1 Ciągłe operatory liniowe

1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego B E. Operator liniowy jest ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony. Zdefiniujmy: L(E, F) = {T : E F : T jest liniowy i ciągły} oraz L(E) = L(E, E). W przestrzeni L(E, F) wprowadzamy normę: T x T = sup{ T x : x = 1} = sup{ : x 0}. x Fakt 1.1. Niech E, E, E będą przestrzeniami unormowanymi 1. Jeżeli T L(E, E ), S L(E, E ), to S T S T. 2. Jeżeli E jest przestrzenią Banacha, to L(E, E ) jest przestrzenią Banacha. 3. (Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym) Niech E, E będą przestrzeniami Banacha oraz niech T L(E, E ) będzie na. Wówczas dla każdego zbioru otwartego U E zbiór T (U) jest otwarty. 4. (Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu odwrotnym) Jeżeli E, E są przestrzeniami Banacha oraz T : E E jest odwzorowaniem liniowym, ciągłym i odwracalnym, to odwzorowanie odwrotne S : E E jest również liniowe, ciągłe i odwracalne. Definicja 1.2. Operator T L(E, F) nazywamy regularnym, jeżeli jest odwracalny. Jeżeli T jest operatorem odwracalnym, to z nierówności wynika, że T 1 T 1. 1 = Id = T T 1 T T 1 Lemat 1.2. Jeżeli T L(E) oraz T < 1, to odwzorowanie Id T jest regularne. Dowód. Oznaczmy T n = T T (n razy) oraz T 0 = Id. Wówczas T n T n. Szereg T n jest szeregiem geometrycznym, zatem jest zbieżny. Z nierówności T n T n wynika, że szereg T n również jest zbieżny (na mocy kryterium porównawczego). Pokazaliśmy zatem, że szereg T n jest normowo zbieżny, a stąd otrzymujemy zbieżność. W szczególności, operator S = Id + T n jest dobrze zdefiniowany. Pokażemy, że S (Id T ) = (Id T ) S = Id. Niech S n oznacza n-tą sumę częściową szeregu T n. Wówczas Ponadto S (Id T ) = lim n S n(id T ) = lim n (Id T n+1 ) = Id lim n T n+1 = Id. (Id T ) S = lim n (Id T ) S n = lim n (Id T n+1 ) = Id 1

Oznaczmy Gl(E, F) L(E, F) (Gl(E) L(E) zbiór odwzorowań regularnych T : E F (T : E E) Twierdzenie 1.3. Gl(E) jest otwartym podzbiorem L(E). Dowód. Ustalmy S Gl(E). Pokażemy, że kula otwarta U = {T L(E) : S T < 1 S 1 } jest zawarta w Gl(E). Z poprzedniego twierdzenia mamy dla T U: Id S 1 T = S 1 (S T ) S 1 (S T ) < 1, co oznacza, że S 1 T = Id (Id S 1 T ) Gl(E). Jako, że Gl(E) jest zamknięty na składanie odwzorowań, otrzymujemy: T = S(S 1 T ) Gl(E). Uwaga 1.4. Można pokazać, że Gl(E, F) jest otwartym podzbiorem L(E, F). Dla danego operatora T L(E) oraz dowolnego λ R określamy operator λ Id T L(E) wzorem (λ Id T )x = λx T x. ( Spektrum) σ(t ) R określamy jako zbiór wszystkich λ R takich, że operator λ Id T nie jest regularny. Wartością własną operatora T nazywamy liczbę λ R taką, że istnieje x E, x 0 taki, że T x = λx. Wektor x nazywamy wówczas wektorem własnym operatora T. Zauważmy, że jeżeli λ jest wartością własną operatora T, to λ σ(t ). Wynika to z tego, że jeżeli x jest wektorem własnym