laminarnych i turbulentnych grudzień 2013 Współczynniki transferu masy, modele i korelacje dl

Transkrypt

1 Współczynniki transferu masy, modele i korelacje dla przepływów laminarnych i turbulentnych grudzień 2013

2 w poprzednich punktach obliczaliśmy strumień J A, dla przepływów laminarnych i turbulentnych A dyfuzja przez kolumnę nieruchomego gazu B: J A = D AB z 2 z 1 (c A,1 c A,2 );

3 strumień J A, dla przepływów laminarnych i turbulentnych B dyfuzja z niejednorodną reakcją na powierzchni cząstek J A = W A 4πa 2 = D AB a (c A, c A,pow );

4 strumień J A, dla przepływów laminarnych i turbulentnych C transport dyfuzyjno-konwekcyjny fazy A do B J A = 2c A,0 DAB U πl ;

5 strumień J A, dla przepływów laminarnych i turbulentnych D (średni) strumień ku płaskiej płycie w przepływie laminarnym J A = D AB L Re1/2 L Sc1/3 (c A,pow c A, );

6 strumień J A, dla przepływów laminarnych i turbulentnych E strumień na powierzchni sfery w przepływie laminarnym J A = W A 4πa 2 = 0.504D AB a Re1/3 Sc 1/3 (c A,pow c A, );

7 A jednowymiarowa dyfuzja przez kolumnę nieruchomego gazu B: (1) J A = D AB z 2 z 1 (c A,1 c A,2 ); B dyfuzja z niejednorodną reakcją na powierzchni cząstek (2) J A = W A 4πa = D AB 2 a (c A, c A,pow ); C transport dyfuzyjno-konwekcyjny fazy A do B (3) J A = 2c A,0 DAB U πl ; D (średni) strumień ku płaskiej płycie w przepływie laminarnym (4) J A = D AB L Sc 1/3 (c A,pow c A, ); L Re1/2 E strumień na powierzchni sfery w przepływie laminarnym (5) J A = W A 4πa 2 = 0.504D AB a Re1/3 Sc 1/3 (c A,pow c A, );

8 Współczynniki transferu masy Fizyka i geometria tych problemów są zróżnicowane, ale rozwiązania wykazują pewne podobieństwa: 1 Strumień jest proporcjonalny do stężenia lub różnic stężeń, które charakteryzują proces. 2 Strumień jest odwrotnie proporcjonalny do pewnych charakterystycznych długości, które charakteryzują proces. 3 Strumień jest proporcjonalny do współczynnika dyfuzji w potęgach o wykładniku pomiędzy 0.5 i 1. Pierwsza obserwacja leży u podstaw pomysłu współczynnika transferu masy, k A, zdefiniowanego równaniem (6) J A = k A c A, gdzie c to pewna stężenie (ew. różnica stężeń), która charakteryzuje proces.

9 a przepływów laminarnych i turbulentnych W dodatku analiza wymiarowa, wykazuje, że mnożąc J A przez pewną charakterystyczną długość (L) i dzieląc przez współczynnik dyfuzji i charakterystyczne stężenie c A dostajemy liczbę bezwymiarową: tzw. liczbę Sherwooda: (7) Sh = J AL D AB c A = k cl D AB. Liczba Sherwooda pozwala uzmysłowić sobie, które parametry są istotne w problemach transferu masy. Dla przepływów laminarnych i/lub turbulentnych, z taką samą geometrią, i dla stałych wartości liczb Reynoldsa i Schmidta, liczba Sherwooda jest też stała, co pozwala korelować ze sobą dane doświadczalne.

10 A jednowymiarowa dyfuzja przez kolumnę nieruchomego gazu B: (8) Sh = J A(z 2 z 1 ) D AB (c A,1 c A,2 ) = 1; B dyfuzja z niejednorodną reakcją na powierzchni cząstek (9) Sh = 2aJ A D AB (c A, c A,pow ) = 2; C transport dyfuzyjno-konwekcyjny fazy A do B (10) Sh = J A L = 2 Pe 1/2 = 2 Re 1/2 Sc 1/2 ; D AB c A,pow π π D (średni) strumień ku płaskiej płycie w przepływie laminarnym (11) Sh = J A L D AB (c A, c A,pow ) = 0.678Re1/2 L Sc 1/3 ; E strumień na powierzchni sfery w przepływie laminarnym Sh = 2aJ A D AB (c A, c A,pow ) = 1.01Pe1/3 = 1.01Re 1/3 Sc 1/3 ;

