MODELOWANIE STRUKTURY TERMINOWEJ STÓP PROCENTOWYCH WYZWANIE DLA EKONOMETRII

KRZYSZTOF JAJUGA Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE STRUKTURY TERMINOWEJ STÓP PROCENTOWYCH WYZWANIE DLA EKONOMETRII. Modele makroekonomiczne a modele sóp procenowych wprowadzenie Nie do podważenia jes eza, iż ekonomeria jes ym obszarem nauk ekonomicznych, kóry wywarł największy wpływ na rozwój eorii ekonomicznych. Dzieje się ak dlaego, iż narzędzia ekonomeryczne służą do weryfikacji hipoez formułowanych przez eorię ekonomii, a czasem wręcz pomagają w sformułowaniu ych hipoez. Makroekonomia jes jednym z obszarów ekonomii, w kórych udział narzędzi ekonomerycznych jes szczególnie isony. W osanich kilkunasu laach w badaniach makroekonomicznych obserwuje się zbliżenie dwóch podejść, kóre dawniej były rakowane jako odrębne obszary. Pierwsze podejście (umownie zwane uaj popyowym ) jako punk wyjścia zakłada sronę popyową rynku i całej gospodarki. W myśl ego podejścia (mocno argumenowanego na gruncie ekonomii Keynesowskiej) w krókim okresie wszelkie zmiany w gospodarce wynikają ze zmian w popycie. Drugie podejście (umownie zwane uaj podażowym ) jako punk wyjścia z kolei zakłada sronę podażową rynku. Zgodnie z ym podejściem w długim okresie wszelkie zmiany w gospodarce zależą od zmian w podaży. Oprócz zbliżenia powyższych dwóch podejść dochodzi jeszcze rola poliyki ekonomicznej, a przede wszyskim poliyki monearnej, kóra (między innymi) poprzez kszałowanie sóp procenowych wpływa na zjawiska gospodarcze, przede wszyskim od srony podażowej, po części wyjaśniając kszałowanie się cykli koniunkuralnych. Nakreślona powyżej inegracja podejść w badaniach makroekonomicznych, wraz z dominującą rolą narzędzi ekonomerycznych, po raz pierwszy znalazła swój

26 KRZYSZTOF JAJUGA najpełniejszy wyraz w dwóch fundamenalnych publikacjach Finna Kydlanda i Edwarda Prescoa, laureaów Nagrody Nobla w dziedzinie nauk ekonomicnych z 2004 r., doyczących powiązania poliyki ekonomicznej z cyklami koniunkuralnymi (Kydland, Presco 977, 982). Kydland i Presco dowiedli, że wysępuje niespójność czasowa sekwencyjnie prowadzonej poliyki ekonomicznej, co wynika z faku, iż deklarowana przez zarządzających gospodarką w długim okresie poliyka ekonomiczna nie jes realizowana, gdyż w międzyczasie zmieniają się oczekiwania podmioów (gospodarsw domowych, przedsiębiorsw), doyczące ej poliyki oraz zmieniają się sami realizujący ę poliykę. Jeśli zaś chodzi o cykle koniunkuralne, o Kydland i Presco wykazali, że isoną rolę odgrywają u wahania krókoerminowe, na kóre wpływ mają inne czynniki niż popyowe. Tymi czynnikami są: zmienność rozwoju echnologicznego, a akże szoki podażowe, wywołane rosnącymi cenami, zwłaszcza ropy nafowej. Waro dodać, iż w swojej analizie obaj uczeni wykorzysali neoklasyczny model wzrosu, inegrując w en sposób eorię wzrosu z eorią cykli koniunkuralnych. Modelowanie makroekonomiczne zawsze było w cenrum zaineresowania ekonomisów, w ym ekonomeryków. Przede wszyskim doyczy o wspomnianych już modeli wzrosu. W osanich kilkunasu laach modelowanie wzrosu gospodarczego charakeryzuje się dynamicznym rozwojem. Niewąpliwie duże znaczenie miały u nowe eorie wzrosu gospodarczego, w znakomiy sposób rozwijające modele klasyczne, przede wszyskim model Solowa (956). Chodzi u przede wszyskim o eorię endogenicznego wzrosu, zaproponowaną przez Romera (986). Wydaje się jednak, iż w ych klasycznych i nowych modelach wzrosu sosunkowo niewielkie znaczenie przywiązuje się do zjawisk finansowych, zwłaszcza sóp procenowych. Naszym zdaniem isnieją nasępujące argumeny, przemawiające