grudzień 2013
Filtracja Rozważamy płyn niosący z sobą cząstki w ośrodku porowatym. Cząstki taki mogą zderzać się z ziarnami (włóknami) ośrodka porowatego i przyklejać się do ich powierzchni. To jeden z ważnych procesów w obróbce zanieczyszczonych strumieni gazów lub cieczy, takich np. jak filtry ze specjalnych włókien do usuwania zanieczyszczeń: kurzu, pyłków kwiatowych z powietrza (odkurzacz); filtry ziarniste do usuwania osadów i bakterii z wody pitnej. Takie układy filtrujące powodują zazwyczaj wyraźny spadek ciśnienia (różnicy ciśnień), szczególnie jeżeli mamy do czynienia z filtrami zanieczyszczonymi.
mechanizmy wychwytu pojedynczego kolektora Klasyczne mechanizmy wychwytu cząstek w filtracji hydroi aerozoli. Przepływ laminarny, wokół pojedynczego kolektora. Większość filtrów powietrza ma strukturę włóknistą kolektorem jest walec, prostopadły do płaszczyzny, w której zachodzi przepływ; dla filtrów cieczy (wody) kolektorem będzie sfera.
cztery mechanizmy wychwytu pojedynczego kolektora Bezpośredni przechwyt w którym cząstka, poruszająca się wzdłuż linii prądu przechodzi na tyle blisko kolektora, że zderza się z nim. (Dla cząstek dostatecznie małych,) możemy mieć wychwyt konwekcyjno-dyfuzyjny losowy, zygzakowaty tor cząstki może ją (losowo) sprowadzić do powierzchni kolektora. Mechanizm inercyjny (był już dyskutowany w rozdz. 2.) Dla dużych prędkości cząstek (małych oporów lepkich) tory cząstek nie odchylają się wokół kolektora (tak jak linie przepływu płynu). Ten mechanizm ma zasadnicze znaczenie w filtracji cząstek ze strumieni gazu (duża różnica gęstości pomiędzy cząstkami a medium-nośnikiem.) (w niektórych układach wodnych,) możemy mieć do czynienia z osadzaniem się grawitacyjnym cząstek na powierzchni kolektora (prędkość osadzania się jest dużo większa od prędkości przepływu obok kolektora; cząstka ulega wytrąceniu).
mechanizmy wychwytu pojedynczego kolektora Bezpośredni przechwyt Wychwyt konwekcyjnodyfuzyjny Mechanizm inercyjny Osadzanie się grawitacyjne
przechwyt bezpośredni Dla przypadku przechwytu bezpośredniego zakładamy brak ruchów Browna, jest to równoważne przyjęciu dużych wartości liczby Peckleta (1) Pe = Ud cz D AB. (d cz średnica cząstki; U prędkość przepływu; D AB wsp. dyfuzji cząstki w płynie-nośniku.) Koncentracja cząstek jest równa zeru na powierzchni kolektora (wychwycone cząstki tracą samoistny byt) i w sposób gładki musi się dopasować do pewnej (stałej) koncentracji cząstek w głównym nurcie pomocne tu będzie pojęcie warstwy granicznej koncentracji (rozdz. 7.). Ponieważ liczba Peckleta jest duża, to grubość warstwy granicznej jest bardzo (nieskończenie) mała. Pozwala to użyć pewnego sprytnego uproszczenia: kolisty profil kolektora rozciągamy na płasko i wprowadzamy współrzędne kartezjańskie x (punkt na obwodzie kolektora) i y (wysokość nad obwodem)
przepływ obok kolektora i transformacja cienkiej warstwy granicznej
przechwyt bezpośredni składowe prędkości w układzie kartezjańskim (v x u; v y v) (2) u = 4A cyl U y a sin x a ( y ) 2 x (3) v = 2A cyl U cos a a, gdzie (4) A cyl = 1 2(2 ln Re) Re = 2aU ν. (a promień kolektora).
