Laminarna warstwa graniczna. 3 listopada Hydrodynamika Prawo Darcy ego równanie Eulera

Transkrypt

1 Hydrodynamika Prawo Darcy ego równanie Eulera i Bernoulliego Laminarna warstwa graniczna 3 listopada 2013

2 Prawo Darcy ego przepływ przez ośrodki porowate Henri Darcy, francuski inżynier-hydrolog. W połowie 19. wieku nadzorował prace związane z zaopatrzeniem w wodę miasta Dijon, stolicy francuskiej Burgundii. Prawo wywodzi się z bardzo prostych założeń, dotyczących mechanizmu przepływu płynu przez ośrodek porowaty transport płynu odbywa się poprzez cały układ nieregularnych i powykręcanych w różne strony kanalików. 1 Prędkość przepływu jest bardzo mała. Zwykle są to prędkości rzędu kilku centymetrów/dzień chyba, że znajdujemy się w bezpośrednim sąsiedztwie źródła (lub upustu), kiedy taka prędkość może być rzędu 1m/dzień. Ten fakt uprawnia nas do położenia pochodnej śledczej prędkości ( lewa strona równ. N-S) równej zeru. 2 Całkowita siła działająca na element objętości płynu składa się z: grawitacji, sił ciśnienia (zwykle bez ciśnienia zewnętrznego, np. atmosferycznego) i sił tarcia lepkiego i jest równa zeru: (1) ρg P + f tarcie lepkie = 0.

3 Prawo Darcy ego, c.d. Założenie Darcy ego polega na przyjęciu, że te ostatnie siły (tarcie lepkie cały czas odniesione do jednostki objętości) są proporcjonalne do właściwego wydatku przepływu u objętości cieczy, która przepływa w 1s przez powierzchnię 1m 2, prostopadłą do kierunku û (zauważmy, że jest to wielkość wektorowa; jest to po prostu prędkość transportu płynu w ośrodku). Jeżeli wprowadzić pojęcie prędkości średniej płynu w ośrodku v, to te dwie wielkości są powiązane z sobą poprzez porowatość ośrodka ɛ (2) u = ɛv. Założenie Darcy ego to (3) f tarcie lepkie = µ k u (µ lepkość płynu; k przepuszczalność (permeability) ośrodka, wielkość której definicja wynika właśnie z powyższego równania). Tak więc uwzględniając siły tarcia lepkiego według pomysłu Darcy ego w (1)

4 Prawo Darcy ego, c.d. (4) ρg P µ u = 0, albo k (5) u = k [ρg P ]. µ Dla pola sił ciężkości g(0, 0, g) trzy składowe skalarne to u x = k P µ x, u y = k P µ y, u z = kρg µ ( z [ z + P ]) ρg Te trzy równania to równania pojawiające się w książce Clarka; pamiętajmy P to całkowite ciśnienie (modyfikowane + hydrostatyczne).

5 Hydrolodzy wprowadzają jeszcze jedną stałą, zapisując trzy równania w notacji wektorowej (6) u = κ grad Φ gdzie κ = kρg µ to tzw. przewodność hydrauliczna, a (7) Φ = z + P ρg to tzw. wysokość słupa wody gruntowej wysokość na jakiej ustala się poziom wody, w otwartej pionowej rurze, liczony względem (dowolnie wybranego wszystko jest pod znakiem gradientu!) poziomu odniesienia. W powyższych rozważaniach zapomnieliśmy o ciśnieniu zewnętrznym (atmosferycznym). Oczywiście, jeżeli ono występuje to wysokość słupa wody gruntowej będzie odpowiednio (o ca. 10 m) mniejsza. Ale b.często ciśnienie zewnętrzne jest pomijane transport wód podziemnych odbywa się w izolacji od wpływów zewnętrznego ciśnienia atmosferycznego.

