ANALIZA WPŁYWU WYTRZYMAŁOŚCI PRĘTÓW SZEŚCIENNEJ STRUKTURY KOMÓRKOWEJ NA ROZKŁAD GRANICZNYCH ENERGII

Transkrypt

1 POTR KORDZKOWSK ŁGORZT JNUS-CHSK RYSZRD B. PĘCHERSK * NZ WPŁYWU WYTRZYŁOŚC PRĘTÓW SZEŚCENNEJ STRUKTURY KOÓRKOWEJ N ROZKŁD GRNCZNYCH ENERG Celem pracy jet zbudowane efektywnego modelu prężytego zachowana ę materałów komórkowych oraz zatoowane energetycznego kryterum J. Rychlewkego do określena tanu ancznego, który w tym wypadku odpowada oągnęcu ancy lnowej prężytośc. Przyjęto ześcenną trukturę komórkową o powtarzającym ę regularnym układze ześcu prętów połączonych w ztywnym węźle. Pręty mogą odkztałcać ę prężyśce pod wpływem ł oowych lub momentów gnących ł poprzecznych. Wyznaczono w poób analtyczny moduły prężyte oraz krytyczne energe dla trzech prężytych tanów właych. Zbadano możlwośc modelowana rozkładu ztywnośc truktury z punktu wdzena energ krytycznych. Jako przykład do rozważań przyjęto na podtawe lteratury trukturę kośc gąbczatej, której budowa może być przynajmnej w przyblżenu opana omawaną ześcenną trukturą komórkową. Podobną analzę można przeprowadzć z wękzym lub mnejzym przyblżenem także dla charakteryzujących ę trukturą komórkową materałów ceramcznych, polmerów oraz ntermetalków. NYSS OF THE NFUENCE OF THE STRENGTH OF STRUTS FORNG CUBC CE STRUCTURE ON THE DSTRBUTON OF ENERGY TS The am of the paper to formulate an effectve model of elatc behavour of cellular materal and applcaton of the energy-baed Rychlewk crteron for determnaton of the lmt tate, whch n our cae correpond to the lmt of lnear elatcty. cubc cell tructure aumed wth the repeatng pattern of trut connected n the rgd jont. The trut can deform elatcally under the applcaton of aal and tranveral force and bendng moment. The elatc modul and energy lmt of three proper elatc tate, pertnent to cubc ymmetry, have been derved analytcally. The modellng poblty of the nfluence of the trength of trut formng a cubc tructure on the dtrbuton of energy lmt wa tuded. Bag on the avalable data, the tructure of cancellou bone, whch can be appromated by mean of the dcued cubc cell tructure, wa choen a an eample. The mlar analy can be alo conducted wth the leer or eater appromaton n the cae of cellular materal made of ceramc, polymer or ntermetalc. Wtęp Do określena kryterum prężytego tanu ancznego dla materałów anzotropowych touje ę zazwyczaj hpotezy wytężenowe o charakterze emprycznym. Energetyczne kryterum tanu ancznego zaproponowane przez J. Rychlewkego dało podtawę do tworzena teor wytężena materałów, które w ogólnośc wykazują anzotropę właośc mechancznych [-4]. W kryterum energetycznym należy określć anczne energe dla pozczególnych prężytych tanów właych, których w ogólnośc może być, co najwyżej ześć. Te anczne energe można wyznaczyć dośwadczalne lub oblczyć. Propozycję oblczana ancznych energ podano w [5] dykutowano dokładnej w [6, 7]. Oblczene krytycznych energ wymaga tworzena modelu efektywnego, przy pomocy, którego będze można przewdywać prężyte zachowane ę materału na podtawe teoretycznego opu jego truktury. * m nż. Potr Kordzkowk, dr nż. ałgorzata Janu-chalka, dr hab. nż. Ryzard B. Pęcherk prof. PK, Katedra Wytrzymałośc aterałów, ntytut echank Budowl, Wydzał nżyner ądowej, Poltechnka Krakowka. - -

