Martin Branda. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Transkrypt

1 Tvorba optimálních sazeb v neživotním pojištění Martin Branda Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Seminář z aktuárských věd 2013 M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

2 branm1am/výuka M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

3 Obsah 1 Úvod 2 Data Rodina exponenciálních rozdělení Odhad parametrů Kvalita modelu a testování hypotéz 3 Příklady zobecněných lineárních modelů Regresní model počtu pojistných událostí Regresní model výše škod 4 Optimální sazbování v neživotním pojištění Přístup založený na GLM Optimalizační přístup deterministický Optimalizační přístup stochastický 5 Reference 6 Dodatek M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

4 Obsah Úvod 1 Úvod 2 Data Rodina exponenciálních rozdělení Odhad parametrů Kvalita modelu a testování hypotéz 3 Příklady zobecněných lineárních modelů Regresní model počtu pojistných událostí Regresní model výše škod 4 Optimální sazbování v neživotním pojištění Přístup založený na GLM Optimalizační přístup deterministický Optimalizační přístup stochastický 5 Reference 6 Dodatek M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

5 Cíle Úvod Dnes: Roční nettopojistné = očekávaný úhrn škod na smlouvě během jednoho roku. Příště: Multiplikativní sazebník = výsledná sazba pokrývá nettopojistné a náklady, je složena jako součin základní sazby a přirážek dle zvolených kritéríı. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

6 Úvod Data-mining, operační výzkum Data-mining - získávání netriviálních skrytých a potenciálně užitečných informací z (rozsáhlých) dat. Operační výzkum - pochopení a popis reálného problému pomocí vhodného matematického (pravděpodobnostního, statistického) modelu a jeho optimalizace, tj. nastavení parametrů vedoucí k žádané maximalizaci/minimalizaci sledovaného výstupu za daných omezení. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

7 Obsah 1 Úvod 2 Data Rodina exponenciálních rozdělení Odhad parametrů Kvalita modelu a testování hypotéz 3 Příklady zobecněných lineárních modelů Regresní model počtu pojistných událostí Regresní model výše škod 4 Optimální sazbování v neživotním pojištění Přístup založený na GLM Optimalizační přístup deterministický Optimalizační přístup stochastický 5 Reference 6 Dodatek M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

8 Aplikace zobecněných lineárních modelů v (neživotním) pojišťovnictví, Lineární regrese:? Logistická regrese: pravděpodobnost pojistné události, storna, nákupu. Poissonovská regrese (log-lineární model): očekávaný počet pojistných událostí, škodní frekvence, rezervování pomocí vývojových trojúhelníků škod. Gamma regrese: očekávaná výše pojistné události, průměrná očekávaná výše pojistné události. Analýza přežití: očekávaná doba do storna, doba do (následující) pojistné události. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

13 Reference Zápisky z přednášky (NSTP196), MFF UK, přednášející Doc. Mgr. Michal Kulich, Ph.D. M. Denuit, X. Maréchal, S. Pitrebois, J.-F. Walhin: Actuarial Modelling of Claim Counts: Risk Classification, Credibility and Bonus-Malus Systems. John Wiley & Sons, Chichester, P. McCullagh, J.A. Nelder: Generalized Linear Models. 2nd Ed. Chapman and Hall, London, P. de Jong, G. Z. Heller: Generalized Linear Models for Insurance Data. Cambridge University Press SAS/STAT 9.3: User s Guide. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

14 Reference Zápisky z přednášky (NSTP196), MFF UK, přednášející Doc. Mgr. Michal Kulich, Ph.D. M. Denuit, X. Maréchal, S. Pitrebois, J.-F. Walhin: Actuarial Modelling of Claim Counts: Risk Classification, Credibility and Bonus-Malus Systems. John Wiley & Sons, Chichester, P. McCullagh, J.A. Nelder: Generalized Linear Models. 2nd Ed. Chapman and Hall, London, P. de Jong, G. Z. Heller: Generalized Linear Models for Insurance Data. Cambridge University Press SAS/STAT 9.3: User s Guide. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

15 Software SAS: GENMOD Statistica: Generalized Linear Models (GLZ) IBM SPSS: GENLIN (ne GLM!!!) Mathematica: GeneralizedLinearModelFit R: glm... M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

16 Data Data Závisle proměnná (odezva): Y = (Y 1,..., Y n ) Nezávisle proměnné (prediktory, regresory): x i = (X i1,..., X im ) X 11..., X 1m X =.. X n1..., X nm Předpokládáme, že matice má plnou sloupcovou hodnost. Kvantitativní proměnné - např. věk, počet aktivních smluv, počet najetých kilometrů,... Často jsou kategorizovány kvůli nevhodnému rozdělení, odlehlým pozorováním nebo nelineritě vztahu mezi jimi a závisle proměnnou. Kvalitativní (kategoriální) proměnné - kódovány pomocí 0-1 dummy proměnných, např. pohlaví, region (kraj, okres),... Interakce - odlišný vliv regresoru pro různé kategorie jiného kategoriálního regresoru. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

17 Data Data Závisle proměnná (odezva): Y = (Y 1,..., Y n ) Nezávisle proměnné (prediktory, regresory): x i = (X i1,..., X im ) X 11..., X 1m X =.. X n1..., X nm Předpokládáme, že matice má plnou sloupcovou hodnost. Kvantitativní proměnné - např. věk, počet aktivních smluv, počet najetých kilometrů,... Často jsou kategorizovány kvůli nevhodnému rozdělení, odlehlým pozorováním nebo nelineritě vztahu mezi jimi a závisle proměnnou. Kvalitativní (kategoriální) proměnné - kódovány pomocí 0-1 dummy proměnných, např. pohlaví, region (kraj, okres),... Interakce - odlišný vliv regresoru pro různé kategorie jiného kategoriálního regresoru. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

18 Předpoklady Data Rozdělení Y i závisí na x i. Pozorování (Y i, x i ) jsou nezávislá. Pozorování Y i jsou nezávislá a x i jsou měřené konstanty - budeme nadále uvažovat. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

