Statistika (KMI/PSTAT)
|
|
|
- Bogdan Smoliński
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Cvičení sedmé (a asi i osmé a doufám, že ne deváté) aneb Náhodná veličina, rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny
2 Náhodná veličina Náhodná veličina Studenti skládají písemku sestávající ze tří úloh. Za každou z nich mohou získat až dva body. Celkem tedy mohou při písemce získat nejvýše šest bodů. Víme, že jeden student získal 0 bodů, dva získali 1 bod, 4 studenti získali 2 body, šest studentů 3 body, čtyři studenti 4 body, dva studenti 5 bodů a jeden student 6 bodů. Náhodně vybereme jednu písemku. Označme symbolem X počet bodů, které má tato vybraná písemka. Jaké hodnoty X můžeme očekávat a jaké jsou jejich pravděpodobnosti? Co znamená symbol P (X = 0)? Jakému číslu je rovna tato hodnota? Čemu jsou rovny hodnoty P (X = 1), P (X = 2), P (X = 3),...?
3 Náhodná veličina Náhodná veličina Studenti skládají písemku sestávající ze tří úloh. Za každou z nich mohou získat až dva body. Celkem tedy mohou při písemce získat nejvýše šest bodů. Víme, že jeden student získal 0 bodů, dva získali 1 bod, 4 studenti získali 2 body, šest studentů 3 body, čtyři studenti 4 body, dva studenti 5 bodů a jeden student 6 bodů. Náhodně vybereme jednu písemku. Označme symbolem X počet bodů, které má tato vybraná písemka. Jaké hodnoty X můžeme očekávat a jaké jsou jejich pravděpodobnosti? Co znamená symbol P (X = 0)? Jakému číslu je rovna tato hodnota? Čemu jsou rovny hodnoty P (X = 1), P (X = 2), P (X = 3),...? x Σ P (X = x)
4 Náhodná veličina Náhodná veličina Studenti skládají písemku sestávající ze tří úloh. Za každou z nich mohou získat až dva body. Celkem tedy mohou při písemce získat nejvýše šest bodů. Víme, že jeden student získal 0 bodů, dva získali 1 bod, 4 studenti získali 2 body, šest studentů 3 body, čtyři studenti 4 body, dva studenti 5 bodů a jeden student 6 bodů. Náhodně vybereme jednu písemku. Označme symbolem X počet bodů, které má tato vybraná písemka. Jaké hodnoty X můžeme očekávat a jaké jsou jejich pravděpodobnosti? Co znamená symbol P (X = 0)? Jakému číslu je rovna tato hodnota? Čemu jsou rovny hodnoty P (X = 1), P (X = 2), P (X = 3),...? x Σ P (X = x)
5 Náhodná veličina Náhodná veličina Mějme dán nějaký náhodný pokus a s ním spojený prostor všech elementárních jevů Ω. Vytvořme rozklad množiny Ω, tj. úplný systém náhodných jevů A 1, A 2, A 3,..., A n tak, aby každému náhodnému jevu A 1, A 2, A 3,..., A n bylo možné přiřadit jistou číselnou hodnotu. Tímto přiřazením čísla jednotlivým jevům jsme vytvořili tzv. náhodnou veličinu. Náhodná veličina je zobrazení podmnožin z daného rozkladu množiny Ω na množinu reálných čísel. Hodnoty náhodné veličiny Výsledek náhodného pokusu vyjádřený reálným číslem je konkrétní hodnotou náhodné veličiny X. Charakteristickým znakem je proměnlivost jejích hodnot při opakování náhodného pokusu. Typy náhodných veličin Náhodné veličiny můžeme dle charakteru jejich hodnot dělit dva základní typy: diskrétní náhodná veličina, spojitá náhodná veličina.
6 Typy náhodných veličin Diskrétní náhodná veličina Nabývá hodnoty pouze z konečné nebo spočetné množiny. Příklady diskrétní náhodné veličiny: číslo padlé při hodu kostkou, počet zmetků vyrobených na výrobní lince za jednu hodinu, počet prodaných novin ve stánku za jeden den, počet bodů z písemky ze statistiky. Spojitá náhodná veličina Náhodná veličina nabývá libovolnou hodnotu z konečného nebo nekonečného intervalu reálných čísel. Příklady spojité náhodné veličiny: doba čekání na autobus od příchodu na zastávku, rozměr náhodně vybrané součástky, životnost baterie, hmotnost náhodně vybraného člověka.
