A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XXXIX NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZTYT 389 TORUŃ 2009 Unwersytet Mkołaja Kopernka w Torunu Katedra Ekonometr Statystyk Elżbeta Szulc MODELOWANIE DYNAMICZNYCH PROCESÓW PRZESTRZENNYCH Z a r y s t r e ś c. Artykuł przedstawa ekonometryczną analzę procesu przestrzennoczasowego na przykładze PKB w wybranych krajach europejskch. Przedmotem rozważań są przestrzenne przestrzenno-czasowe trendy oraz autozależnośc charakteryzujące składnkową strukturę badanego procesu. Składnk te są podstawą do specyfkacj dynamcznych model przestrzennych. Zaproponowane w artykule specyfkacje dynamcznych model przestrzennych poddaje sę emprycznej weryfkacj. S ł o w a k l u c z o w e: trend przestrzenno-czasowy, autokorelacja, model przesunęć przestrzennych, dynamczny model przestrzenny. 1. WPROWADZENIE Przedmotem rozważań nnejszego opracowana jest ekonometryczne modelowane dynamcznych procesów przestrzennych. Jest to kolejny artykuł z cyklu analz ekonomcznych procesów przestrzennych przestrzennoczasowych, który przedstawa metodologę ekonometrycznego modelowana struktury tych procesów (patrz także Szulc, 2008, 2009). Ilustracją empryczną przeprowadzonych rozważań jest, podobne jak w poprzednch artykułach, kształtowane sę PKB per capta w wybranych krajach europejskch. Są to: Austra, Nemcy, Czechy, Polska, Słowacja oraz Węgry. Dane dotyczą regonów ustalonych według europejskej klasyfkacj systemu NUTS pochodzą z bazy EUROSTATU. W pracy Szulc (2008) analzowano PKB per capta na wyodrębnonym obszarze w 2004 r. Badano strukturę składnkową pojedynczego procesu prze- Z s, obserwowanego na płaszczyźne w przestrzennych lokalza- strzennego ( ) cjach s = [ x, y ], gdze = 1, 2,..., 84. W pracy Szulc (2009) do przeprowa-
64 ELŻBIETA SZULC dzonej wcześnej analzy dołączono aspekt czasowy, tj. rozważano zmany PKB per capta na wyodrębnonym obszarze w latach 2000 2006. Badano składnkową strukturę procesu przestrzennego w kolejnych latach, tj. Z t ( s ), s = [ x, y ], = 1, 2,..., 84, t = 1, 2,..., 7, przyjmując w ten sposób warunkowe względem czasu podejśce do analzy procesu przestrzennoczasowego. Wnosk dotyczące łącznej struktury przestrzenno-czasowej, prowadzące do odpowednego modelu emprycznego, wycągnęto wówczas jedyne w odnesenu do tzw. trendu przestrzenno-czasowego. Ponadto zaproponowano pewną ogranczoną specyfkację dynamcznego modelu przestrzennego. Nnejszy artykuł łączy wspomnane podejśca prezentując bardzej rozwnęte modele, opsujące składnkową strukturę procesu przestrzenno-czasowego Z( s,t), gdze s = [ x, y ], = 1, 2,..., 84, t = 1, 2,..., 7. Nadal obowązują następujące założena (por. Szulc, 2009): 1. Ekonomczne procesy przestrzenne wykazują trendy przestrzenne /lub przestrzenno-czasowe, które utożsama sę ze zmenającą sę w przestrzen /lub w czase wartoścą średną procesu. 2. Zazwyczaj wykazują one także autozależnośc, które w strukturze procesu tworzą składnk autoregresyjny. 