1 DR MAŁGORZATA JANUS-MICHALSKA, DR DOROTA JASIŃSKA, INSTYTUT MCHA- NIKI BUDOWLI, WYDZIAŁ INŻYNIRII LĄDOWJ, POLITCHNIKA KRAKOWSKA ZAGADNINI KONTAKTU SPRĘŻYSTGO OŚRODKA ANIZOTROPOWGO NA PRZYKŁADZI MATRIAŁU KOMÓRKOWGO O UJMNYM WSPÓŁCZYNNIKU POISSONA CONTACT PROBLM FOR A CLASS OF ANISOTROPIC LASTIC CLLULAR BODIS WITH NONPOSITIV POISSON S RATIO 1. Wtęp W zagadnenach mechank kontakt jet jednym z podtawowych problemów, ze względu na fakt, że jet to główny poób przekazywana obcążeń. Wękzość prac pośwęconych temu tematow kupa ę nad wyznaczenem naprężeń w trefe kontaktu, których makymalne wartośc określają zakre obcążeń zewnętrznych. Rzeczywte powerzchne rozważane w zadanach nżynerkch ą zortke, a właścwość tą określa ę w kal makrokopowej przez wpółczynnk tarca. Najprotzy model tarca zakłada, że w trefe kontaktu może wytępować czepene lub poślzg zależne od welkośc powtałych naprężeń tycznych albo całkowte zerwane kontaktu. O zachowanu ę cał w trefe kontaktu decyduje zarówno poób welkość obcążena, wartość wpółczynnka tarca jak równeż włanośc ośrodka prężytego określone mędzy nnym przez wpółczynnk Poona. Kwaztatyczne rozwązane zagadnena brzegowego dla kontaktu z ośrodkam anzotropowym wkazuje na możlwość totnej zmany rozkładu naprężeń w trefe kontaktu w porównanu z ośrodkem zotropowym [6,8,9]. Równeż wytępowane tref czepena poślzgu jet zależne od włanośc anzotropowych ośrodka prężytego. W pracy [6] pokazano na przykładze cał komórkowych o różnorakej ymetr materałowej problem projektowana truktury wewnętrznej materału w celu uzykana redukcj koncentracj napreżeń normalnych. Wnok wyraźne wkazują na materały o
2 ujemnym wpółczynnku Poona, tzw. auxetc materal jako te, dla których przy kontakce powtaje najkorzytnejzy rozkład naprężeń. Dla rozważanych materałów komórkowych za efekt ujemnego wpółczynnka odpowada budowa zkeletu materału tworząca welokąty wklęłe. Taka truktura wewnętrzna daje ponadto tzw. materał dylatacyjny podatny na odkztałcena objętoścowe tounkowo ztywny na odkztałcena potacowe. Sztywnośc te merzy ę odpowedno modułem ścślwośc objętoścowej modułem na ścnane. Wpływa to totne na potać deformacj cała anzotropowego dla zadana z kontaktem oraz na zachowane w trefe kontaktu. Jednak należy podkreślć, że wpółczynnk Poona jak nne moduły prężyte dla materału anzotropowego ą charakteryzowane przez rozkłady kerunkowe. Ponadto włanośc materału opują wzytke nezależne tałe materałowe, których lczba zależy od typu ymetr kładowych tenora ztywnośc. Stąd dla wkazanej grupy materałów komórkowych można doberać parametry truktury wewnętrznej, które określą materał odpowedno wytrzymały najkorzytnej pracujący ze względu na zachowane w trefe kontaktu jak redukcj naprężeń. Pozukwanom tych zależnośc jet pośwęcona nnejza praca. 