odkształceniem jest rozciąganie (ciskanie) podłużne, co jest równoważne zwiększeniu (zmniejszeniu) długości ciała pod wpływem rozciągającej (ściskającej) siły zewnętrznej F. Zgodnie z prawem Hooke a naprężenie normalne w tym wypadku wynosi [1]: F So E )( F - wartośd działającej siły zewnętrznej, *N+; S o - początkowe pole powierzchni przekroju poprzecznego ciała, *mm ]; ε - deformacja względna równa Δl/l o ; Δl - zmiana długości pod wpływem działania siły zewnętrznej, *mm+; l o - początkowa długośd ciała, *mm+; E - moduł sprężystości podłużnej, *MPa+. W tym przypadku moduł sprężystości podłużnej jest nazywany modułem Younga. Interpretacja fizyczna modułu Younga mówi jest on równy takiemu naprężeniu normalnemu σ, przy którym liniowy wymiar ciała ulega podwojeniu (Δl=l o ) [1], []. Zależnośd naprężenia normalnego σ od odkształcenia względnego ε dla rozciągania liniowego przedstawia rysunek 1.
Rysunek 1 Przykładowa krzywa rozciągania materiału. Punkt a na powyższym wykresie opowiada granicy sprężystości σ s dla materiału ciągliwego, natomiast dla innych materiałów norma polska PN-71/H-04310 wyróżnia tzw. umowną granicę sprężystości σ 0.05, która wywołuje w próbce wydłużenie trwałe do 0.05 % []. Po przekroczeniu punktu a prawo Hooke a przestaje obowiązywad. Po przekroczeniu granicy sprężystości σ s dalsze zwiększanie naprężenia powoduje znaczny wzrost względnego wydłużenia ε [1]. Mówi się wtedy o płynięciu materiału i nazywa się ten odcinek krzywej granicą płynięcia, bądź plastyczności σ p. Ze względu na oscylacje przebiegu krzywej wokół wartości naprężenia plastycznego σ p wyróżnia się także dolną i górną granicę plastyczności []. Istnieje jeszcze określona w normie umowna granica plastyczności σ 0., która jest takim naprężeniem, przy którym próbka doznaje 0. % trwałego wydłużenia []. Po przekroczeniu wartości naprężenia σ p, któremu odpowiada punkt b na krzywej rozciągania materiału, względne wydłużenie badanej próbki może dalej wzrastad wraz ze wzrostem naprężenia, lecz wzrost ten nie jest już liniowy. Największe naprężenie σ m, odpowiadające punktowi c na wykresie, nazywa się wytrzymałością materiału na rozciąganie R m [1], []. Punkt d na rysunku 1 odpowiada zerwaniu ciała σ u. Ścinaniem nazywamy takie odkształcenie ciała, przy którym wszystkie jego płaskie warstwy, równoległe do pewnej płaszczyzny ścinania, przesuwają się równolegle względem siebie, nie zmieniając przy tym swoich wymiarów ani nie ulegając skrzywieniu [1]. 3
Rysunek Odkształcenie ścinające w materiałach. Ścinanie zobrazowano na rysunku, na którym zachodzi ono pod wpływem siły stycznej F, przyłożonej do ściany DC, równoległej do płaszczyzny ścinania. Ściana AD, która jest równoległa do BC, jest zamocowana nieruchomo. Przy małym ścinaniu jest spełniona następująca zależnośd: CC' tg CD )3( CC - wartośd przesunięcia wskutek działania siły F, *m+; γ - kąt ścinania (lub ścinanie względne), *rad+. Zgodnie z prawem Hooke a ścianie jest proporcjonalne do naprężenia stycznego, co można wyrazid następującym wzorem [1], []: G )4( τ - naprężenie ścinające, *MPa+, τ=f/s o ; S o - pole ściany BC; F - siła styczna, *N+; G - moduł ścinania (sztywności), [MPa]. Moduł ścinania (sztywności) G inaczej nazywany jest modułem Kirchhoffa. Moduł ten równy jest takiemu naprężeniu stycznemu, jakie pojawiłoby się w próbce przy ścinaniu względnym równym jedności [1]. 4