T, to ker(λ Id T ) 0. Nie jest jednak prawdą, że λ σ(t ) jest wartością własną: Przykład 1.1. Rozważmy operator T L(l 2 ) dany wzorem T (x 1, x 2,... ) = (0, x 1, x 2,... ). Wówczas T jest różnowartościowy, ale nie jest na, czyli 0 σ(t ). Ale 0 nie jest wartością własną. Definicja 1.3. Zbiór ρ(t ) = R\σ(T ) nazywamy rezolwentą operatora T. Definicja 1.4. Przestrzeń ker(λ Id T ) nazywamy podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej λ Z algebry wiemy, że wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne. Twierdzenie 1.5. Dla T L(E), σ(t ) jest zwartym podzbiorem R. Dowód. Jeżeli λ > T, to λ / σ(t ), gdyż 1 λ T < 1 oraz λ Id T = λ(i 1 λt ). Zatem σ(t ) jest zbiorem ograniczonym. Pokażemy, że jest domknięty. Rozważmy w tym celu odwzorowanie F : R L(E) dane wzorem F (λ) = λ Id T oraz zauważmy, że jest to odwzorowanie ciągłe. Ale σ(t ) = R\F 1 (Gl(E)) oraz Gl(E) jest zbiorem otwartym. To kończy dowód. Definicja 1.5. Niech E, F będą przestrzeniami Banacha oraz T L(E, F). Operatorem dualnym do operatora T nazywamy operator T : F E spełniający zależność dla dowolnych f F oraz x E. f, T x = T f, x Można pokazać, że dla każdego T L(E, F) istnieje dokładnie jeden operator T L(F, E ). 2

2 Trochę topologii Definicja 2.1. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną oraz A X. Zbiór S ɛ nazywamy ɛ-siecią dla zbioru A, jeżeli dla każdego x A istnieje x 0 S ɛ taki, że d(x, x 0 ) < ɛ. Twierdzenie 2.1. Niech (X, d) będzie przestrzenią zupełną. Zbiór A X jest relatywnie zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ɛ > 0 istnieje skończona ɛ-sieć S ɛ A zbioru A. Załóżmy, że X jest przestrzenią zwartą. Wówczas przestrzeń C(X) jest przestrzenią zupełną. Definicja 2.2. Zbiór A C(X) nazywamy wspólnie ograniczonym, jeżeli istnieje liczba rzeczywista r taka, że f A x X f(x) < r, Zbiór A nazywamy zbiorem funkcji równociągłych, jeżeli ɛ>0 δ>0 f A x,y X d(x, y) < δ f(x) f(y) < ɛ Twierdzenie 2.2 (Arzeli - Ascoli). Zbiór A C(X) jest relatywnie zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem funkcji ciągłych i wspólnie ograniczonych. 3 Operatory zwarte Definicja 3.1. Mówimy, że T L(E, F) jest operatorem zwartym, jeżeli obraz kuli domkniętej D(0, 1) E jest relatywnie zwarty w F, to znaczy cl(t (D(0, 1))) jest zbiorem zwartym w F. Uwaga 3.1. Niech T L(E, F).Następujące warunki są równoważne: 1. T jest zwarty 2. Dla każdego zbioru ograniczonego B E, zbiór T (B) jest relatywnie zwarty w F 3. Dla każdego ciągu ograniczonego (x n ) E, ciąg (T x n ) zawiera podciąg zbieżny w F. Definicja 3.2. Niech E, F będą przestrzeniami Banacha. Operator T L(E, F) nazywamy pełnociągłym, jeżeli dla każdego ciągu (x n ) E, takiego, że x n x ciąg T x n T x zbiega do 0. x n x oznacza słabą zbieżność, to znaczy dla dowolnego y E y(x n ) y(x). Twierdzenie 3.2. Niech E, F będą przestrzeniami Banacha, T L(E, F). Wówczas 1. Jeżeli T jest operatorem zwartym, to jest operatorem pełnociągłym. 