MATEMATYKA. Zadania maturalne poziom rozszerzony.

MATEMATYKA Zadania maturalne poziom rozszerzony I Liczby, zbiory, wartość bezwzględna b Porównaj liczby a oraz Rozw: b a b a [MRI009/pkt] 8 a, b 7 9 a b, gdzie 69, : cos0 5 6 Uzasadnij, że 6 8 [MR/pkt] Uzasadnij, że liczba log jest niewymierna tg 5 o o Oblicz wartość wyrażenia: Rozw: 0 6 6 5 Wykaż, że wyrażenie 9 5 jest podzielne przez [MR/pkt] 6 6 Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k k k jest podzielna przez 6 [MRV0/pkt] 7 Uzasadnij, że jeżeli dwie różne liczby naturalne m i n przy dzieleniu przez 7 mają takie same reszty, to różnica kwadratów liczb m i n jest podzielna przez 7 [MR/pkt] 8 Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których część wspólna przedziałów ; m oraz [MR/pkt] m m; (gdzie m R ) jest zbiorem jednoelementowym Rozw: m,, 9 Wykaż, że 6 6 [MR/pkt] 0 Oblicz: 98 0 98 0 Rozw: 0 [MR/pkt] Wykaż, że prawdziwa jest równość: 9 80 9 80 [MRVI0/pkt] 0 Rozwiąż równanie x x x 8 Rozw: x ;6 Rozwiąż równanie: x x 8 x x Rozw: x ; 5 Rozwiąż równanie: x x x Rozw:, 5 Strona z 0 x 5 Rozwiąż nierówność x x x 6x 9 Rozw: x ; 5 6; [MRVI0/5pkt]

6 Rozwiąż nierówność 6 x 5 x Rozw: x ; 7 ; 5 7 Rozwiąż nierówność: x Rozw: x 9; 5 ; [MR/pkt] 8 Rozwiąż nierówność: x 7 Rozw: x ; 9 ; 5 ; [MR/pkt] 9 Rozwiąż równanie: x 7 Rozw: x 5,,,6 [MR/pkt] 0 Rozwiąż nierówność: x Rozw: x, [MR/pkt] Rozwiąż nierówność: x x x Rozw: x ; [MRVI0/pkt] Rozwiąż nierówność: x 5 x x Rozw: x ; 7 ; [MRV0/pkt] 5 x Rozwiąż nierówność: x x Rozw: x ; ;6 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x 5 m m m ma rozwiązanie Rozw: m ; ; [MR/pkt] 5 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x x 5 m trzy rozwiązania Rozw: 9 m [MR/pkt] 9x 6x 9x 6x x 6 Oblicz wartość wyrażenia x 5x 5x Rozw: 5 7 Dana jest funkcja a) Napisz wzór tej funkcji bez użycia symbolu wartości bezwzględnej b) Narysuj wykres funkcji f c) Podaj zbiór wartości funkcji g ( x) f ( x) d) Zapisz wzór funkcji wykres Rozw: a) dla x, ma dokładnie f ( x) h( x) bez użycia symbolu wartości bezwzględnej i narysuj jej f ( x) x x ; f ( x) x x ; x 6 x ; c) Z 5;, w x ;0 ; d) h ( x) [MR/6pkt] x0; Strona z 0

8 Wyznacz zbiór rozwiązań równania: x x p w zależności od parametru p Rozw: Dla ; ; p brak rozwiązań, dla p = nieskończenie wiele rozwiązań, dla p dwa rozwiązania [MR/6pkt] x Rozw: 7 ; 9 Rozwiąż równanie: x x x 7 0 x 0 Podaj wszystkie liczby całkowite spełniające nierówność: x x 5 x Rozw: x,, [MR/pkt] Rozwiąż nierówność x x 6 Rozw: x ; [MRV00/pkt] Rozwiąż nierówność x 8 x Rozw: x ; 5 Rozwiąż nierówność x x 5 Rozw: x ; ; [MRVIII00/pkt] Wykaż, że wśród rozwiązań równania x x 6 istnieje takie, które jest liczbą niewymierną 5 Rozwiąż nierówność x x x x x x Rozw: x ; 6 Rozwiąż nierówność x x x x x x Rozw: x ; 0, 7 Rozwiąż nierówność x x 9 x 5 Rozw: x ; [MRI009/pkt] 5 8 Oblicz, dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań: para liczb x i y spełniająca warunek: 9 Rozwiąż układ równań: ( x ) y 9 x y 6 x i Strona z 0 y Rozw: 0 Wyznacz wszystkie liczby całkowite x dla których wartość wyrażenia liczbą całkowitą Rozw: x 6; ; ;0; x y m x y m jest 7 m ; [MR/6pkt] 8 8 Rozw: ;, 6;0, ; x x x x 6 9 x x Wyznacz wszystkie liczby całkowite x dla których wartość wyrażenia x x x liczbą całkowitą Rozw: x 0; Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n większej od prawdziwa jest nierówność n n jest jest

Uzasadnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n spełniona jest równość n n! n n! nn! n! n! Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb Rozw:,0,, [MRV0/pkt] 5 Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych x, y, które spełniają równanie: x y x y 7 Rozw: 6,6, 6,, 6,, 6, 6 Wyznacz cztery kolejne liczby naturalne takie, że sześcian największej z nich jest równy sumie sześcianów trzech pozostałych liczb Rozw:,, 5, 6 7 Wykaż, że jeżeli x y to x y 6 8 Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi nierówność: a b c a b 6c 9 Wykaż, ze jeżeli x y z 0 to x y x y y z z x z [MR/pkt] a b 50 Uzasadnij, że jeżeli a b, a c, b c i a b c to [MRV0/pkt] a c b c 5 Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c i d prawdziwa jest nierówność: ac bd a b c d [MRVI0/pkt] 5 Udowodnij, że jeżeli a, b 0, to prawdziwa jest nierówność a b a b ab 5 Udowodnij, że jeżeli a, b 0, to prawdziwa jest nierówność a b ab [MRV0/pkt] 5 Uzasadnij, że jeżeli a b 0, to a b a b [MRVI0/pkt] 55 Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b spełniona jest nierówność: a b a b [MRVIII00/pkt] a b a 56 Wykaż, że jeżeli liczby dodatnie a i b spełniają warunek, to a b b a b 57 W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj zbiór punktów, których współrzędne spełniają warunek y 6 x [MR/pkt] 58 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów x, y, których współrzędne spełniają równanie: x x y y Strona z 0