2 Celem pracy jet zbudowane efektywnego modelu prężytego zachowana ę materałów komórkowych oraz zatoowane energetycznego kryterum J. Rychlewkego do określena tanu ancznego, który w tym wypadku odpowada oągnęcu ancy lnowej prężytośc. W [7] formułowano tak model dla metalcznej pank, zakładając komórkę elementarną w kztałce czworoścanu. Dało to podtawę do prezentowanej analzy, w której przyjęto ześcenną trukturę komórkową o powtarzającym ę regularnym układze ześcu prętów połączonych w ztywnym węźle. Pręty mogą odkztałcać ę prężyśce pod wpływem ł oowych lub momentów gnących ł poprzecznych. Wyznaczono w poób analtyczny, zakładając podejśce knematyczne, moduły prężyte oraz krytyczne energe dla trzech prężytych tanów właych. Zbadano możlwośc modelowana rozkładu ztywnośc truktury z punktu wdzena energ krytycznych. Jako przykład do rozważań przyjęto na podtawe lteratury trukturę kośc gąbczatej, której budowa może być przynajmnej w przyblżenu opana omawaną ześcenną trukturą komórkową, por. np. [8]. Podobną analzę można przeprowadzć z wękzym lub mnejzym przyblżenem także dla charakteryzujących ę trukturą komórkową materałów ceramcznych, polmerów oraz ntermetalków. Podtawą analzy jet monoafa [9] oraz publkacje [9-]. W pracy [7] przedtawono, toując podejśce knematyczne dla modelu belkowego, poób wyznaczena modułów prężytych oraz ancznych energ dla czworoścennej truktury zotropowej. W [8] oblczono, wykorzytując proam elementów kończonych BQUS, moduły prężyte dla ześcennej truktury kośc gąbczatej w zależnośc od typu truktury. nalza przeprowadzona w nazej pracy oparta jet na elementarnej komórce ześcennej przedtawonej na ryunku. nalza ta jet możlwa dzęk podobeńtwu przemezczeń punktów,, 3, 4, 5, 6. Podobeńtwo to polega na tym, że w każdym punkce środkowym kolejnych komórek ześcennych moment gnący jet równy zero. Ponadto przyjmujemy założene o małych przemezczenach jednorodnych tanach odkztałceń.. ODE SZEŚCENNEJ STRUKTURY KOÓRKOWEJ Do rozważań przyjęto model belkowy o ztywnym węźle dla powtarzalnej komórk o trukturze ześcennej ry.. Długość elementu belkowego przyjęto jako. Sły dzałające na układ belkowy zataną wyznaczone podejścem knematycznym. by wyznaczyć przemezczena końców elementów belkowych należy w ogólnośc zrealzować ześć tanów jednotkowych. W nazym wypadku wytarczy zrealzować jedno rozcągnęce jedno ścęce. Będze to jeden z trzech równoważnych tanów jednotkowych zrealzowanych przez jednooowe rozcągnęce α w kerunku α, y, z, ry., który można przetawć natępująco: r r r r α α b eα eα dla,, 3, 4, 5, 6 gdze b r oznaczają wektory położena elementów belkowych w układze, y, z, a e r α ą jednotkowym weroram określającym orentację elementów belkowych w układze, y, z oraz jeden z trzech równoważnych tanów jednotkowych zrealzowanych przez ścęce αβ w płazczyźne αβ ry.3, który można przedtawć natępująco: r r αβ r r r r r αβ [ b eα eβ + b eβ eα ] dla,, 3, 4, 5, 6 oraz α β - -

3 Ry. Reprezentatywna komórka ześcenna model belkowy. z y y z Ry. Jednooowe rozcągnęca α w kerunku α, y, z. y/ zy/ z/ y/ y/ yz/ yz/ z/ z/ y/ zy/ z/ Ry. 3 Ścęce αβ w płazczyźne αβ

4 ożna wykazać, że jet to równoważne zrealzowanu trzech tanów właych, typowych dla ymetr kubcznej, to znaczy: tanu właego kultego - odpowadającego wzechtronnemu rozcąganu lub śckanu, tanu właego odpowadającego zochorycznemu rozcągnęcu w kerunku np. o X z równoczeym ścśnęcem w kerunku o Y Z oraz tanu właego odpowadającego ścęcu w płazczyźne XY, YZ, ZX. Całkowte przemezczene końców elementów belkowych przedtawa zależność: r r r n + dla,, 3, 4, 5, 6, 3 r r r r gdze przemezczena normalne to n e e, a przemezczena tyczne wyrażone ą natępująco: r r r r e e. Znając przemezczena końców elementów belkowych należy wyznaczyć ztywność na rozcągane zgnane tych elementów. odel belk rozcąganej łą oową F n przedtawa ry.4. n Ry. 4 odel belk rozcąganej. Sztywność n belk rozcąganej oblczamy z zależnośc: d n N d E n N Fn n n n Fn E cn E E c n gdze jet pole przekroju elementu belkowego, natomat E określa moduł Younga dla elementu belkowego. odel belk zgnanej przedtawa ry