11 Współczynniki transferu masy,... zauważmy... Dwa pierwsze przypadki czysta dyfuzja Sh jest stałą. I tak jest zwykle dla czystej dyfuzji. Dla trzech scenariuszy dyfuzyjno-konwekcyjnych Sh jest stałą o ile liczby Re i Sc są stałe. Dla przepływów (laminarnych i/lub turbulentnych): (1) o tej samej geometrii; (2) opisanych tymi samymi liczbami Re i Sc; (3) i tymi samymi ( odwymiarowanymi ) warunkami brzegowymi liczba Sherwooda (= odwymiarowany strumień masy) jest często wartością stałą. To właśnie nasuwa pomysł korelacji różnych danych pomiarowych, nierzadko z różnych działów fizyki transportu.

12 Model transferu masy; model cienkiej warstwy Jeszcze raz dyfuzja przez kolumnę nieruchomego gazu B: J A = D AB z 2 z 1 (c A,1 c A,2 ); możemy to w uproszczeniu zapisać J A = D AB δ f c A = k c c A, gdzie δ f to grubość (cienkiej) warstwy (film thickness). Dla przepływów turbulentnych taki model to dość spore uproszczenie wyobrażamy sobie, że transport masy (np. do powierzchni płyty) odbywa się przez nieruchomą warstwę cieczy przy płycie, na skutek gradientu stężenia.

13 Model cienkiej warstwy Sytuacja rzeczywista Sytuacja modelowana

14 Model cienkiej warstwy Dla przepływów turbulentnych taki model to dość spore uproszczenie wyobrażamy sobie, że transport masy (np. do powierzchni płyty) odbywa się przez nieruchomą warstwę cieczy przy płycie, na skutek gradientu stężenia. A przecież jedynie cząstki które siedzą na płycie są nieruchome (i to nie do końca bo mogą dyfundować!).

15 Analogie Problemy transportu masy (szczególnie w przepływach turbulentnych) rozwiązuje się często szukając analogii pomiędzy równaniami opisującymi pokrewne problemy w teorii transportu ciepła i pędu. I tak na przykład, dla przekazu pędu następującego w laminarnej warstwie granicznej, w przepływie ustalonym mieliśmy równanie (12) u u x + v u y = ν 2 u y, 2 bardzo podobne do równania u c A x + v c A y = D AB 2 c A y 2, opisującego przekaz masy w przepływie nad płaską płytą. Co więcej, równanie opisujące transport ciepła (znowu wzdłuż płaskiej płyty, ustalony przepływ laminarny, bez promieniowania) to (13) u T x + v T y = α 2 T y, 2 T to temperatura, α = k C wρ to współczynnik dyfuzji cieplnej (k przew.cieplne, C w ciepło właściwe, ρ gęstość ośrodka.)

16 Analogie Równania wyglądają identycznie, czy więc można korzystać z rozwiązań jednych z nich dla przypadków opisywanych drugimi? Oczywiście, taka możliwość wymagałaby identyczności warunków brzegowych, które najlepiej jest wyrażać posługując się bezwymiarowymi zmiennymi: prędkością: ũ = u u pow U u pow ; stężeniem: c A = c A c A,pow c A, c A,pow ; temperaturą: T = T T pow T T pow.

17 Analogie, c.d. Warto w tym kontekście prześledzić konkretną analogię. W rozdz. 5. podane było rozwiązanie, opisujące transfer pędu w warstwie granicznej, (płaska płyta, rozwiązanie Blasiusa) a w jednym z poprzednich punktów rozpatrywaliśmy analogiczny przypadek dotyczący konwekcyjno-dyfuzyjnego transferu masy do płaskiej płyty. Równania wyjściowe są rzeczywiście takie same, pod warunkiem że ν = D AB, albo Sc = 1. Warunki brzegowe powinny być identyczne. Rzeczywiście wynika to ze wzorów określających bezwymiarowe zmienne (u pow = 0): ũ = u u pow = u { 0 dla y = 0 U u pow U = 1 dla y = ; c A = c { A c A,pow 0 dla y = 0 = c A, c A,pow 1 dla y =