Inną wielkością charakteryzującą odkształcenia ciał stałych jest liczba Poissona ν p. Liczba Poissona jest wielkością bezwymiarową i określa ona w jaki sposób odkształca się badany materiał. Jeżeli w punkcie ciała wykonanego z materiału izotropowego wyróżnimy kierunek k i w tym punkcie działa tylko naprężenie σ m 0 oraz pozostałe składowe naprężenia są równe zero to liczbę Poissona można zdefiniowad następująco: p n k )5( ε odkształcenie; n dowolny kierunek prostopadły do kierunku k. Wielkośd tę można najprościej wyznaczyd poprzez pomiar zmian średnicy i długości tego samego pręta rozciąganego [1]: p d d l l )6( d - względne skrócenie średnicy pręta; d l - względne wydłużenie pręta. l Na rysunkach 3 i 4 przedstawiono jak zmieniają się kształty pręta oraz sześcianu wykonanych z materiału izotropowego podczas rozciągania w wybranym kierunku. Rysunek 3 Zmiana kształtu pręta wykonanego z materiału izotropowego w wyniku działania siły rozciągającej. 5
Rysunek 4 Sześcian o krawędziach długości l wykonany z izotropowego materiału, poddany naprężeniu w jednym kierunku. Czerwona kostka nie jest poddana naprężeniu, a niebieska jest rozciągnięta pod wpływem naprężenia, w kierunku, w którym działało naprężenie wydłużenie wyniosło ΔL', a w pozostałych kierunkach ΔL. Wartości modułu Younge a, modułu Kirchhoffa i liczby Poissona dla materiałów izotropowych wiąże następujące równanie: G E 1 p )7( Moduły sprężystości podłużnej E i poprzecznej G oraz liczba Poissona ν p stosowane są do charakterystyki właściwości mechanicznych stopów metali. Moduły sprężystości zależą od energii wiązania, mianowicie maleją one ze zmniejszeniem się energii wiązania. Podobnie zachowują się w przypadku zwiększenia temperatury z tym, ze w pobliżu temperatury topnienia zmniejszają się gwałtownie. Moduły sprężystości mogą byd wykorzystywane do oceny stopnia anizotropowości badanej próbki, ponieważ dla próbki wykazującej właściwości anizotropowe moduł sprężystości zależy od kierunku, w jakim je wyznaczamy []. Liniowy oscylator harmoniczny jest to inaczej punkt materialny o masie m wykonujący prostoliniowe drgania harmoniczne pod wpływem działania siły sprężystej F = - kx [1]. Równanie F = - kx jest specjalnym przypadkiem prawa Hooke a, który dotyczy ciał sprężystych, współczynnik proporcjonalności k w tym równaniu charakteryzuje sprężystośd i jest inaczej nazywana współczynnikiem sprężystości lub stałą sprężystości [4]. Przykładem liniowego oscylatora harmonicznego jest przedstawione na rysunku 5 wahadło sprężynowe, które składa się z ciała o masie m przyczepionego do sprężyny o stałej sprężystości k. Rysunek 5 przedstawia 3 różne wychylenia takiego wahadła tj. wychylenie maksymalne, minimalne oraz położenie w punkcie równowagi. 6
Rysunek 5 Różne wychylenia oscylatora sprężynowego Równanie ruchu oscylatora sprężynowego jest następujące: d x m dt kx d x dt k m x 0 )8( Rozwiązanie równania (8) jest następujące: x Asin( t ) 0 )9( Po podstawieniu rozwiązania (9) do równania (8) otrzymamy wzór na częstośd kołową drgao oscylatora sprężynowego: k m )11( Znając częstośd kołową drgao można zapisad wyrażenie na okres drgao, ponieważ: T m k )11( Wahadło matematyczne jest to punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici widoczny na rysunku 6, który wykonuje wahania w płaszczyźnie pionowej pod działaniem siły ciężkości równej: F mgsin )1( 7
Rysunek 6. Wahadło matematyczne Jak wynika z rysunku 6 Sinθ ~θ i jest równy w przybliżeniu x/l, więc można zapisad: F mg l x )13( Częstośd kołowa drgao wahadła matematycznego jest równa; k m mg l m g l )14( Okres drgao wahadła matematycznego wynosi: T l g )15( Przedstawione na rysunku 7 wahadło fizyczne jest bryłą sztywną wykonującą wahania pod wpływem własnej siły ciężkości mg względem nieruchomej osi poziomej O, która nie przebiega przez środek ciężkości ciała i oś ta nazywana jest osią drgao wahadła. Środek ciężkości wahadła pokrywa się z jego środkiem masy S. Punkt O przecięcia się osi wahao wahadła z pionową płaszczyzną przechodzącą przez środek ciężkości wahadła i prostopadłą do osi wahao nazywamy punktem zawieszenia wahadła [1]. 8
