R. Z. Moraws: Metody odtwarzana sygnałów pomarowych 5. NUMERYCZNE UWARUNKOWANIE ZADANIA ODWARZANIA SYGNAŁÓW POMIAROWYCH 5.. Zależnośc podstawowe Odtwarzane sygnału na podstawe cągu { ~ yn } jest równoważne rozwązanu równana 4-) na podstawe zaburzonych danych. Dane te w jednaowo warygodny sposób reprezentować mogą cały zbór sygnałów merzonych Y, zawerający rzeczywsty sygnał podlegający pomarow y. Rozwązanem równana 4-) w lasycznym sense będze węc ażdy sygnał $ ta, że G $ Y. Zbór wszystch tach sygnałów spełna zatem równość: G = Y. rudnośc [ ] [ ] numeryczne, na jae napotyamy rozwązując zadana odtwarzana wynają stąd, że równana całowe I rodzaju należą do zadań źle postawonych w sense Hadamarda [KRYLOV et al. '84 - Rozdz. ]: dla pewnych y mg G ) mogą w ogóle ne meć rozwązań, mogą meć rozwązana nejednoznaczne albo w sposób necągły zależne od y. Konsewencją pratyczną tej ostatnej możlwośc, najbardzej łopotlwą, jest duża wrażlwość wynów odtwarzana na błędy danych, ujawnająca sę nezależne od tego, tóry z model opsanych w rozdz. 4 zostane użyty jao podstawa metody odtwarzana. Właścwość tę nazywamy złym uwarunowanem numerycznym zadana odtwarzana. Oznacza ona, że nawet bardzo małym zborom w sense średncy zdefnowanej wzorem [KOŁODZIEJ '7 - str. ]: 5-) odpowadać mogą duże w tym samym sense) albo wręcz neogranczone zbory. Jeżel stneje operator odwrotny do G, to powszechne stosowanym wsaźnem uwarunowana zadana jest lczba: cond G ) = G G Przy jej użycu błąd odtwarzana oszacować można według następującego wzoru znanego z analzy funcjonalnej - por. np. [GAVURIN '7 -...]: $ cond G ) $ y 5-3) gdze $ 5-) są normam w przestrzen, y - normam w przestrzen Y, G G - normam nduowanym przez normy elementów przestrzen Y. Jeżel G ), to taże cond G, a w onsewencj ne sposób stworzyć żadnych gwarancj dla rozwązana $. Inżynersa nterpretacja trudnośc zwązanych z odtwarzanem opera sę na spostrzeżenu, że ze względu na fzyczną naturę modelowanych zwązów mędzy przyczynam a sutam operator G jest operatorem w ścsłym sense całującym. Operator odwrotny mus zatem zawerać w sobe operację różnczowana sygnału, tóra ja wadomo uwydatna wysooczęstotlwoścowe zaburzena. W przypadu równana całowego Volterry I rodzaju z jądrem K-rotne różnczowalnym względem perwszego argumentu tam, że: ) K ) g t, t = dla =,..., K oraz g t, t 5-4) ) ) zachodz zależność [FENYO & SOLLE '83-3...]: t K ) K) K) g t, t) ) t + g t, τ) τ) dτ = y t) Rozdzał 5. Numeryczne uwarunowana zadana odtwarzana sygnałów pomarowych Strona 5-5-5)
R. Z. Moraws: Metody odtwarzana sygnałów pomarowych Wyna z nej wnose, że zadane odtwarzana może być w tym wypadu zdeomponowane na dwa prostsze: K-rotne różnczowane danych pomarowych rozwązane równana całowego Volterry II rodzaju postac 5-5), przy czym tylo perwsze z nch jest zadanem źle postawonym w sense Hadamarda tym gorzej uwarunowanym numeryczne m węsza wartość K. Badane uwarunowana zadana odtwarzana można w tym wypadu oprzeć na wynach analzy uwarunowana różnczowana numerycznego; na tym polega fundamentalne znaczene tej analzy dla odtwarzana sygnałów pomarowych [GRAČEV & SALACHOV '85]. Ze wzoru 5-5) wyna ponadto wnose, że uwarunowane równana całowego Volterry I rodzaju zależy od właścwośc jego jądra oreślonej wzorem 5-4): jest tym gorsze m bardzej głade płase jest to jądro - por. [HUN '7a]. 