Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informayki Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Krzyszof Pionek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa oraz AR-GARCH dla opcji na WIG. Model Blacka-Scholesa, Merona. Model wyceny GARCH 3. Własności modelu wyceny GARCH 4. Przykład empiryczny
Model Merona, uogólnienie modelu Blacka-Scholesa qt rt rt qt c = Se N( d ) Xe N( d ) p = Xe N( d ) Se N( d ) d = σ ln S + r q + T X σ T d = σ ln S + r q T X σ T Toruń, 4-6.9.7
-Nierealisyczne załoŝenie, Ŝe sopy zwrou mają rozkład normalny i zmieniają się zgodnie z geomerycznym ruchem Browna, kórego paramery są sałe. -Nie obserwuje się niezaleŝności zmienności implikowanej od erminu do wygaśnięcia opcji (srukury czasowe zmienności) oraz od współczynnika moneyness (zw. uśmiech zmienności implikowanej ). moneyness = S Xe rt 3
Toruń, 4-6.9.7 4
Model szeregu prosych sóp p zwrou w czasie dyskrenym: y = µ + ε = µ + h z gdzie: X - cena w chwili, µ - warunkowa warość oczekiwana sopy zwrou w chwili, h - warunkowa wariancja sopy zwrou w chwili, z - niezaleŝne reszy modelu o zerowej średniej i jednoskowej wariancji Toruń, 4-6.9.7 5
warunkowa warość oczekiwana µ E y = I µ = µ + φ y warunkowa wariancja h = Var ε I I ( p) = ; gdy p = prawda ; gdy p = fałsz ( ) h = + + I( z ) z + h < ω α α β sandaryzowany błąd modelu z ~ N(,) Toruń, 4-6.9.7 6
Duan (995) - uogólnienie radycyjnej meody wyceny przy neuralnym podejściu do ryzyka, - dla modeli AR-GARCH modyfikuje się proces sóp zwrou, by dla kaŝdej chwili warunkowa warość oczekiwana była równa sopie wolnej od ryzyka, -wprowadza się więc pojęcia miary P, dla procesu nieprzekszałconego oraz arbiraŝowej miary Q, względem kórej zdyskonowany proces cen insrumenu bazowego jes maryngałem. - podejście o nazwane zosało "wyceną przy punkowej neuralności wobec ryzyka" (Locally Risk-Neural Valuaion Relaionship - LRNVR) Względem miar Q sopy zwrou mają nadal warunkowy rozkład normalny P var y I = var y I ( ) Q ( ) Q E y I = ( ) r Toruń, 4-6.9.7 7
Uwzględnienie zmiennej w czasie wariancji powoduje, zw. "niezupełność rynku" (incompleness of marke) oraz isnienie w ogólności wielu moŝliwych miar Q, dla kórych spełnione jes załoŝenie braku arbiraŝu. Niezbędne saje się załoŝenie o preferencjach inwesora względem ryzyka i posaci funkcji uŝyeczności. Względna awersja do ryzyka jes sała U ( y) = a ln( by) + c Toruń, 4-6.9.7 8
Locally risk-neural valuaion relaionship (LRNVR) "wycena przy punkowej własności neuralności wobec ryzyka Jin-Chuan Duan (995) y = r + λ h.5h + h z miara P z ~ N(,) h = ω + αε + βh y S = ln S y = r.5h + hη miara Q η ~ N(,) ( ) h = ω + α η λ h + βh Toruń, 4-6.9.7 9
LRNVR dla modelu AR-GJR-GARCH Härdle, Hafner (996) y = µ + φ y.5h + h z miara P z ~ N(,) h ω ( = + α + α I ) ( z ) z + β h < y S = ln S miara y = r.5h + hη η ~ N(,) ( Q h = ω + α + α I( ) )( η λ ) + β h η λ < µ + φ y r λ = h Toruń, 4-6.9.7
) Esymacja paramerów modelu względem miary P µ, ϕ, ω, α, α, β ) Generowanie m rajekorii długości n względem miary Q ( z war. począkowym na h ) y = r d.5h + h η i, i, i, i, ( )( ) h = ω + α + α I ( η λ ) η λ + β < 3) Wyznaczenie m cen insrumenu bazowego po n dniach, ewenualna poprawka (Empirical Maringale Simulaion, Duan, Simonao,998) 4) Wyznaczenie warości opcji =,,..., n i =,,..., m, n n S = S exp nr nd.5 h + η i, n i, + s i, + s s= s= m c exp( ) = nr max S X, m = i, n i Toruń, 4-6.9.7
