napisał Michał Wierzbicki Wyznaczanie parametrów linii długiej za pomocą metody elementów skończonych Rozważmy tak zwaną linię Lechera, czyli układ dwóch równoległych, nieskończonych przewodników, o przekroju kołowym o promieniu R, których osie są odległe od siebie o d. Parametry tej linii długiej czyli pojemność oraz indukcyjność na jednostkę długości wyznaczymy za pomocą metody elementów skończonych (ang. Finite Element Method). Wykorzystamy do tego celu darmowy program FEMM (Finite Element Method Magnetics). Przekrój poprzeczny linii można narysować bezpośrednio w tym programie. Bardziej profesjonalne podejście to narysować przekrój w programie CAD (na przykład darmowy QCAD) i zapisać go w postaci pliku DXF. Pojemność linii Lechera Pojemność linii Lechera odniesioną do jednostki długości linii (Farad/metr), można wyznaczyć na dwa sposoby: 1) korzystając ze wzoru na energię zgromadzoną w kondensatorze W = 1 2 CU2 gdzie U jest różnicą potencjałów między przewodami. Energię zgromadzoną w polu elektrycznym obliczamy całkując po przekroju poprzecznym linii gęstość energii pola: 1
W = S ɛ 0 E 2 ds 2 [dżul/metr] Pole elektryczne jest równe gradientowi potencjału elektrostatycznego: E = grad ϕ. W przypadku dwywymiarowego przekroju w płaszczyźnie x, y: E 2 = ( ) 2 ϕ + x ( ) 2 ϕ y Potencjał elektrostatyczny ϕ otrzymujemy rozwiązując równanie Laplace a metodą elementów skończonych, przy zadanych wartościach potencjału na powierzchniach obu przewodników. Drugi sposób polega na skorzystaniu z definicji pojemności: C = Q U gdzie ładunek Q zgromadzony na powierzchni przewodnika obliczamy całkując gęstość ładunku powierzchniowego σ = ɛ 0 E po obwodzie przekroju przewodnika: Q = σ dl [kulomb/metr] L gdzie E jest wartością natężenia pola elektrycznego na powierzchni przewodnika. W programie FEMM tworzymy nowe obliczenie: File New Electrostatics Problem i wczytujemy rysunek linii File Import DXF. Na rysunku dodałem duży okrąg pełniący rolę warunków brzegowych (uziemienie). 2
Ustalamy rodzaj obliczeń: Planar na dwuwymiarowym przekroju i jednostkę długości milimetr. Obszar między przewodnikami wypełniony jest powietrzem. Tworzymy trzy warunki brzegowe Dirichleta : 1) uziemienie ϕ = 0 V, 2) potencjał dodatni ϕ = 100 V i 3) potencjał ujemny ϕ = 100 V. Przypisujemy odpowiednie wartości potencjałów przewodnikom. 3
Tworzymy siatkę obliczeniową dla metody elementów skończonych. Wewnątrz przewodników siatki nie ma, bo wewnątrz idealnego przewodnika ϕ = const. Rozwiązujemy równanie Laplace a. Jako ilustrację rozwiązania można narysować linie ekwipotencjalne i zaznaczyć kolorem wartość natężenia pola elektrycznego. 4
Zaznaczamy obszar pomiędzy przewodnikami i odczytujemy wartość energii zgromadzonej w polu elektrycznym. Wartość energii wynosi: W = 3,52901 10 10 dżuli. Różnica potencjałów U = 200 V, stąd pojemność: C = 2W U 2 = 1,76451 10 14 Musimy uwzględnić, że jednostką długości jest 1 mm = 10 3 metra. Stąd C = 17,6 pikofarad/metr Możemy także określić ładunki zgromadzone na przewodnikach: 5