6 Prawo Darcy ego, c.d.

7 Prawo Darcy ego, c.d. Przepływ przez porowatą kolumnę. (8) u = k dp µ dx.

8 Prawo Darcy ego, c.d. Ze względu na duże podobieństwo tego wzoru ze wzorem Hagena-Poiseuille a można było to empiryczne prawo Darcy ego poddać dalszej analizie. Równ. można uogólnić do postaci u z = 1 dp 8µ dz a2. (9) v = m2 P, k 0 µ L r gdzie k 0 to pewna stała, L r długość rury, a m to tzw. promień hydrauliczny (10) m = przekrój rury (zwilżany) obwód rury. Dla zwykłej rury o promieniu a wielkość m = πa 2 /2πa = a/2 i równ. (9) staje się identyczne z równ. H-P dla k 0 = 2.

9 W prawdziwym ośrodku porowatym (11) objętość porów m = (zwilżana) powierzchnia ośrodka porowatego = ɛv, V (1 ɛ)s 0 gdzie V to całkowita objętość ośrodka, ɛ jej ułamek zajęty przez pory porowatość; S 0 to powierzchnia właściwa: jest to powierzchnia ośrodka porowatego przypadająca na jednostkową objętość frakcji stałej ośrodka (12) S 0 = powierzchnia ośrodka porowatego jednostkowa objętość frakcji stałej ośrodka. Wielkość v występująca po lewej stronie równ. (9) to średnia prędkość w porach, która jest związana z prędkością u z prawa Darcy ego (równ. (8)) związkiem v = u/ɛ.

10 Po odpowiednich podstawieniach równ. (9) przybiera postać (13) u = 1 ɛ 3 P. k 0 µ S0(1 2 ɛ) 2 L r W przypadku ośrodka porowatego L r to długość typowej rurki ośrodka, która może być powiązana z rzeczywistym wymiarem liniowym L ośrodka poprzez stałą Kożennnego K: (14) K = L r L k 0; po tym podstawieniu równ. (13) ma postać (15) u = 1 ɛ 3 P Kµ S0(1 2 ɛ) 2 L. Wartość stałej K bywa różnie przyjmowana, w zależności od typu ośrodka porowatego (np. K = 5). Zauważmy też, że z (15) i prawa Darcy ego otrzymujemy wzór na współczynnik przepuszczalności: (16) k = ɛ 3 KS 2 0(1 ɛ) 2.

11 Płyny nielepkie i równanie Eulera Płyn nielepki ( sucha woda ) opisuje równanie N-S, w którym kładziemy µ = 0. (17) ρ u + ρ(u )u = P + ρg. t Jest to tzw. równanie Eulera (już pierwszego rzędu, ale w dalszym ciągu nieliniowe). Z tego też powodu, w równaniu tym pojawia się dodatkowy problem: nie ma w nim miejsca na warunek braku poślizgu (zerowanie się prędkości na nieruchomych ściankach) kontury graniczne obszaru przepływu są także liniami prądu. Przepływ potencjalny albo bezwirowy to taki, w którym wirowość (rotacja wektora prędkości) jest równa zeru: (18) ω = u = 0. Bezwirowe przepływy to takie, w których cząsteczki płynu poruszające się wzdłuż linii prądu nie doznają obrotów. Twierdzenie Kelvina o zachowaniu (bez)wirowości w przypadku płynu nielepkiego: przepływ (np. opływ sfery), który zaczął się jako bezwirowy (gdzieś daleko ) pozostaje bezwirowym także i jej bezpośrednim sąsiedztwie.

12 Wektor, którego rotacja jest równa zeru można zawsze przedstawić jako gradient pewnej funkcji skalarnej potencjału prędkości φ. Z równ. (18) wynika więc (19) u = φ. Dla cieczy nieściśliwej i przepływu potencjalnego mamy raz jeszcze (20) 2 φ = 0, do którego muszą być dołączone odpowiednie warunki brzegowe. Z powyższego wynika, że opis przepływu potencjalnego cieczy nielepkiej sprowadza się w zasadzie do rozwiązywania równania Laplace a. Dla przepływów dwuwymiarowych (o dwóch stopniach swobody jak np. opływ sfery) istnieje jeszcze bardzo skuteczna, elegancka i fizyczna metoda odwzorowań konforemnych, albo potencjału zespolonego. Podstawy tej metody, także w zastosowaniu do przepływów można znaleźć we wspomnianym już pierwszym rozdziale wykładu MMF. Metoda odwzorowań konforemnych to naprawdę piękny przykład zastosowań matematycznego narzędzia rachunku funkcji zmiennej zespolonej, do rozwiązywania problemów fizycznych.