5.. Przyłady złego uwarunowana zadana odtwarzana Przyład 5.. Sygnałow odtwarzanemu: ~ t = t+ εδ t t t, ε ) ) ) odpowada sygnał merzony: ~ yt ) = G ~ t ) = yt + εgtt, Przy założenu, że jądro [ ] ) ) ) gt,τ jest ogranczone w wadrace, wyna stąd wnose, ż dowolne małe zaburzene sygnału merzonego postac εg tt, ) może spowodować neogranczone L ) w sense normy zaburzene wynu odtwarzana [KRYLOV et. al. '84 - ] Przyład 5.. Sygnałow odtwarzanemu: t ~ ) = t ) + sn ωt) ω R + odpowada: ~ yt ) = yt ) +G [ sn ω t) ] przy czym: ) G [ sn ωt) ] g t, τ) cos ωt) = + g t, τ) cos ωτ) d ω τ ) Przy założenu, że jądro gt,τ jest ogranczone wraz z perwszą pochodną względem t, wyna stąd wnose, ż dowolne małe ω ) zaburzene sygnału merzonego powyższej postac mus prowadzć do błędu odtwarzana sn ωt ) [BIGGS '69, GLASKO '84b - str. 4]. Przyład 5.3. Nech λ =,,...,) będą wartoścam własnym symetrycznego dodatno oreślonego operatora całowego G, uporządowanym w ten sposób, że λ+ λ λ, gdy ), zaś v - funcjam własnym, odpowadającym tym wartoścom, tworzącym bazę ortonormalną w przestrzen L ). Sygnały y wyrazć wówczas można szeregam Fourera: przy czym v = v v y = yv v 5. = yv / λ. Zaburzenu sygnału y postac v - neogranczene malejącemu, gdy - odpowada w tym wypadu błąd odtwarzana λ v - rosnący neogranczene, gdy [KRYLOV et al. '84 - Rozdz. ] Przyład 5.4. Jeżel M>N, to uład lnowych równań algebracznych 4-5) może ne meć rozwązana. Jeżel M<N, to uład ten ma na pewno nesończene wele rozwązań. Jeżel M=N det G), to ma on doładne jedno rozwązane. Numeryczne wyznaczene tego rozwązana λ 5. Rozdzał 5. Numeryczne uwarunowana zadana odtwarzana sygnałów pomarowych Strona 5-
R. Z. Moraws: Metody odtwarzana sygnałów pomarowych staje sę jedna problemem, gdy det G), a tae właśne ułady powstają w wynu dysretyzacj równana całowego Fredholma I rodzaju [HUN '7a]. W [GLASKO '84b -.4.] podano przyład rozwązana uładu lnowych równań algebracznych aprosymującego równane całowe: τ ) ) [ ] π dτ = y t dla t, + t τ ) tórego rozwązane uzysane w 9-cyfrowej arytmetyce zmennoprzecnowej obarczone jest błędam dochodzącym do 7 % przy brau zaburzeń danych. W srajnym przypadu, gdy det G ) =, rozwązane jest całowce oreślone przypadowym rozładem błędów zaorągleń zmnejszene tych błędów w nczym ne poprawa sytuacj. Znaomtą lustracją tej tezy są przytoczone w [ICHONOV '8] rozwązana dwóch zależnych równań algebracznych, uzysane w arytmetyce -, - 5-cyfrowej, tóre ne wyazują tendencj do jaejolwe stablzacj, mmo zastosowana neosągalnej w codzennej pratyce długośc mantysy. Przyład 5.5. ransformata błędu odtwarzana opartego na modelu 4-) ma postać: $ = H / G, gdze H jest transformatą