Na obu przewodach jest ten sam co do wartości bezwględnej ładunek Q = 3,529 10 12 kulombów. Na uziemieniu ładunek jest o 5 rzędów wielkości mniejszy. Stąd pojemność linii wynosi: C = Q U = 1,7645 10 14 Co w przeliczeniu na jednostkę długości linii daje praktycznie tę samą wartość C = 17,6 pf/m co metoda energetyczna. Wzór teoretyczny na pojemność linii Lechera, liczoną na jednostkę długości linii, wynosi: C = πɛ 0 ln(d/r) W układzie SI wartości πɛ 0 odpowiada 27, 8 pf/m. W naszym przypadku d/r = 24 mm/4 mm = 6, stąd teoretyczna pojemność linii wynosi C = 15,5 pf/m. Indukcyjność linii Lechera Indukcyjność linii Lechera najprościej otrzymac z definicji Φ = L I gdzie Φ jest strumieniem pola magnetycznego między przewodami. Indukcyjność można także określić metodą energetyczną, obliczając energię pola magnetycznego w przekroju poprzecznym linii: W = S B 2 2µ 0 ds (1) 6
Energia ta jest równa W = LI2 2 gdzie I jest prądem elektrycznym płynącym w linii. Wektor indukcji pola magnetycznego B jest równy rotacji potencjału wektorowego A. Energię pola magnetycznego można także obliczyć całkując bezpośrednio sam potencjał wektorowy: W = 1 A j ds 2 gdzie j jest gęstością prądu, przy czym całować można tylko po tych przekrojach przez które płynie prąd. Potencjał wektorowy spełnia równanie: S A = µ 0 j Równanie to w programie FEMM rozwiązywane jest metodą elementów skończonych. Tworzymy nowe obliczenie w programie FEMM: File New Magnetostatics Problem i wczytujemy rysunek linii File Import DXF. W przypadku problemu z magnetostatyki najwygodniej zadać tak zwane absorbujące warunki brzegowe, które symulują nieskończoną przestrzeń wokół przewodów. Program FEMM generuje takie warunki automatycznie. Tworzymy nowy obwód z prądem o natężeniu 1 ampera. 7
Jeżeli chcemy uzględnić indukcyjność wewnętrzną przewodów to deklarujemy rodzaj materiału z którego są wykonane. Włączamy oba przewody do obwodu z prądem, pamiętając że w magnetostatyce linie prądu są zamknięte. Formalnie w programie FEMM przewody traktowane są jako cewki o liczbie zwojów +1 i -1. Prąd o natężeniu 1 ampera zostanie rozłożony przez program FEMM ze stałą gęstością w przekrojach poprzecznych przewodów. Dla przewodu o promieniu r = 4 mm gęstość prądu wynosi: j = I = 19,9 ka/m2 πr2 Generujemy siatkę obliczeniową: 8
i wykonujemy obliczenia. Możemy przekonać się, że rzeczywiście prąd płynie ze stałą gęstością przez przekrój poprzeczny przewodów: Linie sił pola magnetycznego wokół przewodów są okręgami. Należy ręcznie wybrać zakres wartości pola ilustrowanego kolorami, gdyż największa wartość pola występuje dla warunków brzegowych, które nie mają sensu fizycznego. 9
W celu obliczenia energii pola magnetycznego zaznaczamy cały rozpatrywany obszar. Wartość energii pola wynosi W = 4,07246 10 10 dżuli. Stąd indukcyjność linii Lechera wynosi: L = 2W I 2 = 8,14492 10 10 Uzględniając, że jednostką długości przewodu jest milimetr otrzymujemy L = 0,8145 mikrohenrów/metr Indukcyjność można także bezpośrednio odczytać jako wielkość Φ/I (flux/current) dla rozpatrywanego obwodu z prądem: 10
Także wzór całkowy z potencjałem wektorowym daje tą samą wartość indukcyjności, przy czym do całkowania można wybrać tylko przekroje przewodników: Teoretyczny wzór na indukcyjność linii Lechera jest następujący: L = µ 0 π ln(d/r) W układzie SI wielkości µ 0 /π odpowiada wartość 0,4 µh/m. Stąd L teor = 0,72 µh/m. Wzór ten nie uwzględnia indukcyjności wewnętrznej dwóch przewodów równej L wew = 2 µ 0 /(8π) = 0,1 µh/m. 11