za inegracją modeli wzrosu z modelami sóp procenowych: jednym z fundamenalnych czynników wzrosu jes kapiał, zaś popy na kapiał oraz podaż kapiału są funkcjami sopy procenowej; sopy procenowe są zasadniczym elemenem poliyki pieniężnej, kóra, prowadzona w długim okresie, ma isone znaczenie, jeśli chodzi o sronę podażową, deerminującą wzros gospodarczy, jak również pośrednio wpływa na sronę popyową. W ym arykule przedsawimy, zarówno syneycznie, jak i kompleksowo, podsawowe modele sóp procenowych. W naszym przekonaniu mogą być one zinegrowane z modelami makroekonomicznymi, zwłaszcza z modelami wzrosu. Kaegoria sopy procenowej jes niewąpliwie jednym z podsawowych i najbardziej isonych paramerów rynku finansowego i całej gospodarki, jednak sam ermin sopa procenowa jes bardzo ogólny. W eorii i prakyce wysępuje co najmniej kilka rodzajów sóp procenowych, dla kórych konsruuje się modele. Przedsawimy je eraz w sposób syneyczny. Podsawowa sopa procenowa, kóra podlega modelowaniu, jes o sopa spo, inaczej zwana sopą zerokuponową lub naychmiasową. Określona jes ona w od-

Modelowanie makroekonomiczne a modele sóp procenowych - wprowadzenie 27 niesieniu do inwesycji o nakładzie począkowym P, warości końcowej FV, nieprzynoszącej żadnych innych przepływów pieniężnych. Sopa spo określona jes nasępująco:. W przypadku inwesycji poniżej roku (na rynku pieniężnym): FV P T r =, P gdzie: liczba dni rwania inwesycji, T umowna liczba dni w roku (zazwyczaj 360). 2. W przypadku inwesycji rwającej co najmniej rok (na rynku kapiałowym): FV n r n =, P gdzie: n liczba la rwania inwesycji. Druga podsawowa sopa procenowa, kóra może podlegać modelowaniu, o sopa forward, zwana sopą erminową. Jes o sopa znana w chwili obecnej, lecz doycząca okresu rozpoczynającego się w przyszłości i rwającego pewien czas. Wyznacza się ją na podsawie dwóch sóp spo. Jes ona określona nasępująco:. W przypadku inwesycji poniżej roku (na rynku pieniężnym): rs, v = m + rm T s + rs T gdzie: r s,v sopa erminowa v-dniowa za s dni, r s sopa spo s-dniowa, r m sopa spo m-dniowa (m=s+v), T umowna liczba dni w roku (zazwyczaj 360). 2. W przypadku inwesycji rwającej co najmniej rok (na rynku kapiałowym): / v m s, v = ( + r ) r m s + rs ) gdzie: r s,v sopa erminowa v-lenia za s la, r s sopa spo s-lenia, r m sopa spo m-lenia (m=s+v). T v,,

28 KRZYSZTOF JAJUGA Jeśli chodzi o sopy erminowe w przypadku inwesycji długookresowej, o najczęściej rozparywane są sopy roczne, oznaczane jako r s,. Można zauważyć również, że formalnie sopa erminowa, doycząca okresu rozpoczynającego się obecnie (w chwili zerowej), jes niczym innym jak sopą spo. W eorii sóp procenowych wyróżnia się jeszcze sopy chwilowe. Są o graniczne sopy spo i forward, doyczące nieskończenie krókich okresów, określone nasępująco: chwilowa sopa naychmiasowa (insananeous spo rae), inaczej zwana sopą krókoerminową (shor rae): r( ) = lim r, 0 chwilowa sopa erminowa (insananeous forward rae), określona dla dowolnego momenu w przyszłości: r ( s, ) = lim rs,. 0 Zauważyć można również, że chwilowa sopa erminowa wyznaczona dla chwili obecnej, czyli okresu zerowego, jes niczym innym jak chwilową sopą naychmiasową (spo). W prakyce właściwie żadna z powyższych sóp nie jes obserwowana bezpośrednio. Do określenia sóp spo, a nasępnie na ich podsawie sóp forward, wykorzysywane są sopy procenowe obserwowane bezpośrednio na rynku. Zaliczamy do nich: w przypadku okresów krószych niż rok: sopy rynku międzybankowego (np. WIBOR, LIBOR, Euribor), sopy renowności bonów skarbowych, sopy ransakcji repo na rynku pieniężnym i sopy konraków swap; w