moneyness = S Xe rt opcje call moneyness < OTM moneyness = ATM moneyness > ITM Toruń, 4-6.9.7
Wyznaczanie współczynnika GARCH { } ( ) Q S n c = exp r n E I( Sn > X ) S S exp n i GARCH { c} ( r n) n, i I m S ( S ), > X i= m Toruń, 4-6.9.7 3
Φ = h σ Toruń, 4-6.9.7 4
Przykład empiryczny -Analizie poddano serie opcji wygasających w 7 roku, dla danych dosępnych do dnia 4-8-7 - łącznie 5 serii opcji (5 serii opcji kupna (C,F,I,L) oraz 55 serii opcji sprzedaŝy (O,R,U,X)) -Przyjęa sopa wolna od ryzyka w skali roku 4,5% -Przyjęa sopa dywidendy w skali roku,5% -Dla kaŝdej ransakcji dla opcji odczyano odpowiadający kurs indeksu WIG -Odrzucono ransakcje dla opcji o erminie do wykonania krószym niŝ 5 dni roboczych -Analizie poddano 3.4 ransakcji dla opcji kupna oraz 34.75 ransakcji dla opcji sprzedaŝy -Paramery modelu GARCH esymowano dla obserwacji do dnia poprzedzającego dzień ransakcji -Paramery zmienności dla modelu Merona esymowano dla, 5 oraz 5 obserwacji do dnia poprzedzającego ransakcję Toruń, 4-6.9.7 5
Liczba ransakcji dla opcji kupna łącznie 3.4 Toruń, 4-6.9.7 9 7 36 7 57 5-34 9 8 4 5 4 48 58 4 5-4 4 7 5 9 46 5 68 4 5-4 5 3 7 33 5 5 95-4 7 3 4 9 79 65 38 8 6 85-94 7 6 6 3 5 9 5 74 75-84 5 34 4 37 5 34 47 34 5 3 65-74 9 6 39 5 48 73 798 74 55-64 3 5 3 7 45 43 78 676 88 45-54 6 3 9 6 5 43 48 79 6 874 5 35-44 6 6 3 46 97 775 566 996 395 65 5-34 6 3 7 5 5 53 46 569 99 47 3 5-4 6 5 8 39 34 465 49 45 5-4,35,3,5,,5,,5,95,9,85,8 ITM ATM OTM Długość okresu do wygaśnięcia opcji (w dniach sesyjnych) Współczynnik moneyness 6
Liczba ransakcji dla opcji sprzedaŝy łącznie 34.75 Toruń, 4-6.9.7 Długość okresu do wygaśnięcia opcji (w dniach sesyjnych) Współczynnik moneyness 3 4 73 73 4 3 5-34 4 84 4 9 3 3 7 5 5-4 6 9 3 4 5 3 5-4 7 4 98 56 38 8 7 4 95-4 6 8 45 55 8 54 39 3 7 5 6 85-94 43 83 67 9 44 86 54 4 6 75-84 84 345 48 39 379 94 35 69 3 65-74 8 436 459 45 533 48 464 7 3 9 3 55-64 5 377 496 5 576 598 596 96 69 8 6 45-54 56 755 63 594 848 9 75 47 86 4 35-44 79 37 53 766 63 57 64 87 33 58 4 5-34 7 86 339 68 849 9 39 85 3 3 5-4 64 64 63 464 6 684 4 365 57 8 3 5-4,35,3,5,,5,,5,95,9,85,8 OTM ATM ITM 7
GARCH OTM ATM ITM,8,85,9,95,5,,5,,5,3,35 5-4 4,5774,5548,99,56,344,,47,9,55,8 5-4,9,79,88,96,975,9737,8,9979,9559,59,9,86 5-34 5,8389,439,449,7,9,547,6,73,53,58,77,4 35-44,3384,963,9,959,9878,9947,989,9676,977,9933,997 45-54,3778,3,9433,4,438,97,9399,9565,6,8,5 55-64,7697,7668,8369,95,9454,973,975,9634,76,66 65-74,9855,958,995,959,986,7,9753,95,9565,96,969,9389 75-84,378,895,9448,9436,974,9835,993,93,9888,9478,94 85-94,33,453,863,875,897,664,644,968,9474,9365 95-4,784,989,8567,887,937,57,377,9668,997,954 5-4,95,993,49,8,9336,9765,,999,9888,963 5-4,8978,8,85,8937,995,46,59, 5-34,6436,636,874,895,898,9933,65,9854,9496 BLS OTM ATM ITM,8,85,9,95,5,,5,,5,3,35 5-4 35,979 8,469,854,45,4,38,55,93,57,84 5-4 99,653 4,758,9988,733,94,385,56,9985,956,73,94,88 5-34 47,5683 4,3869,495,9797,36,76,68,777,57,65,8,6 35-44,53,886,9568,9836,49,6,49,9689,97,9937,9979 45-54,765,667,9646,9794,43,99,9479,9588,5,83,8 55-64,3488,978,989,967,988,9955,,9734,9,84 65-74,8479,57,83,968,9937,89,84,959,9593,968,964,943 75-84 3,3549,5873,5,9636,9585,96,36,37,995,949,943 85-94 3,5,93,857,899,96,63,66,9783,95,938 95-4,66,668,8999,935,9493,54,374,993,93,96 5-4,894,8963,8,58,966,96,74,993,993,9649 5-4,965,864,84,946,978,443,69,84 5-34,54,94,973,95,9,39,3,7,969 BLS - Opcje kupna Toruń, 4-6.9.7 8