13 Równanie Bernoulliego Na wykładzie fizyki równanie to pojawia się zazwyczaj jako bilans energii w przepływie ustalonym (a więc taki, dla którego można określić linie i rurki prądu). Jest to równanie ruchu; dla ustalonego przepływu cieczy nielepkiej równanie Eulera (17) można zapisać (21) (u )u = 1 P + G, ρ gdzie G g; a więc G to potencjał siły ciężkości (objętościowej). Lewą stronę (21) można przekształcić wykorzystując tożsamość algebry wektorów (podwójny iloczyn wektorowy!) ( ) 1 (u u) = 2 u u u ( u) i wprowadzając wirowość (równ. (18)). Po podstawieniu mamy ( ) 1 (22) 2 u u u ω = 1 P + G. ρ

14 Po podstawieniu mamy ( ) 1 (23) 2 u u Pierwszy wyraz po prawej stronie to u ω = 1 P + G. ρ (24) 1 ρ P = 1 ρ p ( dp ρ gdzie całkowanie odbywa się wzdłuż linii prądu. Tak więc ( dp (25) ρ + 1 ) 2 u u G = u ω. Mnożąc obie strony (25) skalarnie przez u dostajemy ( dp (26) u ρ + 1 ) 2 u u G = 0, albo (27) dp ρ + 1 u u G = stała wzdłuż linii prądu. 2 ),

15 Dla ρ = constans i G = gz (oś 0z skierowana pionowo w górę) (28) p ρ u2 + gz = stała wzdłuż linii prądu powszechnie znana postać prawa zachowania trzech energii: energii sił ciśnienia, kinetycznej i potencjalnej sił ciężkości w przepływie ustalonym. Warto jeszcze na zakończenie dodać, że dla przepływu potencjalnego równ. (29) jest też słuszne, ale w sposób mocniejszy stała po prawej stronie jest stała globalną (taką samą w całej objętości cieczy).

16 Laminarna warstwa graniczna Można powiedzieć, że nauka o mechanice płynów to także nauka o sztuce kompromisu. W wielu przypadkach opisujemy realne sytuacje jako przepływy płynów w zasadzie nielepkich i okazuje się, że takie podejście w zasadzie nieźle działa. Ale nie działa ono do końca poprawnie w warstwach płynów bezpośrednio przylegających do pewnych stałych powierzchni, opływanych przez płyn. Innymi słowy: nawet jeżeli prawie wszędzie przepływ jest nielepki, to musimy pogodzić się z faktem, że istnieje coś co nazywamy warstwą graniczną, w której rzeczywisty płyn zachowuje się jak płyn lepki. W szczególności, w warstwie tej spełniony jest warunek zerowania się prędkości płynu na (nieruchomych) powierzchniach ograniczających przepływ. Takie tworzenie się warstwy granicznej obserwowaliśmy już na rysunku, w którym dolna ściana naczynia zaczyna, w chwili t = 0 ruch z prędkością U.

