Rozważania energetyczne dla materiałów komórkowych o ujemnym współczynniku

Transkrypt

1 I Kongre Mechank Polkej, Warzawa, 8 1 erpna 007 r. J. Kubk, W. Kurnk, W.K. Nowack (Red.) na prawach rękopu Rozważana energetyczne dla materałów komórkowych o ujemnym wpółczynnku Poona Małgorzata Janu-Mchalka Poltechnka Krakowka, Intytut Mechank Budowl, Katedra Wytrzymałośc Materałów 1. WSTĘP Materały komórkowe to grupa nowoczenych materałów o włanoścach nnych nż włanośc materału tworzącego zkelet wewnętrzny. Włanośc te można modelować przez odpowedn dobór parametrów geometrycznych truktury oraz parametrów charakteryzujących materał zkeletu. W tej grupe można wyróżnć materały o ujemnym wpółczynnku Poona tzw. auxetc materal. Charakteryzują ę one rozzerzalnoścą w kerunku protopadłym do zadanego kerunku rozcągana. fekt tak różny dla różnych kerunków rozcągana względem układu truktury wewnętrznej można uzykać kztałtując ścany zkeletu w potac welokątów wkłęłych. Prowadz to do uzykana materału anzotropowego, którego włanośc mechanczne w zakree prężytym opywane ą przez tenor ztywnośc. Ujemny wpółczynnk Poona to jedna z włanośc tych materałów. Do nnych zalczamy dużą podatność na odkztałcene objętoścowe w porównanu z podatnoścą na odkztałcena potacowe, tąd potykana nazwa materały dylatacyjne. Ponadto te materały komórkowe charakteryzują ę wękzą deformowalnoścą w zakree prężytym znaczne mnejzą ztywnoścą nż materały komórkowe o tej amej gętośc względnej lecz topolog zkeletu tworzącej welokąty wypukłe. Z tych cech mechancznych wynkają możlwośc zatoowana. Wytwarzanem materałów komórkowych, w tym równeż tych o ujemnym wpołczynnku Poona jak dośwadczalnym badanam zajmuje ę zepół Lakea [7]. Towarzyzą temu lczne prace teoretyczne powtające od lat 80-tych ubegłego tuleca dotyczące pracy truktury wewnętrznej materału. Najwcześnejze prace Gbon Ahby ego [1] zaweraja dla materałów komórkowych o ujemnym wpółczynnku Poona dość zgrubny model, dla którego cechy mechanczne ą przyblżone znaczne odbegają od wynków ekperymentalnych [11]. Powtały nowze prace dotyczące modelowana [9,10], oraz oparte na teor ośrodka Coeratów [11], których op jet zgodny z wynkam dośwadczalnym. Do najczęścej toowanych metod oblczenowych toowanych do ośrodków nejednorodnych w tym materałów komórkowych zalcza ę metodę homogenzacj. Opracowana te, mmo ż tanową wyczerpujące podtawy teoretyczne oblczenowe częto gubą bezpośredną możlwość wkazana parametrów truktury wewnętrznej materału kontruującego zkelet, tak aby otrzymać materał o z góry zadanych włanoścach. Nnejzy artykuł jet kontynuacją er opracowań dotyczących modelowana mkromechancznego w materałach komórkowych [,4,5,6]. Jedną z totnych zalet opywanego podejśca jet wkazane zależnośc włanośc ekwwalentnego contnuum jakm jet materał komórkowy na pozome makrokopowym od topolog truktury wewnętrznej. Ponadto równoczene przeprowadzene analzy tanu naprężeń odkztałceń w dwóch kalach: contnuum zatępczego elementów trukturalnych zkeletu umożlwa określene grancznych naprężeń odkztałceń prężytych metodą tanów grancznych w zkelece [5,6]. Zatoowane kryterum energetycznego formułowanego dla cał anzotropowych pozwala formułować hpotezę wytężena dla materału komórkowego. Należy podkreślć, że wzytke cechy mechanczne dotyczące contnuum ą wyprowadzane ab nto tzn. z perwzych zaad dotyczących oddzaływań w trukturze wewnętrznej materału. Dla materałów

