FILTRY O TŁUMIENIU KRYTYCZNYM

FILTRY O TŁUMIENIU KRYTYCZNYM Filtry atywe Rys Uład filtru o tłumieiu rytyczym i jeo charaterystya przeoszeia K( s ) U ( s) U( s) T RC, K (j ω) K ( ω) + j ω T + ω T K( s ) + s T ; Dla oiw: K( s ) ( + s T ) ; K ( ω), ϕ( ω) arct ( ω T ) ( + ω T ) K ( ω ) 0,707, ωt Wprowadźmy ozaczeia: S s /ω, ω/ω, a ω T, S j K( S ), a ( + as) K ( ) + ( ) 0 KMGawrylczy

FILTRY BUTTERWORTHA Filtry atywe Filtr Butterwortha zajmuje się tylo przebieiem charaterystyi amplitudowej ZałóŜmy trasmitację filtru doloprzepustoweo w postaci fucji wymierej: S s /ω m + as + as + + ams m m K( S ), + b S + b S + + b S + + b S przy: m < Podstawiając S j otrzymamy charaterystyę amplitudową: K + c + c + + c + + + + + + 4 m m ( ) 4 m d d d m d Ściśle biorąc wzór powyŝszy opisuje charaterystyę amplitudową podiesioą do wadratu Dla uproszczeia będziemy ją azywać K () - charaterystyą amplitudową (pamiętając o ścisłym załoŝeiu) Następie charaterystyę amplitudową rozwijamy w szere Maclauria metodą dzieleia wielomiaów i Ŝądamy masymalej płasości charaterystyi amplitudowej dla 0 Sprowadza się to do spełieia waruu : l d K ( ) 0, l,,,, l d ( ) Aaliza powyŝszych wzorów prowadzi do astępujących związów: d c ; d c, d m c m, d m+ 0 ; d m+ 0, d - 0 0 KMGawrylczy

Filtry atywe Stąd masymalie płasa charaterystya amplitudowa (dla 0) wyraŝa się wzorem: K + c + c + + c + + + + + 4 m m ( ) 4 m c c c m d Stawiając warue, aby wszystie zera miaowia leŝały w iesończoości (m < ) otrzymujemy: stąd: c c c m 0, K ( ) + d Uwzlędiając zaleŝość K ( ) 05 mamy d i stąd: K ( ) + Otrzymaliśmy zatem aprosymację Butterwortha Np filtr druieo rzędu: as K( S ) + + b S + b S + j a K (j ) + j b b + a + a ( ) j ) ( j ) 4 ( b ) + b + ( b b ) + b K K( K Warui: a b - b, oraz dla ω : K + a () + a + b Przyjmijmy w licziu wielomia rówy L a 0: wtedy: b oraz b 0 KMGawrylczy

Dla charaterystyi -rzędu: Filtry atywe 4 K K + + + + 0 ( ) 4 d d d Ozacza to zerowaie się: d d d - 0 Współczyi d wyia z waruu dla częstotliwości raiczej: K () K K, d 0 0 + d Ta więc filtr Butterwortha -rzędu : K ( ) K 0 + 0 KMGawrylczy

SYNTEZA FILTRU BUTTERWORTHA W celu sytezy wprowadźmy ozaczeia: K( S) K( S) M( S) M( S) Q( S) K(j ) K( j ) M(j ) M( j ) Filtry atywe 5 M Q ) Q S ( ) + (j ( ) Podstawiając S/j szuamy miejsc zerowych miaowia - Q(S) odrzucając rozwiązaia o częściach rzeczywistych dodatich ) ) ) M () + ; Q(S) + S /j - S 0; S "; K0 K( S) ; + S φ() -arct M () + 4 ; Q(S) + S 4 0; S "j; S, j K0 K0 K( S ), (S S )(S S ) + S + S ϕ( ) arct M () + 6 ; Q(S) - S 6 0; S "; S -; S, j ; K 0 K( S ), ϕ( ) arct ( + S )( + S + S ) 4) 4 M(S) ( +,848 S + S )( + 0,765 S + S ) 0 KMGawrylczy