17 Przepływ cieczy z (niezaburzoną) prędkością U nad długą i płaską płytą

18 W tym przypadku uznajemy (znowu umownie) warstwę graniczną, za obszar w którym prędkość cieczy u 0.99U. Warstwa graniczna z rysunku jest już w pełni ukształtowana, a więc upłynął już dostatecznie długi czas aby przepływ osiągnął stan ustalony. W odróżnieniu od poprzedniej sytuacji, w której płyta była nieskończenie długa i poruszając się względem płynu powodowała stopniowe narastanie warstwy granicznej w kierunku pionowym a więc nie było tam sytuacji, którą kojarzymy z przepływem ustalonym, tutaj mamy warstwę graniczną, w której nieruchoma płyta przekazuje znajdującemu się nad nią płynowi ujemny pęd (hamuje go). Warstwa graniczna narasta w dodatnim kierunku osi 0x, a jej nachylenie powoduje, że wytwarza się pewna, różna od zera, składowa prędkości w kierunku pionowym (osi 0y). Składowa x-owa równań N-S (jak zwykle ignorujemy skutki siły ciężkości) (u x u; u y v) ma postać (29) u u x + v u y = 1 ρ p x + ν ( 2 ) u x + 2 u. 2 y 2

19 Aby rozwiązać to równanie należy go... maksymalnie uprościć, odrzucając te wyrazy które są wyraźnie mniejsze od pozostałych. Grubość warstwy granicznej δ = δ(x) jest zwykle bardzo mała w porównaniu w wartościami x i y dla których szukamy rozwiązania (30); małe są także różnice w grubości warstwy dla różnych x-ów. Możemy ( (30)) uprościć do postaci (30) u u x + v u y = ν 2 u y 2. Mamy też równanie ciągłości (31) i warunki brzegowe: (32) u x + v y = 0 u = v = 0 dla y = 0 u = U dla y = Rozwiązanie układu równań (31) i (32) jest trudne (Blasius, 1908)

20 Można wprowadzić (tak, jak robimy to metodzie potencjału zespolonego) funkcję prądu Ψ: z faktu, że spełnione jest (32) wynika, że istnieje Ψ = Ψ(x, y), takie że (33) u = Ψ y, v = Ψ x. Przy takich podstawieniach równ. (31) przyjmuje postać (34) Ψ y 2 Ψ x y Ψ x 2 Ψ y 2 = ν 3 Ψ y 3. Następnie dokonujemy podstawienia (ma ono m.in. związek z operacją pozbawiania wymiarów wielkości w równaniu): Ψ(x, y) = y νuxf(η); η = 2 νx/u po nietrudnych, ale żmudnych rachunkach dochodzimy do na pozór prostego równania (35) f + ff = 0, z warunkami: f = f = 0 dla η = 0; f ( ) = 2.

21 Rozwiązanie (36) można uzyskać numerycznie i wykorzystać obliczoną funkcję f i jej pochodne obliczone dla konkretnej wartości bezwymiarowej zmiennej η do wyliczenia u i v. Na przykład, można wyliczyć że przy kryterium dla brzegu warstwy granicznej: u = 0.99U, jej grubość δ ma postać ν (36) δ = δ(x) = 5x Ux 5x 1. Rex Wielkość Re x = Ux/ν to liczba Reynoldsa warstwy granicznej. Powyższe wzory są intuicyjnie dość oczywiste. Wynika z nich np., że gdy U rośnie to rośnie także Re x, a więc grubość warstwy granicznej maleje. Im większe U tym większa bezwładność warstw płynu w sąsiedztwie płyty i tym trudniej poddają się one wpływom lepkości.

22 Dalsze rachunki pozwalają np. wyliczyć składową tensora naprężeń na powierzchni płyty: (37) τ xy y=0 = µ u =... = U ( ) U 1/2 f (0). y y=0 4 νx Po skorzystaniu z danych numerycznych otrzymujemy ( ) U 1/2 (38) τ xy y=0 = 0.332µU. νx Ta składowa tensora naprężeń, to strumień x-tej składowej pędu w kierunku osi 0y, tzw. opór naskórkowy opływanej przeszkody (płyty).

23 Nawiązując do prawa Newtona (rozdz. 2) możemy wprowadzić współczynnik oporu naskórkowego płyty: (39) C fx = τ xy y=0 ρu 2 /2 =... = 0.664Re 1/2 x i jego wartość średnią, dla płyty o długości L (40) C fl = 1 L L 0 C fx dx =... = 1.32Re 1/2 L.