przypadku okresów dłuższych: sopy dochodu obligacji, czyli Yield To Mauriy (YTM). Przy ym sopy krókookresowe są dane jako sopy zerokuponowe, a więc deerminują bezpośrednio sopy spo (przynajmniej w odniesieniu do podsawowych okresów). Z kolei sopy długookresowe orzymywane są na podsawie obligacji kuponowych (z odsekami), a więc muszą być odpowiednio ransformowane w celu uzyskania sóp spo. Problem en jes przedmioem rozważań w dalszej części ego arykułu. Dodajmy u jeszcze, że pewnym przybliżeniem chwilowej sopy naychmiasowej jes sopa jednodniowa ypu overnigh, określona na rynku międzybankowym. Najważniejszym problemem w eorii sóp procenowych jes zagadnienie srukury erminowej sóp procenowych (erm srucure of ineres raes), zwane również zagadnieniem krzywej dochodowości lub krzywej sopy dochodu (yield curve). Srukura erminowa sóp procenowych jes o zależność sóp procenowych (zwłaszcza sóp dochodu dłużnych insrumenów finansowych) od erminu do wykupu, czyli od długości okresu inwesycji. Przykładowa posać krzywej dochodowości przedsawiona jes na rysunku.

Modelowanie makroekonomiczne a modele sóp procenowych - wprowadzenie 29 Błąd! Sopa dochodu Ź ródł o: Opracowanie własne. Rys.. Krzywa dochodowości Termin do wykupu Jak widać na rysunku, uaj krzywa dochodowości ma posać krzywej rosnącej, zn. im dłuższy okres, ym wyższa sopa dochodu (wyrażona w skali rocznej). Przypadek en nosi nazwę normalnej srukury sóp procenowych. Zagadnienie modelowania srukury erminowej sóp procenowych jes o zasadniczy problem o charakerze eoreycznym i prakycznym. Teoreyczne znaczenie ego zagadnienia jes duże, gdyż, po pierwsze, nie zosało ono rozwiązane w sposób zadowalający, po drugie, modele srukury erminowej sóp procenowych są wykorzysywane w wielu innych zagadnieniach eoreycznych, np. w wycenie insrumenów dłużnych i insrumenów pochodnych na sopę procenową. Również w prakyce znajomość srukury erminowej sóp procenowych jes isona, gdyż pozwala na podejmowanie efekywnych decyzji doyczących inwesowania, finansowania i zarządzania ryzykiem sopy procenowej. Powyżej przedsawiono kilka rodzajów sóp procenowych. Wynika z ego, iż można mówić o kilku rodzajach srukury erminowej sóp procenowych, czyli kilku rodzajach krzywej dochodowości. Do najważniejszych rodzajów należą:. Krzywa sóp spo (spo yield curve). Jes o najważniejszy rodzaj krzywej. Mówiąc srukura erminowa sóp procenowych bez bliższego sprecyzowania, ma się na myśli właśnie ę krzywą konsruowaną w odniesieniu do insrumenów skarbowych, czyli wolnych od ryzyka. Orzymane w en sposób sopy spo są właśnie sopami wolnymi od ryzyka. 2. Krzywa sóp forward (forward yield curve). Jes ona orzymywana na podsawie krzywej sóp spo. Teoreycznie można wyznaczyć bardzo wiele krzywych ego ypu, po jednej dla każdego momenu, od kórego zaczyna się okres. W prakyce jednak rozważa się ylko jedną krzywą. Powsaje ona przez wybranie z każdej możliwej krzywej ylko jednej sopy, mianowicie sopy rocz-

30 KRZYSZTOF JAJUGA nej. Oznacza o, że kolejne punky na krzywej, odpowiadające odpowiednim momenom, o sopy erminowe r s,. 3. Krzywa sóp dochodu obligacji (YTM yield curve). Ta krzywa jes obserwowana w prakyce, gdyż powsaje na podsawie sóp dochodu obligacji (kuponowych) wysępujących na rynku. 