19 Data V databázi/vytořena nad databází Data Y Data Počet škod Pohlaví Počet obyvatel Věk (v letech) 2 muž muž žena žena M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

20 Data Bez absolutního členu Data Y Data Počet škod Pohlaví Region Věk žena muž velká malá venkov (v letech) města města M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

21 Data S absolutním členem Data Y Počet škod Abs.člen Pohlaví Region Věk žena velká malá (v letech) města města X M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

22 Chybějící hodnoty v datech Data Chybějící hodnoty: V závisle proměnné - pozorování obvykle vypadnou z odhadu modelu, je však možné dopočítat očekávanou odezvu. V nezávisle proměnných Kvantitativní - nahrazení chybějících hodnot, např. průměrem nebo pomocí sofistikovanějších metod 1. Kvalitativní (kategoriální) - vytvoření speciální kategorie. 1 Klasifikační nebo regresní stromy apod. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

23 Chybějící hodnoty v datech Data Chybějící hodnoty: V závisle proměnné - pozorování obvykle vypadnou z odhadu modelu, je však možné dopočítat očekávanou odezvu. V nezávisle proměnných Kvantitativní - nahrazení chybějících hodnot, např. průměrem nebo pomocí sofistikovanějších metod 1. Kvalitativní (kategoriální) - vytvoření speciální kategorie. 1 Klasifikační nebo regresní stromy apod. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

24 Příklad: Poissonovská regrese Regresní model počtu pojistných událostí Data Model očekávaného počtu pojistných událostí na smlouvě během jednoho roku v závislosti na tarifní skupině dle objemu motoru (TS): 5 kategoríı (do 1000, do 1350, do 1850, do 2500, nad 2500 ccm) stáří pojistníka kategorizované (vek): 3 kategorie (18-30, 30-65, 65 a více) pohlaví (pohlavi): 2 kategorie (1 - žena, 2 - muž) M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

25 Tři stavební elementy Data 1) Y i má rozdělení s hustotou z exponenciální rodiny { } yθi b(θ i ) f (y; θ i, ϕ) = exp + c(y, ϕ), y R, ϕ pro známé funkce b, c a neznámé parametry kanonický θ i a disperzní ϕ (jedna z možných parametrizací hustoty!). 2) Lineární prediktor m η i = X ij β j = x iβ, j=1 kde β j jsou neznámé parametry a X ij jsou známé hodnoty prediktorů. 3) Linková funkce (striktně monotónní, dvakrát diferencovatelná) E[Y i ] = µ i = g 1 (η i ). M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

28 Srovnání regresních modelů Data Lineární regrese Zobecněný lineární model Rozdělení: Y i N(µ i, σ 2 ) Y i EF(θ i, ϕ) Závislost: E[Y i ] = x i β E[Y i] = g 1 (x i β) Rozpyl: vary i = σ 2 vary i = ϕv (µ i ) M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

29 Rodina exponenciálních rozdělení Rodina exponenciálních rozdělení Pro náhodnou veličinu Y patřící do rodiny exponenciálních rozdělení s hustotou { } yθi b(θ i ) f (y; θ i, ϕ) = exp + c(y, ϕ), y R, (1) ϕ platí: Je-li b dvakrát spojitě diferencovatelná, potom E[Y ] = b (θ), var(y ) = ϕb (θ). Pomocí rozptylové funkce V (µ) = b [(b ) 1 (µ)] můžeme vztah pro rozptyl přepsat var(y ) = ϕv (µ). M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

30 Rodina exponenciálních rozdělení Rodina exponenciálních rozdělení Rodina exponenciálních rozdělení zahrnuje: Normální, gamma, inverzní Gaussovo, Poissonovo, alternativní, Chí-kvadrát, exponenciální, binomické, geometrické, multinomické, beta, se známým parametrem: Weibullovo, negativně binomické, Paretovo. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

31 Rodina exponenciálních rozdělení Rodina exponenciálních rozdělení Rodina exponenciálních rozdělení zahrnuje: Normální, gamma, inverzní Gaussovo, Poissonovo, alternativní, Chí-kvadrát, exponenciální, binomické, geometrické, multinomické, beta, se známým parametrem: Weibullovo, negativně binomické, Paretovo. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

32 Normální rozdělení Rodina exponenciálních rozdělení Y N(µ, σ 2 ): Pro y R } f (y; µ, σ 2 1 (y µ)2 ) = exp { 2πσ 2σ 2 b(θ) {}}{ yµ µ 2 /2 = exp }{{} σ 2 y 2 2σ log(2πσ2 ), }{{} ϕ kde θ = µ, b(θ) = µ 2 /2 a ϕ = σ 2. EY = b (θ) = µ c(y,ϕ) var(y ) = ϕb (θ) = σ 2, tj. rozptyl nezávisí na střední hodnotě V (µ) = 1. (jediné takové exponenciální rozdělení) M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

33 Normální rozdělení Rodina exponenciálních rozdělení Y N(µ, σ 2 ): Pro y R } f (y; µ, σ 2 1 (y µ)2 ) = exp { 2πσ 2σ 2 b(θ) {}}{ yµ µ 2 /2 = exp }{{} σ 2 y 2 2σ log(2πσ2 ), }{{} ϕ kde θ = µ, b(θ) = µ 2 /2 a ϕ = σ 2. EY = b (θ) = µ c(y,ϕ) var(y ) = ϕb (θ) = σ 2, tj. rozptyl nezávisí na střední hodnotě V (µ) = 1. (jediné takové exponenciální rozdělení) M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

34 Normální rozdělení Hustoty Rodina exponenciálních rozdělení N(0,1), N(0,2), N(0,4) M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