7 Typy náhodných veličin Diskrétní náhodná veličina Nabývá hodnoty pouze z konečné nebo spočetné množiny. Příklady diskrétní náhodné veličiny: číslo padlé při hodu kostkou, počet zmetků vyrobených na výrobní lince za jednu hodinu, počet prodaných novin ve stánku za jeden den, počet bodů z písemky ze statistiky. Spojitá náhodná veličina Náhodná veličina nabývá libovolnou hodnotu z konečného nebo nekonečného intervalu reálných čísel. Příklady spojité náhodné veličiny: doba čekání na autobus od příchodu na zastávku, rozměr náhodně vybrané součástky, životnost baterie, hmotnost náhodně vybraného člověka.
8 Náhodná veličina Rozklad množiny elementárních jevů Ω: výsledky dvou hodů kostkou (X = počet šestek) A 1... nehozena ani jedna šestka (X = 0) A 2... hozena jedna šestka (X = 1) A 3... hozeny dvě šestky (X = 2) P (A 1 ) = 25/36 P (A 2 ) = 10/36 P (A 3 ) = 1/36 P (X = 0) = 25/36 P (X = 1) = 10/36 P (X = 2) = 1/36 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6 2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6 3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6 4, 1 4, 2 4, 3 4, 4 4, 5 4, 6 5, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5, 6 6, 1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6
9 Náhodná veličina Rozklad množiny elementárních jevů Ω: výsledky dvou hodů kostkou (X = počet šestek) P (X = 0) = 25/36 = P (X = 1) = 10/36 = P (X = 2) = 1/36 =. 0.03
10 Náhodná veličina Zákon rozdělení náhodné veličiny X Jevy, které tvoří rozklad množiny Ω, jsou navzájem neslučitelné. Pro pravděpodobnost jejich sjednocení platí P (A 1 A 2... A n) = P (A 1 ) + P (A 2 ) P (A n). Zákon rozdělení náhodné veličiny X říká: P (A i ) = i i P i = 1. V předchozím příkladu bylo: Pi = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = = = 1.
11 Náhodná veličina Modus náhodné veličiny X Nejpravděpodobnější hodnotu náhodné veličiny X nazýváme modus náhodné veličiny X. Je to hodnota x náhodné veličiny X, která má nejvyšší pravděpodobnost, že nastane. V předchozím příkladu bylo M(X) = 0. Distribuční funkce náhodné veličiny X Distribuční funkce F (x) náhodné veličiny X uvádí, jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnotu nejvýše x, tj. F (x) = P (X x). Distribuční funkce F (X) V předchozím příkladu bylo: F (x) = P (X x) F (0) = P (X 0) = P (0) = F (1) = P (X 1) = P (0) + P (1) = = F (2) = P (X 2) = P (0) + P (1) + P (2) = = = 1
12 Náhodná veličina Modus náhodné veličiny X Nejpravděpodobnější hodnotu náhodné veličiny X nazýváme modus náhodné veličiny X. Je to hodnota x náhodné veličiny X, která má nejvyšší pravděpodobnost, že nastane. V předchozím příkladu bylo M(X) = 0. Distribuční funkce náhodné veličiny X Distribuční funkce F (x) náhodné veličiny X uvádí, jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnotu nejvýše x, tj. F (x) = P (X x). Distribuční funkce F (X) V předchozím příkladu bylo: F (x) = P (X x) F (0) = P (X 0) = P (0) = F (1) = P (X 1) = P (0) + P (1) = = F (2) = P (X 2) = P (0) + P (1) + P (2) = = = 1
13 Pravděpodobnostní a distribuční funkce náhodné veličiny Příklad I Náhodná veličina X představuje počet sourozenců náhodně vybrané osoby v určité oblasti. Pravděpodobnostní rozdělení X je uvedeno v následující tabulce. x P (X = x) Určete pravděpodobnost, že počet sourozenců náhodně vybrané osoby je: a) menší než 3, b) nejvýše roven 3, c) alespoň 3, d) větší než 1 a menší než 4. Určete (napište) předpis distribuční funkce této náhodné veličiny. a) P (X < 3) = P (0) + P (1) + P (2) = = 0.9