18 Analogie, c.d. Gradient prędkości na powierzchni (do obliczenń naprężenia τ xy ; korzystamy z danych numerycznych! f (0) = ) to: (14) ũ = 1 ( ) U 1/2 ( ) Ux 1/2 f (0) = = y y=0 4 νx ν 4x Re1/2 x. Korzystając z analogii transport pędu transport masy ũ (15) = c A 1 c A =. y y=0 y y=0 c A, c A,pow y y=0 Z powyższych równań mamy więc c A (16) = y y=0 4x Re1/2 x (c A, c A,pow ) i pierwsze prawo Ficka daje c A J A = D AB y = D AB y=0 x Re1/2 x (c A, c A,pow ).

19 J A = D AB c A y = D AB y=0 x Re1/2 x (c A, c A,pow ). Rozwiązanie otrzymane w punkcie 7.1 to c A J A = D AB y = 0.34 D AB y=0 x Re1/2 x Sc 1/3 (c A,pow c A, ). Jeżeli Sc = 1 to oba wzory są praktycznie identyczne. Rozważany przypadek to wspomniana już wcześniej analogia Reynoldsa: w przypadku laminarnego przepływu nad płaską płytą, dla Sc = 1, profile stężeń i prędkości (a także temperatury) są takie same. Można w oparciu o tę analogię wykazać np. wzór wiążący współczynnik naskórkowego oporu płyty C f (por. punkt 5.10) z współczynnikiem k c (nietrudne, a pouczające rachunki u Clarka str ): (17) k c U = C f 2 = Sh Pe.

20 Korelacje różnych zagadnień transportu Analogie nie zawsze są skuteczne. Można jednak opierać się na pewnych danych doświadczalnych korelacjach to co nazywa się w żargonie transportu: korelacje to po prostu pewna baza danych pomiarowych, z różnych dziedzin transportu (transferu): masy, ciepła, pędu. Takie dane, opracowane w języku odwymiarowanych zmiennych mogą pomóc w rozwiązywaniu kolejnych problemów. Eksperymentami, których wyniki wprowadzamy do bazy mogą być np. (transport masy): pomiary dla zwilżonych powierzchni (ścian) suche powietrze przepuszczane jest obok zwilżonych powierzchni, albo w rurach (lub innych przewodach ), których powierzchnie ulegają powolnemu rozpuszczaniu się w przepływającym płynie. Tzw. analogia Chilton a-colburna a (transport ciepła = transport masy) pozwala posłużyć się wynikami z transportu ciepła do rozwiązania analogicznych problemu transferu masy.

21 Płaska płyta dyfuzja + konwekcja Rozwiązanie otrzymane w punkcie (Clark) to c A J A = D AB y = 0.34 D AB y=0 x Re1/2 x Sc 1/3 (c A,pow c A, ). Pamiętając, że Sh = J AL D AB c A obliczamy Sh = 0.34Re 1/2 x Sc 1/3. Dla Re rzędu laminarna warstwa graniczna staje się turbulentna. Z pomiarów wiadomo, że liczba Sherwooda dla warstwy turbulentnej jest równa Sh = Re 0.8 x Sc 1/3. Problem: warstwa benzenu pokrywa powierzchnię 2m (długość) 1m (szerokość) podłogi. Nad warstwą (wzdłuż długości mamy nawiew z wentylatora z szybkością 4m/s. Jak szybko odparowuje benzen, jeżeli założyć że warstwa graniczna jest turbulentna?

22 Płaska płyta, c.d. Z definicji liczby Sherwooda i z jej określenia mamy J A = D AB(c A, c A,pow )Sh x = D AB Re 0.8 x Sc 1/3 (c A, c A,pow ). x x odległość między wylotem wentylatora, a obszarem płyty. Dla płyty o długości L możemy obliczyć średni strumień J A = L 0 J A(x) dx L = ( ) 0.8 U L L D ABSc 1/3 x 0.8 (c A, c A,pow ) ν 0 x dx. J A = L D ABSc 1/3 (c A, c A,pow )Re 0.8 Stężenia:c A, = 0 c A,pow =? L. c A,pow = n V = P nas RT = Pa 8, 314J/K.mol 298K = 5.13mol m 3.