zaburzena. Oznacza to, że przy stałym wdme H wartoścom pulsacj, dla tórych G, będą odpowadały neogranczene duże sładowe błędu odtwarzana. Inaczej mówąc: wartoścom pulsacj, dla tórych G, będą odpowadały sładowe wdma, tóre ne są reprezentowane w wdme Y. Jeżel sładowe te ne stanową redundancj, to ne mogą być odtworzone. W przecwnym wypadu mogą być odtworzone tylo metodą estrapolacj. Poneważ G na ogół dla najmnejszych najwęszych pulsacj, zwyłe obcęce wdma odtworzonego sygnału rzado wchodz w rachubę. W przypadu sygnałów typu spetrometrycznego oznaczałoby ono bowem pogorszene rozdzelczośc zamast jej poprawy. Z zasady neoznaczonośc wsza wyna, że pasmo odtwarzana mus być tym szersze m węższe mają być odtwarzane "p" [HOWARD '97 -.III.D] Do analogcznych wnosów prowadz analza probablstyczna. Przy założenu, że jest procesem bałym o warancj σ σ, warancja błędu odtwarzana jest neogranczona: /G, jeżel charaterysty częstotlwoścowe G zanają do zera za wzrostem pulsacj.. Przyład 5.6. Zaburzając yt ) sygnałem sn t) / 5, tórego norma w L maleje do zera ze wzrostem, spowodujemy błąd różnczowana postac 5. cos t ), tórego norma w L ) oddala sę neogranczene od gdy [KRYLOV et al. '84 - Rozdz. ]. Dalsze lustracje złego uwarunowana zadana odtwarzana sygnałów pomarowych można znależć w [EKSROM '73, DENISOV '8, SARKAR et al. '8, JANSSON '97-3.III.B, RIAD '86]. 5.3. Regularyzacja zadana odtwarzana Z przytoczonych przyładów jasno wyna, że rozwązane równana 4-) uzysane na podstawe zaburzonych danych ne jest w ogólnośc dobrym rozwązanem zadana odtwarzana; może sę bowem dowolne różnć od sygnału odtwarzanego. Wyna stąd postulat nnego rozumena rozwązana zadana odtwarzana: zgody na to, że ne mus ono spełnać doładne równana g = ~ y, ale za to możlwe najlepej przyblżać odtwarzany sygnał. Chodz węc o to, aby o wyborze rozwązana ze zboru ne decydował szum pomarowy lecz pewen mechanzm wyrażający nasze wyobrażene o dobrym odtwarzanu. Funcję taego mechanzmu mogą spełnć wszelego rodzaju ogranczena zboru wydeduowane z nformacj aprorycznej o,, a węc w dużej merze zależne od specyf problemu fzyo-chemcznego czy techncznego, tóry został sformułowany jao zadane odtwarzana. A oto przyłady ogranczeń tego typu, najczęścej wyorzystywanych w pratyce odtwarzana: Rozdzał 5. Numeryczne uwarunowana zadana odtwarzana sygnałów pomarowych Strona 5-3 )
R. Z. Moraws: Metody odtwarzana sygnałów pomarowych { ) t dla t } { MIN ) t MA dla t } = = ) { ) t dt MA } { ) t dla t } { jω ) dla ω [ Ω, Ω ] } { jω ) dla ω } = = = = R = > R 3 4 5 6 3 4 5 6 = { ~ y g p y} = { ~ y g) o } = { ~ yn g Kσ dla n=, K, N -} { F [ ~ y g ] KHσ dla n=, K, N -} = = { ~ y g ) Σ ~ y g ) δτ} ~ y g ) W ~ y g ) δ = { n R} = W defncjach powyższych zborów, oprócz oznaczeń wprowadzonych w rozdz. 