2. Jeżeli E jest przestrzenią Hilberta (wystarczy refleksywną), to z pełnociągłości wynika zwartość. Dowód. kartka, strona 1 Zbiór operatorów zwartych oznaczamy K(E, F) (K(E)). Można pokazać, że jest to podprzestrzeń liniowa L(E, F)(L(E)). Przykład 3.1. Przykłady operatorów zwartych 1. Każdy ciągły operator skończenie wymiarowy (tzn. obraz T (E) jest zawarty w przestrzeni skończenie wymiarowej) jest zwarty. 2. Ustalmy g C([0, 1], R) oraz zdefiniujmy operator T : C([0, 1], R) C([0, 1], R) wzorem (T f)(x) = x 0 f(t)g(t)dt. Można pokazać (korzystając z twierdzenia Arzeli - Ascoli), że tak zdefiniowany operator jest zwarty. 3

3. (Twierdzenie Schaudera) Niech E będzie przestrzenią Banacha. Wówczas T K(E) wtedy i tylko wtedy, gdy T K(E ). 4. (Twierdzenie Rellicha-Kondraszowa) Niech U R n będzie zbiorem otwartym i ograniczonym, 1 p < N, q [1, n p 1,p pn ). Wówczas włożenie W0 (U) L q (U) jest odwzorowaniem zwartym. W 1,p 0 (U) = cl(c 0 (U)) w normie u = u L p + n i=1 u x i L p Twierdzenie 3.3. Niech E, F będą przestrzeniami Banacha. Wówczas K(E, F) jest domkniętą podprzestrzenią L(E, F). W szczególności jest również przestrzenią Banacha. Dowód. kartka, strona 2 Lemat 3.4. Niech E, E, E będą przestrzeniami unormowanymi oraz T K(E, E ), S L(E, E ). Wówczas ST K(E, E ). Jeżeli S K(E, E ), T L(E, E ), to T S K(E, E ). Dowód. Załóżmy najpierw, że T K(E, E ), S L(E, E ). Pokażemy, że ST K(E, E ). W tym celu weźmy ciąg (x n ) E. Ze zwartości T wynika, że istnieje podciąg zbieżny T x nk. Ale z ciągłości S wynika, że ST x nk również jest zbieżny. Pokażemy drugą część lematu. Weźmy ciąg ograniczony (x n ) E oraz zauważmy, że Sx n S x n, czyli ciąg (Sx n ) jest ograniczony. Zatem ze zwartości T wynika zwartość T S. Zdefiniujmy obraz R(T ) = T (E) oraz przestrzeń zerową N(T ) = {x E : T x = 0}. Niech E będzie przestrzenią Banacha. Twierdzenie 3.5 (Lemat Riesza). Niech V E będzie domkniętą podprzestrzenią taką, że V E. Wówczas dla każdego ɛ > 0, istnieje x X taki, że x = 1 oraz inf{ x v : v V } 1 ɛ. Lemat 3.6. Jeżeli T K(E), to istnieje M > 0 o następującej własności: dla dowolnego y R(Id T ) istnieje x E taki, że (Id T )x = y oraz x M y. Twierdzenie 3.7. Jeżeli T K(E), to N(Id T ) jest domkniętą i skończenie wymiarową podprzestrzenią E. Ponadto przestrzeń liniowa R(Id T ) jest domknięta. Dowód. kartka, strona 3 Twierdzenie 3.8. Jeżeli T K(E) oraz dim E =, to 0 σ(t ). Dowód. kartka, strona 4 Przykład 3.2. Jeżeli T K(E), to 0 σ(t ). Nie musi być to jednak wartość własna operatora T. Dzieje się tak, gdy T jest różnowartościowy, ale nie na, jak we wcześniejszym przykładzie (tam jednak operator nie był zwarty). Zdefiniujmy operator T : l 2 l 2 wzorem T (x 1, x 2,..., x n,... ) = (x 1, 1 2 x 2,... 1 n x n,... ). Zauważmy, że jest to operator różnowartościowy, ale nie jest na, bo (1, 1 2,..., 1 n,... ) / T (l 2). Ponadto T jest operatorem zwartym, gdyż jest granicą ciągu operatorów skończenie wymiarowych {T n } danych wzorem T n (x 1, x 2,..., x n,... ) = (x 1, 1 2 x 2,... 1 n x n, 0, 0,... ). Na koniec, zauważmy, że 0 nie jest wartością własną operatora T (ponieważ jest różnowartościowy czyli ker T = 0). 4