5 - 5 - Ry. 5 odel belk zgnanej. Sztywność belk zgnanej przy założenu płakch przekrojów zgodne z hpotezą Bernoullego obcążonej łą poprzeczną z uwzględnenem rozkładu momentów na przemezczena poprzeczne końca belk oblczamy z zależnośc: E d d 6 F d d 3 3 E 4 c E 4 c, 7 gdze oznacza moment bezwładnośc na zgnane elementu belkowego. Sztywność Q belk Tmohenk uwzględnająca dodatkowy wpływ rozkładu ł poprzecznych na przemezczene końca belk oblczamy z zależnośc: G Q d d Q 8 F Q Q Q Q G c G c Q Q. 9 ι

6 Stąd ztywność wpornka jako kontrukcj na przemezczene poprzeczne jet odwrotnoścą umy podatnośc od rozkładu momentów dodatku od rozkładu ł poprzecznych. Sztywność tę wyraża zależność: 3 c + 4 E G c 3 4 E + G, b gdzeg oznacza ztywność na ścnane elementu belkowego oraz. S ając przemezczena pozczególnych elementów belkowych oraz ztywnośc tych elementów możemy wyznaczyć wartośc ł dzałających na elementy belkowe oraz prawdzć równowagę układu: Fn n F dla,, 3, 4, 5, 6, toując równana 6 r F 6 r r F b.. WYZNCZENE ODUŁÓW SPRĘŻYSTYCH D SZEŚCENNEJ STRUKTURY KOÓRKOWEJ. Znając wartośc ł dzałających na ześcenną trukturę komórkową można wyznaczyć naprężena otrzymane z rozkładu tych ł: - dla przekroju komórk płazczyzną π : X otrzymujemy naprężena: r r r r r r r r σ e + σ yey + σ zez + F + F + F5 + F3 + F6 3 - dla przekroju komórk płazczyzną π : Y otrzymujemy naprężena: r r r r r r r r y σ ye + σ yyey + σ yzez + F3 + F + F5 + F + F4 4 - dla przekroju komórk płazczyzną π : Z otrzymujemy naprężena: r r r r r r r r z σ ze + σ zyey + σ zzez + F5 + F + F4 + F3 + F6 5 gdze: y z, r r r e, e, e - wektory kerunkowe płazczyzn π : X, π : Y, π : Z. y z Znając naprężena możemy wyznaczyć tenor ztywnośc S komórk ześcennej dla ymetr kubcznej z zależnośc: σ S 6-6 -

7 W celu wyznaczena reprezentacj tenora ztywnośc S w przyjętym układze wpółrzędnych należy zrealzować ześć tanów jednotkowych, trzy równoważne tany jednotkowego rozcągana oraz trzy równoważne tany jednotkowego ścęca:,,,,,, y z y yz z,,,,,, y z y yz z y, z, y, yz, z y, z, y, yz, z,,,,, y, z, y, yz, z,,,,,,, y z y yz z w wynku czego otrzymujemy macerz ztywnośc: gdze: S , 33, Wartośc włae powyżzej macerzy ztywnośc przedtawają zależnośc: λ + 33 λ 33 λ 33 4 Znając macerz ztywnośc jak równeż macerz podatnośc można wyznaczyć natępujące moduły prężyte: - moduł Helmholtza prężytośc objętoścowej, ścślwośc: K moduł Younga: E - moduł Krchoffa prężytośc potacowej, ścnana: G. 4 - wpółczynnk Poona: ν 8-7 -

