26 listopada Dyfuzja połączona z konwekcją; dyspersja; transport

Transkrypt

1 Dyfuzja połączona z konwekcją; dyspersja; transport masy 26 listopada 2013

2 Dyfuzja stacjonarna versus dynamiczna

3 Dyfuzja stacjonarna versus dynamiczna

4 Dyfuzja stacjonarna versus dynamiczna (a) klasyczna, jedno-wymiarowa dyfuzja, ze stałym stężeniem na powierzchni granicznej; (b) dyfuzja do poruszającej się strugi płynu.

5 przypadek (a) dyfuzja do pół- ośrodka; (oś 0x ku dołowi): ( ) x (1) c A = c A,0 erfc 2. D AB t Strumień A do B (2) dc A DAB J A = D AB = c dx A,0 x=0 πt. Całkowita masa m (a) A (liczba moli), która przechodzi w czasie t przez płaszczyznę o jednostkowej głębokości (w głąb strony) i szerokości L, to całka z (2) względem czasu, pomnożona przez L: DAB t (3) m A = 2c A,0 L π.

6 przypadek (b) w punkcie y = 0 płyn nie zawiera gazu, ale dla y > 0 w płynie pojawia się już coraz więcej przedyfundowanego gazu; dla stanu ustalonego gaz ma do dyspozycji czas t = y/u. Taki obraz pozwala nam skorzystać z (1), zastępując t przez y/u: x (4) c A = c A,0 erfc. 2 D AB (y/u) Podobnie (5) J A (y) = c A,0 DAB U πy,

7 D AB U J A (y) = c A,0, πy Średni strumień masy (moli) J A, który przechodzi w jednostce czasu przez płaszczyznę o jednostkowej głębokości (w głąb strony) i szerokości L, to średnia z (5) względem y, w przedziale [0, L], L: (6) m (b) A = L L 0 J(y)dy L DAB UL = 2c A,0 L. π całkowita masa m (b) A, która przechodzi w czasie t przez płaszczyznę o jednostkowej głębokości (w głąb strony) i szerokości L, to całka z (6) względem czasu: (7) m (b) A = 2c A,0 DAB UL π t 0 dt DAB UL = t. π

8 Porównując (3) i (7) widzimy, że w pierwszym przypadku ( czysta dyfuzja) ilość przetransportowanej masy jest proporcjonalna do pierwiastka z czasu; DAB t m A = 2c A,0 L π. [3] w drugim (dyfuzja wspomagana konwekcją) do czasu. m (b) A = 2c DAB UL t A,0 dt DAB UL = t. [8] π π Konwekcyjna dyfuzja jest więc skuteczniejsza, jeżeli chodzi o ilość przetransportowanej masy, szczególnie dla większych t. 0

9 Pewne uproszczenia: z (4) wynika, że dla każdego x stężenie rośnie z y-iem. Z prawa Ficka wynika, że nastąpi dyfuzja A w ujemnym kierunku y, czego nie uwzględniliśmy w naszych rozważaniach. Jeżeli jednak U jest dostatecznie duże, to konwekcja (dodatni kierunek y) skutecznie przeważa nad tym efektem. Wielkości charakterystyczne: czas dla konwekcji: L/U, dla dyfuzji (w kierunku osi 0y: L 2 /D AB por. poprzedni rozdział). Ich stosunek (8) L 2 /D AB L/U = LU D AB τ dyf τ konw Pe to tzw. liczba Peckleta. Dla dużych U i/lub L, albo małych D AB możemy (tak jak to zrobiliśmy) zaniedbać dyfuzję w kierunku y tzn. w kierunku przepływu strugi. Kolejne uproszczenie: stałość C A,0 na powierzchni granicznej. Powrócimy do tego w jednym z następnych podrozdziałów.

10 Równanie konwekcyjno-dyfuzyjne Wyprowadzenie drugiego prawa Ficka w rozdziale 6. zakładało (u = 0; ρ = const) i opisywało j A (strumień moli względem poruszającego się układu). Jeżeli rozważać n A (strumień moli względem stacjonarnego układu) to bilans masy zapiszemy ρ A t x y z = (n A,x n A,x+ x ) y z + (n A,y n A,y+ y ) z x (9) + (n A,z n A,z+ z ) x y + r A x y z. Ostatni (dodany) człon uwzględnia możliwość (jednorodnej) reakcji (absorpcji lub produkcji A) w ośrodku. dzielimy przez V = x y z i przechodzimy do granicy V dv ) (10) podstawiając do (9) za n A z ρ A t + n A = r A ; n A = ρ A u ρd AB ω A.

