A. Kac: Systey eletroeergetycze 45 3 OBLICAIE ROPŁWÓW MOC 3. Rozpływ ocy w zaętych secach eletroeergetyczych (SEE) Oblczae rozpływów ocy a a celu wyzaczee stau ustaloego sec eletroeergetycze prądu przeeego, przy syetryczy obcążeu węzłów. Rozpatrue sę węc edye seć zgodą. Day weścowy są oce węzłowe etóre apęca węzłowe. W wyu oblczeń otrzyuey oce w gałęzach sec, straty ocy oraz brauące w daych weścowych apęca oce węzłowe. Wszyste wyeoe welośc oblczay z apęć węzłowych. Wyzaczee apęć węzłowych, t. wetora stau X, est zadae ażde obece stosowae etody oblczeowe. czterech welośc charateryzuących ażdy węzeł (oc czya, bera, dwe sładowe apęca) ależy zać dwe welośc, aby óc wyzaczyć dwe pozostałe. Ogóle wybór welośc, tóre uszą być zae est dowoly, choć zależy o od przyętego odelu ateatyczego sec. Rozpatrzy seć lową o węzłach M gałęzach. Sta sec est zdeteroway wetore wyuszeń, tórego współrzędy est zeych. ee te wyaą z daych weścowych dla węzłów, tóre dzely w astępuący sposób:. dla węzłów odborczych (w lczbe ) dae są oce odberae czye P bere Q,. dla węzłów geeratorowych (w lczbe G) daa est oc czya P oduł apęca, 3. dla węzła blasuącego (edego) zadae sę oduł apęca oraz ego fazę δ, przy czy: G (3.) Wyzaczay wetor stau X a za współrzęde apęca w (-) węzłach sec (apęce w węźle blasuący est zae). apęce w węźle oża przedstawć w postac trygooetrycze algebracze: e δ,, K (3.) Współrzędy wetora stau oże być (-) odułów, oraz (-) ątów fazowych δ lub (- ) sładowych oraz sładowych. Sładowe, wąże G rówań typu: (3.3) Wszyste e welośc są uż łatwe do wyzaczea, gdyż prąd, oce gałęzowe oraz straty ocy czye bere w gałęz łatwo wyzaczyć z różc apęć a gałęz. powyższych apęć węzłowych tworzyy wetor stau X według poższe zależośc: [ δ ] lub X [ ] X (3.4) Moce węzłowe (tz. oce dopływaące do węzłów) apęca węzłowe, łączy astępuąca zależość elowa: S I (3.5)
A. Kac: Systey eletroeergetycze 46 W rówau (3.5) przyęto, że apęca są apęca ędzyprzewodowy co w wyu dae oce trófazowe. Moce węzłowe oce odberaa w węzłach uszą być edaowe, czyl: ( X) S F( X) S (3.6) z gdze: S ( X) - wetor oblczoych ocy węzłowych, S - oce zadae w węzłach. z a podstawe rówaa (3.6) oża uzysać astępuące postace rówaa FX :. We współrzędych beguowych: ( ) [ G cos( δ δ ) B s( δ δ )] P G [ G s( δ δ ) B cos( δ δ )] Q B (3.7) (3.8) co dae (-) rówań. Jedocześe zay G odułów apęć w węzłach geeratorowych, czyl tyle sao est rówań zadaych odułów apęć co współrzędych wetora stau: (-) G (G) - (-) (3.9). We współrzędych prostoątych: ( G B ) ( G B ) P G (3.) ( G B ) ( G B ) Q G oraz ay G rówań (3.3), co dae w sue: (3.) (-)G(-) (3.) rówań, czyl tyle sao co współrzędych wetora stau. W powyższych rówaach ozaczoo: S P Q - oc węzłowa dopływaąca z zewątrz sec do węzła -tego, G B - eleet acerzy adtacye sec. Rówaa (3.7) (3.8) lub (3.) (3.) są odela ateatyczy stau ustaloego, wyzaczoego oblczea rozpływowy. Moża tu wyróżć astępuące odele eleetów:
A. Kac: Systey eletroeergetycze 47 seć - acerz, odbory - stała oc P, Q, geeratory - stała oc P apęce, wybray ede geerator - stałe apęce. ład rówań elowych rozwązue sę etoda teracyy, w ty celu ależy e przedstawć w postac: ( ) X ϕ X (3.3) przy czy, des góry ozacza uer terac, a ϕ est wetorową fucą teracyą. Wetor X spełaący poższe rówae: X ( ) ϕ (3.4) X azywa sę pute stały (ezeczy) przeształcea est szuay rozwązae. W przypadu rówań rozpływu ocy teresuące est: czy etoda est zbeża przy ażdy puce startowy, czas oblczeń ede terac, rząd p zbeżośc etody lub lczba terac daących rozwązae o wystarczaące doładośc. Waru zbeżośc procesu teracyego są astępuące:. Jeśl fuca ϕ ( X) est różczowale wypuła w pewy otoczeu putu X, to warue zbeżośc est: ρ ax λ < ( ) { } W (3.5) gdze: {W} - zbór uerów zeych ezależych; λ - wartośc włase acerzy Jacobego fuc wetorowe ( X) wzoru: [ ( X ) λ ] det J (3.6) Macerz Jacobego J ( X ) zdefowaa est astępuąco: ϕ J ( X ) dla, { W} (3.7) x x x gdze: - uer wersza, - uer oluy. ϕ w puce X oblczoe z. Jeśl stee lczba aturala p węsza lub rówa edośc oraz rzeczywsta c taa, że:
A. Kac: Systey eletroeergetycze 48 l X X X X p c (3.8) to p azyway rzęde zbeżośc etody teracye. 3. Metody oblczaa apęć węzłowych w secach zaętych 3.. Metoda Gaussa echa teracya Gaussa wyaga przedstawea rozwązywaego uładu rówań do postac z rówaa (3.3). Iterace te powtarza sę ta długo, dopó popraw apęcowe we wszystch węzłach sec będą ały wartość eszą od założoe doładośc oblczaa odułów apęć węzłowych (ε) tz.: < ε dla,, K (3.9) W etodze te fucę teracyą uzysue sę z odpowedo przeształcoego rówaa (3.5) co zapewa optyalą zbeżość procesu teracyego: P Q * (3.) Po przedstaweu rówaa (3.) we współrzędych prostoątych, otrzyue sę gotowe wzory teracye: a b a b ( ) ( ) (3.) b a b a ( ) ( ) (3.) gdze odpowede współczy aą postać: a P G QB (3.3) b P B QG (3.4)
A. Kac: Systey eletroeergetycze 49 a GG BB (3.5) b GB BG (3.6) wzorów (3.) (3.) ożey orzystać w przypadu oblczeń dla węzła odborczego. Dla węzła geeratorowego tworzyy dodatową pętlę, w tóre oblczay: oc berą węzłową z wzoru (3.), apęce w ty węźle z wzorów (3.) (3.), różcę ędzy oblczoy apęce a apęce założoy ao stałe dla tego węzła. Gdy różca ta est esza od założoe popraw apęcowe ończyy proces teracyy dla tego węzła. Występue tuta zależość od putu startowego, lecz tylo w secach źle uwaruowaych (wele obcążea węzłów odborczych, długe le proeowe sle obcążoe). Rząd zbeżośc est perwszy (p), a czas oblczeń ede terac est rót. Koecza est eda duża lczba terac dla uzysaa wystarczaące zbeżośc oblczeń. 3.. Metoda Gaussa - Sedla Fuca teracya est tu taa saa a w etodze Gaussa, lecz podstawa sę do e apęca uż wyzaczoe w terac ()-sze, apęca pozostałych węzłów berze sę z terac -te, a węc w oblczeu apęca w -ty węźle, w terac ()-sze wyorzystue sę apęca: [, K,,, K ] (3.7) Jest to właścwe etoda Gaussa z relasacyy prowadzee terac zapropooway przez Sedla. 3..3 Metoda lasycza ewtoa-raphsoa W etodze lasycze ewtoa-raphsoa fucę teracyą tworzy sę, wyorzystuąc lowe przyblżea przyrostów fuc (rozład a szereg aylora): ( X) F( X ) J X F (3.8) a węc: ( J ) F( X ) X (3.9) Macerz Jacobego wyzaczoa w puce F X X X X est postac: J (3.3) rówaa (3.9) wya zależość teracya:
A. Kac: Systey eletroeergetycze 5 X ( J ) F( X ) X X X (3.3) Metoda ta est szybo zbeża (p), lecz zależe od putu startowego oże prowadzć do rozwązaa epodstawowego. worzee acerzy Jacobego e odwrotośc w ażdy rou est bardzo pracochłoe. Rówae (3.7) oża zapsać w postac: F ( X ) S J X (3.3) Rówae powyższe w uładze współrzędych beguowych, po poęcu desu górego ozaczaącego uer terac, oża zapsać ao: P H Q M δ L (3.33) (3.34) P Pzad Pobl (3.35) Q Qzad Qobl P Pzad Pobl P obl H δ δ δ δ (3.36) Pobl (3.37) Q obl M δ (3.38) Qobl L (3.39) gdze: P, Q - welośc ocy zadaych w węźle -ty; zad zad P - welośc ocy w -ty węźle oblczoe z wzorów, p. (3.7), (3.8). obl, Qobl Podacerze H,, M L acerzy Jacobego oża oblczyć z wzorów od (3.36) do (3.39). Powstaą wtedy dwa przypad:. H Pobl ( G s δ B cos δ ) (3.4) δ
A. Kac: Systey eletroeergetycze 5 M L Pobl ( G cos δ B s δ ) (3.4) Qobl ( G cos δ B s δ ) (3.4) δ Qobl ( G s δ B cos δ ) (3.43). [ ( G s δ B cos δ )] Pobl H (3.44) δ P obl G [ ( G cos δ B s δ )] (3.45) Q obl M [ ( G cos δ B s δ )] (3.46) δ L Q obl lub w postac: B [ ( G s δ B cos δ )] (3.47) H Q B (3.48) P G (3.49) M L P G (3.5) Q B (3.5) Podobe wyprowadzee oża by wyoać w przypadu przedstawea wetora szuaych apęć węzłowych w uładze współrzędych prostoątych: P H Q M L (3.5)
A. Kac: Systey eletroeergetycze 5. H P (3.53) obl I I δ Pobl I I (3.54) M Q (3.55) obl I I δ L Qobl I I (3.56) gdze: I I I (3.57). wzory od (3.48) do (3.5). 3..4 odyfowaa etoda ewtoa X Fuca teracya a tu postać: ( J ) F( X ) X (3.58) gdze: J - est acerzą Jacobego, wyzaczoą w puce startowy. abardze pracochłoą operacę (odwracae acerzy Jacobego) przeprowadza sę tylo ede raz. Pozostałe własośc - a w etodze lasycze, lecz lczba terac est węsza. 3..5 Rozłącza etoda ewtoa Fuca teracya w etodze ewtoa-raphsoa słada sę z grupy zaweraące oce czye P oraz grupy, zaweraące oce bere Q, tóre zapsao astępuąco: P Q H M L δ (3.59) Oazue sę, że podacerze poza główą przeątą aą eleety o wartoścach blsch zeru, oża węc e poąć przyąć, że:
A. Kac: Systey eletroeergetycze 53 P Q H δ L (3.6) Fuce teracye przyberaą wtedy postać: δ δ ( H ) P δ ( J ) P Pδ ( L ) Q ( J ) Q Q (3.6) (3.6) astąpła tu deopozyca rodzaowa zeych, pozwalaąca odwracać zaast acerzy duże o wyarze (-)*(-), dwe acerze esze o wyarze (-)*(-), co zesza zacze pracochłoość w ażde terac. Metoda ta odpowada założeu, że a welość ocy czye wpływa edye ąt δ, a a welośc ocy bere - oduł apęca. 3..6 Metoda Stotta W etodze Stotta fuca teracya est postac: δ δ ( H ) P ( L ) Q (3.63) (3.64) Podacerze będące częśca Jacobau odwraca sę tuta tylo raz w perwszy rou teracyy, co eszcze bardze zesza czasochłoość oblczeń. 3..7 Metoda va essa. Jest to odyfaca etody ewtoa-rapsoa, polegaąca a poęcu w acerzy Jacobego eleetów wzaeych, tz.: H L M dla (3.65) Wszyste wyrazy dagoale w podacerzach H,, M oraz L są róże od zera, czyl: H (3.66) (3.67) M (3.68) L (3.69) Odpowada to założeu, że a welośc ocy w węźle -ty e aą wpływu welośc apęca w pozostałych węzłach systeu. Po przegrupowau zeych uzysue sę acerz Jacobego w postac acerzy quazdagoale o podacerzach a dagoal stopa x.