4. Krzywa sóp dochodu obligacji wycenianych według warości nominalnej (par yield curve). W zasadzie a krzywa nie jes obserwowana w prakyce, ponieważ na rynkach finansowych obligacje zdecydowanie częściej wyceniane są z dyskonem lub premią, a nie według warości nominalnej. W eorii krzywa a jes wyznaczana, gdyż z kolei na jej podsawie określa się krzywą sóp spo. 5. Krzywa chwilowych sóp erminowych (insananeous forward yield curve). Ma ona znaczenie eoreyczne do modelowania dynamiki sóp procenowych. Wszyskie powyższe krzywe wyznacza się najczęściej dla sóp dochodu dłużnych insrumenów skarbowych. Są o zaem sopy wolne od ryzyka. Oprócz ego krzywe dochodu można wyznaczać dla sóp dochodu innych insrumenów dłużnych. Są o zaem sopy zawierające premię za ryzyko, np. za ryzyko kredyowe emiena posiadającego kaegorię raingową BBB. Jeśli dla dowolnego momenu wyznaczy się różnice między sopami dochodu insrumenów dłużnych emiena kaegorii BBB a sopami dochodu wolnymi od ryzyka, wówczas orzymujemy zw. srukurę erminową spreadu kredyowego (erm srucure of credi spread). Wszyskie powyżej przedsawione pojęcia doyczą poziomu sóp procenowych. W modelach sóp procenowych (podobnie jak w modelach innych insrumenów finansowych, na przykład akcji czy walu) isoną rolę odgrywa również zmienność (volailiy) ych sóp. W akiej syuacji każda sopa procenowa rakowana jes jako zmienna losowa, zaś odchylenie sandardowe ej zmiennej informuje o zmienności. Określając dla każdego momenu o odchylenie sandardowe, orzymuje się nową konsrukcję, zw. srukurę erminową zmienności sóp procenowych (erm srucure of volailiy of ineres raes). W en sposób każdej krzywej sóp dochodu odpowiada krzywa zmienności ych sóp. 2. Modelowanie srukury erminowej sóp procenowych klasyfikacja Modelowanie srukury erminowej sóp procenowych (a ym bardziej srukury erminowej zmienności sóp procenowych) jes jednym z najważniejszych i najrudniejszych zagadnień w finansach. W eorii powsało i w prakyce sosowanych jes wiele modeli. Poniżej przedsawimy ich syneyczną klasyfikację. Na wsępie waro dodać, iż posuluje się, aby modele srukury erminowej sóp procenowych spełniały dwa warunki: odzwierciedlały sopy procenowe wysępujące na rynku, a przede wszyskim ypowe zmiany sóp procenowych obserwowane na rynkach finansowych; odnosiły się do niekórych eorii sóp procenowych wypracowanych na gruncie finansów.

Modelowanie makroekonomiczne a modele sóp procenowych - wprowadzenie 3 Jeśli chodzi o pierwszy warunek, o waro zauważyć, że obserwacje hisorycznych sóp procenowych wysępujących na rynkach finansowych doprowadziły do wyodrębnienia kilku prawidłowości. Są one nasępujące: sopy procenowe w długim okresie charakeryzują się efekem powrou do średniej, zn. powroem do pewnego przecięnego długookresowego poziomu; zmiany sóp procenowych doyczących różnych okresów nie są z sobą bardzo mocno skorelowane; zmienność sóp procenowych krókoerminowych jes większa niż zmienność sóp procenowych długoerminowych; wysępuje skorelowanie między poziomem sóp procenowych i zmiennością sóp procenowych. Oprócz ych wymienionych prawidłowości, badania zmian sóp procenowych doprowadziły do idenyfikacji rzech podsawowych rodzajów zmian srukury erminowej sóp procenowych, kórym na rysunku odpowiadają zmiany krzywej dochodowości. Zmiany e są nasępujące: przesunięcie równoległe krzywej w ym wypadku sopy krókoerminowe, średnioerminowe i długoerminowe zmieniają się (rosną lub spadają) o ę samą warość; zmiana nachylenia krzywej w ym wypadku sopy krókoerminowe rosną (spadają) o mniej niż sopy średnioerminowe, zaś e rosną (spadają) o mniej niż sopy długoerminowe, lub sopy krókoerminowe rosną (spadają) o więcej niż sopy średnioerminowe, zaś e rosną (spadają) o więcej niż sopy długoerminowe krzywa dochodowości saje się mniej, lub bardziej sroma; zmiana krzywizny krzywej w ym wypadku sopy krókoerminowe i długoerminowe zmieniają się więcej lub mniej niż sopy średnioerminowe krzywa dochodowości