2 komórkowych o ujemnym wpółczynnku Poona macerz ztywnośc otrzymano przez uśrednane potencjału prężytego [], a hpotezę wytężenową przez rozdzał energ prężytej na tany włane tenora ztywnośc. Ponadto przeprowadzono analzę rozkładu wybranych modułów ztywnośc w zależnośc od parametrów mkrotruktury. Celem nnejzej pracy jet zatoowane wynków wcześnejzych prac we wkazanych dwóch kalach mająca na celu pokazane pracy materału op jego wytężena w złożonych tanach naprężeń porównane z nnym materałam. Dla nżynerkch zatoowań nezwykle ważna jet odpowedź, czy dla zadanej klay zagadneń brzegowych ma zatoowane zaada de Sant Venanta. Nnejza praca ma na celu zbadane rozkładu gętośc energ prężytej analzę pola przemezczeń dla dwóch typowych przypadków obcążena amozrównoważonego przyłożonego na brzegu anzotropowej półpłazczyzny.. ZASADA D SAINT VNANTA Zaada Sant Venanta pozwala zatepować układ rzeczywtych obcążeń tatyczne równoważnym układem obcążeń, takm dla którego znane jet rozwązane problemu brzegowego tatyk. W zczególnośc, gdy mamy do czynena ze amozrównoważonym układem ł, powtałe pole naprężeń odkztałceń ne pownno propagować ę daleko od trefy przyłożena obcążena. Znane w lteraturze rozwązana dla pewnych zagadneń brzegowych wkazują na duży padek gętośc energ wraz z oddalanem ę od obcążonego brzegu dla takch przyjmuje ę toowalność zaady Sant Venanta. Nawet dla typowych cał zotropowych można podać take zagadnena, gdze zaada ta ę ne touje (np. pręty cenkoścenne). Dla cał anzotropowych znane ą przypadk problemów brzegowych, gdze o toowalnośc zaady decyduje materał. Przykładem ą kompozyty dla których zaada de Sant Venanta ne touje ę [14,16]. W całach anzotropowych oberwuje ę ponadto wpływ włanośc anzotropowych na pola przemezczeń naprężeń a tym amym na rozkład energ prężytej [1]. Dla materałów charakteryzujących ę lną anzotropą medzy nnym przejawąjącą ę w znacznym zróżncowanu wartośc modułu Younga na wybranych kerunkach zmenność pola odkztałceń naprężeń może okazać ę newytarczająca do wnokowana na temat toowalnośc zaady. Jedyną poprawną marą może być wtedy gętość energ jej rozkład. Pokazane ponżej przykłady mają na celu wkazane tych rozkładów dla komórkowych materałów o ujemnym wpółczynnku Poona (charakteryzujących ę lną anazotropą). Z rozkładów energ można wywnokować czy zaada de Sant Venanta touje ę do materałów komórkowych powyżzego typu.. MODL MIKROMCHANICZNY MATRIAŁÓW KOMÓRKOWYCH O UJMNYM WSPÓŁCZYNNIKU POISSONA Do rozważań przyjęto materał komórkowy o zkelece modelowanym przez płaką trukturę belkową połączoną w ztywnych węzłach, tworzącą układ welokątów wklęłych ry.1a. Analza może ę równeż odnoć do truktury przetrzennej (o ścanach komórkowych w powyżzym układze) pracującej w płakch tanach. Modelowane mkromechanczne [] opera ę na analze reprezentatywnej komórk, na podtawe której wyprowadzone ą wzytke włanośc contnuum materalnego dla rozważanego materału komórkowego. Dla podanej truktury komórka ta wraz ze chematem tatycznym łużącym do oblczana ł w zkelece jet pokazana na ry.1b. 1c. a 1 1 a) b) c) Ry. 1. a. truktura materału komórkowego, b. komórka reprezentatywna, c.chemat tatyczny zkeletu belkowego