Twierdzenie 3.9 (Alternatywa Fredholma). Jeżeli T K(E) oraz 0 λ σ(t ), to λ jest wartością własną T. Dowód. kartka, strony 5-6. Z alternatywy Fredholma wynika, że jeżeli T K(X) oraz λ 0, to mamy dwie możliwości: 1. λ jest wartością własną T, czyli równanie (λ Id T )x = 0 posiada niezerowe rozwiązanie, 2. λ Id T jest odwzorowaniem regularnym, zatem równanie (λ Id T )x = y posiada dokładnie jedno rozwiązanie. Twierdzenie 3.10. Jeżeli T K(E), to σ(t ) jest zbiorem skończonym lub jest ograniczonym ciągiem zbieżnym do 0. Dowód. kartka, strona 7 4 Obliczanie LS-stopnia Niech E będzie przestrzenią Banacha taką, że dim E = oraz niech T K(X). Zauważmy, że (Id T ) n = n ( ) n ( 1) k T k = Id k k=0 Zdefiniujmy operator liniowy S n K(E). S n = n ( 1) k+1( n k=1 n ( n ( 1) k+1 k k=1 ) T k. k) T k, czyli (Id T ) n = Id S n. Dla T K(E) niech N n = ker(id T ) n oraz niech R n = R(Id T ) n ). Zauważmy, że N n jest podprzestrzenią N n+1 oraz R n+1 jest podprzestrzenią R n. Twierdzenie 4.1. Dla każdego T K(E) istnieją liczby naturalne ν, ρ takie, że 1. N n N n+1 dla każdego n < ν oraz N n = N n+1 dla każdego n ν. 2. R n R n+1 dla każdego n < ρ oraz R n = R n+1 dla każdego n ρ. Dowód. kartka, strona 9 Lemat 4.2. Dla każdego m 1 N m R ρ = 0. Dowód. kartka, strona 10 Twierdzenie 4.3. Dla dowolnego T K(E) powyżej zdefiniowane liczby ν i ρ są równe. Dowód. kartka, strona 11 + uzupełnienie Twierdzenie 4.4. Przy wcześniejszych założeniach E = N ρ R ρ (= N ν R ν ). Dowód. kartka, strona 12 Twierdzenie 4.5. Dla każdego n T (N n ) N n oraz T (R n ) R n. Dowód. kartka, strona 12 Ustalmy 0 λ R, T K(E) oraz rozważmy liczbę ρ (zdefiniowaną jak wcześniej) dla operatora 1 λ T. Zdefiniujmy N ρ (λ) = N(Id 1 λ T )ρ oraz R ρ (λ) = R(Id 1 λ T )ρ. Mamy wówczas rozkład E = N ρ (λ) R ρ (λ). Podobnie jak wcześniej pokazujemy, że T (N ρ (λ)) N ρ (λ) oraz T (R ρ (λ)) R ρ (λ). Twierdzenie 4.6. Jeżeli λ σ(t ) oraz λ 0, to σ(t Nρ(λ)) = {λ} Dowód. kartka, strona 13 5

Twierdzenie 4.7. Dla rozkładu E = N ρ (λ) R ρ (λ) istnieje odpowiedni rozkład spektrum, to znaczy Dowód. kartka, strona 14 σ(t Rρ (λ)) = σ(t )\{λ} Krotnością λ σ(t ) nazywamy wymiar przestrzeni N ρ (λ). Niech 0 µ R będzie takie, że 1 µ wartością własną operatora T, zatem 1 µ / σ(t ). Zdefiniujmy nie jest H(µ) = {λ σ(t ) : λµ > 0 oraz λ > 1 µ }. Z wcześniejszych twierdzeń wynika, że jest to zbiór skończony. Zdefiniujmy β(µ) jako sumę krotności wartości własnych należących do H(µ). Twierdzenie 4.8. Niech T K(E) oraz µ 0 będzie takie, że 1 µ / σ(t ). Wówczas E = E 1 E 2, gdzie dim E 1 = β(µ) oraz T (E 1 ) E 1, T (E 2 ) E 2. Ponadto σ(t E1 ) = H(µ) i σ(t E2 ) = σ(t )\H(µ) Dowód. kartka, strona 15, 16 Fakt 4.9. 