23 Płaska płyta, c.d. Z definicji liczby Schmidta Sc = Re L = ν = m 2 /s D AB (cm 2 /s) = m/s 2m m 2 /s = Wstawiając to wszystko do równania na J A dostaniemy J A =... = m mol 2 s. strumień całkowity będzie 2 razy większy (powierzchnia = 2 m 2 ).

24 Transport międzyfazowy; model oporności Transport międzyfazowy... ma miejsce wtedy, gdy pewien składnik jest przekazywany pomiędzy dwoma (lub więcej) fazami, pozostającymi z sobą w kontakcie. Przekazywany składnik może ale nie musi podlegać reakcjom w każdej z faz. Fazy są zwykle na tyle dobrze określone, tak że możemy mówić o granicy podziału pomiędzy nimi. Te sprawy bez wchodzenia w kinetykę transportu były już omawiane w poprzednich rozdziałach.

25 Transfer masy do cząstki stan nieustalony W rozdziale szóstym (dyfuzja), wspomnieliśmy o problemie dyfuzji do sfery, znajdującej się w pewnej, dobrze wymieszanej, fazie zewnętrznej. Dla izotropowej dyfuzji drugie prawo Ficka daje (18) warunki brzegowe to c A t = D AB ( 2 c A r r c A r (19) c A = 0 (lub stała) dla 0 r a; t = 0; oraz ) ; (20) c A t = 0 dla r = 0.

26 Transfer masy do cząstki stan nieustalony, c.d. Dodatkowo, strumień masy wnikającej do cząstki (proporcjonalny do radialnego gradientu stężenia pierwsze prawo Ficka) na jej powierzchni, musi być równy masie przekazywanej z zewnętrznego roztworu w wyniku transportu konwekcyjnego: c A (21) J A = D AB = k r c (c A,pow c A, ). r=a Profile stężenia w cząstce i zewnętrznym płynie pokazane są na następnej stronie: Profile stężenia w cząstce i zewnętrznym płynie: (a) przypadek kiedy stężenie w obu fazach: zewnętrznej i wewnętrznej podlega pewnym ograniczeniom; (b) ograniczeniom podlega faza zewnętrzna; (c) ograniczeniom podlega faza wewnętrzna.

27 Transfer masy do cząstki stan nieustalony, c.d.

28 Transfer masy do cząstki stan nieustalony, rozwiązanie Rozwiązanie równ. (18) (Cranck) ma skomplikowaną postać: M t 6Bi 2 exp[ β (22) = 1 n(d 2 AB t/a 2 )], M n=1 βn[β 2 n 2 + Bi(Bi 1)] gdzie: M t transfer masy do cząstki w pewnej chwili t; M transfer masy do cząstki w stanie ustalonym; wartości własne β n są pierwiastkami równania (23) β n ctg β n + Bi 1 = 0. Bi to kolejny bezwymiarowy parametr: tzw. liczba Biota: (24) Bi = ak c D AB = a 2 D AB a k c stosunek charakterystycznych czasów dla dyfuzji (wewnętrznej) i transportu konwekcyjno-dyfuzyjnego (zewnętrznego).

29 Transfer masy do cząstki stan nieustalony Bi to kolejny bezwymiarowy parametr: tzw. liczba Biota: (25) Bi = ak c D AB = a 2 D AB a k c stosunek charakterystycznych czasów dla dyfuzji (wewnętrznej) i transportu konwekcyjno-dyfuzyjnego (zewnętrznego). (Pojawia się w zasadzie w problemach transportu ciepła.) Dla na przykład małych wartości liczby Biota, skala czasowa dyfuzji jest mała (transfer masy wewnątrz cząstki dyfuzja jest szybki). Stężenie składnika w cząstce jest stałe tak jak na rysunku (b); proces kontroluje zewnętrzny transfer masy Z kolei dla (bardzo) dużych wartości liczby Biota, skala czasowa procesów dyfuzji wewnętrznej jest (bardzo) duża (procesy dyfuzyjne są bardzo wolne). Stężenie składnika w otaczającym cząstkę płynie jest więc jednorodne (bez gradientów) tak jak na rysunku (c).