zmienia swoją krzywiznę na większą, lub mniejszą. Okazuje się, że e rzy rodzaje zmian rakowane łącznie (np. jednoczesne przesunięcie, zmiana nachylenia i zmiana krzywizny) sanowią zdecydowaną część (nawe około 95%) wszyskich zmian krzywej dochodowości. Jeśli z kolei chodzi o drugi warunek, zn. odzwierciedlanie wypracowanych eorii sóp procenowych, o należy swierdzić, że pod uwagę brane są nasępujące eorie: eoria oczekiwań, eoria preferencji płynności, eoria preferowanego środowiska (por. Marellini, Priaule, Priaule 2003). Czwara znana eoria srukury erminowej sóp procenowych, mianowicie eoria segmenacji rynku, nie bierze pod uwagę zależności między sopami procenowymi doyczącymi różnych okresów, a zaem nie ma związku z modelami srukury erminowej sóp procenowych. Jak już wskazano, powsało bardzo wiele modeli srukury erminowej sóp procenowych. Modele e mają różny rodowód, różny sopień skomplikowania różne koncepcje u podsaw. Analiza modeli proponowanych w lieraurze, a również ych sosowanych w prakyce doprowadziła nas do wyróżnienia dwóch podsawowych klas modeli:. Modele aproksymacji krzywej dochodowości. 2. Modele dynamiki sóp procenowych.

32 KRZYSZTOF JAJUGA Modele aproksymacji krzywej dochodowości polegają na wyznaczeniu pewnej funkcji, kóra przybliża dane empiryczne, zn. sopy dochodu odpowiadające pewnym okresom. Orzymana funkcja umożliwia określenie sóp dochodu dla dowolnych okresów. Można powiedzieć, że są o w pewnym sensie modele sayczne, wyjaśniające obecną srukurę erminową sóp procenowych. Modele dynamiki sóp procenowych wychodzą od pewnego ogólnego modelu, opisującego dynamikę sóp procenowych, a nasępnie na podsawie danych empirycznych dokonuje się esymacji paramerów. Są o, jak zreszą nazwa wskazuje, modele dynamiczne, wyjaśniające zmiany srukury erminowej sóp procenowych. Przejdziemy eraz do syneycznej prezenacji modeli należących do ych dwóch klas. Jedyny wyjąek uczynimy dla najbardziej rozwinięych modeli, mających u podsaw sochasyczne równania różniczkowe, kóre przedsawimy nieco szerzej. W klasie modeli esymacji krzywej dochodowości wyróżnić można rzy podsawowe rodzaje modeli: bezpośrednie; aproksymacji segmenowej; aproksymacji całej krzywej dochodowości. Modele bezpośrednie polegają na wyznaczeniu sóp spo (zerokuponowych) na podsawie sóp dochodu obligacji kuponowych. Zasosowanie ma u nasępujące elemenarne równanie, kórego dwie srony odzwierciedlają dwa sposoby wyceny insrumenów dłużnych za pomocą meody zdyskonowanych przepływów pieniężnych: n n C C = = ( + r ) = ( + YTM ) Po lewej sronie równania wysępują nieznane sopy spo, zaś po prawej sronie znane sopy dochodu obligacji kuponowych (ich liczba powinna być równa liczbie wyznaczanych sóp spo). Wyznaczanie sóp spo polega na rozwiązaniu przedsawionego układu równań. Modele aproksymacji segmenowej polegają na podziale przedziału czasowego na kilka segmenów, a nasępnie konsrukcji krzywej dochodowości na podsawie danych empirycznych dla każdego segmenu. Przy ym najczęściej dzieli się przedział czasowy na rzy segmeny, odpowiadające odpowiednio: sopom krókoerminowym ( dzień rok), sopom średnioerminowym ( rok 0 la), sopom długoerminowym (powyżej 0 la). Jeśli zaś chodzi o funkcje aproksymujące, o najczęściej sosowane są wielomiany lub funkcje wykładnicze. Modele aproksymacji całej krzywej dochodowości polegają na zasosowaniu pewnej funkcji opisującej wszyskie sopy procenowe, przy czym paramery ej funkcji mają klarowną z prakycznego punku widzenia inerpreację. Można uaj wyróżnić wiele możliwych modeli, jednak największą popularność zdobyły dwa nasępujące:.