3. Składnk autoregresyjny tworzy jednorodny/stacjonarny proces przestrzenny lub/ przestrzenno-czasowy. Oznacza to, że przyjmuje sę podstawową strukturę składnkową procesu przestrzenno-czasowego, którą symbolczne można zapsać w następującej postac ogólnej: Z gdze: ( ) ( s, t) P( s, t) + A( W, u) Z( s, t) + ε ( s t) =, (1), P s,t trend przestrzenno-czasowy, zazwyczaj wyrażany w postac trójwymarowej funkcj welomanowej; ( ) A W,u sumacyjny przestrzenno-czasowy operator przesunęć, zdefnowany w tak sposób, że W (macerz powązań przestrzennych) powoduje przesunęca zmennej w przestrzen, natomast u (operator przesunęć wstecz) powoduje przesunęca w czase; ε ( s,t) przestrzenno-czasowy proces bałego szumu. 2. WNIOSKI Z POPRZEDNICH BADAŃ W zakrese badana trendów przestrzennych stwerdzono, ż trendy take występują we wszystkch latach badanego okresu. We wszystkch przypadkach dopasowano modele stopna 1. Wykres 1. przedstawa teoretyczne powerzchne trendu. Nemal równoległe położene tych powerzchn pokazuje, że trendy
Modelowane dynamcznych procesów przestrzennych 65 przestrzenne PKB per capta na badanym obszarze w zasadze ne zmenają sę co do kształtu w kolejnych latach. Powerzchne odpowadające kolejnym okresom są położone coraz wyżej względem os wartośc PKB, co oznacza, że wartość średna PKB per capta w regonach rośne w czase. Wykres 1. Powerzchne wartośc wyrównanych PKB per capta według trendu przestrzennego w latach 2000 2006 Źródło: opracowane własne. Wnosek 1. PKB per capta w rozważanym układze przestrzennym w badanym okrese kształtuje sę według przestrzenno-czasowego trendu stopna 1. Empryczny model przestrzenno-czasowego trendu PKB per capta przedstawa równane (2) PKB ˆ, t = 14367,2 0,017656 x 0,009296 y + 748, 582t, (2) ( 509,882) ( 0,000707) ( 0,001012) ( 113,242) R 2 = 0,55038. W zakrese badana autokorelacj przestrzennej rzędu perwszego 1 dla reszt z dopasowanych wcześnej model trendu, stwerdzono nezbyt wysoką ale statystyczne stotną autokorelację dodatną we wszystkch latach. Wnosek 2. Wartośc PKB per capta w regonach sąsedzkch są do sebe podobne. W kolejnych latach wartośc statystyk Morana zmnejszały sę 2. 1 Oblczono wartośc statystyk Morana oraz ocenono ch stotność. Wynk zaprezentowano w pracy Szulc (2009). 2 Patrz przyps 1.
66 ELŻBIETA SZULC Wnosek 3. Podobeństwo PKB per capta w regonach sąsedzkch maleje w czase. Badając zakres przestrzenny autokorelacj 3 stwerdzono (w zależnośc od zastosowanej metody) stotność współczynnków perwszego oraz pątego rzędu, lub też rzędu perwszego, trzecego, czwartego, a nawet pątego. Wartośc odpowednch współczynnków można przedstawć na wykrese. Na przykład, wykres 2. prezentuje przestrzenne korelogramy szóstego rzędu dla PKB per capta w 2006 r. (korelogramy dla pozostałych lat przedstawono na zborczym wykrese 3.). (a) (b) -0.15-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20-1.0-0.5 0.0 0.5 1.0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Wykres 2. Przestrzenne korelogramy szóstego rzędu dla PKB w 2006 r.: (a) współczynnk Morana, (b) klasyczne współczynnk korelacj. Źródło: opracowane własne. Wnosek 4. Autokorelacja przestrzenna PKB per capta na badanym obszarze może dotyczyć ne tylko tzw. najblższych sąsadów. 3 Do badana wykorzystano dwe metody. Perwsza polegała na oblczenu ocene stotnośc odpowednch statystyk Morana, przy założenu sąsedztwa różnych rzędów, druga zaś polegała na wykorzystanu klasycznego współczynnka korelacj, oblczanego dla każdego ustalonego przesunęca przestrzennego. Wartośc oceny stotnośc odpowednch współczynnków przedstawono w pracy Szulc (2009).