8 3. KRYTERU ENERGETYCZNE D SZEŚCENNEJ STRUKTURY KOÓRKOWEJ Przez tan anczny dla materałów komórkowych, możemy rozumeć oągnęce ancy lnowej prężytośc. Ważnym otwartym problemem jet wtedy określene kryterum wytężena. Pojęce wytężena jet pojmowane zazwyczaj ntucyjne, jako ołabene mechancznych właośc materału powodowane obcążenem cała łączy ę z pozukwanem mary wytężena, tzn. pewnej funkcj kładowych naprężena lub odkztałcena, której wartość merzy odległość od przyjętego tanu ancznego. Energetyczne kryterum wytężena dla cał zotropowych zotało formułowane to lat temu przez.t. Hubera []. Koncepcja gętośc prężytej energ odkztałcena potacowego, jako mary wytężena, zotała formułowana dużo wcześnej przez J.C. awella w prywatnym lśce do W. Thomona z 8 udna 856 r. oraz, w odneenu do całkowtej energ prężytej, przez E. Beltramego [3]. Praca Beltramego była cytowana w [], natomat propozycję awella opublkowano dopero w 936 r. [4]. Próbę określena energetycznego kryterum wytężena dla materałów anzotropowych podjął uczeń Hubera, W.T. Burzyńk [5]. Założene, że tałe prężyte pełnają pewne dodatkowe zwązk pozwolło rozdzelć energę prężytą na część objętoścową oraz potacową dla materałów anzotropowych z pewnym węzam. ożna wykazać, że jet to równoważne żądanu, aby cśnene było tanem bezpecznym [6]. R. von e [7] zaproponował kwadratowy warunek uplatycznena dla materałów anzotropowych, który w króconym zape ma potać: σ H σ Hjklσjσkl, gdze H jet ymetrycznym tenorem wytężena V rzędu. W tym wypadku także oanczono rozważana do ytuacj, kedy cśnene hydrotatyczne jet tanem bezpecznym. Redukuje to lczbę tałych materałowych z do 5. e wyrażał pogląd, że rozkład energ prężytej na część objętoścową potacową dla cał anzotropowych jet nemożlwy tym amym podejśce energetyczne jet neuzaadnone. Rezultaty Burzyńkego [5] wykazują, że twerdzene to było zbyt pochopne. Pomył Burzyńkego o addytywnym rozkładze energ prężytej dla cała anzotropowego pozotał jednak długo nezauważony. Podjął go dopero J. Rychlewk, wprowadzając koncepcję tanów energetyczne ortogonalnych oraz energetycznego loczynu kalarnego, [], []. Udowodnł, że dla cała lnowo-prężytego o dowolnej anzotrop energę prężytą można rozłożyć jednoznaczne, na co najwyżej ześć rozłącznych częśc, oraz, że kwadratowe kryterum ea ma en energetyczny. ożna je zapać wtedy w potac: gdze σ H σ σ σ + σ + + σ p σ σ p σ σ C σ C σ σ,,..., p + + klmn p kl, mn p 6, 3 jet jednoznacznym rozkładem tenora naprężena na p energetyczne ortogonalnych tanów właych zdefnowanych ymetrą tenora H, σ jet gętoścą energ prężytej naomadzonej w odpowednm tane właym, gdze C jet tenorem podatnośc, a jet anczną wartoścą energ prężytej w tane właym. Te anczne wartośc energ należy wyznaczyć ekperymentalne lub też, jak zaproponowano to w [5] [6] oblczyć z teoretycznego modelu uwzględnającego trukturę materału. Propozycję tę zatoowano w [7] w odneenu do panek metalcznych. Dla rozważanej w pracy ześcennej truktury komórkowej kryterum 3 przyjme potać, która była zczegółowo dykutowana w [3, 4]: σ σ σ 3 + +, 4

9 gdze, oznaczają odpowedno wartośc ancznych energ dla tanu właego - hydrotatycznego, tanu właego - dewatorowego zwązanego z rozcągnęcem wzdłuż krawędz komórk elementarnej jednoczeym ścśnęcem wzdłuż dwóch pozotałych oraz dla tanu właego dewatorowego zwązanego ze zmaną kątów mędzy kolejnym param krawędz komórk elementarnej. 4. WYZNCZENE ENERG GRNCZNYCH D SPRĘŻYSTYCH STNÓW WŁSNYCH Wartośc krytycznych energ prężytych otrzymujemy w wynku realzacj wpomnanych trzech tanów właych. Energę krytyczną dla perwzego tanu właego - tanu hydrotatycznego - przedtawa zależność: 3 λ φ Re 5 gdze: 3 φ - objętość względna, R e - anca platycznośc elementu belkowego. Energę krytyczną dla tanu właego - rozcągnęca w kerunku np. o X z równoczeym ścśnęcem w kerunku o Y, Z od tanu hydrotatycznego - przedtawa zależność: 7 λ φ Re 6 Energę krytyczną dla tanu właego -ścęca w płazczyźne XY, YZ, ZX - przedtawa zależność: 4 λ Re h 6, 7 gdze h jet makymalną odległoścą włóken górnych lub dolnych dla elementu belkowego. 5. NZ ROZKŁDU SZTYWNOŚC STRUKTURY KOÓRKOWEJ Z PUNKTU WDZEN ENERG STNÓW GRNCZNYCH Jako przykład do rozważań przyjęto trukturę kośc gąbczatej, której trukturę można przynajmnej w perwzym przyblżenu opać przy pomocy omawanej ześcennej truktury komórkowej [8]. W perwzym przypadku do wyznaczena krytycznych energ przyjęto ześcenną trukturę mukłą. Dla truktury mukłej zaadne jet przyjęce przekroju kołowego dla elementu belkowego [8]. Stałe materałowe ancę platycznośc należy przyjąć jak dla kośc E [ GPa], G[ GPa], R e [Pa]. Długość elementów belkowych dla truktury mukłej należy przyjąć: średnca[ µ m]. Układ krytycznych energ dla truktury mukłej uzykano terując tylko średncą elementu bez zmany nnych parametrów. Wartośc energ krytycznych uzykano dla natępujących średnc: d. 5µ m, d. 3µ m, d. 6µ m, d. µ m. Układ krytycznych energ dla truktury mukłej z uwzględnenem wpływu rozkładu ł poprzecznych na przemezczene końca belk przedtawa ry.6, pomnęce rozkładu ł poprzecznych na przemezczene wpływa tylko na energę krytyczną tanu właego ry.7. W drugm przypadku wyznaczena krytycznych energ przyjęto ześcenną trukturę krępą. Dla truktury krępej należy przyjąć przekrój poprzeczny przedtawony na ry.8. Stałe materałowe anca platycznośc jak poprzedno. Długość elementów belkowych dla truktury krępej - 9 -

