Transport masy w ośrodkach porowatych

Transkrypt

1 grudzień 2013

2 Dyspersja... dyspersja jest pojęciem niesłychanie uniwersalnym. Możemy zrekapitulować: dyspersja to w ogólnym znaczeniu rozproszenie, rozrzut, rozcieńczenie. Możemy nazywać dyspersją roztwór emulsyjny (cząsteczki rozproszone w nośniku, będącym jakimś płynem). Niemniej jednak dyspersja w ośrodkach porowatych to termin nieco specjalny: często dla wyróżnienia go dodajemy dyspersja (hydro)mechaniczna patrz niżej. Dla prostoty będziemy mówić o jednowymiarowych problemach, w ośrodkach nasyconych, czyli takich, w których podróżujący płyn wypełnia całkowicie wolną przestrzeń pomiędzy ziarnami (włóknami) ośrodka. Ponieważ odległości pomiędzy takimi ziarnami są (zwykle) bardzo małe ograniczamy się w pierwszym rzędzie do przepływów laminarnych

3

4 Na rysunku widzimy dyspersję znacznika w czasie (przy injekcji punktowej) w: (a) laminarnym przepływie w rurce; (b) przepływie turbulentnym w rurze; (c) jednowymiarowym przepływie przez ośrodek porowaty. Trzy profile koncentracji (krzywe Gaussa) są podobne, a więc pomiędzy transportem w ośrodku porowatym i transportem w jednorodnych mediach muszą zachodzić spore podobieństwa.

5 Wiemy na przykład, że w przepływie turbulentnym za dyspersję znacznika są w znacznym stopniu odpowiedzialne, zachodzące w mikroskali, fluktuacje prędkości (bardziej niż jego naturalna dyfuzja molekularna). W ośrodkach porowatych, jak już powiedzieliśmy mamy zwykle do czynienia z przepływem laminarnym. Towarzysząca mu dyfuzja molekularna jest istotnym mechanizmem dyspersyjnym, ale często sama ona nie tłumaczy ilościowo obserwowanej dyspersji. Ta ostatnia wynika z mechanizmu dyspersji mechanicznej śledząc mikro-obrazy przepływu przez ośrodek porowaty widzimy, że taki jedno-wymiarowy przepływ to suma wielu przepływów po krzywoliniowych torach linie prądu rozdzielają się pomiędzy poszczególnymi ziarnami. Mamy do czynienia z ciągłym rozdzielaniem się i powtórnym mieszaniem się małych objętości płynu, zachodzącymi losowo. Tu z kolei pojawia się analogia z turbulencją, w której mieliśmy też do czynienia z rozmaitością wirowych ruchów, zachodzących w różnych skalach (od mniejszych do większych).

6 Porowatość, prędkość, ośrodek porowaty stosunek objętości porów V v do całkowitej objętości V T próbki (1) ε = V v V T ; tzw. frakcja stała s to stosunek objętości części próbki zajętej przez ośrodek V s do całkowitej objętości V T próbki ośrodka (2) s = V s V T = V T V v V T = V T εv T V T = 1 ε. Pojęcie porowatości wymaga uściślenia. czy porowatość objętościowa jest równa porowatości płaskiej (w płaszczyźnie prostopadłej do przepływu)? W sytuacjach praktycznych odpowiedź brzmi: tak. Po drugie: niektóre ścieżki w ośrodku porowatym są ślepymi uliczkami i przepływ w nich nie zachodzi (np. kawerny, pory na powierzchni ziaren). wprowadza się pojęcie porowatości efektywnej, reprezentującej tę część pustych przestrzeni, przez które przepływ może zachodzić.