Modelowane dynamcznych procesów przestrzennych 67 1.a. 1.b. 2.a. 2.b. -0.1 0.1 0.3-0.1 0.1 3.a. 3.b. 4.a. 4.b. -0.1 0.1-0.1 0.1 5.a. 5.b. 6.a. 6.b. -0.1 0.1-0.15 0.05 0.20 Wykres 2. Przestrzenne korelogramy szóstego rzędu dla PKB w latach 2000 2005. *Kolejne pary wykresów dotyczą kolejnego jednego roku. Źródło: opracowane własne. Ze względu na nejednoznaczność wynków co do autokorelacj przestrzennej wyższych rzędów, uzyskanych za pomocą różnych metod, za najbardzej prawdopodobną uznano autokorelację perwszego rzędu. Wnosek 5. Proponuje sę następującą postać przestrzennego modelu ekonometrycznego PKB per capta: ( PKB ) ε PKB = θ + θ x + θ y + ρw + taką samą dla każdego roku badanego okresu. 00 10 01, (3)
68 ELŻBIETA SZULC 3. MODELOWANIE TRENDOWO-AUTOREGRESYJNEJ STRUKTURY PRZESTRZENNO-CZASOWEGO PROCESU PKB Przeprowadzone badana prowadzą do rozważena następujących model przestrzenno-czasowych. Model z trendem przestrzenno-czasowym przestrzenną autoregresją Przeprowadzene oddzelnych analz przestrzennych dla każdego punktu w czase oraz porównane uzyskanych wynków, skłonło do sformułowana wnosku ogólnego, odnoszącego sę do łącznej przestrzenno-czasowej struktury badanego procesu, w postac następującego modelu teoretycznego: ( PKB, t ) t PKB, t θ 000 + θ100 x + θ 010 y + θ 001t + ρ + ε, = W, (4) Wynk szacowana parametrów weryfkacj modelu (4) przedstawa tabela 1. Tabela 1. Zestawene wynków estymacj weryfkacj modelu (4) Parametry Szacunk Błędy standardowe Statystyk z Pr (> z ) parametrów θ000 θ100 8584,5-0,010805 875,05 0,001068 9,8104-10,1139 00 00 θ010-0,005248 0,001021-5,1403 03 447,98 112,72 3,9742 0,0000710 θ001 ρ = 0,41449 test LR: 49,408, p-value: 0 Statystyka Walda: 70,115, p-value: 0 AIC: 11754 (AIC dla lm: 11801) Autokorelacja reszt Test LM: 0,0032316, p-value: 0,95467 Źródło: oblczena własne. Model z trendem przestrzenno-czasowym przesunęcam przestrzennym charakteryzuje sę stotnym parametram, reszty ne wykazują autokorelacj jest on lepszy od modelu uwzględnającego jedyne trend. Model z trendem przestrzenno-czasowym oraz przestrzenną, a także czasową autoregresją Istnene bardzo slnej autokorelacj czasowej PKB per capta (współczynnk autokorelacj czasowej rzędu perwszego dla reszt modelu z trendem przestrzenno-czasowym stopna 1. równa sę 0,9951) uzasadna włączene do modelu opsującego strukturę PKB składnka PKB,t-1. Zatem kolejna specyfkacja modelu jest następująca: ( PKB, t ) t PKB, t θ 000 + θ100 x + θ 010 y + θ 001t + αpkb, t 1 + ρ + ε, = W. (5) Wynk szacowana parametrów oraz weryfkacj modelu (5) przedstawa tabela 2.
