Szeregi liczbowe. Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi liczbowe Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi liczbowe str. 1/25

Szereg liczbowy Niech(a n ) będzie ciągiem liczbowym. SZEREGIEM liczbowym o wyrazacha n nazywamy wyrażenie postaci a 1 +a 2 +a 3 + = a n. Szeregi liczbowe str. 2/25

Sumy częściowe szeregu a n Sumy S 1 = a 1 S 2 = a 1 +a 2. S n = a 1 +a 2 + +a n nazywamy sumami częściowymi szeregu a n. Szeregi liczbowe str. 3/25

Sumy częściowe szeregu a n Liczbęa n nazywamyn-tym wyrazem szeregu, a sumę S n def =a 1 +a 2 + +a n nazywamyn-ta suma częściowa szeregu a n. Ciąg(S n ) będziemy nazywać ciagiem sum częściowych powstałych z ciągu (a n ). Szeregi liczbowe str. 4/25

Przykład Weźmy następujący szereg sumy częściowe tego szeregu ( 1 n 1 ). Wypiszmy wybrane n+1 S 1 = 1 2 S 2 = 1 1 2 +1 2 1 3 =2 3. S n = 1 1 2 +1 2 1 3 +...+1 n 1 n+1 =1 1 n+1. Szeregi liczbowe str. 5/25

Szereg zbieżny i rozbieżny Szereg liczbowy a n nazywamy zbieżnym, jeżeli jego ciąg sum częściowych(s n ) jest ciągiem zbieżnym (ma granicę skończoną), tzn. lim S n=s. n + LiczbęS nazywamy suma tego szeregu, tzn. a n =a 1 +a 2 +a 3 + =S. Jeżeli ciąg sum częściowych(s n ) jest rozbieżny (tzn. ma granicę niewłaściwą+ lub albo nie ma granicy) to mówimy, że szereg jest rozbieżny. Szeregi liczbowe str. 6/25

Reszta szeregu n-ta reszta szeregu zbieżnego a n nazywamy liczbę def R n = k=n+1 a k Uwaga. Zmiana skończonej liczby początkowych wyrazów szeregu nie ma wpływu na jego zbieżność. Uwaga. Jeżeli szereg ma wyrazy nieujemne, to jest zbieżny albo rozbieżny do+. Szeregi liczbowe str. 7/25

Przykład Rozważmy szereg ( 1 n 1 ) n+1 Wtedyn-ta suma częściowa tego szeregu ma postać (1) S n =1 1 2 +1 2 1 3 +...+1 n 1 n+1 =1 1 n+1. ( Ponieważlim n S n =lim n 1 1 ) =1, więc n+1 ( 1 n 1 ) =1, czyli szereg (1) jest zbieżny. n+1 Szeregi liczbowe str. 8/25

Przykład Rozważmy szereg 1 (2) Wtedyn-ta suma częściowa tego szeregu ma postać S n =1+1+...+1=n. Ponieważlim n S n =lim n n=+, więc szereg (2) jest rozbieżny. Szeregi liczbowe str. 9/25

Warunek konieczny zbieżności szeregów liczbo Jeżeli szereg liczbowy a n jest zbieżny, to lim a n n=0. Uwaga. Jeżeli warunek konieczny nie jest spełniony, tzn. lim a n n 0 albolim n a n nie istnieje, to szereg rozbieżny. a n jest Jeżeli warunek konieczny jest spełniony, to nie wiemy czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny. Szeregi liczbowe str. 10/25

Przykład Rozważmy szereg n n n 2n+1. (3) Wówczaslim 2n+1 =1, więc warunek konieczny nie jest 2 spełniony, zatem szereg (3) jest rozbieżny. Szeregi liczbowe str. 11/25

Przykład Rozważmy szereg Ponieważlim n 1 1 n. (4) n =0, więc warunek konieczny jest spełniony, ALEn-ta suma częściowa szeregu (4) ma postać S n =1+ 1 + 1 + + 1 1 + 1 + + 1 1 =n = n. 2 3 n n n n n Wówczaslim n S n =+, więc szereg (3) jest rozbieżny. Szeregi liczbowe str. 12/25

Szereg geometryczny Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg postaci a 1 q n 1. (5) Szereg geometryczny jest sumą wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyraziea 1 i ilorazieq. Szeregi liczbowe str. 13/25