11 Równanie konwekcyjno-dyfuzyjne, c.d. (11) ρ A t + u ρ A + ρ A u = (ρd AB ω A ) + r A. Dla płynu nieściśliwego (stałego ρ) u = 0; przy stałym D AB (12) ρ A t + u ρ A = D AB 2 ρ A + r A. albo, po podzieleniu przez masę mola A, m A (13) c A t + u c A = D AB 2 c A + R A. (R A r a /M A ). Równania (10)- (12) to różne formy równania dyfuzyjno-konwekcyjnego dla kartezjańskiego układu współrzędnych. Uwzględnienie konwekcji zaowocowało pojawieniem się członu odpowiedzialnego za transport konwekcyjny: u ρ A.

12 Równanie konwekcyjno-dyfuzyjne, c.d. Posługując się N A zamiast n a (strumienie molowe zamiast strumieni masy) możemy przekształcić (11) w (14) c A t + u c A + c A u = (cd AB x A ) + R A ; dla stałego c i przy stałym D AB (15) c A t + u c A + c A u = D AB 2 c A + R A.

13 Równanie konwekcyjno-dyfuzyjne, c.d. Tak jak w rozdz. 5. możemy wprowadzić bezwymiarowe zmienne (16) ũ = u U ; x = x L ; t = tu L ; c A = c A, c A gdzie U, L, c A to charakterystyczne wielkości: prędkości, długości i stężenia. Z równ. (13), przy R A = 0 mamy (17) c A t + ũ c A = 1 Pe 2 c A.

14 Ustalony przepływ laminarny w rurze Profile znacznika w przepływie laminarnym w rurze, bez dyfuzji.

15 Profil znacznika i jego przekrój

16 Ustalony przepływ laminarny w rurze Prędkość w rurze wyrażamy przy pomocy prędkości średniej u z : (18) u z dz [ ( ] r 2 dt = 2u z 1. a) Równanie całkujemy dla dwóch warunków początkowych: z(t 0 = 0) z 0 dla tylnej [t od trailing] granicy znacznika oraz z(t 0 = 0) z 0 + z dla przedniej [l od leading] granicy znacznika: ( ) ] rt 2 (19) z(t) = z 0 + 2u z [1 t a oraz (20) z(t) = z 0 + z + 2u z [1 (por. rysunek w kwestii oznaczeń.) ( ) ] rl 2 t a

17 Jeżeli początkowe stężenie znacznika była równe c 0 to uśrednione radialnie stężenie w obszarze z 0 + z < z < z 0 + < 2u z t jest równa (21) [ (rl ) 2 ( ) ] c = c 0 (πrl 2 πrt 2 )/πa 2 rt 2 z = c 0 =... = c 0 a a 2u z t. Tak więc średnie stężenie znacznika maleje jak 1/t. Powyższy model to jednak pewne uproszczenie. Jeżeli oceniać na jego podstawie np. czas przejścia t prz rury o długości L to dla przedniej granicy mamy (22) L = z 0 + z + 2u z t prz, albo (23) t prz = L (z 0 + z) 2u z, czyli czas ten rośnie (liniowo) z długością rury... powyższe wzory stosują się jedynie gdy liczba Peckleta 2aU/D AB L/a, gdyż wówczas rzeczywiście możemy zaniedbać wszystkie efekty dyfuzyjne.

18 Ustalony przepływ laminarny w rurze opis Taylora Kiedy do rozważań włączymy dyfuzję sytuacja zmienia się i to diametralnie. Duże gradienty stężenia na przednim obrysie profilu powodują transport cząstek wskaźnika na zewnątrz (w stronę ścianek rury); analogicznie, gradienty przy tylnym obrysie powodują transport wskaźnika w kierunku osi rury. Efekty dyfuzyjne będą więc przeciwdziałać zbytniemu rozciąganiu wskaźnika, a raczej powodować jego konsolidację. Równanie konwekcyjno-dyfuzyjne we współrzędnych cylindrycznych (24) c A t + u r c A r + u 1 θ r c A θ + u z c A z = D AB c A, dla przypadku osiowo symetrycznego i przepływu Poiseuille a u θ = u r = 0, a także brak jest zależności od θ: [ ( c A (25) t + u c A 1 z z = D AB r c ) ] A + 2 c A. r r r z 2