3 Komórkę reprezentatywną opują: geometryczne parametry mkrotruktury: l 0 -długośc elementów belkowych dla = 1,,, t -zerokość przekroju belek, γ-kat (ry..),: materałowe parametry mkrotruktury: - moduł Younga, ν - wpółczynnk Poona, R e - granca platycznośc dla materału zkeletu. Modelem mechancznym truktury zkeletu materału komórkowego jet belka Tmohenk. Dla materałów o małej gętośc względnej, charakteryzujących ę dużą mukłoścą elementów trukturalnych wytarczające jet modelowane za pomocą belk Bernoullego-ulera. Dzęk zatoowanu modelu belkowego dla dowolnej deformacj w zakree lnowo prężytym komórk reprezentatywnej opanej tenorem odkztałceń można wyznaczyć rozkład ł wewnętrznych w belkach zkeletu. Rozwązane to uzykano przez zatoowane MS-program ANSYS. Contnuum zatępcze defnuje ę poprzez poprzez ekwwalentność potencjału prężytego. Potencjał zgromadzony w zkelece belkowym wyraża ę natępującym wzorem: ( ( )) ( ( )) ( ( )) l l l F n ξ dξ F τ ξ dξ M ξ dξ U = ( ) dv μ Φ = A V = 0 GA (1) 0 J 0 gdze: F ( ξ ), F τ ( ξ ), ( ) n zgnającego)dla belek zkeletu M ξ, = 1,, - funkcje ł przekrojowych (podłużnych, poprzecznych momentu A, J - pole moment bezwładnośc przekroju belkowego μ - energetyczny wpółczynnk ścnana (dla przekroju protokątnego μ = 1. ). Gętość energ dla contnuum zatępczego odpowada uśrednenu po objętośc komórk reprezentatywnej potencjału prężytego zgromadzonego w zkelece belkowym: 1 Φ = ( Φ) dv V ().1. Macerz ztywnośc materału komórkowego V Powyżza dea uśrednana potencjału prężytego tała ę podtawą kontruowana macerzy ztywnośc ekwwalentnego contnuum. Szczegółowy algorytm prowadzący do jej numerycznego otrzymana oraz analza włanośc prężytych materału w zależnośc od parametrów mkrotrukturalnych zotały przedtawone w pracy []. Dla podanej truktury kładowe macerzy ztywnośc wyrażć można przez ły przekrojowe w trukturze natępującym wzorem []: 1 l I J μ l l I J SIJ = F n F n + + F τ F τ () V = 1 A GA J I gdze F n, I F τ ły w zkelece od odkztałceń jednotkowych I ε w I-tym tane. Stany jednooowych rozcągnęć 1 ε, ε, wywoluja ymetryczne rozkłady ł, tan czytego ścnana ε wywołuje antyymetryczny rozkład. Stąd wyrazy macerzy ztywnośc S1, S ą zerowe. Macerz ztywnośc w ope Kelvna dla płakej truktury o rozważanym typu ymetr ma potać jak przedtawono ponżej: S11 S1 0 S = S1 S 0 (4) 0 0 S

4 Powyżej zatoowano op Kelvna dla którego tenor ztywnośc ma reprezentację macerzową S IJ, a tany odkztałcena naprężena reprezentują wektory o kładowych: (,, 1 ) (,, 1 ε = ε x εy εxy = ε ε ε), = ( σ x, σ y, σxy) = ( σ, σ, σ) σ. (5) Dla podanej macerzy wyznacza ę moduły Kelvna λ - które ą wartoścam włanym macerzy ztywnośc oraz tany włane wyrażone przez odkztałcena ε. =I,II,III. Macerz ztywnośc jetrówneż podtawą do otrzymana modułów prężytych, w zczególnośc modułu Younga ( n ) w na zadanym kerunku n wpółczynnka Poona ν ( nm, ) jak zdefnowano ponżej: 1 ν ( nm, ) = ( n n) C ( n n), = ( n n) C ( m m) (6) ( n) ( n) 1 gdze: C macerz podatnośc C= S, n, m kerunk protopadłe... Naprężena w dwóch kalach Rozkład ł w trukturze wewnętrznej powoduje powtane pola naprężeń oberwowalnych w dwóch kalach. Równane kontytutywne dla contnuum efektywnego zapane jet relacją: σ = S : ε. (7) W zkelece belkowym zgodne z teorą belek powtają naprężena σ. Warunek granczny lnowej prężytośc dla elementów zkeletu dla dowolnego tanu odkztałceń contnuum, a w zczególnośc dla tanu włanego zapany jet ponżej: F n F l t τ ( σ x ) = + = k σ x = Re, = I,II,III = 1,,. (8) A J gdze k jet kalarnym mnożnkem tanu jednotkowego. Odpowada to zatoowanu energetycznego kryterum Hubera Mea Henckego dla najbardzej wytężonego punktu materału zkeletu, który znajduje ę we włóknach krajnych przywęzłowego przekroju jednej z belek zkeletu komórk reprezentatywnej. Numeryczne wyznaczene tego mnożnka prowadz do określena grancznych odkztałceń naprężeń contnuum w kolejnych tanach włanych: gr = k gr gr ε ε, σ = λ ε = I,II,III... Kryterum energetyczne Jako hpotezę wytężenową dla materału komórkowego jako cała anzotropowego przyjęto energetyczne kryterum zaproponowanowane przez Rychlewkego dla dowolnych cał anzotropowych w potac energ ważonych zgromadzonych w tanach włanych tenora ztywnośc: III Φ 1 gr = (9) =I Φ nerge krytyczne będące wagam wyznacza ę ze wzoru: gr 1 Φ = λ k ε (10) To podejce zatoowano dla pan zotropowych [5], materałów o różnych regularnych trukturach przetrzennych [6] oraz dla powyżzej truktury w pracy []. Dla dowolnego tanu prężytego można wprowadzć energetyczny wpółczynnk, który jet tu obraną marą wytężena materału : III Φ ϕ = (11) gr = 1 Φ Należy zaznaczyć, że podana analza zagadnena płakego dotyczyć może zadana w płakm tane naprężeń lub zadana w płakm tane odkztałceń. Obydwa te tany dają zerowane ę energ od kładowych tenora naprężeń odkztałceń poza płazczyzny.