4, użyto następujących symbol: = [ K ] - nośn sygnału ; Ω - pulsacja granczna wdma sygnału ; ) MIN, MA, y,, K, KH, δ r. R - zadane parametry salarne; σ - preestymata warancj wetora zaburzeń ; Σ - preestymata macerzy owarancj wetora zaburzeń ; W n = ep jπ n ) / N)., Górne ndesy odróżnają zbory wynające z ogranczena lasy odtwarzanych sygnałów od zborów wyznaczonych przez właścwośc zaburzeń. O le defncje zborów należących do perwszej grupy są w pełn czytelne bez omentarzy, o tyle druga grupa wymaga pewnych wyjaśneń. - to najczęścej stosowane ogranczene funcjonału nedopasowana, tóre w przypadu zaburzeń losowych przyjmuje postać: ~ y g σ. wyraża wymagane sprowadzena średnej arytmetycznej wetora nedopasowana ponżej zadanego pozomu. umożlwa ogranczene wpływu błędów grubych nadmernych) pomaru y na wyn odtwarzana. 4 służy ogranczenu nedopasowana w dzedzne wdmowej, 5 - ogranczenu unormowanej warancj nedopasowana pewne uogólnene dla p=), zaś - ogranczenu nedopasowana 6 3 Rozdzał 5. Numeryczne uwarunowana zadana odtwarzana sygnałów pomarowych Strona 5-4
R. Z. Moraws: Metody odtwarzana sygnałów pomarowych wdmowych gęstośc mocy. Ogranczena taże od nformacj o operatorze G. zależą ne tylo od nformacj aprorycznej o, ale W przypadu jednoczesnego zastosowana lu ogranczeń zbór możlwych rozwązań zadana odtwarzana ulega zawężenu do: =...... l l Poneważ, węc sze ) sze ). Jeżel ma mejsce ostra nerówność, to następuje poprawa uwarunowana zadana odtwarzana; w szczególnośc, jeżel ma ona mejsce, gdy ) =, to mówmy o regularyzacj zadana. W ogólnośc regularyzacją zadana źle postawonego w sense Hadamarda nazywamy aprosymację tego zadana zadanem postawonym poprawne możlwe dobrze uwarunowanym numeryczne. Regularyzacja zadana odtwarzana umożlwa węc wyrażene jego rozwazana w postac $ = F ~ y lub $ = F ~ y [ ] [ ] α α α α gdze F α jest operatorem ogranczonym cągłym w, neoneczne lnowym, zwanym regularyzatorem zadana odtwarzana albo po prostu operatorem odtwarzana. Operatorow F α stawamy wymagane, aby dawał rozwązana $ α tym blższe m mnejszy pozom zaburzeń danych. Stąd ndes α, zwany uogólnonym) parametrem regularyzacj, zależny od parametrów występujących w defncjach przyładowych ogranczeń. Wymagamy węc, aby $ α gdy y,, σ, δr lub R. Zależność α od tych paramatrów jest przy tym na ogół ta onstruowana, że jednocześne α. Najczęścej przedmotem analz teoretycznych są regularyzatory z parametrem salarnym α > - por. np. [ENGL '8, MARČUK '83-7.., KRYLOV et al. '84-7..]. 5.4. Sposoby regularyzacj a lasyfacja metod odtwarzana Przedstawona "flozofa" regularyzacj jest próbą jednoltego ujęca nezwyle zróżncowanych sposobów przezwycężana trudnośc numerycznych właścwych odtwarzanu; sposobów tóre zostały opracowane w różnych dzedznach zastosowań odtwarzana, przy użycu bardzo zróżncowanych narzędz teoretycznych nżynersch heurysty. Celem naszym jest poazane, że pozwala ona w sposób zadowalający z pratycznego puntu wdzena wyjaśnć mechanzm regularyzacj leżący u podstaw znanych metod odtwarzana oraz w sposób metodyczny generować nowe metody. Analze stnejących metod pośwęcony jest rozdzał 6, natomast możlwość tworzena nowych wyna natychmast z przedstawonych ponżej sposobów formowana zboru. Z puntu wdzena sutecznośc regularyzacj, najbardzej pożądane są ogranczena wyrażone zboram zwartym, a węc ogranczonym domnętym [KUDREWICZ '76-3..]