10 przyjęto: 3 th [ µ m]. Układ krytycznych energ dla truktury krępej uzykano terując tylko wymaram przekroju poprzecznego bez zmany nnych parametrów. Wartośc energ krytycznych uzykano dla natępujących wymarów [ tc. 5µ m, tv. m, th. m,. 5 tc. 5µ m, tv. m, th. m, tc. 5µ m, tv. m, th. m,. 5 t. 5µ m, t. m, t. 55 m ]. c v h µ Układ krytycznych energ dla truktury krępej z uwzględnenem wpływu rozkładu ł poprzecznych na przemezczene końca belk przedtawa ry.9, pomnęce rozkładu ł poprzecznych na przemezczene wpływa tylko na energę krytyczną tanu właego ry.. - -

11 WPŁYW WYTRZYŁOŚC PRĘTÓW SZEŚCENNEJ STRUKTURY KOÓRKOWEJ N ROZKŁD GĘSTOŚC KRYTYCZNYCH ENERG - STRUKTUR SUKŁ WPŁYW WYTRZYŁOŚC PRĘTÓW SZEŚCENNEJ STRUKTURY KOÓRKOWEJ N ROZKŁD GĘSTOŚC KRYTYCZNYCH ENERG - STRUKTUR SUKŁ - Z PONĘCE ROZKŁDU SŁ POPRZECZNYCH N PRZEESZCZEN,,45 gętość energ krytycznej [Pa],8,6,4,,,8,6,4 gętość energ krytycznej dla tanu właego [Pa],4,35,3,5,,5,,5, 3 4 pole przekroju poprzecznego [ -6 m ] STN WŁSNY STN WŁSNY STN WŁSNY 3 4 pole przekroju poprzecznego [ -6 m ] STN WŁSNY - uwzględnene rozkładu ł poprzecznych STN WŁSNY - pomnęce rozkładu ł poprzecznych STN WŁSNY Ry. 6. Rozkład gętośc energ krytycznej dla Struktury mukłej. Ry.7. Wpływ pomnęca ł poprzecznych Na przemezczena Ry. 8 Przekrój poprzeczny elementu belkowego dla krępej truktury kośc. - -