A. Kac: Systey eletroeergetycze 54 H J (3.7) M L Odwraca sę węc tu (-) acerzy stopa x. Rząd zbeżośc etody p a lczba terac est duża, zwłaszcza przy eodpowedo dobray puce startowy. Współczy podacerzy Jacobego, wyorzystywae w etodze va essa, aą postać: H P Q B δ (3.7) P P G (3.7) M L Q P G δ (3.73) Q Q B (3.74) Odwracae podacerzy Jacobego lowych: J zastępue sę ażdorazowo rozwązywae uładu rówań (3.75) P H δ (3.76) Q M δ L Dae to ożlwość orzystaa z gotowych wzorów a popraw odułu arguetu apęca w - ty węźle: M P Q H (3.77) M L H P δ (3.78) H W przypadu węzła geeratorowego oża przyąć, że. 3..8 Metoda Warda - Halea. Róż sę od etody va essa edye ty, że fuce przedstawoe są we współrzędych prostoątych (patrz wzory (3.7).
A. Kac: Systey eletroeergetycze 55 3.3 względee współczyów relasac względee współczyów relasac polega a zae oblczoe popraw apęcowe o pewą wartość:. współrzęde prostoąte: ( ) ( ) (3.79) (3.8). współrzęde beguowe: δ δ δ δ ( ) ( δ δ ) (3.8) (3.8) W przypadu gdy:. > to ay do czyea z tzw. etodą adrelasac a współczy azyway współczya adrelasac,. < to ay do czyea z tzw. etodą podrelasac a współczy azyway współczya podrelasac, Współczy relasac ustala sę dośwadczale w zależośc od welośc sec stopa e obcążea. W przypadu realych sec eletroeergetyczych przyue sę,-,6. 3.4 Metody oblczeń apęć węzłowych zastosowaych w prograe. Progra oblczeowy, zastosoway w ćwczeu, wyorzystue astępuące etody oblczea apęć węzłowych w aalzowae sec eletroeergetycze: a) etodę Gaussa-Sedla, b) etodę ewtoa-raphsoa, c) zodyfowaą etodę ewtoa-raphsoa, d) rozłączą etodę ewtoa-raphsoa, e) etodę Stotta, f) etodę va essa, g) etodę hybrydową. W etodze hybrydowe oblczoe w lu teracach Gaussa-Sedla apęca węzłowe, tworzą odpowed zbór putów startowych dla ych etod: a) etody ewtoa-raphsoa, b) etody Stotta, c) etody va essa, zapewaąc zbeżość e oblczeń. Puty startowe dla terac Gaussa-Sedla lub dla ych etod zadae są astępuąco: a) W węzłach odborczych: dla, K (3.83) lub
A. Kac: Systey eletroeergetycze 56 δ dla, KO (3.84) gdze: - apęce zaoowe -tego węzła. b) W węzłach geeracyych: dla, KG (3.85) lub δ dla, KG (3.86) gdze: - apęce zadae w węźle geeracyy. W prograe przyęto edolty, dla różych etod oblczaa apęć węzłowych, sposób przerywaa procesu teracyego uzawaa otrzyaych wyów za prawdłowe. y ryteru est wartość ezblasowaa ocy w węźle, zadawae przez obsługuącego progra. Róweż uzawae procesu oblczeowego za rozbeży est oparte o wartość ezblasowaa ocy w węźle. 3.5 Oblczea w sec weloapęcowe Rozpatrzy czwór typu łączący węzły oraz. Rys. 3.. Scheat zastępczy gałęz w postac czwóra typu Π. Rówae potecałów węzłowych tego eleetu est postac : I I lub (3.87) I (3.88) przy czy adtace włase wzaee występuące we wzorze (3.87) oża uzależć od pedac czwóra:
A. Kac: Systey eletroeergetycze 57 (3.89) (3.9) (3.9) ałóży, że węzły oraz chcey eć a y pozoe apęca. Ozaczay, że węzeł a owy pozoe apęca ao a węzeł ao. Przelczee apęć, a owe pozoy apęca oża zapsać w postac: (3.9) (3.93) gdze:, - przełade sprowadzaące apęca węzłów oraz a owe pozoy apęca. Rówaa (3.9) (3.93) oża zapsać acerzowo : lub (3.94) (3.95) (3.96) ależość ędzy prąda węzłowy a stary owy pozoe apęca będze postac: I I lub ( ) ( ) I I I ( ) (3.97) I (3.98) Wyścowe rówae potecałów węzłowych (3.88) przelczay a owe pozoy apęć astępuąco: ( ) I ( ) ( ) I (3.99)
A. Kac: Systey eletroeergetycze 58 otrzyuąc: I (3.) gdze : ( ) ( ) (3.) Przeształcee rówaa (3.88) do postac (3.) est przeształcee lowy, utary azywae est przeształcee "sprowadzea". Gdyby to przeształcee zastosować do acerzy pedacye węzłowe sec to acerz sprowadzoa est postac : (3.) Podstawaąc eleety acerzy adtacye do wzoru (3.) otrzyay acerz adtacyą sec sprowadzoą: (3.3) Powyższa acerz est esyetrycza, e posada, węc swego odpoweda w postac obwodu eletryczego pasywego a wyścowa acerz adtacya. Gdy przełade sprowadzea są lczba rzeczywsty, co zazwycza a esce, to acerz ta est wyrażoa astępuący wzore: (3.4) lub (3.5) Macerz adtacya sec sprowadzaa est teraz syetrycza. Moża węc zbudować obwód eletryczy będący odpowede acerzy oreśloe wzore (3.5). Rozpatrzy przypade szczególy tego przeształcea, a aowce gdy doouey przeształcea sprowadzea eleetu z edego pozou apęca a drug, czyl gdy :
A. Kac: Systey eletroeergetycze 59 (3.6) Macerz adtacya sec sprowadzoa est postac : (3.7) Drug typowy warate przeształcea sprowadzea est ego zastosowae dla gałęz z trasforatore. ałożoo, że pedace gałęz oblczoo a pozoe apęca węzła a przełada trasforatora zdefowao ao: (3.8) wzoru (3.8) wya, że w rozpatrywae gałęz est zastaloway trasforator posadaący regulacę podłużą poprzeczą. względaąc wzory ogóle operac sprowadzea (3.95) w day przypadu ay: (3.9) (3.) Podstawaąc (3.9) (3.) do (3.3) otrzyuey acerz adtacyą te gałęz o postac: (3.) Powyższa acerz est acerzą esyetryczą, e oża węc dla trasforatora z regulacą poprzeczą arysować scheatu zastępczego. W przypadu, gdy zastaloway w rozpatrywae gałęz trasforator posada tylo regulacę podłużą, tz.: (3.) wtedy acerz adtacya gałęz wyraża sę wzore : (3.3)
A. Kac: Systey eletroeergetycze 6 Powyższa acerz est acerzą syetryczą, oża węc dla trasforatora z regulacą podłużą arysować scheat zastępczy. W oblczeach rozpływów ocy w sec weloapęcowe sposób postępowaa zazwycza est ta, że wszyste gałęze zastępuey acerzą adtacyą oreśloą wzore (3.) przy czy, gdy w dae gałęz e a trasforatora to. apęca prądy węzłowe są wtedy a ch rzeczywsty pozoe apęca. aąc acerze adtacye gałęz sec ożey oblczyć acerz adtacyą całe sec, a astępe rozwązywać teracye odpowed uład rówań elowych, opsaych w poprzedch rozdzałach. Chcąc oblczyć oc w gałęz łączące węzły oraz trzeba sorzystać z rówań (3.6) (3.97). Po prostych przeształceach otrzyuey: S (3.4) S (3.5) Stosuąc powyższe wzory otrzyuey oce odpływaące ao dodate ta a we wzorze (3.6). Straty poprzecze w l to sua ostatch sładów z tych wzorów. Straty podłuże oża oblczyć ao suę ocy oblczoych za poocą wzorów (3.4) (3.5) poeszoą o straty poprzecze, paętaąc o zaach.