Modelowane dynamcznych procesów przestrzennych 69 Tabela 2. Zestawene wynków estymacj weryfkacj modelu (5) Parametry Szacunk Błędy standardowe Statystyk z Pr (> z ) parametrów θ000 161,68 121,88 1,3265 0,18467 θ100-0,00021899 0,00014506-1,5097 0,13111 θ010-0,00030464 0,00012093-2,5191 0,01176 125,35 13,627 9,1985 θ001 α 1,0420 0,0042246 246,6556 ρ = -0,034921 test LR: 17,139, p-value: 0 Statystyka Walda: 17,519, p-value: 0 AIC: 7643,4 Autokorelacja reszt Test LM: 49,851, p-value: 0 Źródło: oblczena własne. Pommo poprawy ogólnego stopna dopasowana modelu, ne można uznać go za ostateczny, poneważ w resztach pojawła sę autokorelacja. Model z trendem przestrzenno-czasowym, przestrzenną, czasową oraz przestrzenno-czasową autoregresją Podobne jak współczynnk autokorelacj przestrzennej oraz czasowej, współczynnk autokorelacj przestrzenno-czasowej perwszego rzędu okazał sę stotny. Jego wartość wynosła 0,1636. Dlatego następny model przestrzennoczasowej struktury PKB uwzględna dodatkowo składnk W(PKB,t-1 ). Przyjmuje on następującą postać: PKB, t = θ 000 + θ100 x + θ 010 y + θ 001t + αpkb, t 1 (6) + ρw( PKB, t ) + γw( PKB, t 1 ) + ε, t. Wynk szacowana parametrów weryfkacj modelu (6) przedstawa tabela 3. Tabela 3. Zestawene wynków estymacj weryfkacj modelu (6) Parametry θ000 θ100 θ010 θ001 α Szacunk parametrów 252,99-0,00028963-0,00027527 78,610 1,0458-0,42254 γ ρ = 0,37102 test LR: 37,425, p-value: 0 Statystyka Walda: 44,667, p-value: 0 AIC: 7600,3 Autokorelacja reszt Test LM: 0,12572, p-value: 0,72291 Źródło: oblczena własne. Błędy standardowe Statystyk z Pr (> z ) 115,64 0,00013734 0,00014 13,9317 0,0040193 0,057249 2,1879-2,1088-2,4146 5,6485 260,1819-7,3808 0,02868 0,03496 0,01575
70 ELŻBIETA SZULC Rozważany model charakteryzuje sę stotnym parametram. Reszty modelu ne wykazują autokorelacj. Pod względem ogólnego dopasowana do danych jest on najlepszym spośród proponowanych w tej pracy model. 4. PODSUMOWANIE Rozważana nnejszego artykułu potwerdzają znaczene badana własnośc struktury przestrzennych przestrzenno-czasowych procesów ekonomcznych dla ch modelowana. Ekonometryczne modele procesów przestrzenno-czasowych pownny meć charakter dynamczny, co wyraża sę w odpowednm wyspecyfkowanu trendowo-autoregresyjnej struktury, charakteryzującej czasowe, przestrzenne przestrzenno-czasowe tendencje, oraz opóźnena przesunęca przestrzenne lub/ przestrzenno-czasowe obserwowanych zależnośc. PKB per capta na wyodrębnonym obszarze w badanym okrese realzuje przestrzenno-czasowy proces, wykazujący trend przestrzenno-czasowy oraz autozależnośc przestrzenne przestrzenno-czasowe. Specyfkacja dynamcznego modelu przestrzennego dla PKB per capta doprowadzła do otrzymana dobrego modelu emprycznego. LITERATURA Szulc E. (2008), Analza struktury ekonomcznych procesów przestrzennych na przykładze PKB w wybranych krajach europejskch, Acta Unverstats Ncola Copernc, Ekonoma XXXVIII, z. 388, 7 20. Szulc E. (2009), Analza zman w czase struktury ekonomcznych procesów przestrzennych na przykładze PKB w wybranych krajach europejskch, referat wygłoszony na III Konferencj Naukowej m. Profesora Aleksandra Zelasa, pt. Modelowane prognozowane zjawsk społeczno-gospodarczych, Zakopane 5 8 maja 2009, złożony do druku w: J. Pocecha (red.), Współczesne problemy modelowana prognozowana zjawsk społecznogospodarczych, Studa Prace Unwersytetu Ekonomcznego w Krakowe. MODELLING OF DYNAMIC SPATIAL PROCESSES A b s t r a c t. The paper concerns econometrc modellng of the dynamc spatal processes on the example of GDP per capta n chosen European countres. The consderatons of the paper are focused on nvestgatons of the structure of components of the spato-temporal process. As a result of the analyss some specfcatons of the dynamc spatal models are obtaned. Next the ssues of the estmaton and verfcaton of the models are presented. The man concluson from the analyss s that the econometrc models of the spato-temporal processes ought to be of the dynamc character, e.g. consderng spatal and spato-temporal trends and spatal, temporal and spatotemporal autodependences as well. K e y w o r d s: spato-temporal trend, autocorrelaton, spatal lag model, dynamc spatal model.