7 Pojęcie ośrodka porowatego funkcjonuje w kontekście pojęcia ośrodka ciągłego. Mówiąc o parametrach ośrodka: gęstości i porowatości mamy na myśli parametry uśrednione po odpowiednio dużej objętości, tzw. reprezentatywnej objętości elementarnej (ang. representative elementary volume REV). Definicja prędkości w ośrodku porowatym powinna więc zawierać aspekty uśredniające. Np. (3) u = Q A, gdzie Q to przepływ (wydatek) w REV, a A to powierzchnia prostopadła do lokalnego kierunku przepływu. Taką prędkość nazywa się wydatkiem właściwym (ang. specific discharge) będzie to wydatek na jednostkę powierzchni. Sam płyn, poruszający się (krętymi ścieżkami) pomiędzy ziarnami podróżuje z większą prędkością, tzw. średnią prędkością liniową (prawo Darcy ego!) (4) v = u ε,

8

9 przy czym v będzie zwykle wektorem o trzech współrzędnych: (5) v = v 1 i + v 2 j + v 3 k.

10 Współczynniki dyspersji: mechanicznej, molekularnej i hydrodynamicznej Z powodu analogii pomiędzy transportem w ośrodku porowatym i przepływami turbulentnymi definiujemy (uśrednianie Reynoldowskie) gęstość P A i prędkość V {V i }; i = 1, 2, 3 pewnego składnika A jako sumę odpowiednich wartości średnich (po objętości REV) i ich fluktuacji (wielkości primowane) (6) P A = ρ A + ρ A; V i = v i + v i. Średni strumień masy A to średnia z iloczynu całkowitej koncentracji (gęstości) i prędkości n A,i = P A V i = (ρ A + ρ A )(v i + v i ) = (ρ Av i ) + (ρ A v i ) + (ρ A v i) + (ρ A v i ) (7)= ρ A v i + ρ A (v i ) + v i(ρ A ) + (ρ A v i ).

11 Średnie z fluktuacji to zgodnie z ich pojęciem zero, tak więc (8) n A,i = ρ A v i + (ρ Av i). Powstaje problem (analogiczny jak w rozdz. 5. i 7.): jak uwzględniać (wyrazić) drugi wyraz po prawej stronie (8)? Eksploatujemy znowu ten sam pomysł: zakładamy, że jest on proporcjonalny do gradientu średniej koncentracji w REV: (9) (ρ Av i) = D ij x j co daje (10) n A,i = ρ A v i D ij x j, albo w jednostkach koncentracji molowej (c A średnia koncentracja molowa) (11) N A,i = c A v i D ij c A x j.

12 Występujący w tych równaniach tensor dyspersji mechanicznej D ij to tensor drugiego rzędu D 11 D 12 D 13 (12) D ij D 21 D 22 D 23. D 31 D 32 D 33

13 Ale transport A może też odbywać się za sprawą dyfuzji molekularnej; definiujemy dyspersję hydrodynamiczną jako sumę efektów dyspersji mechanicznej i dyfuzji. Dla jednorodnego i izotropowego ośrodka porowatego (13) D (h) ij = D ij + D ef, gdzie D ef jest efektywnym współczynnikiem dyfuzji, zdefiniowanym (por. rozdz.6) jako (14) D ef = D AB τ. Równ.(10) możemy więc zapisać (15) n A,i = ρ A v i D (h) ij x j.

14 Tensor dyspersji hydrodynamicznej c.d. (16) n A,i = ρ A v i D (h) ij x j. Z definicji i z faktu, że ośrodek jest izotropowy wynika, że tensor D (h) ij jest tensorem symetrycznym; możemy go więc reprezentować w (h) układzie osi własnych będzie to tensor D ij : (17) D(h) ij = = D (h) D(h) D(h) 33 D 11 + D ef D22 + D ef D33 + D ef.

15 Można wykazać, że w jednorodnym i izotropowym ośrodku układem własnym jest taki układ kartezjański, którego jedna z osi (np. 0x) pokrywa się z kierunkiem lokalnej prędkości średniej v. Wówczas składowe diagonalne tensora dyspersji mechanicznej to (18) Dij = a L v a T v a T v, gdzie a L i a T to podłużny (równoległy do v) i poprzeczny (prostopadły do v) współczynnik dyspersji mechanicznej; zwykle a L jest kilkakrotnie (3 10) większy od a T.

16 Składowe tensora dyspersji hydrodynamicznej (w układzie osi własnych) to (19) D(h) ij = = D 11 + D ef D22 + D ef D33 + D ef a L v + D ef a T v + D ef a T v + D ef.