35 Gamma rozdělení Rodina exponenciálních rozdělení Y Γ(a, p): Pro 0 < y < f (y; a, p) = ap Γ(p) y p 1 exp { ay} = exp {(p 1) log y ay + p log a log Γ(p)} { y( a/p) + log a/p = exp 1/p +p log p log Γ(p) + (p 1) log y} kde θ = a/p, ϕ = 1/p, b(θ) = log( θ). EY = b (θ) = 1/θ = p/a = µ var(y ) = ϕb (θ) = p/a 2 = µ 2 /p, tj. rozptyl závisí na střední hodnotě V (µ) = µ 2. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

36 Gamma rozdělení Rodina exponenciálních rozdělení Y Γ(a, p): Pro 0 < y < f (y; a, p) = ap Γ(p) y p 1 exp { ay} = exp {(p 1) log y ay + p log a log Γ(p)} { y( a/p) + log a/p = exp 1/p +p log p log Γ(p) + (p 1) log y} kde θ = a/p, ϕ = 1/p, b(θ) = log( θ). EY = b (θ) = 1/θ = p/a = µ var(y ) = ϕb (θ) = p/a 2 = µ 2 /p, tj. rozptyl závisí na střední hodnotě V (µ) = µ 2. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

37 Gamma rozdělení Parametrizace v SASu Rodina exponenciálních rozdělení Y Γ(µ, ν): Pro 0 < y < f (y; µ, ν) = 1 Γ(ν)y ( ) yν ν { exp yν }, µ µ kde a = ν/µ a p = ν, ϕ = ν 1, var(y ) = µ 2 /ν M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

38 Gamma rozdělení Hustoty Rodina exponenciálních rozdělení Gamma(2,2), Gamma(4,2), Gamma(6,2) M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

39 Inverzní Gaussovo rozdělení Rodina exponenciálních rozdělení Y IG(µ, λ): Pro 0 < y < } λ f (y; µ, λ) = { 2πy 3 exp λ(y µ)2 2µ 2 y { λy 2 = exp 2µ 2 y + λµy µ 2 y λµ2 2µ 2 y log λ 1 } 3 log 2πy 2 { y/( 2µ 2 ) + 1/µ = exp λ 1/λ 2y log λ 1 } 2 log 2πy 3, kde θ = 1/(2µ 2 ), b(θ) = 2θ a ϕ = 1/λ. EY = b (θ) = 1/ 2θ = ( 2θ) 1/2 = µ var(y ) = ϕb (θ) = ( 2θ) 3/2 /λ = µ 3 /λ, tj. rozptyl závisí na střední hodnotě V (µ) = µ 3. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

40 Inverzní Gaussovo rozdělení Rodina exponenciálních rozdělení Y IG(µ, λ): Pro 0 < y < } λ f (y; µ, λ) = { 2πy 3 exp λ(y µ)2 2µ 2 y { λy 2 = exp 2µ 2 y + λµy µ 2 y λµ2 2µ 2 y log λ 1 } 3 log 2πy 2 { y/( 2µ 2 ) + 1/µ = exp λ 1/λ 2y log λ 1 } 2 log 2πy 3, kde θ = 1/(2µ 2 ), b(θ) = 2θ a ϕ = 1/λ. EY = b (θ) = 1/ 2θ = ( 2θ) 1/2 = µ var(y ) = ϕb (θ) = ( 2θ) 3/2 /λ = µ 3 /λ, tj. rozptyl závisí na střední hodnotě V (µ) = µ 3. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

41 Inverzní Gaussovo rozdělení Hustoty Rodina exponenciálních rozdělení IG(5,1), IG(5,5), IG(5,30) M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

42 Poissonovo rozdělení Rodina exponenciálních rozdělení Y Po(λ): Pro y = 0, 1, 2,... f (y; λ) = λy e λ y! { y log λ λ = exp 1 kde θ = log λ, b(θ) = e θ a ϕ = 1. EY = b (θ) = e θ = λ. } log y!, var(y ) = ϕb (θ) = e θ = λ, tj. rozptyl závisí na střední hodnotě V (µ) = µ. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

43 Poissonovo rozdělení Rodina exponenciálních rozdělení Y Po(λ): Pro y = 0, 1, 2,... f (y; λ) = λy e λ y! { y log λ λ = exp 1 kde θ = log λ, b(θ) = e θ a ϕ = 1. EY = b (θ) = e θ = λ. } log y!, var(y ) = ϕb (θ) = e θ = λ, tj. rozptyl závisí na střední hodnotě V (µ) = µ. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

44 Poissonovo rozdělení Hustoty Rodina exponenciálních rozdělení Po(3), Po(10), Po(20) M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

45 Alternativní rozdělení Rodina exponenciálních rozdělení Y Alt(p): Pro y {0, 1} kde θ = log f (y; p) = p y (1 p) 1 y { } y log p 1 p + log(1 p) = exp + 0, 1 p 1 p, b(θ) = log(1 + eθ ) a ϕ = 1. EY = b (θ) = eθ = p. 1+e θ var(y ) = ϕb (θ) = p(1 p), tj. rozptyl závisí na střední hodnotě V (µ) = µ(1 µ). M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

46 Alternativní rozdělení Rodina exponenciálních rozdělení Y Alt(p): Pro y {0, 1} kde θ = log f (y; p) = p y (1 p) 1 y { } y log p 1 p + log(1 p) = exp + 0, 1 p 1 p, b(θ) = log(1 + eθ ) a ϕ = 1. EY = b (θ) = eθ = p. 1+e θ var(y ) = ϕb (θ) = p(1 p), tj. rozptyl závisí na střední hodnotě V (µ) = µ(1 µ). M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

47 Rodina exponenciálních rozdělení e θ 1+e θ M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

48 Přehled rozdělení Rodina exponenciálních rozdělení Rozdělení Hustota Disperze Kanonický Střední Rozptylová ϕ link θ(µ) hodnota µ(θ) funkce V (µ) N(µ, σ 2 ) 1 2πσ e (y µ)2 2σ 2 σ 2 µ θ 1 Po(µ) Γ(µ, ν) IG(µ, λ) 1 Γ(ν)y µ y e µ y! 1 log(µ) e θ µ ( ) ν yν µ e yν µ µ 2 ν µ θ λ e 2πy 3 λ(y µ) 2 2µ 2 y 1 λ 1 2µ 2 1 2θ µ 3 Alt(µ) µ y (1 µ) 1 y 1 log µ 1 µ e θ 1+e θ µ(1 µ) Kanonický link zjednodušuje některé výpočty a dosažení teoretických výsledků. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