Zbieżność szeregu geometrycznego równą 0. Jeżelia 1 =0, to szereg Jeżelia 1 0i q 1, to szereg Jeżelia 1 0i q <1, to szereg a 1 q n 1 jest zbieżny i ma sumę a 1 q n 1 jest rozbieżny. a 1 q n 1 jest zbieżny i S n =a 1 +a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q n 1 =a 1 1 q n lim S 1 q n n n=lim n a 1 1 q gdy q <1 ===== a 1 1 q. 1 q. Wtedy Szeregi liczbowe str. 14/25

Szereg harmoniczny Szereg harmoniczny to szereg postaci 1 n. (6) Szereg harmoniczny rzędup(szereg Dirichleta) to szereg postaci 1 np. (7) Twierdzenie. Szereg harmoniczny rzędup>1 jest zbieżny. Twierdzenie. Szereg harmoniczny rzędup 1 jest rozbieżny. Szeregi liczbowe str. 15/25

Kryterium całkowe Niech funkcjaf: n 0,+ ) 0,+ ) będzie nierosnąca, gdzie n 0 N. Wówczas szereg f(n) jest zbieżny całka n=n 0 szereg n 0 f(x)dx jest zbieżna. f(n) jest rozbieżny całka f(x)dx jest rozbieżna. n=n 0 n 0 def Uwaga. Reszta tego szeregu, to jest wyrażenier n = spełnia oszacowanie: n+1 f(x)dx R n n f(x)dx. i=n+1 f(i), Szeregi liczbowe str. 16/25

Kryterium porównawcze zbieżności szeregów Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe a n, b n i szereg jest zbieżny oraz od pewnego miejscan 0 dla każdegon N, takiego żen n 0 spełniona jest nierówność b n to szereg 0 a n b n, a n również jest zbieżny. Szeregi liczbowe str. 17/25

Kryterium porównawcze rozbieżności szeregów Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe a n, b n i szereg jest rozbieżny oraz od pewnego miejscan 0 dla każdegon N, takiego żen n 0 spełniona jest nierówność 0 a n b n, a n to szereg b n również jest rozbieżny. Szeregi liczbowe str. 18/25

Kryterium d Alemberta Niech lim n a n+1 a n =g. Wtedy szereg a n jest zbieżny, jeżelig<1. jest rozbieżny, jeżelig>1. W przypadku, kiedyg=1, to zbieżność szeregu należy badać za pomocą innego kryterium, ponieważ z tej informacji nie wynika zbieżność ani rozbieżność szeregu. Szeregi liczbowe str. 19/25

Kryterium Cauchye go Niech n n lim an =g. Wtedy szereg liczbowy jest zbieżny, jeżelig<1. jest rozbieżny, jeżelig>1. a n Jeżelig=1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności lub rozbieżności. Szeregi liczbowe str. 20/25

Szereg naprzemienny Szereg liczbowy postaci ( 1) n a n, (8) gdzie dla każdegon Na n 0 nazywamy naprzemiennym. ( 1) n+1 Przykład. Szereg postaci =1 1 n 2 +1 3 1 4 +. jest przykładem szeregu naprzemiennego. Będziemy nazywać go szeregiem anharmonicznym. Szeregi liczbowe str. 21/25

Kryterium Leibniza Jeżeli mamy dany szereg naprzemienny spełnione są warunki: ciąg(a n ) jest nierosnący, ( 1) n a n, taki że lim n a n =0, to szereg jest zbieżny. Uwaga. Z kryterium Leibniza wynika, że szereg anharmonicznym ( 1) n+1 =1 1 n 2 +1 3 1 +. jest zbieżny ponieważ ciąg 4 a n = 1 n jest ciągiem malejącym dążącym do zera. Szeregi liczbowe str. 22/25

Zbieżność bezwzględna szeregów Szereg liczbowy a n nazywamy szeregiem bezwzględnie zbieżnym, jeżeli szereg (bezwzględnych wartości) a n jest zbieżny. Szereg liczbowy, który jest zbieżny a nie jest bezwzględnie zbieżny nazywamy warunkowo zbieżnym. Twierdzenie. Jeżeli dany szereg liczbowy jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny. Szeregi liczbowe str. 23/25

Podsumowanie Szeregi liczbowe - definicje i podstawowe twierdzenia. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna szeregów. Szeregi liczbowe str. 24/25

Dziękuję za uwagę Szeregi liczbowe str. 25/25