FILTRY CZEBYSZEWA Filtry atywe 6 Trasmitacja filtrów Czebyszewa oparta jest a wielomiaach przybliŝających zero w przedziale [-,]: T (x) x +a - x - + +a x+a 0 dla a i róŝeo od zera Twierdzeie Czebyszewa Wielomia F(x,a) ajlepiej przybliŝa fucję f(x), dy róŝica f(x) - F(x,a) przyjmuje w + putach przedziału x 0 < x < < x + swoje estremale wartości "ε z olejo zmieymi zaami Niech: F(x,a) a y (x)+ +a y (x)+a 0 y 0 (x) f(x m ) - F(x m,a) (-) m ε (odchyłi w putach estremalych) f'(x m ) - F'(x m,a) 0 (wartości pochodej w ptestrem) Rówań jest (+) i moŝa z ich wyzaczyć: + współczyiów a 0, a, a,,a + putów x m oraz ε Wielomia: (T (x)-ε)(t (x)+ε) będzie miał podwóje pierwiasti w - putach wewątrz aszeo przedziału i pojedycze pierwiasti dla x " (a ońcach przedziału) Stopień teo wielomiau jest Wielomia (x -)[T '(x)] będzie miał te same pierwiasti co wielomia powyŝej Między tymi wielomiaami zachodzi zaleŝość: [T (x)-ε ] (x -)[T '(x)] Z rozwiązaia teo rówaia róŝiczoweo otrzymujemy: T (x)ε cos( arccos x+ π), p 0 T (x)cos( arccos x) 0 KMGawrylczy

Miejsca zerowe leŝą w przedziale (-,) i wyoszą: ( ) π x cos,,,, Estrema występują dla: mπ cos( arccos x ) x m cos, m 0,,,, Filtry atywe 7 Postać alebraicza wielomiaów Czebyszewa Podstawiając x cos φ : T (x) cos( arccos x) cos φ / [cos(φ) + j si(φ) + cos(φ) - j si(φ)] ( cos cos ) ( cos cos φ + φ + φ - φ ) ( x + x ) + ( x x ) Wzór Moivre>a: cos x + j si x (cos x + j si x) Np T (x) x T (x) x - T (x) 4 x - x T 4 (x) 8 x 4-8 x + T 5 (x) 6 x 5-0 x + 5 x itd Poza przedziałem [-,] wielomiay Czebyszewa rosą lub maleją mootoiczie Wyoując odwrote przeształceia dla x > : x ch φ cos jφ sh φ -j si jφ T ( x) ( x + x ) + ( x x ) ch( arcch x) Dla duŝeo x moŝa podać przybliŝeie: T (x) - x Wzór reurecyjy dla wielomiaów Czebyszewa: T + (x)x T (x)-t - (x) Charaterystya amplitudowa filtru Czebyszewa K K 0 ( Q ) + ε T ( x) 0 KMGawrylczy

Filtry atywe 8 Rys Charaterystyi filtrów Czebyszewa dla,,, 4 Rys4 Symulacje filtrów Czebyszewa rzędu, 4, 8 Falistość ε db 0 KMGawrylczy

FILTRY BESSELA Filtry atywe 9 Filtr Bessela zajmuje się tylo przebieiem charaterystyi fazowej Ze wzlędu a własości dyamicze idealą charaterystyą fazową jest charaterystya liiowa przedstawioa poiŝej: Trasmitacja taieo filtru wyosi: lub: K(jω) K 0 e -jωt 0, K(s) K 0 e -st0 Ozaczając jao x(t) syał wejściowy oraz y(t) syał wyjściowy mamy: Y(s) X(s) K(S)K 0 X(s) e -st0 Z twierdzeia o przesuięciu w dziedziie zmieej czasowej mamy: y(t) K 0 x(t - t 0 ) Wyia stąd, Ŝe syał x(t) po przejściu przez filtr ie ulea odształceiu, a jedyie opóźieiu o wartość t 0 φ(ω) - ωt 0 Obo charaterystyi fazowej stosuje się rówieŝ charaterystyę opóźieia rupoweo T (opóźieia czasoweo), zdefiiowaą jao: T(ω) - dφ(ω) /dω Wyia stąd, Ŝe ideala charaterystya opóźieia rupoweo wyraŝa się wzorem: t 0 cost T(ω) 0 KMGawrylczy

Filtry atywe 0 Warue liiowości charaterystyi fazowej sprowadza się do waruu masymalie płasiej charaterystyi opóźieia rupoweo i moŝe być zapisay wzorem: d ϕ( ω) 0, dla:,,4, dω Np dla charaterystyi fazowej: φ(ω) a ω+a ω +a 5 ω 5 otrzymuje się: a a 5 0 Aprosymacja Bessela dla filtru II rzędu ( S ) przesuięcie fazowe filtru: u0 u0 u + as + b S + j a b a ϕ arct b Zormalizowae opóźieie rupowe: tr ω π T r t r ; T T π ω T r ω d ϕ ω, π dω ω dϕ a ( b ) + b a d a ( b ) + b a + b b + b + a ( ) 4 0 KMGawrylczy

Filtry atywe T a ( + b ) r 4 π + (a b ) + b Dla << moŝa przedstawić aprosymację w sesie Butterwortha: T a ( + b ) r π + ( a b ) T r jest iezaleŝy od, dy współczyii będą jedaowe: b a - b czyli: b / a Druą zaleŝość otrzymuje się z ormalizacji wzmocieia dla : U / ( b ) + a Łączie z poprzedim rówaiem daje to: a b,67, 0,680 Dla wyŝszych rzędów powstaje system rówań ieliiowych 0 KMGawrylczy