1. (Straight-Line Homotopy Property) Niech U E będzie zbiorem otwartym oraz niech odwzorowania f, g : U E będą odwzorowaniami zwartymi (w sensie f(u), g(u) są zbiorami relatywnie zwartymi) takimi, że tf(x) + (1 t)g(x) x dla każdych x U, t [0, 1]. Wówczas d(id f, U) = d(id g, U) 2. Jeżeli U jest zbiorem otwartym takim,że 0 U, to d(id, U) = 1 3. Jeżeli U R n jest zbiorem otwartym takim,że 0 U, to d( Id, U) = ( 1) n Dla η > 0 połóżmy B = B(0, η). Rozważmy operator Id µt na B. Jeżeli µt x = x dla x 0, to 1 µ jest wartością własną T, zatem przy odpowiednich założeniach na µ, odwzorowanie zwarte µt B nie ma punktów stałych na B. Wtedy LS-stopień d(id µt, B) będzie dobrze zdefiniowany. Twierdzenie 4.10. Niech T K(E), µ 0 będzie takie, że 1 µ / σ(t ) oraz niech B = B(0, η) dla η > 0. Wówczas d(id µt, B) = ( 1) β(µ). Dowód. kartka, strona 17, 18 5 Własności przestrzeni Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Odwzorowanie, : H H K nazywamy iloczynem skalarnym jeżeli dla każdych x, y, z H, a, b K spełnione są warunki: 1. x, x > 0 oraz x, x = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0, 2. ax + by, z = a x, y + b y, z, 3. x, ab + bz = a x, z + b y, z, 4. x, y = y, x. Parę (H,, ) nazywamy przestrzenią unitarną. Jeżeli norma indukowana przez iloczyn skalarny x = x, x jest zupełna, to parę (H,, ) nazywamy przestrzenią Hilberta. 6

Fakt 5.1. Niech (H,, ) będzie przestrzenią unitarną. Wówczas 1. (Nierówność Schwartza) Dla dowolnych x, y H prawdziwa jest nierówność x, y x y. 2. Jeżeli M H jest niepustym zbiorem, to M jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni H. 3. M = (span(m)). 4. Jeżeli H jest przestrzenią ośrodkową oraz A jest układem ortogonalnym ( x, y = 0 dla x y, x, y A), to A jest zbiorem przeliczalnym (lub skończonym). 5. Jeżeli {x 1,..., x n } H jest układem ortogonalnym niezerowych elementów, to elementy x 1,..., x n są liniowo niezależne. 6. (Twierdzenie o rzucie prostopadłym) Jeżeli M H jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni Hilberta H, to dla każdego x H istnieje dokładnie jeden x 1 M oraz dokładnie jeden x 2 M takie, że spełnione są warunki: (a) x = x 1 + x 2, (b) x x 1 = inf{ x y : y M}. W szczególności H = M M. Co więcej, mamy odwzorowanie P M : H M dane wzorem P M (x) = x 1 zwane projekcją ortogonalną. 