przechwyt bezpośredni Szybkość zderzeń cząstki-kolektor to po prostu transfer masy do powierzchni kolektora. Cząstki mają skończony promień ich środek masy może się zbliżyć na odległość nie mniejszą niż ich promień a cz. Transfer masy następuje więc do objętości kontrolnej, przez powierzchnię ograniczoną linią przerywaną na rysunku. transfer masy cząstek na jednostkę głębokości objętości kontrolnej [ = 2n 2A cyl U ( a cz a πa W 2 = 2n 0 v(y = a cz ) dx ) 2 ] πa 2 0 cos x a dx... = 4n A cyl R 2 au. n to koncentracja cząstek w płynie poza objętością kontrolną; czynnik 2 bo mamy cząstki z góry (NW) i z dołu (SW).) R = a cz /a to parametr przechwytu. ( )
przechwyt bezpośredni wydajność (pojedynczego) kolektora...... jest stosunkiem transferu masy równanie (**) do całkowitego transferu masy (na jednostkę głębokości) 2aUn : (5) η cyl,prz.bezp. = 4n A cyl R 2 au 2aUn = 2A cyl R 2. Tak było dla kolektora cylindrycznego, dla sferycznego mamy (6) η sf,prz.bezp. = 3 2 R2, gdzie R to parametr przechwytu. (R = a cz /a sf.)
przechwyt dyfuzyjno-konwekcyjny... obliczamy korzystając z wyników rozdz. 7., gdzie podaliśmy wzór określający transfer masy do sfery. Jego (nieco przerobiona ) postać (7) W = 7.98a 4/3 D 2/3 ABU 1/3 n. Analogicznie (8) η sf,konw dyf = 7.98a4/3 DABU 2/3 1/3 n = 7.98 πa 2 Un π D 2/3 AB a 2/3 U 2/3 = 4.0Pe 2/3. Tutaj Pe = 2aU/D AB. założenia: małe liczby Reynoldsa (przepływ Stokesa), cienka warstwa graniczna koncentracji (duża liczba Sc), cząstka punktowa (jej średnica nie pojawia się we wzorach). Małe Re i duże Sc implikują (dość) duże Pe. Sc = Pe/Re. Dla kolektora cylindrycznego: (9) η konw dyf,cyl = 3.68A 1/3 cyl Pe 2/3.
Mechanizm depozycji grawitacyjnej...... jest analogiczny do sedymentacji-koagulacji (rozdz. 3.) Transfer masy dla pojedynczego, sferycznego kolektora to (10) W = π(a cz + a) 2 v gr c, gdzie v gr to końcowa (graniczna) prędkość Stokesa osadzania się cząstek. (11) η sf,graw = π(a cz + a) 2 v gr c πa 2 Uc v gr U, (dla a cz a.)
Mechanizm inercyjny...... ma zasadnicze znaczenie w filtracji cząstek ze strumieni gazu (duża różnica gęstości pomiędzy cząstkami a medium-nośnikiem).
Mechanizm inercyjny... można rozpatrzyć posługując się narzędziem analizy wymiarowej. Wielkości, jakie uwzględniamy w naszej analizie to: d k średnica kolektora = 2a [L] d cz średnica cząstki = 2a cz [L] U prędkość niezaburzonego przepływu [L/T ] ρ gęstość płynu [M/L 3 ] µ lepkość płynu [ML 1 T 1 ] ρ cz gęstość cząstki [M/L 3 ] Tzw. twierdzenie π Buckinghama mówi, że w problemie fizycznym, w którym występuje n parametrów i m wymiarów będzie zawsze n m niezależnych bezwymiarowych kombinacji tych parametrów. Z powyższej listy: n = 6 i m = 3. Stosujemy tzw. technikę Raleigh a, zakładając, że iloczyn (12) d a k d b cz U c ρ d µ e ρ f cz będzie przy odpowiednim doborze wykładników a,..., f stałą bezwymiarową.
Mechanizm inercyjny... Wstawiając do wymiary z listy mamy (13) L a L b ( L T d a k d b cz U c ρ d µ e ρ f cz otrzymujemy układ trzech równań ) c ( ) M d ( ) M e ( ) M f L 3 L T L 3 dla L : a + b + c 3d e 3f = 0, dla M : d + e + f = 0, dla T : c e = 0 Z trzeciego: c = e, z drugiego d = e f. Podstawiając do pierwszego: a = b e, a więc (14) d b e k d b cz U e ρ e f µ e ρ f cz = stała bezwymiarowa,
Mechanizm inercyjny... d b e k d b cz U e ρ e f µ e ρ f cz = stała bezwymiarowa, albo (15) ( dcz d k ) b ( µ ) e ( ρcz d k Uρ ρ ) f = stała bezwymiarowa. Mamy więc te trzy bezwymiarowe parametry: parametr przechwytu, odwrotność liczby Reynoldsa i stosunek gęstości. Wprawdzie liczba Stokesa nie pojawiła się w naszej analizie, ale łatwo ją odnaleźć. Odległość hamowania (rozdz. 2) (16) S = ρ czd 2 czc c U, 18µ (C c poprawka na poślizg) zawiera w sobie gęstość cząstki i może zostać użyta zamiast niej w (12):
Mechanizm inercyjny... (17) d a k d b cz U c ρ d µ e S f = stała bezwymiarowa, (18) ( dcz d k ) b ( ) e ( ) µ S f = stała bezwymiarowa, d k Uρ d k i rzeczywiście, trzeci parametr to liczba Stokesa (19) St = S d k = ρ czd 2 czc c U 18µd k. Możemy więc stwierdzić, że wydajność wychwytu inercyjnego (20) η cyl,in = f(r, Re, St).