19 Ustalony przepływ laminarny w rurze opis Taylora Jeżeli zaniedbać dyfuzję wzdłuż kierunku przepływu (duże średnie prędkości przepływu lub/i małe współczynniki dyfuzji) [ ( c A (26) t + u c A 1 z z = D AB r c )] A. r r r Wygodnie jest także przenieść problem do układu poruszającego się ze średnią prędkością płynu: (27) z = z u z t, oraz ( ] r 2 (28) u z = u z u z = u z [1 2. a)

20 Krótka skala czasowa radialnej dyfuzji w porównaniu ze skalą konwekcyjnego transportu masy w poruszającym się układzie współrzędnych można oczekiwać że radialne gradienty stężenia będą, po upływie dostatecznie długiego czasu, wyrównywać się szybciej (na skutek szybkiej, radialnej dyfuzji) niż mogłyby się pojawiać ewentualne zmiany w stężenia wynikające z osiowej konwekcji. To istotne spostrzeżenie nazywa się zasadą rozdziału skali czasowych. Dla dwóch równoległych mechanizmów transportu masy, o znacznie różnych skalach czasowych możemy mówić o lokalnym stanie ustalonym, w którym szybszy z dwóch procesów równoważy ten wolniejszy. Z kolei, za globalne zmiany odpowiada proces wolniejszy. Taylor założył więc, że szybka dyfuzja radialna równoważy (lokalne) zmiany wynikające z wolniejszego procesu konwekcyjnego, albo że te zmiany sa na tyle wolne (w czasie) aby opuścić pochodną czasową w (26); w poruszającym się układzie z u z uproszczone równanie

21 [ c A 1 (29) u z z = D AB r ( r c )] A. r r To uproszczone równanie wyraża formalnie postulat Taylora: w pewnym różniczkowym elemencie objętości poruszającym się ze średnią prędkością transport konwekcyjny (lewa strona) jest równoważony przez transport dyfuzyjny. Łatwo jest go scałkować jeżeli założyć, że wielkość c A jest stałą, tzn. nie zależy ani od z, ani z od r. Oznacza to po prostu, że osiowy gradient stężenia jest stały wzdłuż rury, a i jego zmiany w kierunku radialnym są do pominięcia. (warunki brzegowe: c A / r = 0 r=a (nieprzepuszczalna ścianka rury) oraz c A = c A,0 dla r = 0): (30) c A (r) = c A,0 + u za 2 4D AB [ (r a ) 2 ( ) ] 1 r 4 ca 2 a z.

22 Model Taylora c.d. Uśredniony (po przekroju rury) strumień A, w kierunku przepływu ( J A J A, z poruszający się układ współrzędnych!) to (31) JA = 1 a c πa 2 A (r) u z 2πrdr =... = u z 2 a D AB c A z. Jeżeli radialna dyfuzja jest szybka to zmiany stężenia c A wzdłuż rury można przyrównać do zmian uśrednionej (po powierzchni przekroju rury) koncentracji: (32) c A z = c A z, a więc (33) JA = 1 a c πa 2 A u z 2πrdr =... = u z 2 a D AB c A z. Model dyspersji Taylora pozwala więc skojarzyć transport masy, w poruszającym się układzie współrzędnych, z pierwszym prawem Ficka:

23 Model Taylora c.d. (34) JA = 1 a c A c πa 2 A u z 2πrdr =... = D dys 0 z, gdzie D dys to współczynnik dyspersji dla procesów konwekcyjno-dyfuzyjnych (= dyspersyjnych) w rurze: (35) D dys = u z 2 a 2 Pe 2 = D AB 48D AB 48 Pe = u z a D AB. Bliższa analiza tego modelu wykazuje, że ten Model Taylora jest słuszny dla (36) 4 L a Pe 7.