5 4. PRZYKŁADY Oblczena numeryczne przeprowadzono dla dwóch typów obcążena brzegu anzotropowej półpłazczyzny, które przedtawone ą na ryunku. a) amozrównoważony układ ł tycznych, b) amozrównoważony układ ł normalnych. Ry.. Obcążene brzegu prężytej anzotropowej półpłazczyzny Wartośc ł P dobrano do każdego przypadku materału typu obcążena, tak aby wytężene makymalne było grancznym (φ=1). Na mapach wytężena oberwowany jet obzar kwadratowy o wymarach: m*m. Przyjęto wartość parametru opującego roztaw ł: d =0. m. Rozważane ą materały komórkowe przedtawone na ryunku. Ry.. Wybrane materały komórkowe: materał o ujemnym wpółczynnku Poona A) układ pozomy truktury, B) układ ponowy truktury, C) materał zotropowy o trukturze platra modu. Przyjęto materału zkeletu o natępujących parametrach: = 10 GPa, ν = 0., R = 100 MPa. Dane geometryczne pozczególnych mkrotruktur podano w Tablcy 1. Parametry te dobrano w tak poób, aby otrzymanać materały komórkowe o tej amej gętośc względnej. Tablca 1. Typ truktury [mm] Parametry geometryczne zkeletu A), B) l0 1= 1.6, l0 = 1.5, l0 = 1.5, t = 0.15 γ=70 C) l0 1= 0.75, l 0 = 0.75, l 0 = 0.75, t = 0.15 e Dla materałów o zadanych mkrotrukturach otrzymano natępujące macerze ztywnośc: = S A S B =

6 S C = Na ryunku. pokazano rozkłady kerunkowe modułu Younga wpółczynnka Poona dla materałów A) B). [MPa].5 A B kąt kerunku rozcągana 0.85 ν A ν B kąt kerunku rozcągana Ry.. Wykre zależnośc modułu Younga wpółczynnka Poona w zależnośc od kerunku rozcągana względem układu lokalnego truktury materału komórkowego. Dla truktury C) tałe wartośc modułu Younga wpółczynnka Poona dla podanych parametrów mkrotruktury wynozą: C = MPa, ν C = Należy podkreślć, ż truktury A) B) charakteryzują ę bardzo małą ztywnoścą, tąd nośność w zakree prężytym jet dużo mnejza w porównanu z nośnoścą materałów o nnych trukturach wewnętrznych. Wynk oblczeń numerycznych wykonanych przy pomocy programu MS (ANSYS) przedtawono w potac map wytężena materału oraz wykreów przemezczeń radalnych punktów na o ymetr Y. Wartośc ł P wywołujących w materałach makymalne wytężene w zakree prężytym oraz wartośc makymalnych przemezczeń w materale podano w tablcach pod mapam wytężena. Zadane a. układ ł pozomych Ry.4. Grafczny obraz wytężena w materale Tablca. a. Typ truktury P [kn] v [m] A) 0.57 v(0) = 1.71*10 B) 0. 4 v(0) = 5.515*10 C) v(0.) =.19*10

7 v [m] v [m] v [m] odległość od środka układu wpółrzędnych odległość od środka układu wpółrzędnych odległość od środka układu wpółrzędnych Ry.5. Wykrey przemezczeń radalnych punktów na o ymetr Y Zadane b. układ ł ponowych Ry.6. Grafczny obraz wytężena w materale Tablca b. Typ truktury P [kn] v [m] A) v(0) = 5.0*10 B) 0.4 v(0) = 4.41*10 C) 5.0 v(0) = 1.7*10 v [m] v [m] v [m] odległość od środka układu wpółrzędnych odległość od środka układu wpółrzędnych odległość od środka układu wpółrzędnych Ry.7. Wykrey przemezczeń radalnych punktów na o ymetr Y Analza map wytężena przedtawonych na ryunku 4 wkazuje na zybk padek getośc energ w 10 oberwowanym obzarze ( ϕ = 1, ϕ mn rzędu 1*10 ). Wolnejzy padek energ oberwuje ę w kerunkach o wekzym module Younga. fekt wolnejzego padku w tych kerunkach jet także wdoczny na radalnym polu przemezczeń.