Mechanizm inercyjny... Wydajność wychwytu inercyjnego w funkcji liczby Stokesa. Punkty doświadczenie, linia ciągła teoria. St to stosunek odległości hamowania (miara inercji cząstki) i charakterystycznego wymiaru liniowego wzrost St oznacza wzrost bezwładności i więcej cząstek wpada na kolektor. Dla przedstawionych wyników zmiany Re były niewielkie (10 300); mały był zakres R (0.0074 0.017).
Wymienione cztery mechanizmu wychwytu...... nie są niezależne. Np. dla pewnych zakresów rozmiarów cząstek zarówno ruchy Browna, jak i dyfuzja konwekcyjna mogą być niewystarczające aby doprowadzić do wychwytu, ale z kolei mogą być dostatecznie duże, aby ukierunkować cząstkę, tak że ulegnie ona wychwytowi bezpośredniemu. Rysunek na następnej stronie pokazuje udział dyfuzji konwekcyjnej, bezpośredniego wychwytu i wychwytu inercyjnego w filtracji aerozoli. Wychwyt bezpośredni jest proporcjonalny do R 2 (na skali log-log zwykła proporcjonalność) wychwyt inercyjny jest proporcjonalny do St, a więc też do wymiarów cząstki
Wymienione cztery mechanizmu wychwytu... Udział dyfuzji konwekcyjnej, bezpośredniego wychwytu i wychwytu inercyjnego w filtracji aerozoli. (η F η cyl )
Efekty sąsiednich kolektorów na lokalne pole przepływu Z maleniem porowatości filtru wpływ sąsiednich kolektorów na filtrację (na określonym kolektorze) rośnie, szczególnie w przypadku cieczy (porowatości filtru mogą być bardzo małe, a więc kolektory bliskie siebie). Z istniejących modeli w użyciu jest np. model komórek (Happela): medium przedstawione jest jako układ identycznych komórek, które składają się z kolektora (cylinder lub sfera) otoczonego płaszczem płynu, o tak dobranych stosunkach objętości, aby oddana była porowatość ośrodka. Dla cylindrów ten efekt nagromadzenia można uwzględnić modyfikując odpowiednio czynnik A cyl w (4), np. (Happel): (21) A cyl = [ ln s 1 + s 2 (1 + s 2 ) ] 1 (s frakcja stała; s = 1 ɛ; zakładamy brak poślizgu na powierzchni cząstki; zewnętrzna powierzchnia płaszcza płynu wokół kolektora jest powierzchnią swobodną, nie podlegającą naprężeniom stycznym),
Efekty sąsiednich kolektorów na lokalne pole przepływu albo (Kuwabara) (22) A cyl = ( ln s 3 2 ) 1 s2 + 2s. 2 Podobnie, wprowadzamy poprawkę A s do wzorów (6),(8),(11): gdzie np. w modelu Happela: (23) A s = η sf,prz.bezp. = 3 2 A sr 2, η sf,konw dyf = 4.0A s 1/3 Pe 2/3 η sf,graw = A s v t U, 2(1 s 5/3 ) 2 3s 1/3 + 3s 5/3 2s 2.
Opóźnienie hydrodynamiczne Cząstka zbliżając się do kolektora musi odepchnąć płyn rozdzielający te dwa obiekty (szczególnie w przypadku wychwytu bezpośredniego i grawitacyjnego). To ujmuje kolejna poprawka (24) η sf,prz.bezp. = A s Lo 1/8 R 15/8, gdzie Lo to tzw. liczba sił van der Waalsa: 4A (25) Lo = 9πµd 2 czu (A stała Hamakera z rozdz.3.) oraz (26) η sf,graw = 3.38 10 3 A s G 1.2 v R 0.4, gdzie (27) G v = (ρ cz ρ)gd 2 cz, 18µU to parametr grawitacyjny stosunek prędkości sedymentacji (z pr. Stokesa) do U.