6 Ciągłe operatory liniowe na przestrzeniach Hilberta (H,, ) - przestrzeń Hilberta Twierdzenie 6.1 (Riesza - Frecheta). Dla każdego f H istnieje dokładnie jeden y H taki, że f(x) = x, y dla dowolnego x H W przestrzeni H zdefiniujemy iloczyn skalarny. W tym celu określamy najpierw odwzorowanie L: H H wzorem L(f) = y, gdzie y wyznaczony jest przez powyższe twierdzenie. Można pokazać, że H z iloczynem skalarnym f, g = L(f), L(g) jest przestrzenią Hilberta oraz f, f = f = sup{ f(x) : x = 1} Ustalmy operator T L(H). Wówczas operatorem sprzężonym do T nazywamy jedyny operator T : H H spełniający zależność T x, y = x, T y dla każdych x, y H. Fakt 6.2. Niech T, T 1 L(H). Wówczas 1. T L(H), 2. T = T, 3. (T ) = T, 4. Dla każdego λ K, (λt ) = λt, 5. (T + T 1 ) = T + T 1, (T 1 T ) = T T 1. Dowód. kartka, strona 19 Twierdzenie 6.3. Niech K = C oraz T L(H). Jeśli dla każdego x H T x, x = 0, to T = 0. Ponadto, jeśli S L(H) oraz dla każdego x H T x, x = Sx, x, to T = S. 7

Dowód. kartka, strona 21 Uwaga [ 6.4. Jeżeli ] K = R, to powyższe twierdzenie nie jest prawdziwe, wystarczy wziąć H = R 2 oraz 0 1 T = 1 0 Definicja 6.1. Niech T L(H). Wówczas T nazywamy 1. samosprzężonym (hermitowskim), jeżeli T = T, 2. dodatnio (ujemnie) określonym, jeżeli dla każdych x H spełniony jest warunek T x, x 0 ( T x, x 0), 3. normalnym, jeśli T T = T T, 4. unitarnym, jeśli T T = T T = Id, 5. rzutem, jeśli T 2 = T. Widać, że operatory samosprzężone i unitarne są normalne. Twierdzenie 6.5. Niech K = C. Wówczas odwzorowanie T L(H) jest samosprzężone wtedy i tylko wtedy, gdy T x, x jest liczbą rzeczywistą dla każdego x H. Twierdzenie 6.6. kartka, strona 20 Uwaga [ 6.7. Jeżeli ] K = R, to powyższe twierdzenie nie jest prawdziwe, wystarczy wziąć H = R 2 oraz 0 1 T = 1 0 Twierdzenie 6.8. Jeśli T L(H), to N(T ) = R(T ) oraz N(T ) = R(T ). Dowód. kartka, strona 21 Twierdzenie 6.9. Niech K = C oraz T L(H). Wówczas T jest normalny wtedy i tylko wtedy, gdy T x = T x dla każdego x H. Jeżeli T jest operatorem normalnym, to: 1. N(T ) = N(T ), 2. N(λ Id T ) = N(λ Id T ), 3. T (N(λ Id T )) N(λ Id T ) oraz T (N(λ Id T ) ) N(λ Id T ), 4. jeśli λ 1, λ 2 są różnymi wartościami własnymi operatora T, to podprzestrzenie własne odpowiadające tym wartościom własnym są wzajemnie prostopadłe. Dowód. kartka, strona 22 Twierdzenie 6.10. Niech T L(H) będzie samosprzężony. Wówczas 1. σ(t ) R (a nawet σ(t ) [ T, T ]). 2. T = sup T x, x x =1 Dowód. Kartka, strona 23,24 Lemat 6.11. Niech T K(H), λ 0 oraz Dowód. Kartka, strona 25 inf (T λ Id)h = 0. Wówczas λ σ(t ). h =1 8

Lemat 6.12. Niech T L(H) będzie zwartym operatorem samosprzężonym. Wówczas przynajmniej jedna z liczb ± T należy do spektrum T. Dowód. Kartka, strona 24 Twierdzenie 6.13 (Twierdzenie spektralne). Niech T K(H) będzie operatorem samosprzężonym, P λ będzie projekcją ortogonalną na N(λ Id T ). Wówczas Dowód. Kartka, strona 27,28 T = λ σ(t )\0 Wniosek 6.14. Przyjmijmy założenia twierdzenia spektralnego. Wówczas λp λ, (1) 1. 2. w szczególności w szczególności R(T ) = N(λ Id T ), λ σ(t )\({0} x = P λ (x). λ σ(t )\({0} H = N(λ Id T ), λ σ(t ) x = P λ (x). λ σ(t ) Dowód. Kartka, strona 28 Twierdzenie 6.15. Operator T K(H) jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg operatorów skończenie wymiarowych (T n ) takich, że lim n T n T = 0. 