8 5. WNIOSKI Samozrównoważony układ ł dzałający w małym obzarze anzotropowego komórkowego cała prężytego powoduje powtane takego pola naprężeń odkztałceń, że getość energ preżytej gwałtowne pada z odległośca od obcążonego obzaru, tąd wnoek o dobrej toowalnośc zaady de Sant Venanta dla cał komórkowych. Dla materałów o ujemnym wpółczynnku Poona jako wynk lnej anzotrop natępuje wydłużene obzarów o wękzym wytężenu w kerunkach wękzej ztywnośc. Rodzaj anzotrop rzutuje na złożoność konturu tego obzaru. Powyżze wnok ą totne dla numerycznego modelowana zadań z udzałem anzotropowych cał komórkowych. Bblografa [1] Gbon L.J., Ahby M.F.:Cellular Sold, nd edton Cambrdge Unverty Pre, [] Nemat-Naer S., Hor M.: Mcromechanc,. nd edton lever, [] Janu-Mchalka M.: nergy Baed Approach Contructng latc Model of Re-entrant Cellular Materal, praca w przygotowanu do Archwum Mechank. [4] Janu-Mchalka M.: ffectve Model Decrbng latc Behavour of Cellular Materal, Archve of Metallurgy and Materal, vol.50, ue, pp , 005. [5] Janu-Mchalka M, Pęcherk R.B.: Macrocopc properte of open-cell foam baed on mcromechancal modellng, Technche Mechank, Band, Heft -4, 00. [6] Kordzkowk P., Janu-Mchalka M., Pęcherk R.B.: Specfcaton of nergy Baed Crteron of latc Lmt State for Cellular Materal, Archve of Metallurgy and Materal, vol.50, ue, pp , 005. [7] Lake, R.S.: Degn conderaton for materal wth negatve Poon rato, Tran. ASM J. Mech. 115, pp , 199. [8] Lake R.S.: Sant Venant effect for materal wth negatve Poon rato, J. Aplled Mechanc,59, , 199. [9] Overaker D.W., Cutno A.M., Langrana N.A.: latoplatc Mcromechancal Modelng of Twodmenonal Irregular Convex and Nonconvex (Re-entrant) Hexagonal Foam, Tranacton of ASM, 65, [10] Smth C.W., Grma J.N., van K..: A Novel Mechanm for Generatng Auxetc Behavour n Retculated Foam : Mng Rb Foam Model, Acta Materala, 48, pp , 000. [11] Lake.R.S.: xpermental Mcromechanc Method for Conventonal and Negatve Poon Rato Cellular Sold a Coerat Contnua, J.ng. Mat.& Techn.,11,pp , 199. [1] Horgan C.O., Knowle J.K.: Recent development concernng Sant-Venant Prncple, Adv. Appl. Mech.,, pp ,198. [1] Stronge W.J., Kahtalyan M.: Sant-Venant prncple for two-dmenonal anotropc elatcty, Acta Mechanca, 14, pp.1-18, [14] vertne G., Ppkn. A.C.: Stre channelng n tranverely otropc compote, ZAMP, pp.85-84, [15] Maltemlola S.A, Stronge W.J., Durban D: Dffuon rate for tre n orthotropc materal, ASM J.Appl.Mech. 6, pp , [16] Armtu Y., Nhoka K., Senda T.: A Study of Sant-Venant prncple for compote materal by mean of nternal tre feld, ASM, J. Appl. Mech., 6, pp.5-58, [17] Sokolnkoff S.: Mathematcal Theory of latcty, nd dn, McGraw Hll, New York, 1956 [18] Toupn R.A.: Sant Venant Prncple, Arch.Mech.Anal., pp.8-96, Abtract The paper preent applcaton of materal effort theory formulated for anotropc cellular materal wth negatve Poon rato. nergy conderaton are carred out n two cale: materal keleton and effectve contnuum. Dtrbuton of energy denty preented on example tetng applcablty of Sant Venant prncple to auxetc cellular materal.