Modelowanie makroekonomiczne a modele sóp procenowych - wprowadzenie 33. Model Nelsona-Siegela (Nelson, Siegel 987), dany wzorem: exp( m / δ exp( / exp m δ exp r m = β 0 + β 2 exp( m / + + u, m / β δ m / δ δ gdzie u jes o składnik losowy, zaś poszczególne paramery mają nasępującą inerpreację: β 0 długoerminowa sopa procenowa, β spread między sopą długoerminową a sopą krókoerminową, β 2 sopień krzywizny krzywej dochodowości, δ prędkość, z jaką składnik krókoerminowy i średnioerminowy krzywej zdążają do zera. 2. Model Svenssona (Svensson 994), dany wzorem: r m exp( m / δ exp( / exp m δ exp = β0 + β + 2 exp( m / + m / β δ m / δ δ exp( m / δ exp + β3 exp( m / δ + u. m / δ W porównaniu z modelem Nelsona-Siegela w modelu Svenssona doszły dwa dodakowe paramery, kóre pozwalają na większą elasyczność w modelowaniu krzywej (np. uwzględnienie większej ilości garbów ). W klasie modeli dynamiki sóp procenowych można wyróżnić: modele ekonomerii finansowej; modele drzew dwumianowych z endogenicznie określoną dynamiką sóp procenowych; modele sochasycznych równań różniczkowych z endogenicznie określoną dynamiką sóp procenowych; modele drzew dwumianowych, wynikające z koncepcji arbirażu; modele sochasycznych równań różniczkowych, wynikające z koncepcji arbirażu. Modele ekonomerii finansowej są o znane modele klasy ARIMA-GARCH, służące do modelowania finansowych szeregów czasowych rozparywanych w czasie dyskrenym. W zakresie modelowania poziomu są o modele warunkowej warości oczekiwanej ARIMA oraz ich modyfikacje i uogólnienia. W zakresie modelowania zmienności są o modele warunkowej wariancji GARCH oraz ich modyfikacje i uogólnienia. W ym wypadku modelowana zmienna jes o oczywiście sopa procenowa. Nasępne dwa rodzaje modeli charakeryzują się zw. endogenicznie określoną dynamiką sóp procenowych. Oznacza o, że jes zadany pewien hipoeyczny model, zaś jego paramery szacowane są na podsawie danych empirycznych. W pierwszej grupie ego ypu modeli dynamika sóp procenowych opisywana jes za pomocą drzew dwumianowych. Zakłada się, że na koniec każdego okresu,

34 KRZYSZTOF JAJUGA należącego do rozparywanego przedziału czasowego, sopa procenowa może przyjąć dwie warości (każdą z jednakowym prawdopodobieńswem). Przy rozparywaniu wielu okresów dynamika sóp procenowych może być w sposób graficzny przedsawiona za pomocą drzewa, co wyjaśnia nazwę meody. W drugiej grupie modeli z endogenicznie określoną dynamiką sóp procenowych, dynamika a jes opisana modelem w posaci sochasycznego równania różniczkowego. Opis ego ypu modeli zawary jes w nasępnym punkcie ego arykułu. Z kolei dwa osanie rodzaje modeli charakeryzują się ym, iż wywodzą się z koncepcji braku arbirażu. Koncepcja braku arbirażu oznacza, iż dokonuje się wyceny insrumenów finansowych w aki sposób, aby nie był możliwy arbiraż, zn. sraegia, kóra nie wymaga nakładów, jes wolna od ryzyka i daje dodani przychód. Przy ym orzymany model jes zgodny z obserwowanymi rzeczywisymi sopami procenowymi, a nie wynika z endogenicznie określonej dynamiki sóp. Również uaj można wyróżnić dwa rodzaje modeli. Pierwszy rodzaj do opisu dynamiki wykorzysuje drzewa dwumianowe. Z kolei drugi rodzaj wynika ze sochasycznych równań różniczkowych. Modelom ego ypu poświęcony jes nasępny punk ego arykułu. Waro na zakończenie dodać, że w przypadku wszyskich powyżej wymienionych modeli na podsawie określonej srukury erminowej sóp procenowych można dokonać wyceny insrumenów dłużnych oraz wyceny insrumenów pochodnych na sopę procenową, akich jak: opcje cap, floor, swapion. 3. Modele dynamiki sóp procenowych, wynikające ze sochasycznych równań różniczkowych Najbardziej zaawansowane modele srukury erminowej o e, w kórych dynamika sóp procenowych opisana jes za pomocą sochasycznego równania różniczkowego. Są o zaem modele w czasie ciągłym, inne niż większość doychczas rozparywanych modeli, w kórych czas był dyskreny. Na począku przedsawimy rzy najczęściej sosowane w finansach ypy modeli zapisanych w posaci sochasycznych równań różniczkowych. Przy ym oprócz klasycznej posaci modelu podamy również wersję dyskreną, w kórej zakłada się, że czas może się zmieniać o jednoskę. Podsawowe modele są nasępujące (dla uproszczenia nie wprowadza się w oznaczeniach osobnego indeksu dla okresu, kórego doyczy sopa, zaś indeks przy sopie procenowej oznacza dany momen czasowy):. Geomeryczny ruch Browna, dany wzorem: dr = μ r d + σr dz, zaś w wersji dyskrenej (po przekszałceniach):