24 Model Taylora c.d. Równanie ciągłości dla czystej dyfuzji (bez członu konwekcyjnego!) to (37) c A t + J A z = 0; po podstawieniu za J A z (34) mamy (38) c A t = D dys 2 c A z 2, identyczna z kanonicznym równaniem dyfuzji. Rozwiązanie ( ) M A (39) c A = 2 πd dys t exp z2. 4D dys t Te intrygujące analogie skłoniły Taylora do przeprowadzenia serii pomiarów. Wyniki kilku widzimy na rysunku

25 Dyspersja Taylora Stężenie znacznika (KMnO 4 ) w funkcji położenia, dla trzech różnych czasów t I, t II i t III.

26 Dyspersja Taylora-Arisa Dla liczby Peckleta bliskiej zeru (nawet jeżeli pozostaje to w sprzeczności z warunkiem 4 L a Pe 7 współczynnik dyspersji D dys = u z 2 a 2 Pe 2 = D AB 48D AB 48 Pe = u z a D AB zmierza do zera a przecież dla małych Pe dyfuzja molekularna jest istotna i musi prowadzić do dyspersji osiowej znacznika. Tej ewidentnej sprzeczności możemy zapobiec, jeżeli za Aris em przyjąć, że dla małych wartości liczby Peckleta Pe 4L a wzór na współczynnik dyspersji ma postać: ( ) (40) D dys = D AB 1 + Pe2. 48

27 Dyspersja turbulentna; współrzędne Eulera i Lagrange a Używane przez nas dotąd współrzędne to były współrzędne Eulera pomiar (np. prędkości) następował w pewnym stałym punkcie x przestrzeni: u = u(x, t).

28 współrzędne Eulera i Lagrange a, c.d. Ewidentny związek między tymi wielkościami: t (41) x(a, t) = a + v(a, τ)dτ. 0 Obliczenie całki w (41) wymaga: (a)podania położenia początkowego i (b) znajomości pola prędkości cząstki w różnych chwilach czasu. Obraz Lagrange a jest bardziej związany z poszczególnymi cząstkami płynu. Pomiędzy prędkościami Eulera i Lagrange a istnieje także formalny związek: (42) v(a, t) = u[x(a, t), t]. Podejście Lagrange a jest formalnie prostsze, ale dane potrzebne w tym formaliźmie są trudniejsze do uzyskania doświadczalnie (trudniejsze niż odpowiednie dane w formaliźmie Eulera). Dla ochrony środowiska formalizm Lagrange a jest ciekawszy lubimy wiedzieć co (i gdzie) dzieje się z upływem czasu z powstałym w chwili 0 i punkcie a zanieczyszczeniem.

29 ustalony jednorodny przepływ turbulentny

30 Ustalony tzn. przepływ, którego statystyczne parametry w różnych punktach przestrzeni nie zmieniają się w czasie; jednorodny żaden z kierunków x, y, z nie różni się od pozostałych. W praktyce możemy mieć do czynienia z przepływem jednorodnym w danym kierunku (brak zmienności statystycznych parametrów w kierunku przepływu). W chwili t = 0 z punktu a startuje wiele cząstek (przeprowadzamy wiele eksperymentów); po pewnym czasie t możemy zarejestrować pewną statystykę x(a, t) x(a, t), której wariancja daje informację o rozproszeniu cząstek. Licząc wariancję, obliczamy pewną średnią po zbiorze (cząstek), która odnosi się do zbioru eksperymentów. Taylor wprowadził całkę ze średnich po zbiorze fluktuacji prędkości Lagrange a t (43) < v tv τ > dτ. 0

31 t 0 < v tv τ > dτ. Znaki < > oznaczają proces uśredniania po zbiorze; v τ to fluktuacja prędkości; prędkość Lagrange a w chwili t, w kierunku przepływu (44) v t = V t + v t, gdzie V t to prędkość średnia (po zbiorze). Można pokazać (dla turbulentnego przepływu ustalonego) (45) t 0 < v tv τ > dτ = t 0 < v tv t+τ > dτ.

32 t0 < v tv τ > dτ = t 0 < v tv t+τ > dτ.

33 Współczynnik autokorelacji Lagrange a R τ definiujemy jako (46) R τ = < v tv t+τ > < v t 2 >, < v t2 > to średni kwadrat fluktuacji prędkości Lagrange a, który przy założeniu stacjonarności przepływu jest wielkością stałą. Tak więc z powyższych równań mamy t t (47) < v tv τ > dτ = < v t2 > R τ dτ. 0 0 Znowu w wyniku stacjonarności (48) t < v tv τ > dτ = 0 i ostatecznie (49) < x 2 >= 2 < v t2 > t v t v τdτ =< v tx >= ( t t 0 0 R τ dτ ) dt. d dt < x2 >

34 Asymptotyka współczynnika autokorelacji Lagrange a ( t ) t < x 2 >= 2 < v t 2 > R τ dτ dt. 0 0 Dla τ 0 R dąży do jedności; wówczas całka w nawiasach po prawej stronie dąży do t, a samo równanie daje (50) < x 2 >= < v t 2 >t 2 wariancja x rośnie z kwadratem czasu. Dla t możemy przyjąć że autokorelacja dąży do zera, a to z kolei oznacza, że całka w nawiasach po prawej stronie dąży do stałej: (51) F R τ dτ, 0 a więc (52) < x 2 >= 2< v t2 >F t wariancja x rośnie liniowo z czasem.

35 Dyspersja turbulentna; współrzędne Lagrange a Wniosek: W rozdziale 6. pokazaliśmy, że dla czystej dyfuzji molekularnej z płaskiego źródła wariancja stężenia rosła też liniowo z czasem. To, że dla jednorodnej, stacjonarnej turbulencji znajdujemy analogiczny wynik pozwala właśnie wprowadzić pojęcie wirowej dyfuzyjności (eddy diffusivity).

36 Dyspersja turbulentna; współrzędne Eulera Równanie konwekcyjno-dyfuzyjne, dla stałych ρ i D AB, bez reakcji (53) c A t + u c A + c A u = D AB 2 c A. Prędkość (Eulera) w przepływie turbulentnym (54) u i = Ūi + u i; podobnie (55) c A = C A + c A. podstawiamy (54) i (55) do (53); u = (płyn nieściśliwy) ( ) C A t = D AB ( 2 CA x Ū1 C A x CA x Ū2 + 2 CA x 3 2 C A x ) 2 C A x ( 3 u 1 x c A Ū3 x 2 u 2 c A + ) u 3 x c A 3

37 Dyspersja turbulentna; współrzędne Eulera, c.d. W przepływach turbulentnych, transport wynikający z czystej molekularnej dyfuzji można (zwykle!) pominąć wobec transportu turbulentnego. Dlatego odrzucamy wyraz dyfuzyjny : (56) C A t + Ū1 C A x 1 ( x 1 u 1c A + albo w postaci tensorowej (57) C A t + Ūk + C A Ū2 x 2 u x 2c A + 2 C A x k + Ū3 C A = x 3 ) x 3 u 3c A = u jc A x j. Nawet jeżeli znamy Ūk to powyższe równania zawierają cztery niewiadome: CA, u 2 c A, u 1 c A, u 3 c A. problem zamkniętości równań: korzystamy z analogii pomiędzy dyspersją cząstek w jednorodnym, stacjonarnym przepływie turbulentnym (w układzie poruszającym się ze średnią prędkością) i dyfuzją molekularną. Równanie (56) przepisujemy w postaci,

38 Dyspersja turbulentna; współrzędne Eulera, c.d. (58) C A t + Ū1 = x 1 C A + x Ū2 ( 1 ɛ C A 11 x 1 C A x ) 2 + x 2 + Ū3 C A x 3 ( ɛ 22 C A x 2 ) + ( ɛ C ) A 33, x 3 x 3 Wielkości ɛ 11, ɛ 22, ɛ 33 to tzw. współczynniki mieszania turbulentnego albo współczynniki wirowej dyfuzyjności. Gdyby byłe one stałymi, to można by je wynieść spod operatorów różniczkowych i prawa strona równ. (58) przypominałaby wyraz odpowiedzialny za czystą dyfuzję molekularną w równ.**. Tak jednak nie jest. Aby domknąć równ. (58) musimy dokonać dodatkowych założeń modelowych. Te ostatnie zawdzięczamy znowu Taylorowi; przypominają one w dużym stopniu jego analizę konwekcyjnej dyfuzji w ustalonym przepływie laminarnym.

39 Dyspersja turbulentna; analiza Taylora Zapiszmy równanie dyfuzyjno-konwekcyjne (przepływ turbulentny) w układzie współrzędnych cylindrycznych, poruszającym się ze średnią prędkością przepływu; tak jak w przypadku przepływu laminarnego mamy do czynienia ze zrównoważeniem radialnego transportu turbulentnego masy i transportu osiowo-konwekcyjnego: (59) Ū z C A z = 1 r r ( ɛ rz r C A r Wielkość Ū z Taylor powiązał z defektem prędkości (dla przepływu turbulentnego w rurze zadanie 5.19) (60) Ū z,max Ū ( ) r f ; u a f to pewna funkcja; u to prędkość tarcia (rozdz. 5.) ).

40 Dyspersja turbulentna; analiza Taylora u to prędkość tarcia (61) u = τ0 ρ, gdzie τ 0 to średnia wartość naprężenia ścinania przy ściance rury; w rozdz. 5. widzieliśmy, że r (62) τ(r) = τ 0 a = r ρu2 a. Głównym źródłem sukcesu Taylora było jednak przyjęcie modelu dla radialnego współczynnika mieszania ɛ rz. Tutaj Taylor posłużył się analogią Reynoldsa, według której, w przepływie turbulentnym ciepło, masa i pęd są przenoszone w identyczny sposób. Tak więc, przekaz pędu (przez powierzchnię walca o promieniu r), w analogii do przekazu masy (63) J A = ɛ rz C r,

41 Dyspersja turbulentna; analiza Taylora będzie miał postać (ten sam wsp. proporcjonalności!!) (64) τ = ɛ rz ρ Ū r. Dzięki tej analogii możemy wyliczyć współczynnik ɛ rz. Z (60) mamy (65) co, po podstawieniu do (64) daje Ū r = u f (r/a) a (66) τ = ɛ rzρu f (r/a), a skąd (67) ɛ rz = ru f (r/a). Wartości funkcji f(r/a) (i jej pochodnej) były stablicowane; równ. (59) można było rozwiązać numerycznie.

42 Dyspersja turbulentna; analiza Taylora Wynik, to na przykład strumień masy przez płaszczyznę, która podróżuje ze średnią prędkością: (68) JA = 10.06au C A z jeszcze jedna analogia z prawem Ficka. Współczynnik 10.06au Ddis t to współczynnik turbulentnej dyspersji. (Można go wyznaczyć z pomiarów zadanie 7.13) Samo równanie: C A = D t 2 CA dis t z 2, albo w układzie stacjonarnym C A t + Ū C A z = Dt dis 2 CA z 2.

43 Przepływ laminarny płynu z kreacją (absorpcją) masy na powierzchni granicznej Często substancje podlegające opisywanym procesom dyfuzji i konwekcji mogą (dodatkowo) brać udział w pewnych (niejednorodnych) reakcjach na powierzchniach granicznych. Na przykład: struga przepływu może powodować rozpuszczanie pewnej substancji, wchodzącej w skład ograniczającej przepływ powierzchni. Przy samej powierzchni mamy dużą stężenie tej substancji, tzw. stężenie nasycenia, która przechodzi w niższą stężenie gdy przesuwamy się ku środkowi strugi. Musi istnieć jakiś mechanizm, który ustala taki profil stężenia, szczególnie w obszarze granicznej warstwy stężenia.

44 Płaska płyta i szybka reakcja niejednorodna (lub stała stężenie na powierzchni granicznej) Laminarne warstwy graniczne: stężenia i pędu wzdłuż płaskiej płyty w przepływie jednorodnym. Strzałki w obszarze warstwy granicznej stężenia (δ c ) pokazują jak zmienia się stężenie; strzałki w obszarze warstwy granicznej pędu (δ) ilustrują zmiany prędkości (pędu).

45 Zakładamy, że na powierzchni płyty zachodzi natychmiastowa reakcja, pochłaniająca substancję jej stężenie na powierzchni płyty jest równa zeru. Grubość warstwy granicznej pędu (69) δ = 5x Rex ; Re x = Ux ν. W przepływie laminarnym główna struga stara się przesunąć warstwę graniczną pędu w kierunku przepływu (na prawo); z kolei lepkość stara się zrealizować warunek zerowej prędkości na powierzchni płyty. W przypadku stężenia główna struga stara się także przesunąć warstwę graniczną stężenia w kierunku przepływu (na prawo), a dyfuzja molekularna stara się dopasować pewne ustalone stężenie w głównej strudze i zerowe stężenie na powierzchni (gdzie zachodzi pewna reakcja, eliminująca dany składnik).