. Zgodne bowem z twerdzenem A. N. chonova: jeżel G jest cągły na zborze zwartym odwracalny na zborze Y = G [ ], to operator odwrotny G jest cągły na Y [GLASKO '84b - II..., KRYLOV et al. '84-7..]. Neoneczne przy tym wymagamy, żeby rozwązane doładne należało do zboru. Wystarczy założyć, że zbór jest gęsty w pewnym zborze, do tórego należy, a będze możlwa dowolne doładna aprosymacja za pomocą $ α. Ogranczena wynające z nformacj aprorycznej o ne zawsze prowadzą do zboru zwartego ; ne są w szczególnośc zboram zwartym najczęścej wyorzystywane w pratyce. Dlatego ważnejszą pratyczne lasę pożądanych ogranczeń stanową te, tóre mogą Y Rozdzał 5. Numeryczne uwarunowana zadana odtwarzana sygnałów pomarowych Strona 5-5
R. Z. Moraws: Metody odtwarzana sygnałów pomarowych być wyrażone zboram wypułym. Znaczene ch wyna z następującego twerdzena: jeżel zbory, =,..., K, są domnęte wypułe, to algorytm teracyjny: + = DoDo... odk[ ] 5-6) jest zbeżny do pewnego... K [RUSSEL & CIVANLAR '84], przy czym operatory rzutowana D zdefnowane są zależnoścą: D [ ] = { } arg nf 5-7) werdzene powyższe dostarcza uzasadnena do nezależnego rozpatrywana ogranczeń wypułych, co jest bardzo wygodne ne tylo ze względów algorytmcznych ale teoretycznych; do tej lasy należą w szczególnośc wszyste zbory, wymenone w 5.3. [bd., LEAHY & GOUIS '86]. werdzene to umożlwa w onsewencj lasyfację metod odtwarzana według elementarnych mechanzmów regularyzacj, czyl formowana ogranczeń. Wyróżnamy w zwązu z tym: metody bezpośredne, w tórych jedynym czynnem regularyzującym są ogranczena zboru rozwązań wynające z dysretyzacj zadana odtwarzana; metody waracyjne, w tórych czynnem zawężena zboru dopuszczalnych rozwązań jest estremalzacja pewnego wsaźna jaośc odtwarzana; metody probablstyczne, w tórych zbory dopuszczalnych rozwązań ształtowane są w sposób "mę" poprzez rozłady prawdopodobeństwa wystąpena oreślonych realzacj sygnału odtwarzanego lub zaburzeń; metody parametryczne, w tórych zawężene zboru dopuszczalnych rozwązań następuje poprzez parametryzację rozwązana; metody transformacyjne, w tórych w wynu odpowedno dobranej transformacj sygnałów operatora G następują tae zmany "topolog" zboru dopuszczalnych rozwązań, tóre ułatwają formowane ogranczeń. Szczegółowemu omówenu powyższych metod odtwarzana pośwęcony jest rozdzał 6. u ogranczymy sę do analzy problemu optymalzacj parametru regularyzacj α. Rozważmy w tym celu normę błędu wynu odtwarzana odpowadającego parametrow a [ENGL '8, MARČUK '84-7.]: $ = F ~ y = F ~ y F y + F y [ ] [ ] [ ] [ ] F [ ~ y ] F [ y ] + F G [ ] α α α α α α α o 5-8) Perwszy sładn prawej strony powyższego oszacowana reprezentuje sładową błędu odtwarzana spowodowaną zaburzenem danych, tóra maleje w sense normy ze wzrostem parametru α, poneważ regularyzacja ulega pogłębenu. Drug sładn natomast reprezentuje sładową błędu