Modelowanie makroekonomiczne a modele sóp procenowych - wprowadzenie 35 2. Proces pierwiaskowy, dany wzorem: r + = ( + ) r + σr ε+ μ. dr = μ r d + σ r dz, zaś w wersji dyskrenej (po przekszałceniach): r + = ( + ) r + σ r ε+ μ. 3. Proces Ornseina-Uhlenbecka (charakeryzujący się właściwością powrou do średniej), dany wzorem: dr = κ ( θ r ) d + σdz, zaś w wersji dyskrenej (po przekszałceniach): r + + + ( κ ) r + σε+ κθ. Jak wynika z osaniego wzoru, proces Ornseina-Uhlenbecka charakeryzuje się właściwością powrou do średniej sopa procenowa w danym momencie jes skorygowaną o składnik losowy ważoną średnią dwóch wielkości: długoerminowej sopy procenowej oraz sopy procenowej z poprzedniego momenu. Przy ym waga przyporządkowana długoerminowej sopie procenowej jes inerpreowana jako prędkość powrou do ej średniej długookresowej. Powyżej przedsawione modele znalazły swoje poczesne miejsce w konkrenych wersjach modeli sóp procenowych z endogenicznie określoną dynamiką. Modeli ych jes wiele, a dzieli się je zazwyczaj w zależności od liczby czynników, kóre są modelowane. W najwcześniej zaproponowanych modelach jednoczynnikowych jedynym modelowanym czynnikiem jes zw. krókoerminowa sopa procenowa, czyli chwilowa sopa spo. Jeśli modelowanych czynników jes więcej, wówczas pod uwagę bierze się na przykład zmienność krókoerminowej sopy procenowej i średnią sopę długookresową. Ograniczone łamy ego arykułu nie pozwalają na szerokie omówienie modeli sochasycznych równań różniczkowych z endogenicznie określoną dynamiką sóp procenowych. Przedsawimy jedynie kilka najbardziej popularnych modeli, wskazując na modelowane czynniki.. Modele jednoczynnikowe modelowana jes krókoerminowa sopa procenowa: model Vasicka (Vasicek 977): dr = κ ( θ r ) d + σdz, model Coxa-Ingersolla-Rossa (Cox, Ingersoll, Ross 985): dr = κ ( θ r ) d + σ r dz,

36 KRZYSZTOF JAJUGA 2. Modele dwuczynnikowe modelowana jes krókoerminowa sopa procenowa i zmienność ej sopy: model Fonga i Vasicka (Fong, Vasicek 99): dr = κ ( θ r ) d + σ v dz dv = γ ( ϑ v ) d + ξ v dz2. 3. Modele rójczynnikowe modelowana jes krókoerminowa sopa procenowa, zmienność ej sopy oraz średnia długoerminowa: model Chena (Chen 996): dr = κ ( θ r )d + v r dz dv = γ ( ϑ v )d + ξ v dz2 dθ ϕ( λ θ )d + η θ dz3 =. Jak widać, we wszyskich powyżej przedsawionych modelach rozparywane procesy są o kombinacje procesów Ornseina-Uhlenbecka z procesami pierwiaskowymi. Pewną wadą przedsawionych modeli jes jednak o, iż dynamika sóp procenowych jes określana endogenicznie, co oznacza, że nawe w przypadku wieloczynnikowych modeli obecna srukura erminowa sóp procenowych, dana w posaci sóp dochodu obligacji, niekoniecznie musi być odzwierciedlona w sposób dokładny. Z ą niedogodnością próbują sobie radzić modele arbirażowe. Jak już wskazywaliśmy, są dwie grupy akich modeli. Jedna grupa wykorzysuje wspomnianą już koncepcję drzew dwumianowych. Pierwszy i najbardziej znany model ej klasy zosał zaproponowany przez Ho i Lee (Ho, Lee 986). Druga grupa modeli arbirażowych wykorzysuje sochasyczne równania różniczkowe. Pierwszym i najbardziej znanym modelem ej klasy jes model Heaha- Jarrowa-Morona (Heah, Jarrow, Moron 992). W modelu ym przedmioem zaineresowania jes chwilowa sopa erminowa, a zaem ak naprawdę modelowana jes jednocześnie cała srukura erminowa sóp procenowych. Okazuje się przy ym, że wiele modeli powsałych wcześniej może być porakowanych jako szczególne przypadki modelu Heaha-Jarrowa-Morona. W najbardziej ogólnej wersji model en można zapisać nasępująco: dr, T = μ (, T ) d + σ (, T ) dz.