30 Międzyfazowy transport masy: stan ustalony, jednorodna reakcja w jednej z faz

31 Międzyfazowy transport masy: stan ustalony, jednorodna reakcja w jednej z faz Stężenie składnika reagującego w strudze niech będzie stałe. Transferowi masy pomiędzy objętościowym przepływem turbulentnym a warstwą biomasy przeszkadza pewna oporność transferu masy (por. rozdz. 6.), za która odpowiedzialna jest konwekcyjna dyfuzja. Wygodnie jest wyobrazić sobie, że pomiędzy objętością turbulentnego przepływu a biowarstwą mamy (fikcyjną) warstwę cieczy, w której zachodzi właśnie dyfuzja składnika; po jej przejściu składnik dyfunduje do biowarstwy gdzie podlega reakcji pierwszego rzędu. Załóżmy dodatkowo, że biowarstwa jest na tyle gruba, że reakcja realizuje się w pełni zanim składnik dojdzie do ścianki rury, tzn. stężenie składnika przy samej ściance jest równa zeru.

32 Międzyfazowy transport masy: stan ustalony, jednorodna reakcja w jednej z faz, c.d. Pierwszy etap to transport przez warstwę cieczy; korzystamy ze współczynnika transferu masy (dla warstwy cieczy) (26) J A = k c (c A, c A,z=0 ). Strumień J A jest więc stały w całej objętości warstwy cieczy i musi być równy strumieniowi wnikającemu do biowarstwy. Ten ostatni, jak można wykazać (zadanie 6.9), to (27) J A = c A,z=0 D AB k A, gdzie D AB to współczynnik dyfuzji (składnika A do biowarstwy), a k A stała reakcji, której składnik w niej podlega. Z powyższych równań mamy [ ] 1 (28) J A = 1/k c + 1/ c A,. D AB k A

33 Międzyfazowy transport masy: stan ustalony, jednorodna reakcja w jednej z faz, c.d. Wprowadzamy definicje oporności przekazu (transferu) masy: dla biowarstwy R b i warstwy cieczy R c : (29) R b = 1 DAB k A ; R c = 1 k c i możemy zapisać (28) w prostej i czytelnej postaci (30) J A = 1 R c + R b c A,. Właśnie dlatego powyższy model nazywa się modelem oporności połączonych szeregowo. Jeżeli jedna z tych oporności jest znacząco większa od drugiej to tak jak w przypadku analogicznych sytuacji w nauce o elektryczności właśnie ona kontroluje przebieg procesu.

34 Międzyfazowy transport masy: stan ustalony, niejednorodna reakcja w jednej z faz Układ: Objętościowy przepływ turbulentny, Współczynniki warstwa transferu cieczy masy, i modele i korelacje dl

35 Międzyfazowy transport masy: stan ustalony, niejednorodna reakcja w jednej z faz Warstwa cieczy i biowarstwa to układ szeregowo połączonych oporności; wewnątrz biowarstwy (pierwsze prawo Ficka D AB,b to współczynnik dyfuzji do biowarstwy) (31) J A = D AB,b dc A dz. Całkując to równanie z warunkami c A (z = 0) c A,z=0 oraz c A (z = B) c A,z=B mamy (32) J A = D AB,b B (c A,z=0 c A,z=B ). Jeżeli na powierzchni ścianki rury z = B zachodzi reakcja (szybkość k A,B ) to mamy też (33) J A = k A,B c A,z=B i konsekwentnie

36 Międzyfazowy transport masy: stan ustalony, niejednorodna reakcja w jednej z faz J A = 1 B/D AB,b + 1/k A,B c A,z=0 jeszcze jeden model dwóch oporności połączonych szeregowo: (34) R b = B D AB,b ; R pow = 1 k A,B, oporności transferu masy biowarstwy i oporności powierzchniowej reakcji.

37 Międzyfazowy transport masy: stan ustalony, niejednorodna reakcja w jednej z faz Dla warstwy cieczy modelujemy strumień posługując się współczynnikiem transferu masy: J A = k c (c A, c A,z=0 ). Podstawiając z tego równania do równania na J A za c A,z=0 mamy (35) J A = 1 R c + R b + R pow c A,z= R c = 1 k c model trzech szeregowo połączonych oporności. Ułamek po prawej stronie ma wymiar prędkości nazywa się go czasami prędkością osadzania (depozycji).

38 Model oporności Równania takie jak (35) stosowane są w praktyce dla oceny udziału różnych procesów (różnych oporności) w depozycji zanieczyszczeń na powierzchniach. Oczywiście, dla takiego równania musimy ocenić (modelować) dwie z trzech niewiadomych oporności i mierzyć (wyznaczać doświadczalnie) strumień i stężenie.