Rysunek 7. Wahadło fizyczne Równanie ruchu wahadła przy braku tarcia w zawieszeniu jest następujące: d J mgd sin dt )16( α kąt wychylenia wahadła z położenia równowagi, d = OS odległośd ośrodka masy wahadła od osi obrotu, J moment bezwładności względem tej osi, m - masa wahadła, g przyśpieszenie ziemskie. Dla małych wychyleo sinα ~ α i równanie (16) przyjmuje postad: d mgd 0 dt J )17( Rozwiązanie równania (17) jest następujące: sin( t ) 0 0 )18( Po podstawieniu rozwiązania (17) do równania (18) otrzymamy wzór na częstośd kołową drgao wahadła fizycznego: mgd J )19( Znając częstośd kołową drgao można zapisad wyrażenie na okres drgao, ponieważ: 9
T J mgd )1( Na rysunku 8 przedstawiono wahadło torsyjne jest to krążek lub inny element zawieszony (element pomaraoczowy) na sztywno zamocowanym drucie (element zielony). sztywne zamocowanie O R Θ m P Q Rysunek 8. Wahadło torsyjne W położeniu równowagi zaznaczono linię radialną przechodzącą przez punkt P. Jeżeli krążek obrócimy w płaszczyźnie poziomej do położenia Q, to drut zostanie skręcony. Wtedy na krążek działa moment siły skręconego drutu i stara się przywrócid krążek do położenia P. Moment ten jest momentem siły τ przywracającej równowagę. Jest on proporcjonalny do wielkości skręcenia, czyli do kątowego przemieszczenia θ (prawo Hooke a) [4]: D )1( Stała D zależy od właściwości materiału, z jakiego jest wykonany skręcany drut, wielkośd tą nazywamy stałą skręcenia lub momentem kierującym. Moment siły τ jest równy iloczynowi momentu bezwładności J oraz przyśpieszenia kątowego α: d d J J J dt dt )( 10
następująco: Porównując wzory (1) i () równanie ruchu dla wahadła torsyjnego można zapisad d D 0 dt J )3( Rozwiązanie równania (3) jest następujące: sin( t ) 0 0 )4( Po podstawieniu rozwiązania (4) do równania (3) otrzymamy wzór na częstośd kołową drgao wahadła torsyjnego: D J )5( Znając częstośd kołową drgao można zapisad wyrażenie na okres drgao, ponieważ: T J D )6( Moment kierujący drgao D zależy od modułu sztywności D, promienia r i długości L pręta skręcanego następująco: Gr D L 4 )7( 11
1. INSTRUKACJA WYKONANIA LABORATORIUM NR L 1. Przebieg doświadczenia 1.3 WYKONANIE SPRAWOZDANIA Sprawozdanie wykonujemy w formie papierowej pojedynczo. W sprawozdaniu należy zamieścid: tabelkę tytułową z tematem laboratorium i numerem itp., cel dwiczenia, wstęp teoretyczny, przebieg dwiczenia, odczytane dane w formie tabeli, niezbędne obliczenia i wykresy, wnioski. Termin oddania sprawozdania mija po tygodniach (14 dni) od daty laboratorium. Osoby oddające sprawozdania po tym terminie muszą liczyd się z konsekwencją obniżenia oceny. Sprawozdania wykonane nieprawidłowo będą zwracane do poprawy. Do zaliczenia dwiczenia wymagana jest obecnośd na nim, prawidłowo wykonane sprawozdanie oraz pozytywna ocena z kolokwium. Spis literatury [1]. B. M. Jaworski, A. A. Dietłaf, Fizyka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 004; []. J. Pakulski, N. Olszowska-Sobieraj, A. Rabczak, L. Staszczak, A. Stoszko, J. Styrkosz, Dwiczenia Laboratoryjne z metaloznawstwa stopów odlewniczych, Skrypt Uczelniany nr. 786, Kraków 1980. [3]. A. Kosowski, Metaloznawstwo i obróbka cieplna stopów odlewniczych, Wydawnictwo Naukowe Akapit, Kraków 003. [4]. R. Resnick, D. Halliday, Fizyka, PWN, Warszawa 001. 1
Konspekt opracowały: Dr inż. Ewa Olejnik Mgr inż. Gabriela Sikora e-mail: eolejnik@agh.edu.pl 13