2. Zagadnene kontaktu Rozważane jet zagadnene płake kontaktu tatycznego anzotropowego lnowo prężytego ośrodka ze ztywnym zortkm podłożem. Sformułowane problemu brzegowego w potac układu równań jet natępujące [1]: 1 σ j, j + f = 0, σ j = jklε kl, ε j = ( u, j + u j, ), j = 1, 2 w obzarze Ω (1.1) 2 z przemezczenowym tatycznym warunkam brzegowym u ˆ = u na brzegu Γ D, σ jn j = t na brzegu Γ F (1.2) oraz warunkam w trefe kontaktu Γ C σ nun = 0, σ n 0 (1.3) warunkam dla tarca na powerzchn kontaktu Γ C σ < µ σ u = 0, σ = µ σ λ > 0; u = λσ (1.4) T n T T n T T gdze: σ j - tenor naprężeń Cauchyego, ε j - tenor małych odkztałceń, anzotropowego cała prężytego, uˆ - wektor przemezczeń, jkl - tenor ztywnośc f - wektor ł maowych, t - wektor ł brzegowych na brzegu Γ F, n - uˆ - zadane przemezczena na brzegu Γ D, weror normalny, Γ D Γ F Γ C brzeg obzaru Ω, σ n = σ jnn j - naprężene normalne w trefe kontaktu, u n = u n - przemezczene normalne do brzegu, σt = σ jn j σ nn - naprężene tyczne, ut = ( u unn) - przyrot przemezczena tycznego. Dla rozważanego przypadku zadana dwuwymarowego rozwązane tneje, gdy wpólczynnk tarca µ wpółczynnk Poona ν prężytego ośrodka pełnają pewen warunek. Dla cała zotropowego w zadanu dwuwymarowym jet on natępujący [6]: µ 3 4ν ( 2 2ν ).
Przedtawony problem brzegowy nelnowy ze względu na warunk (1.3) and (1.4) jet rozwązywany za pomocą programu MS - ANSYS. 3 3. Materały komórkowe o ujemnym wpółczynnku Poona 3.1. Anzotropowe włanośc efektywnego contnuum Jako ośrodek anzotropowy przyjęto materał komórkowy o komórkach otwartych maywnym zkelece o płakej trukturze perodycznej. Struktura ta wyznaczona jet przez topologę węzłów (wpólnych punktów ścan zkeletu) to ona przeądza o rodzaju anzotrop, w tym równeż o efekce ujemnego wpółczynnka Poona. Typowy przykład truktury auketycznej tzn. tworzącej materał o ujemnym wpółczynnku Poona wraz z komórką reprezentatywną jet pokazany na ry. 1. Ry. 1. a) Struktura materału komórkowego o ujemnym wpółczynnku Poona, b) komórka reprezentatywna. Fg. 1. a) Reentrant cellular tructure, b) Repreentatve unt cell. Jeśl dodatkowo rozważamy materał o nkej gętośc względnej (dużej porowatośc) to zkelet może być modelowany przez płaką trukturę belkową połączoną w ztywnych węzłach [11]. Wyznaczene wzytkch włanośc prężytych materału komórkowego jako efektywnego contnuum oparte jet na modelowanu dwukalowym. W kal mkro rozważana jet komórka reprezentatywna wraz z fragmentem zawartego w nej zkeletu belkowego gromadzącego energę prężytą. Komórkę reprezentatywną opują geometryczne parametry mkrotruktury: L, h - długośc elementów belkowych t - zerokość przekroju belek, γ - kąt (ry.1.b.) oraz materałowe parametry mkrotruktury: - moduł Younga, ν - wpółczynnk Poona, R - granca platycznośc dla materału e zkeletu. Modelem mechancznym truktury zkeletu materału komórkowego jet belka Tmohenk (belk zkeletu typowych materałów ą krępe). Dzęk zatoowanu modelu belkowego dla dowolnej deformacj w zakree lnowo prężytym komórk reprezentatywnej opanej tenorem odkztałceń można wyznaczyć rozkład ł wewnętrznych w belkach zkeletu. Numeryczne rozwązana dla zadawanych deformacj uzykano metodą elementów kończonych (program ANSYS). Kontnuum zatępcze defnuje ę poprzez przez ekwwalentność potencjału prężytego zgromadzonego w zkelece belkowym, który wyraża ę wzorem:
4 2 2 2 3 l0 l0 l ( F 0 ( ξ )) dξ ( F n ( ξ )) dξ ( M ( ξ )) dξ τ ( ) dv µ (2.1) U = Φ = + + V = 1 0 2 A 0 2G A 0 2 J gdze: F ( ξ ), F τ ( ξ ), ( ) n M ξ, = 1, 2,3 - funkcje ł przekrojowych (podłużnych, poprzecznych momentu zgnającego) w belkach zkeletu, ξ oś podłużna -tej belk A, J - pole moment bezwładnośc przekroju belkowego µ - energetyczny wpółczynnk ścnana (dla przekroju protokątnego µ = 1.2 ). Gętość energ dla contnuum zatępczego odpowada uśrednenu po objętośc komórk reprezentatywnej potencjału prężytego zgromadzonego w zkelece belkowym: 1 Φ = ( Φ ) dv V (2.2) V Podejśce to zczegółowo jet opane w pracach [11,12]. Dla rozważanych truktur perodycznych na podtawe analzy reprezentatywnej komórk wyznaczane ą: tenor ztywnośc oraz welkośc pomocncze łużące do formułowana hpotezy wytężenowej. Macerz ztywnośc (w notacj Kelvna S ) dla ekwwalentnego contnuum o podanej IJ trukturze ymetr na natępującą potać macerzową równoważną z zapem wkaźnkowym jkl : S S 0 0 11 12 1111 1122 S = S S 0 = 0 (3) 12 22 1122 2222 0 0 S 0 0 2 33 1212 3.2. Hpoteza wytężenowa oparta na kryterum energetycznym Zatoowane kryterum tanów grancznych w trukturze zkeletu wraz z podejścem dwukalowym pozwala na wyznaczene grancznych naprężeń w materale [11,12]. Wyznacza ę je numeryczne dla tanów włanych tenora ztywnośc na podtawe analzy komórk reprezentatywnej wg algorytmu podanego w pracy [11]. Dla materału komórkowego jako cała anzotropowego przyjęto hpotezę wytężenową jako energetyczne kryterum w potac energ ważonych zgromadzonych w tanach włanych tenora ztywnośc [16,17]: III α Φ 1 α gr = (4.1) α=i Φ nerge krytyczne α Φ gr zgromadzone w tanach włanych wyrażone ą wzoram: α gr 1 2λ α α gr α gr ( )( ) Φ = σ σ (4.2)
gdze: λ wartośc włane tenora ztywnośc (załącznk). α α gr σ - granczne tany włane naprężeń wyznaczone numeryczne, odpowadające pojawenu ę perwzych uplatyczneń w zkelece belkowym [17]. W dowolnym tane prężytym można wprowadzć energetyczny wpółczynnk, który jet tu obraną marą wytężena materału [8,9]: III α Φ ϕ = (4.3) α gr α= 1 Φ gdze: α Φ - energe prężyte zgromadzone w tanach włanych. α gr Φ - granczne energe prężyte (algorytm ch oblczana podano w pracy [17].) W tane prężytym pełnona jet nerówność: ϕ 1. Wpółczynnk ϕ pozwala na wyznaczene wartośc makymalnego obcążena w zakree prężytym. Ponadto analza mapy wytężena materału pozwala przewdzeć mejca, w których podzewane ą perwze uplatycznena materału. 5 4. Przykłady Oblczena numeryczne dotyczące tenora ztywnośc parametrów wytężena materałów komórkowych o różnych mkrotrukturach przeprowadzono w/g algorytmu podanego w pracy [8]. Przyjęto materału zkeletu o natępujących parametrach: = 10 GPa, ν = 0.3, R = 100 MPa. e 4.1. Kwadratowy blok obcążony cśnenem Przyjęto blok o wymarach B H = 1m 1m na ztywnym zortkm podłożu o wpółczynnku tarca µ = 0.3, obcązony cśnenem p = 0.025 MPa przyłożonym do górnej krawędz jak na ry. 2.a. Przyład ten zacytowano z pracy [9]. Inpracją do dalzych oblczeń numerycznych był uzykany rozkład naprężeń dla materału o trukturze platra modu (honeycomb) ry. 2.b, dającej materał zotropowy oraz materału o trukturze welokątów wklęłych ( nverted honeycomb ) ry. 2.c, dającej materał auketyczny. Przyjęto natępujące dane geometryczne truktur materałów: honeycomb l 0-1 = 0.75 mm, l 0-2 = 0.75 mm, l 0-3 = 0.75 mm, t = 0.15 mm. nverted honeycomb L = h = 1.575 mm, γ = 70 o, t = 0.15 mm ze względu na nośność przyjęto utawene ponowe truktury ry. 2.c.