II Funkcja: liniowa, kwadratowa, wielomianowa, wymierna Liczby x x (x x ) są pierwiastkami równania kwadratowego x mx m 0 Narysuj wykres funkcji g określonej wzorem: g( m) x x Rozw: g( m) m m, m ;0 ; [MR / 6pkt] Przyprostokątna trójkąta prostokątnego są pierwiastkami trójmianu y x bx 70 Pole kwadratu o boku równym przeciwprostokątnej tego trójkąta jest równe 9 Wyznacz wartość współczynnika b Rozw: b = 7 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie m x mx m 0 ma dwa różne pierwiastki takie, że ich suma jest nie większa niż,5 Rozw: m ; ;5 [MRVI0/5pkt] 5 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x m x m m 0 ma dwa różne pierwiastki, których suma jest mniejsza od m Rozw: m ; [MRVIII00/5pkt] 5 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x mx 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od m Rozw: m ; ; [MRV00/5pkt] 6 Dla jakiej wartości parametru suma kwadratów różnych pierwiastków równania k x xsin cos 0 jest równa? Rozw: gdzie k C 7 Dla jakiego 0, pierwiastki równania x xcos sin 0 spełniają warunek 5 7 x x? Rozw:,,, 8 Oblicz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie m x m 0 x ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x, x takie, że x 6 x m m m Rozw: m ; [MRV0/6pkt] 9 Wyznacz wszystkie wartości parametru m R, dla których równanie x mx 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x, x takie, że x 6 x Rozw: m, 0 Wyznacz wszystkie liczby m R dla których równanie x mx m 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x, x takie, że x x 6 Rozw: m [MR/6pkt] Dla jakich wartości parametru m równanie x x m ma dwa pierwiastki, z których każdy m ; [MR / 6pkt] jest większy od Rozw: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie mx m 0 dwa różne pierwiastki x, x takie, że x x Rozw: x ma 5 7 m ; [MRVI0/5pkt] Strona 5 z 0

Dla jakich wartości parametru a różnica pierwiastków równania ax x 0 równa się trzy? Rozw: a, a 9 Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których równanie 5x kx 0 ma dwa różne pierwiastki, których różnica jest liczbą z przedziału 0 Rozw: k 5, 5 5, 5 5 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x mx m 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x i x takie, że x x xx Rozw: m ; 6 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x mx m 6m m 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x i x takie, że x x 8m m 0; ; [MRV0/6pkt] Rozw: 7 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie mx m x 0 różne rozwiązania, których suma odwrotności jest mniejsza od Rozw: m ;0 0; 9; ; ma dwa 8 Dane jest równanie x x +m = 0 Wyznacz te wartości parametru m, dla których jeden z 7 pierwiastków jest dwa razy większy od drugiego Rozw: m 8 9 9 Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków równania x m 5 x m 7 jest najmniejsza? Rozw: m = 6 0 0 Dane jest równanie x p x p 0 x z niewiadomą x a) Rozwiąż to równanie dla p = b) Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których równanie to ma tylko jedno rozwiązanie Rozw: a) x,,, b) p ; ; [MRI009/6pkt] Funkcja kwadratowa f ( x) x bx c jest malejąca w przedziale ; i rosnąca w przedziale ;, a iloczyn jej miejsc zerowych wynosi a) Wyznacz współczynniki b i c b) Nie wyznaczając miejsc zerowych x oraz x oblicz wartość wyrażenia Rozw: a) b=- 6, c=, b) 0 [MR XII 007 / pkt] x x Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie mx m m 0 x ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x, x spełniające warunek x 6 x m x x Rozw: m 0; 7 [MRV0/6pkt] Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c funkcja: f ( x) ( x a)( x b) ( x b)( x c) ( x c)( x a) ma co najmniej jedno miejsce zerowe Wyznacz ekstrema funkcji: f ( x) x x Rozw: f 0,5) f (0,5) 0, 5 max ( max Strona 6 z 0

5 Narysuj wykres funkcji f określonej wzorem f ( x) x x i na jego podstawie wyznacz liczbę rozwiązań równania f ( x) m w zależności od parametru m 0 m m 0; Rozw: [MRVIII0/pkt] m 0 m ;0 6 Dana jest funkcja f ( x) x x Naszkicuj wykres tej funkcji Na podstawie wykresu określ liczbę pierwiastków równania f( x ) = m, w zależności od parametru m Sporządź wykres funkcji g( m ) przyporządkowującej zmiennej m liczbę pierwiastków badanego wyżej równania 0 m 0; Rozw: g ( m) m ; 0 [MR/7pkt] m m ;0 7 Dane jest równanie kwadratowe z parametrem m postaci x mx x 0 Funkcja f określa iloraz sumy pierwiastków tego równania przez pierwiastek z ich iloczynu, w zależności od wartości m Podaj wzór funkcji f Określ dziedzinę tej funkcji Rozw: f ( m) m, ;0 D ; f 8 Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x) x mx m Funkcja g przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej m najmniejszą wartość funkcji f w przedziale ; Wyznacz wzór funkcji g Rozw: m m ; g ( m) m m m ; m m; x ; 9 Narysuj wykres funkcji określonej wzorem: f ( x) x x x; x x; Korzystając z wykresu funkcji f: a) podaj rozwiązanie nierówności f ( x), b) narysuj wykres funkcji określonej wzorem g ( x) f ( x ) Rozw: a) ; x [MR/6pkt] 5 0 Rozwiąż nierówność: x x x x Rozw: 0 Strona 7 z 0 x ; ; [MR/pkt] 7 5 Rozwiąż nierówność: x x x 0 Rozw: x ; 0; [MR/pkt] Rozwiąż nierówność: x x x Rozw: x ; 0 ; [MRV0/pkt] Wyznacz wszystkie liczby całkowite dodatnie spełniające nierówność: x 90 x 5 Rozw: x ;;

Dany jest wielomian trzeciego stopnia o współczynniku przy najwyższej potędze Pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie Wartość wielomianu w punkcie jest równa -0 Wyznacz wzór tego wielomianu Rozw: W(x) = (x )(x 6)(x ) 5 Wielomian W( x) ax bx cx d dla argumentu 0 przyjmuje wartość 9 Liczby i są pierwiastkami tego wielomianu, przy czym liczba jest pierwiastkiem dwukrotnym Wyznacz wartości współczynników a, b, c, d Rozw: a, b 5, c, d 9 [MR/pkt] 6 Pierwiastkami wielomianu stopnia trzeciego są liczby,, 5 Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej tego wielomianu jest równy Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej wartość tego wielomianu jest liczbą podzielną przez [MRVI0/pkt] 7 Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu W ( x) x ax bx wiedząc, że W( ) 7oraz, że reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez x jest równa 0 Rozw: a 5, b 9 [MRV00/pkt] 8 Wielomian ( x) x ax bx x 9 P a oraz b Rozw: a 8, b lub a 8, b 0 [MRVI0/pkt] W jest kwadratem wielomianu ( x) x cx d Oblicz 9 Wielomian W (x) przy dzieleniu przez dwumiany x, x, x daje reszty odpowiednio równe 5,, 7 Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P ( x) x x 5x 6 Rozw: R( x) x x 0 Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x jest równa natomiast z dzielenia przez dwumian x jest równa 5 Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian x x Rozw: R ( x) x Dany jest wielomian W (x) stopnia n >, którego suma wszystkich współczynników jest równa, a suma współczynników przy potęgach parzystych jest równa sumie współczynników przy potęgach nieparzystych Wykaż, ze reszta R (x) z dzielenia tego wielomianu przez wielomian x x P ( x) jest równa R ( x) x Reszty z dzielenia wielomianu W (x) przez x, x, x są odpowiednio równe,, Znajdź resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P ( x) x x x 5 5 Rozw: R ( x) x x Reszta z dzielenia wielomianu W( x) x 5x x m Oblicz wartość współczynnika m oraz pierwiastki tego wielomianu Rozw: m 6, x ; ; [MRV0/pkt] przez dwumian x jest równa 0 Strona 8 z 0