12 gętość energ krytycznej [Pa] WPŁYW WYTRZYŁO ŚC PRĘTÓ W SZEŚCENNEJ STRUKTURY KO Ó RKO W EJ N RO ZKŁD GĘSTO ŚC ENERG KRYTYCZNYCH - STRUKTUR KRĘP,45,4,35,3,5,,5, gętość energ krytycznej dla tanu właego [Pa] WPŁYW WYTRZYŁOŚC PRĘTÓW SZEŚCENNEJ STRUKTURY KOÓRKOWEJ N ROZKŁD GĘSTOŚC ENERG KRYTYCZNYCH - STRUKTUR KRĘP - Z PONĘCE ROZKŁDU SŁ POPRZECZNYCH N PRZEESZCZEN,8,6,4,,,8,6,4,,5 3 4 pole przekroju poprzecznego [ -6 m ] STN WŁSNY STN WŁSNY STN WŁSNY 3 4 pole przekroju poprzecznego [ -6 m ] STN WŁSNY - uwzględnene rozkładu ł poprzecznych STN WŁSNY - pomnęce rozkładu ł poprzecznych STN WŁSNY Ry. 9 Układ gętośc energ krytycznej dla truktury krępej. Ry. Wpływ pomnęca rozkładu ł poprzecznych na przemezczena. 6. WNOSK. W przypadku truktury mukłej o znzczenu decyduje gętość energ tanu właego, czyl truktura jet neodporna na ścnane. Gdy truktura taje ę bardzej krępa to taje ę odporna na ścnane a o znzczenu decyduje gętość energ tanu właego, czyl rozcągnęce w jednym kerunku ścśnęce w dwóch pozotałych kerunkach. Uwzględnene rozkładu ł poprzecznych na przemezczene końca belk pozwala na dokładnejze określene gętośc energ krytycznej, a co za tym dze racjonalne wykorzytane wytrzymałośc materału. - -

13 Otrzymane funkcje modułów prężytych gętośc energ krytycznej od parametrów mkrotruktury oraz morfolog zkeletu otwerają możlwość projektowana materału według zadanych właośc wytrzymałoścowych. teratura. Rychlewk, J.: Elatc energy decompoton and lmt crtera, Upekh ekh. -dvance n ech., 984, t. 7,. 5 8 po royjku.. Rychlewk, J.: Unconventonal approach to lnear elatcty, rch. ech., 995, t. 47, Kowalczyk K., Otrowka-acejewka J., Pęcherk R.B.: n-energy baed yeld crteron for old of cubc elatcty and orthotropc lmt tate, rch. ech., 3, t. 55, 3, Pęcherk R.B., K. Kowalczyk, J. Otrowka-acejewka, Energetyczne kryterum platycznośc dla monokryztałów metal o ec RSC, Rudy etale, R 46, ,. 5. Nalepka K., Pęcherk R. B.: Fzyczne podtawy energetycznego kryterum wytężena monokryztałów,. 3 36, XXX Szkoła nżyner aterałowej, Kraków-Utroń- Jazowec, -4, X, ed. J. Pacyno, GH, Kraków,. 6. Nalepka K., Pęcherk R. B.: Energetyczne krytera wytężena. Propozycja oblczana ancznych energ z perwzych zaad, Rudy etale, 3, r. 48, Janu-chalka., Pęcherk R.B.: acrocopc properte of open-cell foam baed on mcromechancal modellng, Technche echank, 3 w druku. 8. Kowalczyk P.: Elatc properte of cancellou bone derved from fnte element model of parameterzed mcrotructure cell, J. Bomechanc, 3, t. 36, Gbon. J., hby. F.: Cellular Sold: Structure and Properte, Cambrdge Unverty Pre, Warren W. E., Kraynk..: The lnear elatc properte of open foam, J. ppl. ech., 988, t. 55, ehrabad.., Cown S. C.: Egentenor of lnear anotropc elatc materal, ech. ppl. ath., 99, t. 43, T. Huber, Właścwa praca odkztałcena jako mara wytężena materyału. Przyczynek do podtaw teory wytrzymałośc, Czaopmo Technczne, XX, 94, Nr. 3., 38-4, Nr. 4., 49-5, Nr. 5., 6-63, Nr. 6., 8-8, wów, także: Pma, t., 3-, PWN, Warzawa, Beltram E., Sulla condzon d retenza de corp elatc, Rend. t. omb.,, 8-7, 885 także w: Opere matem., t. V, lano, 9, awell J.C.: Orgn of Clerk awell' electrc dea decrbed n famlar letter to Wllam Thomon, Proc. Cambrdge Phl. Soc., 3, 936, Part V także: ed. by Sr J. armor, Cambrdge Unv. Pre, 937, Burzyńk W.T., Studjum nad Hpotezam Wytężena, Nakładem kademj Nauk Techncznych, wów, 98 także: Dzeła wybrane, t., PWN, Warzawa, 98, Kowalczyk K., J. Otrowka-acejewka, Energy-baed lmt condton for tranverally otropc old, rch. ech., 54, ,. 7. Von e R., echank der platchen Formänderung von Krtallen, Z, 98, 8, 6-85 także w: Selected Paper of Rchard von e, v., ed. by Ph. Frank et al., mercan athematcal Socety, Provdence, 963,