46 Płaska płyta i szybka reakcja niejednorodna, c.d. Co określa stosunek grubości tych warstw? Zacznijmy od zestawienia dwóch charakterystycznych skali czasowych: dyfuzyjnej (τ d ) i lepkiej (τ ν ): L 2 τ d D (70) = AB τ ν L 2 = ν Sc = Pe D AB Re. ν L to pewna charakterystyczna długość; Sc to liczba Schmidta. Dla Sc 1 skala czasowa dyfuzji lepkiej (dyfuzji pędu w warstwie granicznej pędu) jest mniejsza od skali czasowej dyfuzji molekularnej (dyfuzji masy w warstwie granicznej stężenia); warstwa graniczna stężenia buduje się więc wolniej i jej grubość jest mniejsza od grubości warstwy granicznej pędu. Dla Sc 1 odwrotnie. Równanie dyfuzyjno-konwekcyjne dla warstwy granicznej stężenia otrzymujemy (wstępnie!) z drugiego prawa Ficka: (płyta jest dostatecznie głęboka przypadek 2-wymiarowy) Dyfuzja połączona ( z konwekcją; dyspersja; ) transport

47 Płaska płyta i szybka reakcja niejednorodna, c.d. c A t + u c A x + v c ( A 2 ) y = D c A AB x c A y 2. Dokonując oceny rzędu wielkości (72) 2 c A y 2 2 c A x 2 = 0 c A, δ 2 c c A, x 2 = ( x δ c ) 2, co przy założeniu cienkiej warstwy granicznej stężenia pozwala nam zrezygnować z drugiej pochodnej względem x-a. Dla stanu ustalonego (73) u c A x + v c A y = D AB 2 c A y 2. Powstaje problem jak potraktować u u x i v u y?

48 u c A x + v c A y = D AB 2 c A y 2. Dla dużych wartości liczby Schmidta (grubość warstwy granicznej stężenia mniejsza od grubości warstwy granicznej pędu) można użyć rozwiązań numerycznych, które oddają dobrze sytuację w bezpośrednim sąsiedztwie płyty: (74) ( ) ν 2 ( ) U 1/2 u = 0.332Uη, v = η 2 ; η = y. xu νx Po podstawieniu i procedurze pozbawiania wymiarów mamy (75) 0.332Uη c ( ) A ν 1/2 x η 2 c A xu y = D AB U 2 c A y 2, gdzie (76) c A c A c A,pow C A, c A,pow.

49 Zakładamy (pragmatyka!): c A zależy tylko od zmiennej η (77) c A = c A (η) g(η), (78) 2 ( g η ν D AB ) η 2 g η = 0, z rozwiązaniem (Levich, 1962) (79) c A (x, y) = (0.22Sc)1/ Uy 2 2 νx 0 exp( 0.22 Sc z 3 )dz. To niezbyt przyjazne rozwiązanie można wykorzystać do obliczenia (pierwsze prawo Ficka) lokalnego strumienia A J A = D AB c A y = 0.34 D AB x = 0.34 D AB y=0 x Re1/2 x Sc 1/3 (c A,pow c A, ) J A (x), ( ) 1/2 ( ) 1/3 xu ν (c A, c A,pow ) ν D AB

50 albo uśrednionego strumienia A (na długości L): (80) J A,usredn = 1 L L 0 = D AB L J A (x) dx ( ) 1/2 ( ) 1/3 LU ν (c A,pow c A, ) ν D AB = D AB L Re1/2 L Sc1/3 (c A,pow c A, ).