49 Srovnání regresních modelů Rodina exponenciálních rozdělení Lineární regrese Zobecněný lineární model Rozdělení: Y N(µ, σ 2 ) Y EF(θ, φ) Závislost: E[Y ] = x β E[Y ] = g 1 (x β) Rozpyl: vary = σ 2 vary = ϕv (µ) M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

50 Linkové funkce Rodina exponenciálních rozdělení identita: g(µ) = µ logaritmus: g(µ) = log(µ) logit: g(µ) = log(µ/(1 µ)) probit: g(µ) = Φ 1 (µ), kde Φ je distribuční funkce standardního normálního rozdělení M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

51 Porovnání inverzí linků Rodina exponenciálních rozdělení Logit (modrá), Probit (červená) M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

52 Srovnání regresních modelů Rodina exponenciálních rozdělení Lineární regrese Zobecněný lineární model Rozdělení: Y N(µ, σ 2 ) Y EF(θ, φ) Závislost: E[Y ] = x β E[Y ] = g 1 (x β) Rozpyl: vary = σ 2 vary = ϕv (µ) M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

53 Rozdělení a rozptylové funkce Rodina exponenciálních rozdělení Rozptylová funkce zachycuje vztah mezi střední hodnotou a rozptylem, zároveň jednoznačně určuje rozdělení: normální: V (µ) = 1 Poissonovo: V (µ) = µ gamma: V (µ) = µ 2 inverzní Gaussovo: V (µ) = µ 3 binomické: V (µ) = µ(1 µ) složené Poisson-gamma rozdělení (podmnožina Tweedie): V (µ) = µ p, p (1, 2) M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

54 Srovnání regresních modelů Rodina exponenciálních rozdělení Lineární regrese Rozdělení: normální Y i N(µ i, σ 2 ) Střední hodnota: EY i = µ i Linková funkce: identita g(µ) = µ Rozptylová funkce: V (µ) = 1 Disperzní parametr: ϕ = σ 2 Poissonovská regrese Rozdělení: Poissonovo Y i Po(λ i ) Střední hodnota: EY i = λ i Linková funkce: g(µ) = log(µ) Rozptylová funkce: V (µ) = µ Disperzní parametr: ϕ = 1 Logistická regrese Rozdělení: binomické (alternativní): Y i Alt(p i ) Střední hodnota: EY i = p i Linková funkce: logit g(µ) = log(µ/(1 µ)) Rozptylová funkce: V (µ) = µ(1 µ) Disperzní parametr: ϕ = 1 M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

57 Parametrizace Rodina exponenciálních rozdělení η = x β η = g(µ) µ = b (θ) β η µ θ µ = g 1 (η) θ = (b ) 1 (µ) Kanonický link splňuje g(µ) = θ, tedy musí platit g(µ) = (b ) 1 (µ) a také g (µ) = 1 V (µ). M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

58 Offset Rodina exponenciálních rozdělení Offset Člen v lineárním prediktoru s pevně daným koeficientem. Využití: Korekce modelu s ohledem na expozici v riziku (počet rizik, délka platnosti smlouvy). Například pro expozici n i (část roku) i tého řádku a logaritmický link položíme η i = ln n i + x iβ, µ i = e η i = n i e x i β. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

59 Váhy pozorování Rodina exponenciálních rozdělení Při zahrnutí apriorních vah pozorování w platí E[Y ] = b (θ), var(y ) = ϕb (θ) = w ϕv (µ) w. Využití: Modelování očekávané průměrné výše škody (w = počet škod) nebo škodní frekvence (w = délka expozice). M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

60 Poissonovská regrese Rodina exponenciálních rozdělení Závisle proměnná : počet pojistných událostí na smlouvě za 1 rok Nezávisle proměnné : viz data Rozdělení : Poissonovo Y i Po(λ i ) Střední hodnota: EY i = λ i Linková funkce : g(µ) = log(µ) Rozptylová funkce: V (µ) = µ Disperzní parametr: ϕ = 1 Offset : logaritmus doby platnosti smlouvy stačí zadat softwaru, ostatní je již určeno Využití: modelování (odhad) očekávaného počtu pojistných událostí během daného období, obvykle jednoho roku M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

61 Syntax v SASu Rodina exponenciálních rozdělení M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

62 Odhad parametrů Věrohodnostní funkce Odhad parametrů Y i f (y; θ i, ϕ) nezávislé, věrohodnostní funkce n L(Y; β, ϕ) = f (Y i ; θ i, ϕ) a logaritmická věrohodnostní funkce i=1 l(y; β, ϕ) = n log(f (Y i ; θ i, ϕ)) = i=1 n i=1 Y i θ i b(θ i ) ϕ + c(y i, ϕ), kde hustota závisí na prediktorech skrze vztah θ i = (b ) 1 (g 1 (x iβ)). M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

63 Parametrizace Odhad parametrů η = x β η = g(µ) µ = b (θ) β η µ θ µ = g 1 (η) θ = (b ) 1 (µ) M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

64 Derivace věrohodnostní funkce Odhad parametrů l β j = n i=1 log f θ i θ i µ i µ i η i η i β j = n i=1 (Y i µ i )X ij g (µ i )ϕv (µ i ), kde f = Y i b (θ i ) = Y i µ i, θ i ϕ ϕ θ i 1 = µ i b (θ i ) = 1 V (µ i ), µ i 1 = η i g (µ i ), η i = X ij. β j M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

65 Odhad parametrů Odhad parametrů Metoda maximální věrohodnosti - maximalizace věrohodnostní funkce (index k značí iteraci): Metoda iterativních vážených nejmenších čtverců ˆβ (k) = (X W (k 1) X) 1 X W (k 1) Z (k 1). kde W je váhová matice a Z je linearizovaná odezva. Iterační Newtonův-Raphsonův algoritmus ˆβ (k) = ˆβ (k 1) (H (k 1) ) 1 (k 1), kde značí gradient logaritmické věrohodnostní funkce a H Hessovu matici. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

68 Poissonovská regrese Analýza odhadů parametrů Odhad parametrů Par. DF Odhad Stand. Waldovy Chí-kv. Pr > ChíKv chyba meze intrv. spol. Int TS <.0001 TS <.0001 TS <.0001 TS <.0001 TS <.0001 vek <.0001 vek <.0001 vek pohlavi <.0001 pohlavi Škála M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

69 Interpretace parametrů Odhad parametrů TS = 1 (do 1000 ccm), vek = 1 (18-30 let), pohlavi = 1 (žena) η = = µ = exp{ } = exp{ } = = Pravděpodobnosti v Poissonově rozdělení s parametrem λ = P(Y = 0) = 0, 9300 P(Y = 1) = 0, 0675 P(Y = 2) = 0, 0025 P(Y = 3) = 5, P(Y = 4) = 1, identických smluv platných 1 rok - očekáváme 7.26 škody za rok M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

72 Interpretace parametrů Odhad parametrů TS = 1 (do 1000 ccm), vek = 1 (18-30 let), pohlavi = 2 (muž) η = 2, , = 2, 3946 µ = exp{ 2, , } = exp{ 2, 3946} = 0, , = 0, TS = 5 (nad 2500 ccm), vek = 1 (18-30 let), pohlavi = 2 (muž) η = 2, , = 2, 1584 µ = exp{ 2, , } = exp{ 2, 1584} = 0, , = 0, M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

73 Interpretace parametrů Odhad parametrů TS = 1 (do 1000 ccm), vek = 1 (18-30 let), pohlavi = 2 (muž) η = 2, , = 2, 3946 µ = exp{ 2, , } = exp{ 2, 3946} = 0, , = 0, TS = 5 (nad 2500 ccm), vek = 1 (18-30 let), pohlavi = 2 (muž) η = 2, , = 2, 1584 µ = exp{ 2, , } = exp{ 2, 1584} = 0, , = 0, M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

74 Testy významnosti parametrů Waldův test Kvalita modelu a testování hypotéz Asymptotický test hypotézy H 0 : β j = c (obvykle c = 0) - Waldův test: (β j c) 2 ϕvar(β j ) χ2 1. Asymptotický test hypotézy Cβ = c, kde matice C má q řádků (Cβ c) [ϕc(x WX) 1 C ] 1 (Cβ c) χ 2 q. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

75 Testy významnosti parametrů Waldův test Kvalita modelu a testování hypotéz Asymptotický test hypotézy H 0 : β j = c (obvykle c = 0) - Waldův test: (β j c) 2 ϕvar(β j ) χ2 1. Asymptotický test hypotézy Cβ = c, kde matice C má q řádků (Cβ c) [ϕc(x WX) 1 C ] 1 (Cβ c) χ 2 q. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

76 Poissonovská regrese Analýza odhadů parametrů Kvalita modelu a testování hypotéz Par. DF Odhad Stand. Waldovy Chí-kv. Pr > ChíKv chyba meze intrv. spol. Int TS <.0001 TS <.0001 TS <.0001 TS <.0001 TS <.0001 vek <.0001 vek <.0001 vek pohlavi <.0001 pohlavi Škála M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

77 Kvalita modelu Saturovaný model Kvalita modelu a testování hypotéz Saturovaný model = počet parametrů je roven počtu pozorování 2 a platí ˆµ i = Y i, ˆθ i = (b ) 1 (Y i ). Věrohodnost saturovaného modelu = největší dosažitelná věrohodnost pro daná data l (Y) = n i=1 Y i ˆθ i b(ˆθ i ) ϕ + c(y i, ϕ) 2 Obecně pro model neplatí vlastnosti ML odhadů. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

78 Kvalita modelu Kvalita modelu a testování hypotéz Škálovaná deviance udávající ztrátu na logaritmické věrohodnosti vůči saturovanému modelu D (Y, ˆβ) = 2(l (Y) l(y, ˆβ)) = 1 n Y i (ˆθ i ˆθ i ) (b(ˆθ i ) b(ˆθ i )), ϕ kde ˆθ i = (b ) 1 (g 1 (x i ˆβ)). Deviance i=1 D(Y, ˆβ) = ϕd (Y, ˆβ). M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

79 Kvalita modelu Kvalita modelu a testování hypotéz Škálovaná deviance udávající ztrátu na logaritmické věrohodnosti vůči saturovanému modelu D (Y, ˆβ) = 2(l (Y) l(y, ˆβ)) = 1 n Y i (ˆθ i ˆθ i ) (b(ˆθ i ) b(ˆθ i )), ϕ kde ˆθ i = (b ) 1 (g 1 (x i ˆβ)). Deviance i=1 D(Y, ˆβ) = ϕd (Y, ˆβ). M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

80 Akaikeho informační kritérium Kvalita modelu a testování hypotéz Akaikeho informační kritérium slouží pro porovnání modelů AIC = 2(l(Y; ˆβ, ˆϕ) m). Preferujeme model s minimální hodnotou AIC. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

81 Odhad disperzního parametru Kvalita modelu a testování hypotéz Vhodné vlastnosti má Pearsonův odhad ve tvaru ˆϕ = 1 n m n i=1 (Y i ˆµ i ) 2. V (ˆµ i ) Využívá se taky odhad založený na devianci ˆϕ = D(Y, ˆβ) n m. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

82 Poissonovská regrese Kritéria pro hodnocení dobré shody Kvalita modelu a testování hypotéz Kritérium DF Hodnota Hodnota/DF Deviance 5E Scaled Deviance 5E Pearsonuv Chí-kvad 5E Scaled Pearson X2 5E Log verohodnost M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

83 Testování podmodelů Test poměrem věrohodností Kvalita modelu a testování hypotéz Je-li ˆβ odhad parametrů v modelu a ˆβ odhad parametrů v podmodelu, potom (asymptoticky) kde d je rozdíl počtu parametrů. F-statistika (asymptoticky) D (Y, ˆβ ) D (Y, ˆβ) χ 2 d, D(Y, ˆβ ) D(Y, ˆβ) d ˆϕ F d,n m, kde m je počet parametrů v modelu, ze kterého byl odhadnut ˆϕ. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

84 Testování podmodelů Test poměrem věrohodností Kvalita modelu a testování hypotéz Je-li ˆβ odhad parametrů v modelu a ˆβ odhad parametrů v podmodelu, potom (asymptoticky) kde d je rozdíl počtu parametrů. F-statistika (asymptoticky) D (Y, ˆβ ) D (Y, ˆβ) χ 2 d, D(Y, ˆβ ) D(Y, ˆβ) d ˆϕ F d,n m, kde m je počet parametrů v modelu, ze kterého byl odhadnut ˆϕ. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

85 Poissonovská regrese Statistiky LR pro analýzu typu 1 Kvalita modelu a testování hypotéz Zdroj Deviance DF Chí-kvadrát Pr > ChíKv TS vek <.0001 pohlavi <.0001 Postupné odebírání regresorů (záleží na pořadí v zadání). M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

86 Poissonovská regrese Statistiky LR pro analýzu typu 3 Kvalita modelu a testování hypotéz Zdroj DF Chí-kvadrát Pr > ChíKv TS <.0001 vek <.0001 pohlavi <.0001 Test významnosti regresoru při ponechání všech ostatních regresorů v modelu (nezáleží na pořadí). M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

87 Obsah Příklady zobecněných lineárních modelů 1 Úvod 2 Data Rodina exponenciálních rozdělení Odhad parametrů Kvalita modelu a testování hypotéz 3 Příklady zobecněných lineárních modelů Regresní model počtu pojistných událostí Regresní model výše škod 4 Optimální sazbování v neživotním pojištění Přístup založený na GLM Optimalizační přístup deterministický Optimalizační přístup stochastický 5 Reference 6 Dodatek M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

88 Data Příklady zobecněných lineárních modelů smluv povinného ručení (pojištění odpovědnosti z provozu motorového vozidla) Simulovaná dle mírně upravených reálných charakteristik Závisle proměnné: počet a výše škod za poslední rok, příznak storna Nezávisle proměnné: tarifní skupina dle objemu motoru (TS): 5 kategoríı (do 1000, do 1350, do 1850, do 2500, nad 2500 ccm) stáří pojistníka spojité (veks): let stáří pojistníka (vek): 3 kategorie (18-30, 30-65, 65 a více) velikosti místa bydliště (region): 4 kategorie (nad , nad , nad 5 000, do 5 000) pohlaví (pohlavi): 2 kategorie (1 - žena, 2 - muž) M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

89 Příklady zobecněných lineárních modelů Postup konstrukce zobecněného lineárního modelu 1 Vyberte rozdělení 2 Vyberte link 3 Vyberte nezávisle proměnné 4 Odhadněte parametry 5 Posuďte kvalitu modelu 6 Iterujte od vhodného kroku M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

90 Příklady zobecněných lineárních modelů Poissonovská regrese Regresní model počtu pojistných událostí Závisle proměnná : počet pojistných událostí na smlouvě za 1 rok Nezávisle proměnné : viz data Rozdělení : Poissonovo Y i Po(λ i ) Střední hodnota: EY i = λ i Linková funkce : g(µ) = log(µ) Rozptylová funkce: V (µ) = µ Disperzní parametr: ϕ = 1 Offset : logaritmus doby platnosti smlouvy stačí zadat softwaru, ostatní je již určeno Využití: modelování (odhad) očekávaného počtu pojistných událostí během daného období, obvykle jednoho roku M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

91 Příklady zobecněných lineárních modelů Poissonovská regrese Regresní model počtu pojistných událostí Regresní model počtu pojistných událostí Model očekávaného počtu pojistných událostí na smlouvě během jednoho roku v závislosti na tarifní skupině dle objemu motoru (TS): 5 kategoríı (do 1000, do 1350, do 1850, do 2500, nad 2500 ccm) stáří pojistníka kategorizované (vek): 3 kategorie (18-30, 30-65, 65 a více) pohlaví (pohlavi): 2 kategorie (1 - žena, 2 - muž) M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

92 Syntax v SASu Příklady zobecněných lineárních modelů Regresní model počtu pojistných událostí M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

93 Příklady zobecněných lineárních modelů Poissonovská regrese Kritéria pro hodnocení dobré shody Regresní model počtu pojistných událostí Kritérium DF Hodnota Hodnota/DF Deviance 5E Scaled Deviance 5E Pearsonuv Chí-kvad 5E Scaled Pearson X2 5E Log verohodnost M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

94 Příklady zobecněných lineárních modelů Poissonovská regrese Analýza odhadů parametrů Regresní model počtu pojistných událostí Par. DF Odhad Stand. Waldovy Chí-kv. Pr > ChíKv chyba meze intrv. spol. Int TS <.0001 TS <.0001 TS <.0001 TS <.0001 TS <.0001 vek <.0001 vek <.0001 vek pohlavi <.0001 pohlavi Škála M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

95 Příklady zobecněných lineárních modelů Interpretace parametrů Regresní model počtu pojistných událostí TS = 1 (do 1000 ccm), vek = 1 (18-30 let), pohlavi = 1 (žena) η = = µ = exp{ } = exp{ } = = Pravděpodobnosti v Poissonově rozdělení s parametrem λ = P(Y = 0) = 0, 9300 P(Y = 1) = 0, 0675 P(Y = 2) = 0, 0025 P(Y = 3) = 5, P(Y = 4) = 1, M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

96 Příklady zobecněných lineárních modelů Interpretace parametrů Regresní model počtu pojistných událostí TS = 1 (do 1000 ccm), vek = 1 (18-30 let), pohlavi = 1 (žena) η = = µ = exp{ } = exp{ } = = Pravděpodobnosti v Poissonově rozdělení s parametrem λ = P(Y = 0) = 0, 9300 P(Y = 1) = 0, 0675 P(Y = 2) = 0, 0025 P(Y = 3) = 5, P(Y = 4) = 1, M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

97 Příklady zobecněných lineárních modelů Interpretace parametrů Regresní model počtu pojistných událostí TS = 1 (do 1000 ccm), vek = 1 (18-30 let), pohlavi = 2 (muž) η = 2, , = 2, 3946 µ = exp{ 2, , } = exp{ 2, 3946} = 0, , = 0, TS = 5 (nad 2500 ccm), vek = 1 (18-30 let), pohlavi = 2 (muž) η = 2, , = 2, 1584 µ = exp{ 2, , } = exp{ 2, 1584} = 0, , = 0, M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

98 Příklady zobecněných lineárních modelů Interpretace parametrů Regresní model počtu pojistných událostí TS = 1 (do 1000 ccm), vek = 1 (18-30 let), pohlavi = 2 (muž) η = 2, , = 2, 3946 µ = exp{ 2, , } = exp{ 2, 3946} = 0, , = 0, TS = 5 (nad 2500 ccm), vek = 1 (18-30 let), pohlavi = 2 (muž) η = 2, , = 2, 1584 µ = exp{ 2, , } = exp{ 2, 1584} = 0, , = 0, M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

99 Příklady zobecněných lineárních modelů Poissonovská regrese Statistiky LR pro analýzu typu 1 Regresní model počtu pojistných událostí Zdroj Deviance DF Chí-kvadrát Pr > ChíKv TS vek <.0001 pohlavi <.0001 Postupné odebírání regresorů (záleží na pořadí v zadání). M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

100 Příklady zobecněných lineárních modelů Poissonovská regrese Statistiky LR pro analýzu typu 3 Regresní model počtu pojistných událostí Zdroj DF Chí-kvadrát Pr > ChíKv TS <.0001 vek <.0001 pohlavi <.0001 Test významnosti regresoru při ponechání všech ostatních regresorů v modelu (nezáleží na pořadí). M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

101 Gamma regrese Regresní model výše škod Příklady zobecněných lineárních modelů Regresní model výše škod Model očekávané výše škody z pojistné události na smlouvě v závislosti na tarifní skupině dle objemu motoru (TS): 5 kategoríı (do 1000, do 1350, do 1850, do 2500, nad 2500 ccm) M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

102 Gamma regrese Příklady zobecněných lineárních modelů Regresní model výše škod Závisle proměnná: spojitá kladná Rozdělení: Y i Γ(µ, ν) Střední hodnota: EY i = µ Linková funkce: g(µ) = log(µ) (není kanonický link) Rozptylová funkce: V (µ) = µ 2 Disperzní parametr: ϕ = 1/ν Využití: modelování (odhad) očekávané výše pojistné události M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

103 Příklady zobecněných lineárních modelů Regresní model výše škod Gamma regrese Kritéria pro hodnocení dobré shody (ML odhad parametru měřítka) Kritérium DF Hodnota Hodnota/DF Deviance Scaled Deviance Pearson Chi-Square Scaled Pearson X M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

104 Příklady zobecněných lineárních modelů Regresní model výše škod Gamma regrese Analýza odhadů parametrů (různé odhady parametru měřítka) Par. DF Odhad Stand. Waldovy Chí-kv. Pr > ChíKv chyba meze intrv. spol. Int TS <.0001 TS <.0001 TS E7 <.0001 TS E7 <.0001 TS E7 <.0001 Scale Scale (Dev), 2 (ML) M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

105 Složené rozdělení Příklady zobecněných lineárních modelů Regresní model výše škod Pro složené rozdělení na smlouvě L i = N i n=1 X in, kde L i, X in jsou pro dané i nezávislé, platí µ i = E[L i ] = E[N i ] E[X i1 ], σ 2 i = var(l i ) = E[N i ] var[x i1 ] + (E[X i1 ]) 2 var[n i ]. Pro kmen (nezávislých) smluv dostaneme L = n i=1 L i E[L] = var(l) = n E[L i ], i=1 n var(l i ). i=1 M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

106 Obsah Optimální sazbování v neživotním pojištění 1 Úvod 2 Data Rodina exponenciálních rozdělení Odhad parametrů Kvalita modelu a testování hypotéz 3 Příklady zobecněných lineárních modelů Regresní model počtu pojistných událostí Regresní model výše škod 4 Optimální sazbování v neživotním pojištění Přístup založený na GLM Optimalizační přístup deterministický Optimalizační přístup stochastický 5 Reference 6 Dodatek M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

107 Optimální sazbování v neživotním pojištění Tarifní třídy Vytváříme sazebník na základě S + 1 segmentačních kritéríı, která významně odlišují rozdělení úhrnu škod. Nechť i 0 I 0, např. tarifní skupiny I 0 = { A1, A2, A3, A4, A5 }, i 1 I 1,..., i S I S, např. věk I 1 = { let, let, 65 a více let } Označíme I = (i 0, i 1,..., i S ) tarifní třídu, kde I I = I 0 I 1 I S. Nechť W I počet smluv ve třídě I. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

108 Optimální sazbování v neživotním pojištění Složené rozdělení úhrnu škod Střední hodnota a rozptyl Úhrn škod pro tarifní třídu I s expozicí W I během jednoho roku L T I = W I w=1 N I,w L I,w, L I,w = X I,n,w, kde N I,w značí náhodný počet škod na smlouvě během jednoho roku a X I,n,w je náhodná výše škody (claim severity). Předpokládáme, že všechny náhodné veličiny jsou nezávislé. Nechť v tarifní třídě I mají N I,w stejné rozdělení pro všechny w a X I,n,w mají stejné rozdělení pro všechny n a w. Označíme N I, X I nezávislé kopie N I,w, X I,n,w. Dostáváme známé vztahy pro střední hodnotu a rozptyl složeného rozdělení úhrnu škod: µ I = IE[L I ] = IE[N I ]IE[X I ], µ T I = IE[L T I ] = W I µ I, n=1 σ 2 I = var(l I ) = IE[N I ]var(x I ) + (IE[X I ]) 2 var(n I ), (σ T I ) 2 = var(l T I ) = W I σ 2 I. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

109 Optimální sazbování v neživotním pojištění Multiplikativní sazebník Označíme úhrn pojistného TP I = W I Pr I pro třídu I. Multiplikativní sazebník předpokládá, že výsledná sazba je složena multiplikativním způsobem ze základní sazby Pr i0 a nezáporných přirážek e i1,..., e is, tj. I = (i 0, i 1,..., i S ). Pr I = Pr i0 (1 + e i1 ) (1 + e is ), M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

110 Optimální sazbování v neživotním pojištění Předepsaný škodní průběh Naším cílem je najít základní hladiny pojistného a hodnoty přirážkových koeficientů takové, aby bylo zaručen předepsaný škodný průběh LR, ˆ tj. chceme splnit náhodná omezení (L T I jsou náhodné veličiny) L T I TP I ˆ LR for all I I. (2) Přístup umožňuje předepsat různé škodní průběhy pro různé třídy. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

111 Optimální sazbování v neživotním pojištění Omezení střední hodnota a pravděpodobnost Obvykle je pojistné nastavováno s ohledem na střední hodnotu, tj. IE[L T I ] = IE[L I ] LR TP I Pr ˆ for all I I. (3) I Tento přístup však neberu v úvahu rizikovost jednotlivých skupin. Přirozený je požadavek, aby bylo omezení s předepsaným škodním průběhem (2) splněno s velkou pravděpodobností P ( L T I TP I ˆ LR ) 1 ε, for all I I, (4) kde ε (0, 1), obvykle ε malé (0.1, 0.05). Jiný přístup může předepsat škodní průběh pro celou line of business (LoB) s vysokou pravděpodobností: P ( I I LT I I I TP I ˆ LR ) 1 ε. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

112 Optimální sazbování v neživotním pojištění Modely s logaritmickým linkem Přístup založený na GLM Pro modelování očekávaného počtu a očekávané výše škod využijeme zobecněné lineární modely s logaritmickým linkem g(µ) = ln µ. Tedy předpokládáme, že pro každou třídu I = (i 0, i 1,..., i S ) platí IE[N I ] = exp{λ i0 + λ i1 + + λ is }, IE[X I ] = exp{γ i0 + γ i1 + + γ is }, kde λ i, γ i jsou neznámé koeficienty. Tedy pro očekávaný úhrn škod na smlouvě během jednoho roku platí IE[L I ] = exp{λ i0 + γ i0 + λ i1 + γ i1 + + λ is + γ is } = exp{λ i0 + γ i0 } exp{λ i1 + γ i1 } exp{λ is + γ is } M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

113 Optimální sazbování v neživotním pojištění Multiplikativní sazebník Přístup založený na GLM Základní sazby a přirážky získáme po vhodném znormování koeficientů ze zobecněných lineárních modelů: Pr i0 = exp{λ i 0 + γ i0 } ˆ LR e is = S min exp(λ i ) i I s s=1 S min exp(γ i ), i I s s=1 exp(λ is ) min is Is exp(λ is ) exp(γ is ) min is Is exp(γ is ) 1, Při této volbě je omezení na maximální škodní průběh (3) splněno ve střední hodnotě. Při praktickém odhadu jsou teoretické (neznámé) koeficienty nahrazeny odhady. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

114 Optimální sazbování v neživotním pojištění Segmentační kritéria POV Přístup založený na GLM Uvažujeme 60 tisíc smluv pojištění odpovědnost za škodu způsobenou provozem vozidla (povinné ručení). Následující kritéria jsou využita pro tvorbu multiplikativního sazebníku: tarifní skupině dle objemu motoru (TG): 5 kategoríı (do 1000, do 1350, do 1850, do 2500, nad 2500 ccm) hlavní kritérium pro základní sazby stáří pojistníka kategorizované (age): 3 kategorie (18-30, 30-65, 65 a více) region kategorizované (region): 4 kategorie (nad 500 tisíc, nad 50 tisíc, nad 5 tisíc, do 5 tisíc obyvatel) pohlaví (gender): 2 kategorie (1 - žena, 2 - muž) M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

115 Optimální sazbování v neživotním pojištění Odhady parametrů Přístup založený na GLM Overd. Poisson Gamma Inv. Gaussi Param. Level Est. Std.Err. Exp Est. Std.Err. Exp Est. Std.Err. TG TG TG TG TG region region region region age age age gender gender Scale M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

116 Optimální sazbování v neživotním pojištění Multiplikativní sazebník Přístup založený na GLM GLM EV model SP model (ind.) SP model (col.) G IG G IG G IG G IG TG TG TG TG TG region region region region age age age gender gender M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

117 Optimální sazbování v neživotním pojištění Celková ztráta na smlouvě během jednoho roku Přístup založený na GLM Úhrn škod (celková ztráta) na slouvě povinného ručení během jednoho roku může být složena následujícím způsobem: [ ] L I = (1 + vc I ) (1 + inf z )L z I + (1 + inf m )L m I + fc I, kde škody na zdraví L z I a škody na majetku L m I jsou modelovány odděleně, zohledňujeme odlišné inflace škod na zdraví inf z a na majetku inf m, proporcionální vc I a fixní náklady fc I. M.Branda (KPMS MFF UK) Opti sazbování v NP / 115

Pokazać jeszcze