Wielomian W (x) przy dzieleniu przez x, x, x daje odpowiednio reszty,, Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian Q ( x) x 9x 6x Rozw: R ( x) x 6 0 0 0 5 Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W ( x) x x x przez G( x) x x Rozw: R ( x) x x 6 Wielomian W( x) x ax bx x b ( x ), ( x ) przy dzieleniu przez każdy z dwumianów: ( x ), daję tę samą resztę Wyznacz a i b Rozw: a, b 7 7 Przedstaw wielomian W ( x) x x x x w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach x x x 5x [MRV007/pkt] są równe jeden Rozw: 8 Przedstaw wielomian W( x) x 6x 5x x 9 w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden Rozw: x x x x [MR/pkt] 9 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x x x x 0 50 Wykres funkcji g uzyskano z przesunięcia wykresu funkcji f danej wzorem f ( x) x x x 7 o wektor o współrzędnych ; Podaj, dla jakich argumentów funkcja g osiąga najmniejszą wartość i ile ona wynosi Rozw: g g g [MR/6pkt] 5 Wyznacz wszystkie te wartości parametru m m R, dla których zbiorem rozwiązań nierówności: m jest przedział ( ; 7) Rozw: m = - x 5 Uzasadnij, że dla każdej liczby dodatniej a prawdziwa jest nierówność a a 5 Rozwiąż nierówność: 0 Rozw: x ;0 ; x( x ) ( x )( x ) ( x )( x ) [MR/6pt] 5 Wyznacz dziedzinę, a następnie uprość wyrażenie: Rozw: R,,7 D, 0,5( c 7) [MR/pkt] c c 7c 60 c c c c 8 7c 59 Strona 9 z 0

55 Rozwiąż równanie MATEMATYKA Zadania maturalne poziom rozszerzony x m x m mx 7x 6x x 6x x których rozwiązanie równania jest liczbą należącą do przedziału ; 0 m 7 5 ; 5 56 Wyznacz zbiór wartości funkcji 57 Narysuj wykres funkcji: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla Rozw: 5m x, m 7 x f ( x), gdzie x R Rozw: Z w ; x x f ( x) Korzystając z wykresu odczytaj przedziały, w których x funkcja przyjmuje wartości mniejsze od Rozw: x ; [MR/pkt] x b ax c 58 Dane są funkcje f ( x) oraz g ( x) o których wiadomo, że ich wykresy mają punkt ax ax wspólny P 9; 5, a miejscem zerowym funkcji g jest liczba Wyznacz wartości parametrów a, b, c Rozw: a =, b = -, c = 5 59 Para m y m f x my mx y x ; jest rozwiązaniem układu równań x y m Podaj dziedzinę funkcji m ( m) oraz naszkicuj jej wykres w układzie współrzędnych m Rozw: f m m [MR/7pkt] m x 60 Narysuj wykres funkcji: f ( x), a następnie określ, dla jakich wartości parametru m x równanie f ( x) m nie ma rozwiązania Rozw: m ; ; 6 Narysuj wykres funkcji:, dla R ;; x x f ( x) [MR / 7pkt] x x x 6 x x f ( x) x x x 6 Narysuj wykres funkcji Strona 0 z 0

III Ciągi liczbowe Dany jest ciąg n a o wyrazie ogólnym n n 0 Sprawdź, które wyrazy tego ciągu są większe od 8 Rozw: n,,,,, Dany jest ciąg n 6n a 7n o wyrazie ogólnym a n n a) Wykaż, że wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi b) Oblicz, które wyrazy tego ciągu są mniejsze od 7 Rozw: n,,,,5,6,7 [MR/pkt] a n W ciągu arytmetycznym wyraz pierwszy jest równy, a ostatni 5 Oblicz sumę wyrazów tego ciągu jeśli wiadomo, że drugi, trzeci i szósty są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego Rozw: 6 Suma trzech liczb, będących kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego jest równa 5 Jeżeli do pierwszej z nich dodamy, do drugiej, a do trzeciej 6, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego Wyznacz ten ciąg Rozw: (,, 6) 5 Ciąg a,b, jest arytmetyczny, a ciąg,a,b jest geometryczny Oblicz a oraz b Rozw: a, b lub a, b 6 Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 6, a ich iloczyn jest równy 58 Wyznacz ten ciąg Rozw: (6, 8, 9), ( 9, 8, 6) 7 O liczbach a, b, c wiemy, że ciąg a, b, c jest arytmetyczny i a c 0, zaś ciąg a, b, c 9 jest geometryczny Wyznacz te liczby Rozw: a, b, c 6,5, 6 lub a, b, c,5,8 [MRV00/5pkt] 8 Ciąg liczbowy a, b, c jest arytmetyczny i a b c, natomiast ciąg a, b 5, c 9 jest geometryczny Oblicz a, b, c Rozw: 9,, lub,, [MRV0/5pkt] 9 Ciąg liczbowy a, b, c jest geometryczny i a b c 6, natomiast ciąg a 5, b, c jest arytmetyczny Oblicz a, b, c Rozw: 8,6, lub,6,8 [MRVIII00/5pkt] 0 Wyznacz trzywyrazowy ciąg geometryczny, w którym suma trzech kolejnych wyrazów jest równa 8, a ich iloczyn jest równy 8 Rozw: 8,, lub,,8 Liczby niezerowe a, b, c są wyrazami ciągu geometrycznego o numerach odpowiednio p, q, r r s p a b c Oblicz wartość wyrażenia s p r Rozw: [MR/pkt] a b c Strona z 0

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 6, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny Znajdź te liczby Uwzględnij wszystkie możliwości 0 00 Rozw:,,6,,, [MRV0/6pkt] 9 9 9 W ciągu arytmetycznym n a a 8 i a 0 7 a) Sprawdź, czy ciąg, a a Ciąg n a jest ciągiem geometrycznym 8, 0 b) Wyznacz taką wartość n, dla której suma n początkowych wyrazów ciągu a n ma wartość najmniejszą Rozw: a) tak, b) 6 [MR/7pkt] a jest określony następująco: a 0, a każdy następny wyraz ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest sumą numerów wszystkich wyrazów, poprzedzających dany wyraz Zapisz wzór na n( n ) wyraz ogólny tego ciągu Rozw: a n [MR / pkt] 5 O ciągu n x dla n wiadomo, że: ciąg a określony wzorem geometryczny o ilorazie 7 oraz, że x x 5 Rozw: [MRV0/pkt] 6 W ciągu arytmetycznym n n n a n x n dla n jest x Oblicz a, dla n, dane są a oraz różnica r Oblicz największe takie n, że a a a 0 Rozw: 7 [MRVI0/5pkt] n n 7n 7 Dany jest ciąg, którego wyraz ogólny określa wzór a n n a) Wykaż, że wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi b) Wykaż, że ten ciąg jest arytmetyczny [MR/pkt] 8 Liczby a, a,, an są dodatnie i w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny Uzasadnij, że prawdziwa jest równość: n a a an a an [MRVI0/pkt] 9 Niech n S S k, S m oznacza sumę n (odpowiednio k, m) początkowych wyrazów nieskończonego ciągu arytmetycznego Sk k S m S n m n m n n k k m a i Oblicz wartość wyrażenia: 0 Ciąg a, b, c jest ciągiem arytmetycznym, w którym a, b, c oznaczają kolejno: długość, szerokość i wysokość prostopadłościanu Wiedząc dodatkowo, że a b c wyznacz wymiary prostopadłościanu o największym polu powierzchni całkowitej Rozw: a, 60 b, 96 c [MR/6pkt] x Strona z 0

Wyraz ogólny ciągu a n dany jest wzorem MATEMATYKA Zadania maturalne poziom rozszerzony a) Wykaż, że ciąg an jest ciągiem arytmetycznym 6 n a n dla n N n 9 b) Wyznacz takie dwa kolejne wyrazy tego ciągu, aby różnica ich sześcianów wynosiła 7 Rozw: m 6; Liczby x, x są różnymi miejscami zerowymi funkcji kwadratowej o wzorze f ( x) x ( a ) x a Zbadaj, czy istnieje taka wartość parametru a, aby ciąg x, x, x x był ciągiem geometrycznym [MR / 6 pkt] Wyznacz liczbę x tak, aby ciąg cos,cos x,cos x był ciągiem arytmetycznym Rozw: x k lub x k lub x k, k C a dany jest wzorem: n Wyraz ogólny ciągu n a n 5 p a) Wykaż, ze dla każdej liczby rzeczywistej p ten ciąg jest geometryczny b) Oblicz, które wyrazy tego ciągu są mniejsze od 60 dla p = i wyznacz te wyrazy Rozw: a 80 i a 0 5 Dane są ciągi: arytmetyczny a, x, b i geometryczny a, y, b o dodatnich wyrazach Wykaż, ze suma ciągu arytmetycznego jest nie mniejsza niż suma ciągu geometrycznego Strona z 0

IV Trygonometria Wiedząc, że sin i ; oblicz sin Rozw: 9 [MR / pkt] Nie używając tablic i kalkulatora sprawdź, czy liczba a jest większa od liczby b, jeżeli: o o o o cos7 cos 6 cos 7 sin 66 o a, b sin 0 Rozw: Tak [MR / 7pkt] o sin 7 n n Wykaż, że nie jest wyrazem ciągu a n sin Sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego oraz liczba tworzą ze sobą ciąg geometryczny Oblicz 5 sinus najmniejszego kąta tego trójkąta Rozw: [MRI009/pkt] 5 Kąty,, trójkąta ABC spełniają zależność sin sin sin Oblicz wartość wyrażenia tg tg Rozw: o o o 6 Wykaż, że liczby a i b są równe, jeśli a cos 0 cos 0 cos 80 oraz b 6 0 6 0 o o 7 Oblicz bez użycia kalkulatora cos 05 sin 05 Rozw: sin cos tg 8 Oblicz wartość wyrażenia: sin trójkąta prostokątnego Rozw: [MR / pkt] [MR/pkt] jeśli wiadomo, że kąty i są kątami ostrymi 9 Kąt jest taki, że sin cos Oblicz wartość wyrażenia cos sin Rozw: [MRVI0/5pkt] x cos x 0 Wykaż, że jeżeli x k, gdzie k jest liczbą całkowitą, to tg sin x cos Wykaż, że dla dowolnego kąta prawdziwa jest tożsamość sin cos [MRVI0/pkt] sin tg Sprawdź tożsamość:, dla k, gdzie k C cos tg Strona z 0

cos sin7 sin cos Udowodnij, że jeżeli cos sin 7 i cos sin to cos sin7 cos sin Rozwiąż równanie: tgx cos x cos x tgx w przedziale 0 ; 5 5 Rozw: x ; ; ; [MRV0/pkt] 5 Rozwiąż równanie: sin x sin xcos x cos x w przedziale 0 ; 5 7 Rozw: x 0; ; ; ; ; [MRV0/pkt] 6 Rozwiąż równanie: cos x cos xsin x sin x w przedziale 0 ; Rozw: 5 7 x ; ; ; ; 7 Wyznacz wszystkie rozwiązania równania cos x 5sin x 0 należące do przedziału 0; Rozw: 7 x ; [MRVIII00/pkt] 6 6 8 Wyznacz wszystkie rozwiązania równania sin x 7cos x 5 0 należące do przedziału 0; Rozw: x ; [MRV00/pkt] 9 Wyznacz wszystkie rozwiązania równania sin x sin xcos x cos x należące do przedziału 0; 5 Rozw: x 0; ; ; ; 0 Rozwiąż równanie: log cos x log sin x sinx cosx Rozw: x k gdzie k C Rozwiąż równanie cos x cos x 0 dla x 0; Rozw: x,,, [MRV0/pkt] 5 Rozwiąż równanie: cos x cos x 5 5 Rozw: x ; ; 6 6 sin x Wyznacz wszystkie rozwiązania równania cos x należące do przedziału 0, tgx sin x 5 Rozw: x, Strona 5 z 0

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania Rozw: x,,, sin x cos x należące do przedziału 0, 8 6 5 Rozwiąż równanie: cos x cos x Rozw: x k lub x k lub x k dla k C [MRV0/pkt] 6 Rozwiąż równanie sin x sin x, gdzie x 0; 6 6 5 Rozw: x ; ; ; 7 Rozwiąż równanie tgx cos x cos x tgx w przedziale 0 ; Rozw: 5 5 x,,, 8 Rozwiąż równanie: x cosx 0,5 Rozw: x k sin x cos x 9 Oblicz tgx wiedząc, że Rozw: sin x cos x [MR/pkt] sin x cos x 0 Oblicz sinx, jeżeli: cos x sin x Rozw: [MR/pkt] 5 Oblicz sumę wszystkich rozwiązań równania: sin x cos x należących do przedziału 8 ; Rozw: S = [MR / 6pkt] Wyznacz zbiór wartości funkcji f ( x) sin x cos x gdzie x R Rozw: Z w, Wyznacz zbiór wartości funkcji f ( x) cos x sin x gdzie x R Rozw: Z w, sin Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f ( x) cos x cos x 6 gdzie x R Rozw:, y y min max 6 5 Narysuj wykres funkcji: sin x sin x f ( x) dla x 0; ; [MRV007/pkt] sin x Strona 6 z 0

cos x sin x 6 Narysuj wykres funkcji: f ( x) dla x ; ; ; Podaj cos x zbiór rozwiązań nierówności 0 f ( x) Rozw: 5 5 ; ; ; x 7 Naszkicuj wykres funkcji y = sinx w przedziale ; Naszkicuj wykres funkcji: sin x y w przedziale ; i zapisz, dla których liczb z tego przedziału spełniona jest sin x sin x nierówność: 0 sin x Rozw: x ; ;0 ; ; [MR V 006/ pkt] 8 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których rozwiązanie (x; y) układu równań: o o mx y cos 0 cos 00 m spełnia warunki: x>0 i y<0 x y Rozw: m ; ; 9 Dana jest funkcja: f ( x) cos x sin x, x R a) Narysuj wykres funkcji f b) Rozwiąż równanie: f(x) = Rozw: x k, x k [MRV005/pkt] xm 0 Dane są funkcje: f ( x) oraz g( x) cos x Dla jakich wartości parametru m wykresy funkcji f i g mają jeden punkt wspólny? Rozw: m k, gdzie k C [MR/6pkt] Strona 7 z 0

V Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Wiedząc, że log c m, log m 5 b, log m 0 a oblicz log abcm Rozw:,5 log log 7log 9 Uzasadnij, że 0, 8 Suma pierwiastków trójmianu y = ax + bx + c jest równa log c log a, gdzie a c a R, c R Uzasadnij, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tego trójmianu jest równa [MR / pkt] 8 x Oblicz wartość funkcji f ( x) dla argumentu log 7 x log log8 log6 log8 log8 9 Rozw: f ( ) log 8 a b 5 Wiedząc, że a i b oblicz wartość wyrażenia 7 6 Wynik podaj w log 8 log 6 najprostszej postaci Rozw: 6 x 6 x 6 Wyznacz dziedzinę funkcji określonej wzorem f ( x) log x x 5 Rozw: D ;6 0 [MR / pkt] 7 Wyznacz dziedzinę funkcji f ( x) b 8 Oblicz wartość wyrażenia a, jeśli: log 9 x Rozw: x log log 5 log58 00 00 log log5 m ; ; 5 a oraz b 6 6 5 5 Rozw: [MR/6pkt] 6 9 W prostokątnym układzie współrzędnych przedstaw zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których x współrzędne spełniają warunki: log x y i y 6 log ( x ) 0 Wykaż, że jeżeli log a b (dla a > 0, b > 0, a, b ) jest liczbą wymierną dodatnią, to liczba log a log a też jest wymierna [MR / pkt] b b Strona 8 z 0

Wykaż, że jeżeli a, b, c są liczbami dodatnimi takimi, że a, b, c oraz ab log a c log b c to zachodzi równość: log ab c log c log c Sprawdź tożsamość (podaj odpowiednie założenia): a b log a b log a x log b x x log x log x Wykaż, że dla dowolnej liczby a 0 zachodzi nierówność: log ( a ) log a log log a 0 Udowodnić, że jeżeli liczby a, b, c tworzą ciąg geometryczny, to liczby,, log a A log b A dla A 0; tworzą ciąg arytmetyczny log c A 5 Wykaż, że jeżeli a, b 0, to prawdziwa jest nierówność: log b a log a b log log log 6 Wykaż, że liczby,, tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny oraz 6 oblicz różnicę tego ciągu Wyraź sumę 0 początkowych wyrazów tego ciągu w zależności od wyrazu drugiego Rozw: ; S 0 = 0a + 5 x to log log x log x x 7 Udowodnij, że jeżeli R x 99 log99! [MR/pkt] x log 8 Dane są zbiory A x : x R, B x : x R x log x log Wyznacz A B Rozw: ; 9 Wykaż, że funkcja f ( x) log x x jest nieparzysta 0 Wiedząc, że log 5 a, oblicz wartość wyrażenia: log 5 log 9 5 a Rozw: a Wiadomo, że log 6 a Wyznacz log 6 w zależności od a Rozw: [MR / pkt] a log x Narysuj wykres funkcji: f ( x) log x f x Rozw: D ; Narysuj wykres funkcji: ( x) log x 5x x 9 log x f ( x) log x dla b a Strona 9 z 0

VI Geometria analityczna Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu x y x 6y 7 nachylonych do osi OX pod takim kątem, że sin cos Rozw: x y, y x 9 [MR/6pkt] Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu x y x y 0 punkt ;0 A Rozw: 90 o [MRV0/pkt] poprowadzonymi przez Punkty A,0 i B, leżą na okręgu o równaniu x y 0 Wyznacz na tym okręgu taki punkt C, aby trójkąt ABC był trójkątem równoramiennym o podstawie AB Rozw: 5, 5 C lub C 5, 5 [MRVI0/pkt] Znajdź taki punkt C, leżący na prostej y x, aby pole trójkąta ABC, którego wierzchołkami są punkty C,,, A B 5, było równe 5 Rozw: 7,6 C lub, C [MR/6pkt] 5 Jeden z końców odcinka leży na paraboli y x, a drugi na prostej o równaniu y x 6 Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza od 5 Sporządź odpowiedni rysunek [MRI009/5pkt] 6 Punkty A, i C 5, są przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD, którego bok ma długość 5 Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu Rozw: B,, D 0, 7 Punkt A, jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu równym 00 Punkt S, jest środkiem symetrii tego rombu Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu Rozw: C,, B,, D 8,7 [MRVIII00/6pkt] 8 Bok kwadratu opisanego na okręgu o równaniu x y 5 zawiera się w prostej o równaniu x y 5 0 Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu Rozw: A,, B,, C,, D, 9 Prosta o równaniu x y 6 0 przecina okrąg o środku S, w punktach A i B Długość odcinka AB jest równa 0 Wyznacz równanie tego okręgu Rozw: y 65 x [MRV0/pkt] 0 Obliczyć pole figury ograniczonej osią OX oraz prostymi stycznym poprowadzonymi przez punkt A (0;) do okręgu o środku w punkcie S ( ; 5) i promieniu długości 5 Rozw: 0 Strona 0 z 0

Środek okręgu przechodzącego przez punkty A (; ) i B (6;) leży na osi OX a) Wyznacz równanie tego okręgu b) Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej AB i oddalonej od początku układu współrzędnych o Rozw: a) y 5, x b) y 7x 0, y 7x 0 [MRI009/7pkt] Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach A 0; i ;0 do prostej l w punkcie C ;a, gdzie a Wyznacz równanie prostej l Rozw: y x [MRVI0/pkt] 7 Wyznacz równanie okręgu o promieniu, 5 o równaniach x y y 0 Rozw: Strona z 0 B oraz jest styczny który przechodzi przez punkty wspólne okręgów x i x x y y 9 0 5 9 5 9 x [MR/6pkt] 5 5 x y lub y Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli y = - x + 6x Punkt C jest jej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi OX Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta Rozw: ( ; 9), ;6, ;6 [MRV007/7pkt] 5 Punkt A ;5 jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego ABC, w którym AC BC Pole tego trójkąta jest równe 5 Bok BC jest zawarty w prostej o równaniu y x Oblicz współrzędne wierzchołka C Rozw: C ; lub C 5;6 [MRV00/6pkt] 6 Punkt A (;) jest wierzchołkiem kąta prostego w równoramiennym trójkącie prostokątnym ABC Przeciwprostokątna tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu y x 5 Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta ABC Rozw: B ;7, C 6; 7 Dane są punkty A ; i B ; Wyznacz taki punkt C x; y gdzie x ; leżący na paraboli o równaniu Rozw: C ; [MR/6pkt] y x, aby pole trójkąta ABC było największe 8 Na płaszczyźnie dane są punkty A ;, B ; Na prostej o równaniu y 8x 0 znajdź punkt P, dla którego suma Rozw: P ; [MRVI0/pkt] AP BP jest najmniejsza

9 Dane są punkty A ;5, B 9; i prosta k o równaniu y x Oblicz współrzędne punktu C leżącego na prostej k, dla którego suma Rozw: C ;5 [MRVIII00/5pkt] AC BC jest najmniejsza 5 0 W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty P postaci: P m ; m, gdzie m ; 7 Oblicz najmniejszą i największą wartość PQ, gdzie Q 55 ;0 Rozw: f 7 5,5; f 65,5 [MRV0/6pkt] min max Punkty B = ( 5, 6) i C = ( 0, 6) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD, którego podstawy AB i CD są prostopadłe do prostej k o równaniu y x Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków trapezu, wiedząc, że punkt D należy do prostej k Rozw: A= ( ; -) lub A = ( ; ) oraz D = ( -; ) Z punktu A (9;) poprowadzono styczne do okręgu o równaniu x x y 6y 5 Oblicz długość odcinka łączącego punkty styczności Rozw: 0 Obrazem trójkąta ABC o wierzchołkach A (; ), B ( ; ), C (;) w jednokładności o środku S (; ) i skali k jest trójkąt KLM Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta KLM Rozw: K ( 5; 5), L (;), M (;8 ) W jednokładności o środku S i skali k obrazem okręgu o równaniu x y o równaniu y 9 Rozw: jest okrąg x Oblicz współrzędne środka S jednokładności 5 S 6; lub S ; Rozw: S ( ; ), k = 5 Oblicz współrzędne środka S i skalę k jednokładności, w której obrazem odcinka PR jest odcinek P R i wiadomo, że P (; ), (; ), R,9 SP i SR, [MR/6pkt] 6 Na płaszczyźnie dane są cztery punkty A ;, B 5;, C ;6, D 0;8 Przez punkt D poprowadzono prostą l prostopadłą do prostej AB Znajdź na prostej l taki punkt E, aby pole trójkąta ABC było równe polu trójkąta ABE 7 6 9 Rozw: E ;, E ; 5 5 5 5 7 Udowodnij, że jeśli punkt D jest środkiem ciężkości trójkąta ABC to DA DB DC 0 8 Punkty K, L, M są środkami boków BC, CA i AB trójkąta ABC Wykaż, że AK BL CM 0 Strona z 0

VII Geometria płaszczyzny Wykaż, że dla każdego równoległoboku jest spełniony warunek: suma kwadratów długości przekątnych równoległoboku jest równa podwojonej sumie kwadratów długości jego boków Niech a i b będą długościami kolejnych boków równoległoboku ABCD, zaś p i r długościami jego przekątnych Wykaż, że a b pr Liczby i są miarami kątów ostrych w trójkącie prostokątnym Wykaż, że: cos cos [MR/pkt] Długości boków a, b, c trójkąta tworzą ciąg geometryczny, przy czym kąt trójkąta leżący naprzeciwko boku długości b ma miarę 60 o Oblicz miary pozostałych kątów tego trójkąta Rozw: 60 o, 60 o 5 W trójkącie ABC, w którym AC 5, BC i AB 7 na boku AB wybrano taki punkt D, że AD Oblicz sinus kąta ADC 7 Rozw: 7 6 Prosta przechodząca przez środek jednego z boków trójkąta równobocznego i tworząca z tym bokiem kąt ostry dzieli ten trójkąt na czworokąt i trójkąt Stosunek pola czworokąta do pola trójkąta jest równy 5: Oblicz tangens kąta Rozw: 7 Dany jest trójkąt ABC, w którym AC 7 i BC 0 Na boku AB leży punkt D taki, że AD : DB : oraz DC 0 Oblicz pole trójkąta ABC Rozw: 8 [MRV0/5pkt] 8 Punkt D jest punktem wewnętrznym trójkąta Wykaż, że: AD BD CD AB BC AC Strona z 0 [MR/pkt] 9 Trójkąt ostrokątny, którego boki mają długości 7 i 6 ma pole równe 6 Oblicz promień okręgu 7 65 opisanego na tym trójkącie Rozw: 6 0 Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 8 oraz BAC 0 o Oblicz długość środkowej AD tego trójkąta Rozw: [MRV0/pkt] Boki trójkąta mają długość 5,, 5 Wyznacz długość części dwusiecznej średniego kąta trójkąta zawartej w tym trójkącie Rozw: [MR/6pkt] Suma długości dwóch boków trójkąta równa się, a kąt między tymi bokami ma miarę 0 o Oblicz najmniejszą wartość sumy kwadratów długości wszystkich boków tego trójkąta Rozw: 0 [MRVI0/pkt] o W równoległoboku ABCD kąt ostry ma miarę 0, zaś dłuższy bok ma długość 8 Promień koła opisanego na ABD ma długość R = Oblicz pole równoległoboku Rozw: P 8

W równoległoboku ABCD miara kąta ostrego jest równa 0 o, a odległości punktu przecięcia się przekątnych od sąsiednich boków równoległoboku są równe i Oblicz długość krótszej przekątnej równoległoboku Rozw: [MRVI0/5pkt] 5 Bok kwadratu ABCD ma długość Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F umieszczone tak, aby CE DF Oblicz wartość x DF, dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze Rozw: x = 0,5 [MRV00/pkt] 6 W trójkącie prostokątnym ABC ( kąt przy wierzchołku C jest kątem prostym), dane są długości przyprostokątnych: BC a, CA b Dwusieczna kąta prostego tego trójkąta przecina ab przeciwprostokątną AB w punkcie D Wykaż, że długość odcinka CD jest równa a b Sporządź pomocniczy rysunek uwzględniając podane oznaczenia [MR XII 005/pkt] 7 Dany jest prostokąt ABCD, w którym AB a, BC b i a b Odcinek AE jest wysokością trójkąta DAB opuszczoną na jego bok BD Wyraź pole trójkąta AED za pomocą a i b ab Rozw: P AED [MRV0/5pkt] a b 8 Dany jest czworokąt wypukły ABCD (który nie jest równoległobokiem) Punkty M i N są odpowiednio środkami boków AB i CD Punkty P i Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD Uzasadnij, że MQ PN [MRV0/pkt] 9 Wykaż, że jeżeli w czworokącie ABCD dwusieczne kątów przy wierzchołkach A i C przecinają dwusieczne kątów przy wierzchołkach B i D w czterech różnych punktach, to punkty te leżą na pewnym okręgu 0 W czworokącie ABCD dane są długości boków: AB, CD 5, AD 7 Ponadto kąty DAB oraz BCD są proste Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych Rozw: d 5, d 0, P [MRVI0/5pkt] Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu R= 5 wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma długość 0, zaś iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych równa się 8 Rozw: 60 o, 5 o, 0 o, 5 o Strona z 0 [MRXII005/8pkt] Dany jest czworokąt ABCD Niech S będzie punktem przecięcia jego przekątnych Udowodnij, że AS BS czworokąt można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy DS CS Na czworokącie wypukłym ABCD można opisać okrąg Wiadomo, że AB BC, AD, DC oraz przekątna AC Oblicz pole tego czworokąta 9 6 Rozw: P W trapez wpisano okrąg o promieniu cm Miary kątów przy dłuższej podstawie tego trapezu wynoszą 0 o i 60 o Oblicz pole tego trapezu Rozw: P 5 Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie AB CS i krótszej CD Punkt styczności S dzieli ramię BC tak, że Wyznacz długość ramienia SB 5

tego trapezu Oblicz cosinus kąta CBD MATEMATYKA Zadania maturalne poziom rozszerzony 7 0r 6 89 Rozw: BC, cos CBD [MRV006/6 pkt] 0 6 6 Trapez ABCD ma kąty proste przy wierzchołkach A i D Punkt O jest środkiem okręgu wpisanego w ten trapez Oblicz obwód trapezu, jeżeli wiadomo, że OC 6 i OB 8 Rozw: 9, 7 Trapez równoramienny jest opisany na okręgu Suma długości krótszej podstawy i ramienia trapezu jest równa 0 Wyraź pole tego trapezu jako funkcję długości jego ramienia Wyznacz dziedzinę tej funkcji Rozw: c c c 0c 00 P, D 5;0 [MRI009/6pkt] 8 Trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o promieniu r Wykaż, że r AB CD [MRV0/pkt] 9 W trapezie opisanym na okręgu boki nierównoległe mają długości i 5, zaś odcinek łączący środki tych boków dzieli trapez na dwie części, których pola są w stosunku 5: Oblicz długości podstaw trapezu Rozw: 7; 0 W trapezie równoramiennym podstawy mają długość 9 i, a kąt między ramieniem trapezu i dłuższą podstawą ma miarę 60 o Oblicz promień okręgu opisanego na tym trapezie Rozw: R 9 [MR/6pkt] W trapez równoramienny o przekątnej cm można wpisać okrąg Odcinek łączący środki ramion trapezu mają długość cm Oblicz długości ramienia i pole trapezu Rozw: c = cm, P = 60cm W półkole o promieniu r wpisano trapez równoramienny o krótszej podstawie długości a Oblicz długość przekątnej trapezu Rozw: d r ar Na trapezie opisano okrąg, którego średnica jest jedną z podstaw trapezu Przekątna trapezu ma długość, a długość okręgu wynosi Oblicz pole trapezu Rozw: P 5 69 Czworokąt ABCD wpisany jest w koło oraz wiadomo, że AB, BC 7, CD oraz miara kąta ABC wynosi 60 o Oblicz długość przekątnej AC Oblicz długość boku AD tego czworokąta Rozw: AC 7, AD 5 Na kole opisany jest romb Stosunek pola koła do pola rombu wynosi Wyznacz miarę kąta 8 ostrego tego rombu Rozw: 60 o [MRV007/pkt] 6 Dany jest trójkąt o bokach długości ;,5; Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku tego trójkąta [MRV007/pkt] 7 Dany jest trapez o podstawach a, b, gdzie a>b Wyznacz długość odcinka łączącego środki a b przekątnych tego trapezu Rozw: x [MRXII007/pkt] Strona 5 z 0

VIII Stereometria Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa Rozw: [MRV0/pkt] Suma krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6 Dla jakiej długości krawędzi podstawy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa będzie największe? Rozw: a Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa, a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe 6 z sąsiednią ścianą boczną Rozw: 5 Oblicz sinus kąta jaki tworzy przekątna ściany bocznej [MRVIII00/5pkt] W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej równe jest sumie pól obu podstaw Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej Rozw: 5 W prostopadłościanie długości krawędzi no wspólnym wierzchołku są równe a, b, c, zaś długość przekątnej prostopadłościanu jest równa d Wykaż, że a b c d 6 Podstawą graniastosłupa prostego o objętości V jest równoległobok o bokach długości a i b Wykaż, że pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest nie mniejsze niż V a b 7 W prawidłowym ostrosłupie trójkątnym krawędź podstawy jest dwa razy krótsza od krawędzi bocznej Wyznacz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy Rozw: 5 [MR/6pkt] 5 8 Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego trójkątnego są trójkątami o przyprostokątnych długości cm Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa V 88cm, Pc 7 cm Rozw: 9 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest Wyznacz a cos x objętość ostrosłupa Rozw: V [MRV00/5pkt] sin x Strona 6 z 0

0 Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt ABC, w którym AB, BC 6, CA 8 Wszystkie ściany boczne tworzą z płaszczyzną podstawy kąt 60 o Oblicz objętość ostrosłupa Rozw: V 5 [MR/6pkt] Podstawą ostrosłupa jest trójkąt, którego jeden z boków ma długość 6, a kąty przyległe do niego mają miary 5 o i 05 o Wysokość ostrosłupa ma długość równą długości promienia okręgu opisanego na podstawie Oblicz objętość ostrosłupa Wynik podaj w postaci a b c, gdzie a, b, c są liczbami wymiernymi Rozw: V 8 8 Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku długości, krawędzie boczne mają długości, Oblicz objętość tego ostrosłupa Rozw: 5 V [MR/6pkt], 7 Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AB 0, BC AC 9 i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy Każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka S ma długość 6 Oblicz objętość tego ostrosłupa Rozw: 0 [MRVI0/5pkt] Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC Krawędź AS jest wysokością ostrosłupa oraz AS 8 0, BS 8, CS Oblicz objętość tego ostrosłupa Rozw: V 760 0 [MRV0/5pkt] 5 Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny ABC, w którym AB a, ACB 90 o, CAB Wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze Wyznacz objętość tego ostrosłupa Rozw: V a sin tg 6 W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a Krawędź AS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy Odległość wierzchołka A od ściany BCS a d jest równa d Wyznacz objętość tego ostrosłupa Rozw: V [MRV0/pkt] a d 7 Długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego prawidłowego są równe a Przez wierzchołek ostrosłupa i środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy poprowadzono płaszczyznę Wyznacz sinus kąta nachylenia wyznaczonego przekroju do podstawy ostrosłupa 5 Rozw: sin 5 Strona 7 z 0

8 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD W trójkącie równoramiennym ASC stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy AC AS 6 5 Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy Rozw: 8 [MRV0/6pkt] 9 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wszystkie krawędzie mają równą długość Zaznacz na rysunku kąt utworzony przez dwie sąsiednie ściany boczne tego ostrosłupa i oblicz cosinus tego kąta Rozw: [MRI009/pkt] 0 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość, a wysokość ostrosłupa jest równa 8 Wyznacz cosinus kąta między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa Rozw: [MR/6pkt] 7 W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym o wysokości długości h kąt pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę Oblicz objętość tego ostrosłupa Rozw: h tg V Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym, a jego przekrój płaszczyzną równoległą do płaszczyzny podstawy ma pole równe 9 Uzasadnij, że objętość tego stożka jest większa od 8 Wykonaj rysunek pomocniczy i zaznacz na nim przekrój płaszczyzną równoległą do podstawy Strona 8 z 0

IX Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa n Rozwiąż równanie: n n Rozw: [MR/pkt] Na zakończenie obozu wędrownego każdy uczestników podarował wszystkim obozowiczom swoje zdjęcie W sumie podarowano 600 zdjęć Ile osób było na obozie? Rozw: 5osób Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują dwie dwójki i trzy trójki Rozw: 9 080 [MRV0/pkt] Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy Rozw: 80 [MRV0/pkt] 5 Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie trzy razy cyfra 0 i dokładnie raz występuje cyfra 5 Rozw: 90 [MRV0/pkt] 6 Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub podzielnych przez 5 Rozw: 80 [MRVI0/pkt] 7 Ile jest liczb naturalnych siedmiocyfrowych, których suma cyfr jest równa? Rozw: 8 8 Ile podzbiorów trzyelementowych ma zbiór A, jeśli wiadomo, że zawiera on dokładnie podzbiorów o najwyżej dwóch elementach Rozw: 55 9 Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie symetryczną kostką sześcienną, na ściankach której znajdują się cyfry,, 5, 6, 7, 8 Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma oczek, uzyskana z dwóch rzutów, nie przekracza liczby Rozw: [MR / pkt] 0 Dziesięć osób rozdzielono na drużyny po 5 osób Oblicz prawdopodobieństwo, że osoby A i B 5 będą w przeciwnych drużynach Rozw: 9 Oblicz prawdopodobieństwo, że w pięciu rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma 5 uzyskanych liczb oczek będzie równa 8 Rozw: P ( A) 5 6 Liczby,,,, 5, 6, 7, 8 ustawiamy losowo w szeregu Oblicz prawdopodobieństwo, że w tym ustawieniu suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego Rozw: [MRVIII00/pkt] 5 Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów uzyskanych oczek będzie podzielna przez Rozw: [MRV00/pkt] Strona 9 z 0

W klasie IIIa jest 0 dziewcząt i 5 chłopców Oblicz prawdopodobieństwo, że w losowo 0 wybranej delegacji trzyosobowej tej klasy będzie co najwyżej jedna dziewczyna Rozw: 60 5 Ze zbioru liczb {,,,, 5, 6, 7, 8} losujemy jednocześnie cztery liczby Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że najmniejszą wylosowaną liczbą będzie 7 lub największą wylosowaną liczbą będzie 7 Rozw: 70 6 Ze zbioru Z = {,,, n}, gdzie n N wylosowano dwie liczby Zdarzenie A oznacza, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą Oblicz, dla jakiej wartości n prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe 5 Rozw: n = 6 [MR / 5pkt] 7 Z urny, w której znajduje się n kul, w tym 5 białych, losujemy dwie kule bez zwracania Wyznacz n, tak aby prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych było równe Rozw: n 5 8 W urnie są kule białe i trzy razy więcej kul czarnych Losujemy jednocześnie dwie kule Wyznacz liczbę kul białych w tej urnie, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania pary kul tego samego koloru jest równe Rozw: [MR/6pkt] 5 9 Ze zbioru liczb Z,,,, wylosowano trzy liczby bez zwracania Oblicz 67 prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą Rozw: 5 0 Rzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb oczek otrzymanych we wszystkich czterech 5 rzutach będzie równy 60 Rozw: [MRV0/pkt] 08 Oblicz prawdopodobieństwo PA' B', jeśli P A', P B' i P A B Rozw: [MRI009/pkt] A i B są zdarzeniami losowymi zawartymi w przestrzeni Wykaż, że jeżeli P ( A) 0, 9 i P ( B) 0,7 to A B' 0, P ( B' to zdarzenie przeciwne do zdarzenia B) [MRV0/pkt] Zdarzenia losowe A, B są zawarte w oraz P A B' 0, 7 (A oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, B oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B ) Wykaż, że P AB ' 0, [MRV0/pkt] Zdarzenia losowe A, B są zawarte w oraz P ( A B') 0, i P ( AB ' ) 0, Wykaż, że P ( A B) 0,7 (A oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, B oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B) [MRVI0/pkt] Strona 0 z 0