51 J A (x) = 0.34 D AB x Re1/2 x Sc 1/3 (c A,pow c A, ) Analiza: Strumień (ku powierzchni) rośnie wraz z liczbą Reynoldsa dla rosnącego Re grubości obu warstw granicznych (pędu i stężenia) stają się mniejsze. Reakcja powierzchniowa, której podlega A jest z założenia natychmiastowa, tak że znikaniem A na powierzchni rządzi nie reakcja, ale szybkość transportu A ku powierzchni. Dla wyższych liczb Reynoldsa gradient stężenia jest większy i transport dyfuzyjny masy staje się skuteczniejszy. Strumień zależy od x-a do ujemnej potęgi ( 1/2), a więc transport masy jest najefektywniejszy dla małych x-ów i maleje wzdłuż płyty. W końcu strumień masy jest proporcjonalny do dodatniej potęgi liczby Schmidta dla większych wartości Sc warstwa graniczna stężenia staje się cieńsza, a to oznacza wyższe gradienty stężenia, a więc bardziej efektywny transport masy. Zauważmy też, że w przypadku czystej dyfuzji (rozdział 6.) transfer masy był proporcjonalny do współczynnika dyfuzji D AB, podczas gdy w ostatnich równaniach ten transfer jest proporcjonalny do D 2/3 AB.

52 Grubość warstwy granicznej stężenia można oszacować z prostego związku (81) J A = D AB δ c (c A, c A,0 ),. Przy c A,0 = 0, dostajemy, podstawiając za J A z uzyskanego wyżej wzoru ν (82) δ c = 3x Ux ( DAB ν ) 1/3 = 0.6Sc 1/3 δ, gdzie δ to grubość granicznej warstwy pędu (równ. (69)). Na przykład dla wody (ν 0.01cm 2 /s i dla D AB 10 5 cm 2 /s) mamy Sc 10 3, a więc grubość warstwy granicznej stężenia to około 6% grubości warstwy granicznej pędu.

53 Płaska płyta i szybka reakcja niejednorodna, c.d. Różne sytuacje, opisane tymi samymi odwymiarowanymi warunkami brzegowymi: c A c A c A,pow. C A, c A,pow

54 Przepływ laminarny w rurze i szybka reakcja niejednorodna lub przypadek stałej stężenia na powierzchni granicznej duże wartości Sc Powracamy do modelu Taylora równania konwekcyjno-dyfuzyjnego we współrzędnych cylindrycznych c A t + u r D AB [ 1 r r c A r + u 1 θ ( r r c A r c A θ + u z c A z = ) c A r 2 θ c A z 2 dla osiowo symetrycznego przepływu Poiseuille a u θ = u r = 0, także brak jest zależności od θ: [ ( c A (83) t + u c A 1 z z = D AB r c ) ] A + 2 c A. r r r z 2 Jeżeli zaniedbać dyfuzję wzdłuż kierunku przepływu (duże średnie prędkości przepływu lub/i małe współczynniki dyfuzji) to możemy pominąć drugi wyraz w kwadratowym nawiasie: ],

55 Przepływ laminarny w rurze, c.d. przy założeniu stanu ustalonego z podstawieniami u z c A z = D AB c A [ 1 r ( r c )] A r r c A c A,pow C A,we c A,pow. (C A,we stałe i jednorodne stężenie na wejściu); także warunki brzegowe: r = r z/a ; z = a Re Sc c A (0, z) c A ( r, z = 0) = 1; c A (1, z) = 0; c A ( r, ) = 0; = 0. r pierwszy to stała i jednorodna stężenie na wejściu rury; drugi wpływ ściany rury (natychmiastowa reakcja); trzeci daleko od wejścia stężenie musi być jednorodne (= 0); czwarty rozkład stężenia jest symetryczny względem środka rury. Rozwiązanie: metoda separacji zmiennych.

56 Kształtowanie się warstwy granicznej w obecności szybkiej reakcji powierzchniowej (a) kształtowanie się warstwy granicznej stężenia; (b) przypadek dużych Sc; (c) przypadek małych Sc.

57 Przepływ laminarny obok sfery i szybka reakcja niejednorodna lub przypadek stałego stężenia powierzchniowego Scenariusz: cząstka pochodzenia organicznego lub mineralnego rozpuszcza się w jakimś zbiorniku wodnym (np. oceanie). Stężenie ulegającego rozpuszczaniu się składnika jest stałe (i maksymalne) na powierzchni cząstki; oddalając się od niej stężenie maleje. Tutaj też mamy do czynienia z warstwą graniczną stężenia. Rachunki raczej trudne; całkowity transfer masy od cząstki: (84) W A = 6, 33 ad AB Pe 1/3 (c A, c A,pow ), dla dużych wartości liczb Peckleta i Schmidta; (85) W A = 2πaD AB [1 + (1 + Pe) 1/3 ](c A, c A,pow ), dla dowolnych wartości liczb Peckleta.