Opcje sprzedaŝy GARCH ITM ATM OTM,8,85,9,95,5,,5,,5,3,35 5-4,98,,99,988,65,6 5,34 9,79 7,459 3,763,547,9 5-4,9,995,993,39,584,84 5,5 6,486 6,59 3,59, 5-34,8,999,74,7,76,96 7,48 9,394 9,565 8,4 3,43 35-44,44,84,96,498,5 3,89 4,84 7,876 7,77 4,38 45-54,3,98,36,6,353,74,44 3,74 4,3 4,933 4,64 55-64,9,5,,6,73,64,5,665 3,433 4,36 5,5 65-74,3,39,64,8,89,568,973,45 3,545 4,33 5, 75-84,989,,93,,343,56,,547 3,939 3,89 85-94,36,4,,76,4,5,866,3,856 3,746,59 95-4,,33,93,,84,6,6,683 3,348 5, 5-4,5,8,3,37,45,94,436,863,656 5-4,7,88,7,89,39,86,87,93,7,835 5-34,993,75,3,465,67,899,67,458 BLS ITM ATM OTM,8,85,9,95,5,,5,,5,3,35 5-4,9797,5,997,3,835,8376 4,88 39,469 559,75 855,6 4873,484 4895544946,4 5-4,37,86,36,846,968 4,47,99 6,763 656,394 46,594 4499,75 5-34,9,94,839,35,7837 3,33 8,839,4796 63,369 33,67 6,88 35-44,548,86,4,55,3978 4,545 8,955 4,587 6,3545 96,7553 45-54,44,986,53,3,3969,887 3,56 5,5,549 9,96 6,9768 55-64,98,787,475,,376,8445,83 4,797 8,54,96 3, 65-74,567,783,454,6,47,85,569 3,6679 5,48 8,798 3,68 75-84,97,79,6,5,3995,6846,9,99 4,8387 6,839 85-94,53,7,99,99,343,56,4,565 3,375 4,56,5873 95-4,8,5,65,55,379,686,535,97 3,887 6,73 5-4,355,88,86,463,4575,447,56 3,83 3,76 5-4,99,96,76,53,4877,763 3,777 3,544 3,88 3,8697 5-34,9795,733,45,549,84,79,585,9736 BLS - Toruń, 4-6.9.7 9
Podsumowanie: - Trudno zagadnienie oceniać dosłownie w kaegorii poprawności modeli wyceny opcji, gdyŝ akŝe obserwowane ceny opcji mogą nie odzwierciedlać ceny sprawiedliwej i być właściwe dla rynku polskiego w pewnym danym, charakerysycznym okresie. - Analiza sprowadziła się więc bardziej do porównania ceny obserwowanej na rynku polskim w drugiej połowie 6 roku oraz w pierwszej połowie 7 i warości eoreycznych uzyskanych dla badanych modeli. - NaleŜy równieŝ uwzględnić fak popularności modelu B-S, kóry jes punkem odniesienia dla inwesorów. Toruń, 4-6.9.7
Podsumowanie: -Modele B-S i GARCH prowadzą do bardzo zbliŝonych wyników dla opcji ITM, szczególnie o dłuŝszym erminie do wygaśnięcia. -Warości eoreyczne cen dla opcji ITM są prakycznie zgodne (co do mediany) z obserwowanymi na rynku. - W obydwu modelach ceny eoreyczne opcji OTM (kupna i sprzedaŝy), szczególnie o krókim erminie do wygaśnięcia są zdecydowanie niŝsze niŝ obserwowane na rynku. Są o opcje o bardzo niskich warościach premii. - Warości dla modelu GARCH są jednak bliŝsze cenom rynkowym. Toruń, 4-6.9.7
Podsumowanie: - Opcje kupna ATM i nieznacznie OTM o dłuŝszym erminie do wygaśnięcia mają ceny niŝsze niŝ warości eoreyczne, -Opcje sprzedaŝy ATM i OTM mają ceny wyŝsze niŝ warości eoreyczne Prawdopodobnym wyłumaczeniem jes subiekywne zaniŝanie przez inwesorów prawdopodobieńswa dalszych wzrosów w czasie hossy Dla opcji blisko ATM brak jes jednoznacznej przewagi kóregoś z modeli, a wyniki pozosają niejednoznaczne. Toruń, 4-6.9.7
Kierunki dalszych badań: - poszerzenie badań na wcześniejsze serie opcji, - podział na okresy hossy i bessy, - uwzględnienie w analizach wolumenu ransakcji - uwzględnienie innej miary oceny zgodności cen obserwowanych i warości eoreycznych - uwzględnienie innych modeli klasy GARCH - analiza w konekście zmienności implikowanej Toruń, 4-6.9.7 3
Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informayki Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Krzyszof Pionek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa oraz AR-GARCH dla opcji na WIG DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ Toruń, 4-6.9.7 4