6 a) L b) c) ν = 0.962 ν = 3.85 YX Ry. 2. a) Blok obcążony cśnenem, b) truktura materału zotropowego o dodatnm wpółczynnku Poona, c) truktura materału komórkowego o ujemnym wpółczynnku Poona. Fg. 2. a) Square block under vertcal preure, b) honeycomb materal tructure, c) nverted honeycomb materal tructure. Rozwązane zadana wkazuje na nny jakoścowo rozkład napręzeń σ w trefe yy kontaktu dla materału o ujemnym wpółczynnku Poona, charakteryzujący ę redukcją koncentracj naprężeń. Inne będą też przewdywane obzary powtana perwzych uplatyczneń. σ [MPa] σ [MPa] yy yy 0 0.009 0.027 0.044 0.062 0.08 0 0.009 0.027 0.044 0.062 0.08 Ry. 3. Rozkład naprężeń normalnych w trefe kontaktu, a) dla materału o dodatnm wpółczynnku Poona, b) dla materału o ujemnym wpółczynnku Poona. Fg. 3. Contact preure dtrbuton a) for materal wth potve Poon rato, b) for materal wth negatve Poon rato.
4.2. Kwadratowy blok obcążony cśnenem tudum parametryczne 7 Rozważono materały auketyczne o różnych włanoścach otrzymanych poprzez dobór parametrów mkrotruktury. Dane geometryczne pozczególnych mkrotruktur podano w Tablcy 1. Specyfkacja truktury materału komórkowego T a b l c a 1 Struktura L [mm] h [mm] γ t [mm] I 1.50 1.50 80 o 0.15 II 1.50 2.00 60 o 0.15 III 1.575 1.575 70 o 0.15 IV 1.5 3.0 60 o 0.15 Otrzymane numeryczne moduły ztywnośc efektywnego contnuum zetawono ponżej w Tablcy 2. (Wynk dotyczą ponowej orentacj truktury względem układu wpółrzędnych XY jak na ry 2.) Macerze ztywnośc uzykanych materałów oraz wzory na moduły ztywnośc podano w załącznku. Moduły ztywnośc T a b l c a 2 Struktura X [kpa] Y [kpa] ν XY ν YX max(g/k) I 1.2970 46.1831-0.142-5.058 5.52 II 1.9410 6.270-0.532-1.718 28.9 III 0.1311 1.951-0.261-3.850 2.23 IV 3.4074 3.6713-0.912-0.982 108.3 Materały o otrzymanych ztywnoścach ą użyte do oblczeń w zadanach kontaktowych MS (program ANSYS). Do tetów utawano materały trukturą w pone na ry. 2.c. Orentacja ponowa jet zazwyczaj wyberana ze względu na wękzą nośność (dla zadana z cśnenem ponowym). Oblczena przeprowadzono dla zadana ze wpółczynnkem tarca µ = 0.1 oraz µ = 0.2. Do dykretyzacj contnuum użyto płake czworokątne ośmowęzłowe elementy drugego rzędu (PLAN 183). Oblczena przeprowadzono dla dwóch gętośc regularnych atek, podtawowej (10000 elementów) oraz zagęzczonej (40000 elementów). Strefę kontaktu zamodelowano trójwęzłowym elementam kontaktowym urface to urface (CONTA 172 TARG 169). Wynk wkazują, że zachowane w trefe kontaktu zależne jet od welkośc wpółczynnka tarca oraz jego relacj ze wpółczynnkem Poona (ry. 4). Analza naprężeń normalnych wkazuje natomat praktyczne na brak zależnośc rozkładu od wartośc wpółczynnka tarca oraz wpółczynnka Poona w zakree jego ujemnych wartoc (ry.5).