wnesoną przez regularyzację, tóra rośne ze wzrostem parametru α. Wyna stąd stnene taej wartośc $ α, dla tórej prawa strona nerównośc 5-8) osąga mnmum. Wartość tę nazywamy quas-optymalną stosujemy w pratyce jao zadowalającą aprosymację wartośc optymalnej mnmalzującej $α W przypadu, gdy F α jest operatorem lnowym oszacowanu 5-8) można nadać a postać: $α F α y + F α og [ ] 5-9) Jeżel ponadto =, to quas-optymalna wartość $ ) tym najszybszą możlwą zbeżność prawej strony 5-9) do zera. 5.5. Inne aspety nepoprawnego sformułowana zadana odtwarzana α y, gdy y, zapewnając przy Rozdzał 5. Numeryczne uwarunowana zadana odtwarzana sygnałów pomarowych Strona 5-6
R. Z. Moraws: Metody odtwarzana sygnałów pomarowych Dotychczasowe rozważana oncentrowały sę woół problemów oblczenowych wynających z nedoładnośc danych pomarowych. Inną trudność stwarza stnene przestrzen zerowej operatora G: z = { G [ ] =, } 5-) zawerającej sygnały, tóre ne mogą być odtworzone nawet na podstawe najdoładnejszych najpełnejszych danych pomarowych. Istnene z jest z naturalną onsewencją realstycznych założeń odnośne do modelu zależnośc mędzy sygnałam y: poneważ tor pomarowy ne jest dealnym anałem nformacyjnym, trzeba zawsze lczyć sę z możlwoścą utraty pewnej lośc nformacj pomarowej podczas przetwarzana. Rozważmy bardzo ważny pratyczne przypade modelu różnczowego 4-), tóremu odpowada wymerna transmtancja Gs)=Ns)/Ds). Nejednoznaczność odtwarzana jest w tym wypadu zwązana z stnenem nepustej podprzestrzen z zawerającej sygnały, tórych transformaty są funcjam wymernym postac Ps)/Ns), gdze Ps) - dowolny weloman stopna LP=LN- [MORAWSKI '87b - tom, Dod. A]. Możlwe są dwa sposoby ujednoznacznena wynu odtwarzana: zadane LN warunów umożlwających wyznaczene współczynnów welomanu Ps), oreślającego neodtwarzalną sładową rozwązana, np. wartośc początowych sygnału odtwarzanego jego pochodnych: ) ) LN t, t ),..., ) t ) ogranczene zboru dopuszczalnych rozwązań do sygnałów, tóre ne zawerają sładowych należących do. z o druge rozwązane jest równoważne fltracj wydzelającej z sygnału odtwarzanego sładową L { Ps ) / Ns )}. Ja poazano w [MORAWSKI '87a, MORAWSKI '87b - tom ] jest to zadane źle uwarunowane numeryczne ne można spodzewać sę zadowalających rezultatów, jeżel lasa sygnałów odtwarzanych ne zostane drastyczne zawężona. rudno to wymagane zastosować do realnych sygnałów, tóre z jednaową doładnoścą mogą być modelowane za pomocą różnych strutur matematycznych. Z tego względu pratyczne zalecanym rozwązanem problemu pozostaje przyjęce standardowych warunów początowych: zerowych ) t) = dla =,,..., LN sopowanych z wyjśca ) t ) ) = y t) dla =,,..., LN. Wynający stąd błąd odtwarzana ma charater przejścowy: po upływe czasu zblżonego do 3-5 najwęszych stałych czasowych odpowadających Ns) może być zgnorowany. Szczegółową analzę tego problemu zawerają prace [ICHONOV '67, MORAWSKI '87a, MORAWSKI '87b - tom ]. ; Rozdzał 5. Numeryczne uwarunowana zadana odtwarzana sygnałów pomarowych Strona 5-7