17 Równanie dyspersji w jednorodnym, izotropowym ośrodku porowatym Przepiszmy raz jeszcze równanie bilansu masy t (ρ aε x y z + S A ρ b x y z) = (n A,x n A,x+ x )ε y z + (n A,y n A,y+ y )ε z x + (n A,z n A,z+ z )ε gdzie n A to wektor strumienia masy. Podobnie równanie wynikowe [ ] (20) t + 1 n A k d ρ b /ε t R n A = 0. Za n A podstawiamy teraz z (15) co prowadzi do dość skomplikowanego równania:

18 t + 1 R 1 R x 1 1 R x 2 1 R x 3 [ ρ A ( v1 + v 2 + v 3 x 1 x 2 x 3 (h) + D 12 x 1 ( D (h) 11 ( D (h) 21 ( D (h) 31 x 1 + x 1 + D (h) 22 D (h) 32 ) ( + v 1 x x 2 + x 2 D (h) 13 D (h) 23 D (h) 33 )] + v 2 + v 3 x 1 x 2 x 3 ) x 3 ) x 3 ) = 0. x 3

19 Na szczęście można to równanie znacznie uprościć. Po pierwsze: drugi wyraz (pierwszy wiersz) jest równy zeru dla płynów nieściśliwych. Po drugie: przechodzimy do układu osi własnych, którego oś x-ów jest równoległa do v. Oczywiście v 2 = v 3 = 0; znikają też niediagonalne składowe tensora: (21) t + 1 R v 1 x 1 = 1 R + 1 R x 1 x 3 ( D (h) 11 ( D (h) 33 ) + 1 x 1 R ). x 3 x 2 ( D (h) 22 Wreszcie, dla przypadku jednowymiarowego i dla v v 1 = constans (h) (h) składowe D 22 = D 33 = 0; D(h) 11 = constans: ) x 2 (22) t + 1 R v 1 = 1 (h) D 11 x 1 R 2 ρ A x 1 2.

20 Jednowymiarowe równanie dyspersji w jednorodnym ośrodku nieskończonym Zaczynamy od równ.(22) przy założeniu, że nie ma dyspersji: (23) t + v 1 R x 1 = 0. W chwili t = 0, w punkcie x 1 = 0 następuje injekcja (punktowa w czasie i przestrzeni) masy M; wydatek właściwy to Q. Warunek brzegowy ma więc postać: (24) ρ A (x, t = 0) = M Q δ(t). (w przypadku jednowymiarowym jednostki ρ to [M/L]!) Proste zastosowanie transformaty Laplace a daje: (25) ρ A (t) = M Q δ(t t); t = x 1R v 1. Dirakowski impuls injekcji, przesuwa się wzdłuż osi x 1 z prędkością v 1 /R por. rysunek 1(a).

21 Rysunek: Dyspersja znacznika: (a) brak dyspersji; (b) R = 1 dla różnych wartości t; (c) ten sam czas, różne wartości R. Opóźnienie (w różnym stopniu) wynika z partycji do fazy stałej ośrodka.

22 Rozwiązanie (22) z uwzględnieniem dyspersji otrzymujemy stosując transformację (układ współrzędnych poruszający się z prędkością v 1 /R) (26) x = x 1 v 1 R t. Równ. (22) przechodzi w (27) t = 1 R D (h) 11 2 ρ A x 2. Jest to równanie, które występowało w poprzednich rozdziałach (6. i 7.). Jego rozwiązanie to krzywa gaussowska (28) ρ A (x 1, t) = 1 M/ε (x 1 v 1 exp R t)2 R (h) (h), 4π( D 11 /R)t 4( D 11 /R)t pokazana na rysunku 1(b) i (c).

23 Z rozwiązania wynika, że maksimum koncentracji wskaźnika wartościom (x c, t c ), dla których albo x c v 1 R t c = 0, (29) v 1 R = x c t c v c. Wielkość v c to prędkość z jaką podróżuje maksimum koncentracji, związana ze średnią prędkością v 1 prostym (30) v 1 v c = R. (por. rys.1(c).) Opóźnienie znacznika, wynikające z różnych od jedności wartości R to m.in. podstawa metod chromatografii.