7 Operatory Fredholma Jeżeli E jest przestrzenią liniową oraz M jest liniową podprzestrzenią E, to zawsze mamy rozkład E = M M oraz codim(m) = dim(m ). Konsekwentnie dim(e) = dim(m) + codim(m). W całym rozdziale będziemy zakładać, że E, F są przestrzeniami Banacha Twierdzenie 7.1 (Twierdzenie Banacha o domkniętych wartościach). Niech T L(E, F). Następujące warunki są równoważne 1. R(T ) jest domknięty, 2. R(T ) jest domknięty, 3. R(T ) = N(T ), 4. R(T ) = N(T ), gdzie N(T ) = {y F : y, y = 0 dla każdego y N(T )} N(T ) = {x E : x, x = 0 dla każdego x N(T )} 9

Definicja 7.1. Operator T L(E, F) nazywamy operatorem Fredholma, jeżeli dim N(T ), codim R(T ) są skończone. Liczbę ind(t ) = dim N(T ) codim R(T ) nazywamy indeksem T. Przestrzeń operatorów Fredholma będziemy oznaczać F(E, F). Twierdzenie 7.2. F(E, F) jest otwartym podzbiorem przestrzeni L(E, F) oraz odwzorowanie ind: F(E, F) Z jest lokalnie stałe. Twierdzenie 7.3. Operator T L(E, F) jest operatorem Fredholma wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje operator S L(F, E) takie, że T S Id, ST Id są zwarte. Ogólnie, operator T L(E, F) jest operatorem Fredholma wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularyzowalny w sposób zwarty (compactly regularizable), tzn. istnieją operatory R, L L(F, E) oraz S 1 L(F), S 2 L(E) takie, że T R = Id +S 1, LT = Id + S 2. Operatory R, L nazywa się prawą i lewą regularyzacją operatora T. Twierdzenie 7.4. Niech T : E F będzie operatorem Fredholma. 1. Jeżeli ind(t ) = 0 oraz N(T ) = {0}, to równanie T x = y(x X) ma dokładnie jedno rozwiązanie dla każdego y F oraz T 1 L(F, E). 2. Zbiór R(T ) jest domknięty. Dla każdego y F równanie T x = y ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy x, y = 0 dla każdego x N(T ). 3. Zaburzenie T + S jest również operatorem Fredholma oraz ind(t + S) = ind(t ), jeżeli S L(X, Y ) i spełniony jest jeden z warunków: (a) S jest zwarty, (b) norma operatora S jest mniejsza od liczby dodatniej zależnej od T. 4. Operator dualny T jest również operatorem Fredholma oraz dim N(T ) = codim R(T ), codim R(T ) = dim N(T ). Ponadto ind(t ) = ind(t ). Równanie T x = y (x Y ) ma rozwiązanie dla ustalonego y X wtedy i tylko wtedy, gdy y, x = 0 dla każdego x N(T ). 5. Niech T, S będą operatorami Fredholma. Wówczas złożenie T S oraz iloczyn T S również są operatorami Fredholma. Co więcej, ind(t S) = ind(t ) + ind(s) = ind(t S). Przykład 7.1. Przykłady operatorów Fredholma. 1. Jeżeli T L(R n, R m ), to T jest operatorem Fredholma o indeksie n m. 2. Jeżeli T K(E), to dla dowolnego λ R operator Id λt jest operatorem Fredholma o indeksie 0. 3. Jeżeli T K(E) oraz S Gl(E), to T + S jest operatorem Fredholma indeksu 0. 10