Wydajności wychwytu dla ziarnistych i włóknistych filtrów Poprzednie podrozdziały zajmowały się głównie wydajnością pojedynczych kolektorów, teraz chcemy wyprowadzić związek pomiędzy wydajnością takiego pojedynczego kolektora, a wydajnością filtru, składającego się z wielu włókien lub ziaren por. rysunek na następnej stronie.
Wydajności wychwytu dla ziarnistych i włóknistych filtrów Element objętości w analizie wydajności filtru.
Wydajności wychwytu dla ziarnistych i włóknistych filtrów Bilans masy (28) szybkość akumulacji masy w elemencie [M/T ] = UN l A UN l+ l A, gdzie N to liczba cząstek (o określonej masie) w jednostkowej objętości. Dla pojedynczego włókna możemy przyjąć wydajność wychwytu jako stosunek transferu masy do tego włókna i transferu masy w przepływie (przez przekrój powierzchni włókna) (29) η = W UN l 2a,
Wydajności wychwytu dla ziarnistych i włóknistych filtrów η = W UN l 2a, gdzie za η podstawiamy którąkolwiek z wydajności dyskutowanych w poprzednim podrozdziale, U jest średnią prędkością liniową a promień włókna, W transfer masy na jednostkę długości włókna [M/T L]; mamy więc (30) W = 2UN l aη. Dla obliczenia transferu masy dla wszystkich włókien mnożymy W przez L f (długość włókna) i przez liczbę włókien w elemencie objętości (stosunek odpowiednich objętości): (31) ( liczba włókien w elemencie objętości ) = sa l πa 2 L f.
Wydajności wychwytu dla ziarnistych i włóknistych filtrów Z powyższych równań: (32) UN l A UN l+ l A = 2UN l aηl f sa l πa 2 L f ; przechodząc do granicy: l 0 mamy (33) dn dl = 2sη πa N, a dla kolektorów sferycznych (ćwiczenia) (34) dn dl = 3sη 4a N.
Prawdopodobieństwo przywarcia Nie zawsze cząstka trafiająca w kolektor pozostaje trwale na jego powierzchni. Ilościowo efekt można ująć przy pomocy współczynnika prawdopodobieństwa przywarcia (35) szybkość z jaką cząstki przywierają do elementów ośr. por. α d = szybkość z jaką cząstki zderzają się z elementami ośr.por. i np. ostatnie równanie [(34)] będzie miało postać (36) albo dn dl = 3sα dη 4a N, (37) ln N L = 3sα dη N 0 4a L dla filtru o długości L. Powyższy wzór może być użyty do doświadczalnego wyznaczenia α d. (zadanie 8.7)
Spadek ciśnienia przy przejściu przez filtr Przypominamy równanie Poiseuille a z rozdziału 5.: p (38) L = KµS2 0(1 ε) 2 U, ε 3 gdzie: p to spadek ciśnienia na filtrze o długości L; ε porowatość; U prędkość, U = Q/A; K pewna stała (ok. 5); S 0 to powierzchnia właściwa ośrodka porowatego. Równ.(38) to równanie Karmana-Kożennego, wyprowadzone (jak i równ. Poiseuille a) przy założeniu przepływu laminarnego, dla którego liczba Reynoldsa zawiera w sobie średnicę ziaren ośrodka d k : (39) Re = ρud k µ. Dla Re większych od 6 przepływu nie można już traktować jako laminarny i równ.(38) zastępujemy tzw. równaniem Erguna (40) p L = 4.17µS2 1(1 ε) 2 U (1 ε) + k ɛ 3 e ρ U 2 S ɛ 3 1,
Spadek ciśnienia przy przejściu przez filtr równanie Erguna p L = 4.17µS2 1(1 ε) 2 U (1 ε) ɛ 3 + k e ρ ɛ 3 U 2 S 1, gdzie S 1 to powierzchnia ziaren na jednostkę objętości; k e = 0.48. W przypadku włóknistych filtrów, używanych w filtracji gazu, spadek ciśnienia (przepływ laminarny) można też obliczać z wzoru Hindsa (41) p L = µuf(s), d 2 k gdzie f to funkcja frakcji stałej s = 1 ɛ: (42) f(s) = 64s 1.5 (1 + 56s 3 ) dla 0.006 < s = 1 ɛ < 0.3.