Modelowanie makroekonomiczne a modele sóp procenowych - wprowadzenie 37 Jak widać, w ym modelu zmiany chwilowej sopy forward są funkcją chwilowego dryfu i chwilowej zmienności ej sopy. Po powsaniu modelu Heaha-Jarrowa-Morona powsały inne bardziej rozwinięe modele. Część spośród nich skonsruowana jes w en sposób, iż odzwierciedla obserwowane na rynkach finansowych ceny insrumenów pochodnych na sopę procenową, akich jak cap, floor i swapion. Klasyczne modele ej klasy o e, kórych auorami są Brace, Gąarek, Musiela (997) i Jamshidian (997). W arykule przedsawiono w sposób syneyczny najważniejsze grupy modeli srukury sóp procenowych. Każdy z ych modeli musi być w jakiś sposób wyznaczony, zn. esymowany i/lub kalibrowany na podsawie danych obecnych i hisorycznych. Prowadzi o do konkrenych wyzwań pod adresem ekonomerii. To właśnie ekonomeria dosarcza przecież narzędzi służących do weryfikacji hipoez sawianych przez eorię ekonomii w ym wypadku modeli sóp procenowych zaproponowanych przez eorię finansów. Bibiografia Brace A., Gąarek D., Musiela M. (997), The marke model of ineres rae dynamics, Mahemaical Finance 7, s. 27 55 Chen L. (996), Sochasic mean and sochasic volailiy a hree facor model of he erm srucure of ineres raes and is applicaions in derivaives pricing and risk managemen, Financial Markes, Insiuions and Insrumens 5, s. 87 Cox J.C., Ingersoll J.E., Ross S.A. (985), A heory of erm srucure of ineres raes, Economerica 53, s. 385 407 Fong H.G., Vasicek O.A. (99), Fixed-income volailiy managemen, Journal of Porfolio Managemen 7, s. 4 46 Heah D., Jarrow R.A., Moron A. (992), Bond pricing and he erm srucure of ineres raes: a new mehodology for coningen claim valuaions, Economerica 60, s. 77 05 Ho T.S.Y., Lee S.B. (986), Term srucure movemens and pricing ineres rae coningen claims, Journal of Finance 4, s. 0 029 Jamshidian F. (997), LIBOR and swap marke models and measures, Finance and Sochasics, s. 293 330 Kydland F., Presco E. (977), Rules raher han discreion: he inconsisency of opimal plans, Journal of Poliical Economy 85, s. 473 490 Kydland F., Presco E. (982), Time o build and aggregae flucuaions, Economerica 50, s. 345 377 Marellini L., Priaule P., Priaule S. (2003), Fixed-income securiies, valuaion, risk managemen and porfolio sraegies, Wiley, Chicheser

38 KRZYSZTOF JAJUGA Nelson C.R., Siegel A.F. (987), Parsimonious modeling of yield curves, Journal of Business 60, s. 473 489 Romer P.M. (986), Increasing reurns and long-run growh, Journal of Poliical Economy 94, s. 002 037 Solow R.M. (956), A conribuion o he heory of economic growh, Quarerly Journal of Economics 70, s. 65 94 Svensson L. (994), Esimaing and inerpreing forward ineres raes: Sweden 992-994, CEPR Discussion Paper 05 Vasicek O.A. (977), An equilibrium characerizaion of he erm srucure, Journal of Financial Economics 5, s. 77 88