39 Modele dwuwarstwowe, postacie graniczne i absorpcja gazów W wielu procesach transferu masy w naukach o środowisku i kontroli zanieczyszczeń mamy sytuacje, w których fazy: ciekła i gazowa pozostają z sobą w kontakcie, transfer masy, jednego lub więcej składników, następuje pomiędzy nimi. Dodatkowo, możemy mieć jeszcze reakcje. Na przykład, przy spalaniu paliw kopalnych, wydzielające się gazy przechodzą przez wieżę spalania, w której przepływa strumień wody. Zanieczyszczenia, takie jak SO 2 przechodzą wówczas (przynajmniej w części) do fazy ciekłej gaz podlega oczyszczaniu. Po zaabsorbowaniu w fazie ciekłej gaz może ulegać reakcjom. W uzdatnianiu i oczyszczaniu wody gazy takie jak tlen i ozon są wtłaczane do wody, celem utleniania organicznych i nieorganicznych składników, dostarczenia tlenu bioorganizmom, albo oczyszczenia wody z lotnych organicznych substancji.

40 Model dwóch warstw Jeden z klasycznych (chociaż dość uproszczonych) modeli tego typu oddziaływań jest model dwóch warstw (dwuwarstwowy) transferu składnika A z fazy gazowej do ciekłej.

41 Model dwóch warstw Układ składa się z: objętościowego gazu, warstwy gazu, warstwy cieczy, objętościowej cieczy. Stężenia A w gazie są wyrażane poprzez ciśnienia parcjalne; a w cieczy jako molowe (pozorna nieciągłość wykresu stężenia na granicy warstwy gazu i warstwy cieczy jest konsekwencją użycia różnych wielkości fizycznych). Gaz i ciecz poza warstwami są idealnie wymieszane, tzn. stężenia A są w tych obszarach stałe. Na granicy ciśnienie p A,gr jest w równowadze z stężeniem c A,gr, (36) J A = k G (p A, p A,gr ) = k C (c A,gr c A, ), gdzie k G, k C to współczynniki transferu masy fazy gazowej (G) i ciekłej (C).

42 Model dwóch warstw Zgodnie z prawem Henry ego, ciśnienie parcjalne gazu w równowadze z jego wodnym roztworem jest proporcjonalne do stężenia gazu w roztworze: (37) p A,gr = Hc A,gr, (H stała Henry ego). Tak więc (38) J A = k G (p A, Hc A,gr ). Z kolei, z (36) mamy (39) c A,gr = J A + c A, ; k C po prostych przekształceniach 1 (40) J A = (p A, Hc A, ). 1/k G + H/k C Pozostaje zdefiniować: (41) R G = 1 k G ; R C = H k C ;

43 Model dwóch warstw otrzymujemy (42) J A = 1 R G + R C (p A, Hc A, ) kolejny model dwóch szeregowo połączonych oporności. Jeżeli tak, jak już to bywało jedna z oporności jest wyraźnie większa od drugiej, to ona właśnie kontroluje transfer A na granicy warstw; równanie (42) z pominiętą drugą opornością przyjmuje wówczas postać graniczną.

44 Model dwóch warstw W rzeczywistości (niestety) warstwy cieczy i gazu są tylko fikcją. Powyższy model jest więc (kolejnym) uproszczeniem rzeczywistych sytuacji. Stawia to też pod znakiem zapytania możliwość posługiwania się wielkościami c A,gr i p A,gr. Dlatego kolejne uproszczenie modelu sprowadza się do zapisania (36) w postaci (43) J A = K G (p A, p A) = K C (c A c A, ), gdzie K G i K C są nowymi współczynnikami transferu masy, gazu i cieczy, czasami nazywanymi współczynnikami globalnymi, zdefiniowanymi jako: c A stężenie (w roztworze) składnika A, która pozostawałaby w równowadze z p A, ; p A ciśnienie parcjalne składnika A, które pozostawałoby w równowadze z c A,. Obie powyższe wielkości mogą być wyznaczone z prawa Henry ego; dlatego równ.(43) ma spore zastosowanie praktyczne, zwłaszcza w przypadku kiedy przybiera ono postać graniczną.