Dla współczyiów rówaia: Filtry atywe + + + + c P U0 U cp c P moŝa jeda podać wzór reurecyjy: c c i, ( i + ) c i ( i + ) i Miaowii M teo rówaia będą wtedy wielomiaami Bessela PoiŜej dodao je do rzędu czwarteo: + P + P + P + P + P + P 5 5 + P + P + P + P 7 05 4 uwaa: tutaj P ie jest zormalizowae dla częstotliwości raiczej dla spadu o db Wprowadzając parametr α, ta, Ŝe: P α S otrzymuje się + + + + U0 U cα S c α S c α S wyzacza się α z waruu spadu charaterystyi o db dla Np dla filtru druieo rzędu: M(P) M(jα) + jα - / α otrzymuje się rówieŝ: α,67 0 KMGawrylczy

Porówaie charaterysty filtrów Filtry atywe Rys6 Porówaie trzech filtrów druieo rzędu Falistość fitru Czebyszewa db Realizacje rzędu pierwszeo Rys7 Realizacja z wtóriiem apięciowym U + s R C + Sω R C 0 KMGawrylczy

Filtry atywe 4 Realizacje rzędu pierwszeo ze wzmaciaczem odwracającym Rys8 Oiwo doloprzepustowe ze wzmaciaczem odwracającym R sc R R + U Z sc R U, s Sω U Z R + Sω R C Rys9 Oiwo óroprzepustowe ze wzmaciaczem odwracającym U R U Z R R U Z R + + sc S ω R C 0 KMGawrylczy

Realizacje rzędu druieo Filtry atywe 5 Rys0 Realizacja biera z elemetami RLC U sc + + + ω + ω U R + sl + src s LC S R C S LC sc Z porówaia z postacią oólą: a R, L π 4 b f C fc π Np dla filtru Butterwortha rzędu druieo: jeŝeli: a,44 b,000 f 0Hz to: C 0µF, R,, L 5,H (aleŝy symulować Ŝyratorem) 0 KMGawrylczy

Filtry atywe 6 Filtr doloprzepustowy z wielorotym sprzęŝeiem zwrotym Trasmitacja zostaie wyzaczoa metodą Nathaa: - 0 0 U I R R - + + +sc - - U I0 R R R R R R 0 - +sc -sc U 0 I0 R R 0 - -sc +sc U4 I4 R R 0 R R U I + + + sc U 0 R R R R R 4 0 0 sc U R I U4 RR U, RR, s ω S U I + + + sc sc + R R R R R R R U R R + S ω C R + R + + S ωcc RR R 0 KMGawrylczy

R R U R R + S ω C R + R + + S ωcc RR R R R R, a ω C R + R +, b ω C C R R R R Filtry atywe 7 U0 Elimiując R oraz R otrzymuje się: b a ω C R + ( + U0 ) ωcc R co prowadzi do rówaia wadratoweo z iewiadomą R : ω C C R - a ω C R + b ( + U0 ) 0 R R a C a C 4 CC b ( + U0) 4π f C C b R, R 4π f CC R U0 C 4 b ( + U0) Musi być spełioy warue: C a Korzystie jest przyjmować: C /C 0 KMGawrylczy

Filtry atywe 8 Filtr óroprzepustowy z wielorotym sprzęŝeiem zwrotym Trasmitacja zostaie wyzaczoa metodą Nathaa: sc -sc 0 0 U I -s C (s C+s C+sC + ) sc -sc R U I0 0 -sc sc + - R R U0 I0 0 -sc - (s C+ ) R R U 4 I 4 sc sc 0 U I sc sc + sc + sc + sc U 0 R 0 sc U 4 0 R Trasmitacja óroprzepustowa: U4 s CC U U s CC + s( C + C + C ) + R R R C s C + + + C + s s C C C C R R R C C 0 KMGawrylczy

Filtr z pojedyczym dodatim sprzęŝeiem zwrotym Filtry atywe 9 Wyodie jest uŝyć wtória: Wtedy trasmitacja ma postać: U + S ωc( R + R) + S ωrr CC + as + b S Załadając f, C oraz C otrzymuje się: U0, R, R a C ± a C 4 b C C 4π f C C C 4b, pod waruiem Ŝe: C a Iy sposób: moŝa wybrać R R R oraz C C C Wtedy:, + + U S ωrc( ) S ωr C porówując z postacią oólą otrzymuje się: RC b a b ω RC, ; π f b Rodzaj filtru moŝa zmieiać reulując wzmocieie uładu : Rodzaj filtru: z tłumieiem rytyczym Bessela Butterwortha Czebyszewa db f/(πrc) draia ietłumioe :,000,67,586,48,000 0 KMGawrylczy