8 Ry. 4. Rodzaj kontaktu dla rozważanych materałów (ponowa orentacja truktur) dla zadanego wpółczynnka tarca, a) µ=0.1, b) µ=0.2. Fg. 4. Contact tatu along contact lne for condered type of materal (vertcal orentaton) for frcton coeffcent a) µ=0.1, b) µ=0.2. Ry. 5. Rozkład naprężeń normalnych Fg. 5. Contact preure σ w trefe kontaktu a) µ=0.1, b) µ=0.2. yy σ dtrbuton a) µ=0.1, b) µ=0.2. yy Wartość makymalnych naprężeń tycznych jet wękza dla wyżzych wartośc wpółczynnka tarca (ry. 6) a rozkład zależny od rodzaju kontaktu (wg ry. 3). Ry 6. Rozkład naprężeń tycznych w trefe kontaktu a) µ=0.1, b) µ=0.2. Fg. 6. Contact tangent tre dtrbuton a) µ=0.1, b) µ=0.2.
9 Analza map wytężena materału wkazuje na koncentrację w trefe kontaktu (w trefach poślzgu) dla wyżzych wartośc wpółczynnka tarca z równoczenym odcążenem pozotałej częśc materału. Dla nżzych wartośc wpółczynnka tarca wytężene jet bardzej rozłożone w całym materale. Do celów porównawczych wybrano materał o trukturze II ponowa orentacja dla wpółczynnka tarca kolejno: µ=0.1, µ=0.2. 0 0.77e-3 0.232e-2 0.356e-2 0.591e-2 0.696e-2 0 0.130e-2 0.359e-2 0.599e-2 0.9075e-2 0.117e-1 Ry. 7. Obraz wytężena w materale (rozkład wpółczynnka φ), a) µ=0.1, b) µ=0.2. Fg. 7. Dtrbuton of materal effort coeffcent φ, a) µ=0.1, b) µ=0.2. Deformacja bloku przy zadanym obcążenu zależy od relacj wpółczynnka Poona wpółczynnka tarca. Dla nżzych wartośc wpółczynnka Poona deformacja ma kztałt dzwonu (ry. 8a 8c, dla wękzego wpółczynnka tarca deformacja ta bardzej wyraźna ry. 8b. 8c.) c) Ry. 8. Deformacja dla wybranych przykładów, a) materał o trukturze III, µ=0.2, b) materał trukturze II, µ=0.1, c) materał o trukturze II, µ=0.2. Fg. 8. Deformaton type for chooen example a) materal of tructure III, µ=0.2 b) materal of tructure II, µ=0.1. c) materal of tructure II, µ=0.2.
10 4.1 Złożony tan obcążeń z udzałem deformacj potacowej tudum parametryczne. Blok z poprzednego zadana jet dodatkowo obcążony przemezczenem geometrycznym prawego górnego naroża u=0.1 m (ry. 9). Ry. 9. Blok obcążony cśnenem ponowym oraz przemezczenem pozomym. Fg. 9. Square block under vertcal preure and horzontal dplacement. Ze względu na wymuzoną deformację potacowa oraz objętoścową należy podzewać ę równeż wpływu ztywnośc potacowej objętoścowej oraz ch wzajemnej relacj na rozwązane. Itotną
RROR: yntaxerror OFFNDING COMMAND: --notrngval-- STACK: