BODOVÉ A INTERVALOVÉ ODHADY, PRINCIP

BODOVÉ A INTERVALOVÉ ODHADY, PRINCIP TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ Obah 1 Bodový odhad 1 1.1 Netraý odhad.................................... 1. Kozitetí odhad................................... 3 1.3 Vydatot odhadů.................................... 3 1.4 Přeot odhadu..................................... 4 1.5 Metody bodových odhadů............................... 5 Itervalový odhad 7.1 Itervaly polehlivoti pro parametry ormálího rozděleí.............. 9. Itervaly polehlivoti pro µ při velkém rozahu výběru................ 10.3 Staoveí velikoti výběru pro odhad tředí hodoty................. 11.4 Itervaly polehlivoti pro podíl............................ 11 3 Tetováí hypotéz 1 3.1 Pricip tetováí hypotéz................................ 1 3. Potup při tetováí hypotéz.............................. 14 Literatura 16 Příklady k procvičeí 17 1 Bodový odhad Budeme kotruovat typy odhadů: bodový odhad, itervalový odhad. Defiice 1.1 Bodovým odhadem parametru θ rozumíme tatitiku T = T X 1, X,..., X = T X, jejíž hodoty kolíají kolem θ. Bodový odhad parametru θ tedy počívá v jeho ahrazeí jedím čílem bodem. Potom píšeme ˆθ = T X a čteme: odhadem parametru θ je tatitika T X. Operačí program Vzděláváí pro kokurecechopot Název projektu: Iovace magiterkého tudijího programu Fakulty ekoomiky a maagemetu Regitračí čílo projektu: CZ.1.07/..00/8.036 PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY.

1.1 Netraý odhad Defiice 1. Statitika T je etraým evychýleým, ezkreleým odhadem parametru θ, platí-li E [T X] = θ. Teto požadavek vyjadřuje kutečot, že použitý bodový odhad kutečou hodotu charakteritiky ai eadhodocuje ai epodhodocuje. Rozdíl Bθ, T = E [T X] θ e azývá vychýleí zkreleí odhadu T. Příklad 1.1 Mějme áhodý výběr X 1, X,..., X z rozděleí e tředí hodotou µ a rozptylem σ. Výběrový průměr X je etraým odhadem parametru µ, ebot 1 EX = E X i = 1 EX i = µ. Výběrový rozptyl S je etraým odhadem parametru σ, ebot ES 1 = E X i X = = σ. 1 Mometový rozptyl S eí etraým odhadem parametru σ, ebot ES 1 = E X i X = = 1 σ. Vychýleí tohoto odhadu je Bσ, S = ES σ = 1 σ σ = 1 σ, tedy e zvyšujícím e e vychýleí zmešuje. Některé odhady jou ice zkreleé, ale rotoucím rozahem výběru e jejich zkreleí zmešuje. Defiice 1.3 Je-li T X odhad založeý a pozorováích a jetliže platí lim E [T X] = θ, pak říkáme, že T X je aymptoticky etraým odhadem parametru θ. Pro aymptoticky etraý odhad tedy platí lim E [T X θ] = 0. Příklad 1. Mometový rozptyl je aymptoticky etraým odhadem parametru σ, ebot 1 lim ES = lim σ = σ.

1. Kozitetí odhad V ěkterých případech jme ucei pracovat vychýleými odhady. Pak požadujeme, aby e odhad rotoucím rozahem výběru blížil odhadovaému parametru, tedy aby byl kozitetí. Defiice 1.4 Statitika T X je kozitetím odhadem parametru θ, platí-li pro každé ɛ > 0 Je-li lim P T X θ < ɛ = 1. lim Bθ, T = 0 a lim D[T X] = 0, pak tatitika T X je kozitetí odhad parametru θ. Příklad 1.3 Ukažte, že výběrový průměr je kozitetím odhadem tředí hodoty µ. Řešeí: Vzhledem k tomu, že EX = µ a DX = σ / dotáváme 1.3 Vydatot odhadů σ Bµ, X = EX µ = 0 a lim DX = lim = 0. V ěkterých případech lze ajít více tatitik, které jou etraé a kozitetí. V takovém případě použijeme k odhadováí parametru tu z ich, která má ejmeší rozptyl. Statitika, která má ze všech etraých odhadů ejmeší rozptyl je vydatým ejlepší etraým odhadem parametru θ. Defiice 1.5 Necht T a U jou etraé odhady parametru θ, pak vydatot odhadu T vzhledem k odhadu U je defiováa vztahem et, U = DU DT. Předpokládejme yí, že rováváme vychýleé i etraé odhady parametru θ. V takovém případě emuí být vhodé vybrat odhad ejmeším rozptylem. Odhad T má a obrázku 1 ice ejmeší rozptyl, ale má velké vychýleí. Ai odhad ejmeším vychýleím emuí být ejvhodější. Odhad U má ulové vychýleí, ale má příliš velký rozptyl. Jako ejlepší e jeví odhad V. Příklad 1.4 Srovejte odhady X a S parametru λ Poioova rozděleí. Řešeí: Pro parametr λ Poioova rozděleí lze alézt etraé odhady EX = λ a ES = λ. Lze ale ukázat, že DX < DS, proto je X lepším vydatějším etraým odhadem ež S. 3

Obrázek 1: Srováí vychýleých a etraých odhadů parametru θ 1.4 Přeot odhadu Přeot bodového odhadu lze měřit pomocí tředí kvadratické chyby MSET tatitiky T. Defiice 1.6 Středí kvadratická chyba tatitiky T pro odhad parametru θ je defiová jako kde T θ je výběrová chyba. Středí kvadratická chyba MSET = ET θ = DT + B θ, T MSEodhadu = rozptyl odhadu + jeho vychýleí, charakterizuje, jaká je průměrá výběrová chyba odhadů přicházející v úvahu při všech růzých výběrech daého rozahu, je kombiací požadovaých vlatotí malého vychýleí a malého rozptylu, proto je uiverzálím kritériem. Je-li tatitika T etraým odhadem, potom MSET = DT tředí kvadratická chyba je rova rozptylu. Přeot můžeme měřit pomocí měrodaté odchylky SE = DT, která e azývá měrodatá tředí chyba odhadu. Průměr je etraým odhadem tředí hodoty, proto měrodatá chyba odhadu je rova měrodaté odchylce výběrového průměru, tj. SE = DX = σx = σx. Protože σx ezáme, odhademe měrodatou chybu pomocí výběrové tředí chyby ŜE = ˆσX = S. Příklad 1.5 Spočtěte tředí kvadratickou chybu tatitiky S a tatitiky S. 4

Řešeí: Uvažujme ejprve tatitiku S, která je etraý odhadem parametru σ. Platí, že MSES = DS = ES σ = ES 4 σ Eσ + σ 4 = = ES 4 σ 4 = σ4 1. Pro tředí kvadratickou chybu tatitiky S dotaeme MSES = σ = ES 4 1 σ4 + σ 4 = = ES 4 σ4 = 1 σ 4, to je méě ež MSES, ebot 1 <. Každý z těchto odhadů je lepší v jiém mylu. 1 1.5 Metody bodových odhadů Dopoud jme popiovali vlatoti odhadů, ezabývali jem e však otázkou, jak odhady zíkat. Uvedeme ejčatěji používaé metody 1. metodu mometů,. metodu maximálí věrohodoti. Metoda mometů Uvažujme rozděleí, které závií a m 1 reálých parametrech θ 1, θ,..., θ m a mějme áhodý výběr X 1, X,..., X z tohoto rozděleí. Předpokládejme, že exitují obecé momety µ r = EX r i pro r = 1,,..., m. Tyto momety obecě závií a parametrech θ 1, θ,..., θ m. Výběrové momety jou dáy vztahem M r = 1 Xi r, r = 0, 1.... Mometová metoda odhadu parametrů θ 1, θ,..., θ m počívá v tom, že za jejich odhad vezmeme řešeí rovic µ r = M r. Příklad 1.6 Nalezěte odhad parametru λ Poioova rozděleí. Řešeí: V případě áhodého výběru z Poioova rozděleí Poλ dotaeme rovici µ 1 = M 1 EX i = 1 X i, takže odhadem ˆλ parametru λ zíkaým metodou mometů je ˆλ = X. 5

Příklad 1.7 Nalezěte odhad parametrů µ a σ ormálího rozděleí Nµ, σ. Řešeí: Obdobě jako v předchozím příkladě dotáváme µ 1 = M 1 EX i = 1 X i, µ = M EX i = 1 X i σ + µ = 1 DX i + EX i = 1 X i Zíkaé odhady jou ˆµ = X, ˆσ = 1 Xi X = 1 X i X i X = S = 1 S. Metoda maximálí věrohodoti Necht X 1, X,..., X je áhodý výběr z rozděleí hutotou fx, θ, rep. pravěpodobotí fukcí px, Θ obahující ezámý parametr Θ = θ 1, θ,..., θ m. Náhodý vektor X = X 1, X,..., X má družeou hutotu rozděleí rep. družeou pravděpodobotí fukci rep. gx, Θ = gx 1, x,..., x, Θ = fx 1, Θfx, Θ fx, Θ gx, Θ = gx 1, x,..., x, Θ = px 1, Θpx, Θ px, Θ. Hutota gx, Θ reprezetuje fukci proměé x při pevě daé hodotě Θ. Při každé pevé hodotě x lze gx, Θ chápat jako fukci proměé Θ. Pro tuto fukci budeme používat začeí LΘ, x a azývat jí věrohodotí fukce. Exituje-li takové ˆΘ, že pro každé Θ platí L ˆΘ, x LΘ, x, pak ˆΘ azýváme maximálě věrohodým odhadem parametru Θ. Míto věrohodotí fukce je ěkdy výhodější pracovat jejím logaritmem. Potom buhdeme mluvit o logaritmické věrohodotí fukci LΘ, x = l LΘ, x. Pro maximálě věrohodý odhad také platí L ˆΘ, x LΘ, x, ebot logaritmu je rotoucí fukcí. Maximálě věrohodý odhad eí obecě etraý vektoru Θ = θ 1, θ,..., θ m je urče řešeím outavy věrohodotích rovic LΘ, x θ i = 0, i = 1,,..., m. 6

Příklad 1.8 Metodou maximálí věrohodoti odhaděte parametr π alterativího rozděleí Aπ. Řešeí: Věrohodotí fukce má tvar Lπ, x = π x 1 1 π 1 x 1 π x 1 π 1 x... π x 1 π 1 x = = π P x i 1 π P x i. Logaritmická věrohodotí fukce má tvar Lπ, x = x i l π + x i l1 π. Položíme-li derivaci této fukce rovu ule dlπ, x = x i dπ π dotáváme odhad ˆπ = x i x i 1 π Příklad 1.9 Metodou maximálí věrohodoti odhaděte parametr λ Poioova rozděleí P oλ. = x. Řešeí: Obdobě jako v předchozím příkladě dotáváme potupě λ P x i Lλ, x = e λ x 1!x! x!, Lλ, x = l Lλ, x = λ + Itervalový odhad dlλ, x dλ = + ˆλ = 1 = 0, x i l λ lx 1!x! x! x i = x. x i 1 λ = 0 Bodové odhady parametrů předtavují odhady vyjádřeé jediým čílem. Nevýhodou takových odhadů je, že jejich polehlivot pravděpodobot, že určíme hodotu parametru přeě je ulová. Proto zavádíme itervalové odhady parametrů. 7

Obrázek : Oboutraý iterval polehlivoti pro θ Obrázek 3: Pravotraý iterval polehlivoti pro θ Defiice.1 Mějme áhodý výběr X 1, X,..., X z rozděleí hutotou pravděpodoboti fx, θ rep. pravděpodobotí fukcí px, θ. Jou-li T d x 1, x..., x a T h x 1, x..., x tatitiky, pro ěž platí P T d < θ < T h = 1 α, potom iterval T d, T h e azývá 1001 α% iterval polehlivoti pro parametr θ. Čílo 0 < α < 1 azýváme riziko odhadu, čílo 1 α je koeficiet polehlivoti polehlivot. Iterval polehlivoti můžeme také zadat erovotí θ > T d příp. θ < T h. Takto zadaé itervaly jou jedotraé itervaly polehlivoti. Oboutraé itervaly polehlivoti, které plňují podmíku P θ T d = P θ T h = α e azývají ymetrické itervaly polehlivoti. V dalším výkladu je budeme ozačovat je jako oboutraé itervaly polehlivoti. Neymetrickými itervaly e zabývat ebudeme. Platí-li P T d < θ < T h = 1 α, P θ T h = P θ T d = α, pak iterval T d < θ < T h azýváme oboutraým itervalem polehlivoti pro θ obrázek. Platí-li P θ < T h = 1 α, P θ T h = α, pak iterval θ < T h azýváme pravotraým itervalem polehlivoti pro θ obrázek 3. Platí-li P θ > T d = 1 α, P θ T h = α, pak iterval θ > T d azýváme levotraým itervalem polehlivoti pro θ obrázek 4. 8

Obrázek 4: Levotraý iterval polehlivoti pro θ.1 Itervaly polehlivoti pro parametry ormálího rozděleí IS pro parametr µ ormálího rozděleí Mějme áhodý výběr X 1, X,..., X z rozděleí Nµ, σ. Z dřívějška víme, že áhodá veličia T = X µ t 1, S má Studetovo t-rozděleí 1 tupi voloti, tudíž platí odkud dotáváme P t α P t α 1 < T < t 1 α 1 = 1 α, X µ 1 < < t1 α S 1 = 1 α. Pomocí algebraických úprav dotáváme potupě P t α 1 S < X µ < t 1 α 1 S = 1 α, P X + t α 1 S < µ < X + t 1 α 1 S = 1 α, P X t 1 α 1 S < µ < X t α 1 S = 1 α. Jelikož pro kvatily t-rozděleí platí t α = t 1 α, obdržíme pro pozorovaé hodoty x a áhodých veliči X a S P x t 1 α 1 Věta.1 Pro riziko odhadu α 0, 1 je: < µ < x + t 1 α 1 = 1 α. a 1001 α% oboutraý iterval polehlivoti pro parametr µ ormálího rozděleí x t 1 α 1 < µ < x + t 1 α 1. b 1001 α% pravotraý rep. levotraý iterval polehlivoti pro parametr µ µ < x + t 1 α 1 rep. µ > x t 1 α 1. 9

IS pro parametr σ ormálího rozděleí Mějme áhodý výběr X 1, X,..., X z rozděleí Nµ, σ. Z dřívějška víme, že áhodá veličia χ = 1 S χ 1 σ má χ -rozděleí 1 tupi voloti. Potom platí P χ α 1 < 1 S < χ σ 1 α 1 = 1 α, 1 P χ α 1 > σ 1S > 1 = 1 α, χ 1 1 α 1S P 1 < 1S σ < = 1 α. 1 χ 1 α Věta. Pro riziko odhadu α 0, 1 je: a 1001 α% oboutraý iterval polehlivoti pro parametr σ ormálího rozděleí 1 χ 1 α χ α 1 < σ < 1 1. b 1001 α% pravotraý rep. levotraý iterval polehlivoti pro parametr σ χ α σ < 1 χ α 1 rep. σ > 1 χ 1 α 1.. Itervaly polehlivoti pro µ při velkém rozahu výběru Mějme áhodý výběr X 1, X,..., X z libovolého rozděleí e tředí hodotou µ a koečým rozptylem σ. Při kotukci itervalu polehlivoti pro parametr µ e vychází z cetrálí limití věty, kokrétě z tvrzeí, že áhodá veličia U = X µ S má pro > 30 přibližě ormálí rozděleí N0, 1. Platí tedy P u α < X µ < u1 α = 1 α. S Věta.3 Pro riziko odhadu α 0, 1 je: a 1001 α% oboutraý iterval polehlivoti pro parametr µ x u 1 α < µ < x + u 1 α. b 1001 α% pravotraý rep. levotraý iterval polehlivoti pro parametr µ µ < x + u 1 α rep. µ > x u 1 α. 10

Obrázek 5: Příputá chyba itervalového odhadu.3 Staoveí velikoti výběru pro odhad tředí hodoty Ukážeme yí, jak velikot výběru ovlivňuje přeot odhadu. Uvažujme oboutraý iterval polehlivoti pro µ. Defiice. Příputá chyba odhadu pro µ je = u 1 α = u 1 α Příputá chyba je tedy rova poloviě itervalu polehlivoti obrázek 5. Základí otázkou je, jak velké taovit, abychom pravděpodobotí 1 α mohli tvrdit, odchylka výběrového průměru x od tředí hodoty µ základího ouboru taoveou příputou chybu? P x µ < = 1 α u 1 α.4 Itervaly polehlivoti pro podíl ŜE. < > u 1 α Předpokládejme, že máme áhodý výběr o rozahu za základího ouboru podílem π ebo ekvivaletě z alterativího rozděleí parametrem π. Netraý odhad podílu π je výběrový podíl ˆπ = P. Podle CLV platí, že áhodá veličia U = P π π1 π/ má pro přibližě ormálí rozděleí N0, 1, pro pozorovaou hodotu ˆπ tedy platí P u α < ˆπ π < u 1 α = 1 α. ˆπ1 ˆπ/ Pomocí algebraických úprav potupě dotáváme P P u α ˆπ + u α ˆπ1 ˆπ/ < ˆπ π < u1 α ˆπ1 ˆπ/ = 1 α, ˆπ1 ˆπ/ < π < ˆπ + u1 α ˆπ1 ˆπ/ = 1 α, 11

P ˆπ u 1 α Doazeím u α = u 1 α Věta.4 Pro riziko odhadu α 0, 1 je: ˆπ1 ˆπ/ < π < ˆπ u α ˆπ1 ˆπ/ = 1 α. dotáváme iterval polehlivoti. a 1001 α% oboutraý iterval polehlivoti pro podíl π ˆπ u 1 α ˆπ1 ˆπ/ < π < ˆπ + u1 α ˆπ1 ˆπ/. b 1001 α% pravotraý rep. levotraý iterval polehlivoti pro parametr π π < ˆπ + u 1 α ˆπ1 ˆπ/ rep. π > ˆπ u1 α ˆπ1 ˆπ/. 3 Tetováí hypotéz 3.1 Pricip tetováí hypotéz Statitickou hypotézou e rozumí určité tvrzeí o parametrech rozděleí zkoumaé áhodé veličiy µ, σ, π, λ,..., o tvaru rozděleí ormálí, Poioovo,.... Předpokládáme-li apř., že tředí hodota základího ouboru µ e rová určité kokrétí hodotě µ 0, vylovili jme hypotézu o parametru základího ouboru. Na základě vyčerpávajícího šetřeí celého základího ouboru by bylo možé bezpečě rozhodout o právoti či eprávoti hypotézy. Takové vyčerpávající šetřeí je většiou eekoomické ebo techicky eproveditelé, proto podrobíme šetřeí je určitou čát základího ouboru výběrový oubor. Te použijeme pro rozhodutí o právoti vyloveé hypotézy. Při tetováí hypotéz formulujeme dvojici tvrzeí 1. H... předpoklad, který vylovíme o určitém parametru či tvaru rozděleí základího ouboru, azývá e ulová hypotéza, apř. hypotéza o kokrétí tředí hodotě zapíšeme H : µ = µ 0,. A... tvrzeí, které popírá vlatot vyloveou v ulové hypotéze, azývá e alterativí hypotéza A : µ µ 0 oboutraý tet, A : µ > µ 0 jedotraý tet, A : µ < µ 0 jedotraý tet. Při tetováí hypotéz e můžeme doputit chybých závěrů tabulka 1, ebot úudky jou prováděy pomocí áhodého výběru: 1

kutečot H je pravdivá H je epravdivá úudek o H prt. prt. e ezamítá právé rozhodutí 1 α chyba II. druhu β e zamítá chyba I. druhu α právé rozhodutí 1 β Tabulka 1: Důledky rozhodutí při tetováí hypotéz Obrázek 6: Pricip tetováí hypotéz 1. Zamíteme-li ulovou hypotézu, přetože je ve kutečoti pravdivá, dopouštíme e chyby I. druhu. Maximálí pravděpodobot chyby I. druhu ozačujeme α a azýváme hladiou výzamoti. Čílo 1 α vyjadřuje miimálí pravděpodobot, jakou ezamíteme právou hypotézu.. Přijmeme-li aopak ulovou hypotézu, přetože je ve kutečoti eprává, dopouštíme e chyby II. druhu. Maximálí pravděpodobot chyby II. druhu ozačujeme β. Čílo 1 β je íla tetu a vyjadřuje miimálí pravděpodobot, jakou zamíteme ulovou hypotézu H, platí-li ve kutečoti alterativí hypotéza A. K tetu hypotézy použijeme vhodou tatitiku T = T x 1, x,..., x, tzv. tetové kriterium, která má při platoti hypotézy H zámé pravděpodobotí rozděleí zpravidla t, u, χ, F. Protor hodot této tatitiky e rozdělí a dijuktí obory obrázek 6: W 1 α obor přijetí hypotézy H možia těch hodot, které vědčí ve propěch hypotézy H, W α kritický obor obor zamítutí hypotézy H - obahuje vědčící ve propěch hypotézy A. Např. pro tet hypotézy o tředí hodotě µ ormálího rozděleí H : µ = µ 0 A : µ > µ 0 bude kritický obor W α = {t, t t 1 α }, kde µ 0 je předpokládaá hodota parametru µ, t je hodota tetového kriteria a t 1 α je kvatil Studetova rozděleí tzv. kritická hodota. 13

3. Potup při tetováí hypotéz Tetováí hypotéz užitím kritického oboru W α 1. Zformulujeme hypotézy H, A jako alterativí většiou volíme hypotézu, kterou chceme ohledem a věcý problém prokázat.. Zvolíme hladiu výzamoti α zpravidla 0,05 a 0,01. 3. Zvolíme vhodé tetové kriterium pochopitelě vzhledem k tetovaému parametru ebo tetovaé vlatoti. 4. Vymezíme kritický obor W α ohledem a formulaci hypotézy A. 5. Vypočteme hodotu tetového kriteria a určíme přílušé kvatily. 6. Zformulujeme závěr: Jetliže hodota tetového kriteria pade do kritického oboru, zamíteme hypotézu H a říkáme, že pravděpodobotí 1 α platí hypotéza A. Riziko eprávoti tohoto výroku je 100α%. Jetliže hodota tetového kriteria pade do oboru přijetí, říkáme že hypotézu H emůžeme a daé hladiě výzamoti zamítout. Výroku o právoti H e vyheme, ebot ebudeme určovat pravděpodobot chyby β. Tetováí hypotéz užitím itervalu polehlivoti 1. Zformulujeme hypotézy H, A jako alterativí volíme hypotézu, kterou chceme ohledem a věcý problém prokázat.. Zvolíme hladiu výzamoti α zpravidla 0,05 ebo 0,01. 3. Vypočteme vhodý iterval polehlivoti ohledem a tetovaý parametr a formulaci alterativí hypotézy A. 4. Zformulujeme závěr: Jetliže daá hodota tetového parametru tj. apř. µ 0 pade do itervalu polehlivoti, ezamítáme a hladiě výzamoti α ulovou hypotézu H. Jetliže daá hodota tetového parametru tj. apř. µ 0 epade do itervalu polehlivoti, zamítáme a hladiě výzamoti α ulovou hypotézu H. Tetováí hypotéz užitím p-hodoty Statitický oftware uvádí ve výledkových výtupech tzv. p-hodotu. Hladia výzamoti α je předpokládaá pravděpodobot zamítutí ulové hypotézy ještě před ukutečěím tetu. Naopak p-hodota je ejmeší pravděpodobot zamítutí ulové hypotézy obrázek 7 určeá a základě tetovacího kritéria tz. po ukutečěí tetu. 1. Zformulujeme hypotézy H, A jako alterativí volíme hypotézu, kterou chceme ohledem a věcý problém prokázat.. Zvolíme hladiu výzamoti α zpravidla 0,05 ebo 0,01. 14

Obrázek 7: Vztah mezi α a p-hodotou pro pravotraý tet 3. Užitím vhodého oftware počteme p-hodotu. 4. Zformulujeme závěr: Jetliže α > p-hodota, a hladiě výzamoti α hypotézu H zamítáme. Jetliže α < p-hodota, a hladiě výzamoti α hypotézu H ezamítáme. 15

Literatura Základí MANN, P.S. Itroductory Statitic. 6th editio. Hoboke: Wiley, 007. ISBN 978-0-471-75530-. MOUČKA, J., RÁDL, P. Matematika pro tudety ekoomie. 1. vyd. Grada 010. ISBN 978-80- 47-360-. NEUBAUER, J., SEDLAČÍK, M., KŘÍŽ, O. Základy tatitiky Aplikace v techických a ekoomických oborech. Grada 01.ISBN: 978-80-47-473-1. ŘEZANKOVÁ, H. Aalýza dat z dotazíkových šetřeí.. vydáí, Profeioal Publihig, 010. ISBN: 9788074310195. Doporučeá AGRESTI, A. Categorical Data Aalyi. Secod Editio. Wiley 00. ISBN: 0-471-36093-7. ANDĚL, J. Statiticke metody. 3. vydáí. Praha: Matfyzpre, 003. ISBN 80-8673-08-8. ANDĚL, J. Základy matematické tatitiky.. vyd. Praha: Matfyzpre, 007, 358. ISBN 978-80-7378-001-. VÁGNER, M. Itegrálí počet fukcí jedé proměé. 1. vydáí. Bro: UO, 005,16. ISBN 80-731-05-9. VÁGNER, M., KAŠTÁNKOVÁ, V. Poloupoti a řady. 1. vydáí. Bro: UO, 006. ISBN 80-731-131-X. 16

Příklady k procvičeí Bodový odhad parametrů 1. Nezávile opakovaá laboratorí měřeí určité kotaty µ jou charakterizováa áhodým výběrem x 1, x,..., x, Ex i = µ, Dx i = σ, i = 1,,...,. Uvažujme tatitiky M = 1 x i a L = x 1 + x. a Ověřte, zda M a L jou etraé odhady kotaty µ. b Zjitěte, který z těchto dvou odhadů je lepší. c Ověřte, zda M a L jou aymptoticky etraé odhady kotaty µ. d Ověřte, zda L je kozitetím odhadem kotaty µ.. U ového typu troje e zjišt oval ča potřebý a vykoáí pracoví operace. Výledky měřeí jou uvedey v tabulce. Určete bodový odhad tředí hodoty a měrodaté odchylky délky pracoví operace. Řešeí: 1. a ao; b pro 3 je M lepší; c ao; d e;. 33,060; 1,063. ča 30 31 3 33 34 35 36 37 počet 1 7 33 63 38 5 1 Itervalový odhad parametrů 1. Ze érie 1000 kuů výrobků bylo vybráo 140 kuů ke kotrolímu měřeí délky výrobku. Výledky jou uvedeé v tabulce v mm: rozměr 37 38 39 40 41 4 43 44 počet 3 13 1 43 7 18 11 4 Předpokládejte, že délka výrobku je áhodá veličia ormálím rozděleím. Určete: a odhad průměré délky výrobku v celé érii a taovte přeot tohoto odhadu, b iterval, ve kterém e 99% polehlivotí achází průměrá délka všech výrobků v érii a taovte přeot tohoto odhadu, c přeot frézováí pomocí bodového odhadu a 99% itervalového odhadu rozptylu délky výrobku, d mez přeoti v mm, která pravděpodobotí 0,95 už ebude překročea a vyvětlete její praktický výzam.. Z deí produkce pekaře bylo vybráo 45 kuů pletýek o jmeovité hmototi 80 g ke kotrolímu vážeí. Z výledků byl vypočte výběrový průměr 80,33 a výběrová měrodatá odchylka 1,718. Předpokládejte, že hmotot pletýek je áhodá veličia ormálím rozděleím. Určete: 17

a průměrou hmotot pletýek v celé produkci a taovte přeot tohoto odhadu, b rozptyl hmototi pletýek v celé produkci v jakých jedotkách?, c 95% polehlivotí průměrou hmotot pletýek pomocí itervalu polehlivoti a odpovězte a otázku, zda lze považovat odchylku výběrového průměru od ormy 80 g za áhodou ebo je důvod k podezřeí a odchylku od této ormy. 3. V jité emocici bylo áhodě vybráo 50 ovorozeců, u ichž byla, mimo jié, ledováa porodí hmotot v gramech a věk matky v letech arozeého dítěte. Na základě tohoto áhodého výběru byla počtea průměrá hmotot ovorozece 3496,08 g a měrodatá odchylka hmototi 50,688 g. Podobě průměrý věk matky 5,38 let a měrodatá odchylka věku 4,5 let. Určete a 95% iterval polehlivoti pro hmotot ovorozeců, b 95% polehlivotí dolí hraici pro tředí hodotu věku matky. 4. Na ídlišti, kde žije 6000 dopělých obyvatel, bylo áhodě rozdáo 30 aketích lítků jediou otázkou: Jakmile bude a ídlišti potaveo ové kio, budete jej pravidelě avštěvovat?. Kladou odpověd a daou otázku pokytlo celkem 16 oob. a Se polehlivotí 90 % odhaděte, jakým zájmem o pravidelé ávštěvy kia můžeme v budoucu počítat? b Se polehlivotí 90 % vypočtěte, kolik mít by mělo kio ejméě mít, aby byl upokoje zájem všech pravidelých ávštěvíků. Řešeí: 1. a 40,4; 0,13; b 40,055 40,745; 0,345; c,443;1,89 3,40; d 1,735;. a 80,33; 0,56; b,95; c 79,816 80,848, odchylka od ormy je áhodá; 3. a 3356,745 3635,415; b 4,38; 4. a 180 40; b 396. Tetováí tatitických hypotéz Na kokrétích datech zopakujte všechy 3 základí potupy při tetováí tatitických hypotéz využijte aplikaci STAT1. 18