14 Pravděpodobnostní a distribuční funkce náhodné veličiny Příklad I Náhodná veličina X představuje počet sourozenců náhodně vybrané osoby v určité oblasti. Pravděpodobnostní rozdělení X je uvedeno v následující tabulce. x P (X = x) Určete pravděpodobnost, že počet sourozenců náhodně vybrané osoby je: a) menší než 3, b) nejvýše roven 3, c) alespoň 3, d) větší než 1 a menší než 4. Určete (napište) předpis distribuční funkce této náhodné veličiny. a) P (X < 3) = P (0) + P (1) + P (2) = = 0.9 b) P (X 3) = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = = 0.97
15 Pravděpodobnostní a distribuční funkce náhodné veličiny Příklad I Náhodná veličina X představuje počet sourozenců náhodně vybrané osoby v určité oblasti. Pravděpodobnostní rozdělení X je uvedeno v následující tabulce. x P (X = x) Určete pravděpodobnost, že počet sourozenců náhodně vybrané osoby je: a) menší než 3, b) nejvýše roven 3, c) alespoň 3, d) větší než 1 a menší než 4. Určete (napište) předpis distribuční funkce této náhodné veličiny. a) P (X < 3) = P (0) + P (1) + P (2) = = 0.9 b) P (X 3) = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = = 0.97 c) P (X 3) = P (3) + P (4) = = 0.1
16 Pravděpodobnostní a distribuční funkce náhodné veličiny Příklad I Náhodná veličina X představuje počet sourozenců náhodně vybrané osoby v určité oblasti. Pravděpodobnostní rozdělení X je uvedeno v následující tabulce. x P (X = x) Určete pravděpodobnost, že počet sourozenců náhodně vybrané osoby je: a) menší než 3, b) nejvýše roven 3, c) alespoň 3, d) větší než 1 a menší než 4. Určete (napište) předpis distribuční funkce této náhodné veličiny. a) P (X < 3) = P (0) + P (1) + P (2) = = 0.9 b) P (X 3) = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = = 0.97 c) P (X 3) = P (3) + P (4) = = 0.1 d) P (1 < X < 4) = P (2) + P (3) = = 0.17
17 Pravděpodobnostní a distribuční funkce náhodné veličiny Příklad I Náhodná veličina X představuje počet sourozenců náhodně vybrané osoby v určité oblasti. Pravděpodobnostní rozdělení X je uvedeno v následující tabulce. x P (X = x) Určete pravděpodobnost, že počet sourozenců náhodně vybrané osoby je: a) menší než 3, b) nejvýše roven 3, c) alespoň 3, d) větší než 1 a menší než 4. Určete (napište) předpis distribuční funkce této náhodné veličiny. a) P (X < 3) = P (0) + P (1) + P (2) = = 0.9 b) P (X 3) = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = = 0.97 c) P (X 3) = P (3) + P (4) = = 0.1 d) P (1 < X < 4) = P (2) + P (3) = = 0.17
18 Pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Příklad II Zjistěte, zda je funkce P (x) pravděpodobnostní funkcí náhodné veličiny X. a) P (x) = 1/4 pro x = 0, 1, 2, 3 b) P (x) = 1/3 pro x = 0, 1, 2, 3 c) P (x) = x/4 pro x = 0, 1, 3 d) P (x) = (x 5)/10 pro x = 0, 5, 10, 15 e) P (x) = x 2 /10 pro x = 1, 0, 3 a) P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = = 1... ano
19 Pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Příklad II Zjistěte, zda je funkce P (x) pravděpodobnostní funkcí náhodné veličiny X. a) P (x) = 1/4 pro x = 0, 1, 2, 3 b) P (x) = 1/3 pro x = 0, 1, 2, 3 c) P (x) = x/4 pro x = 0, 1, 3 d) P (x) = (x 5)/10 pro x = 0, 5, 10, 15 e) P (x) = x 2 /10 pro x = 1, 0, 3 a) P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = = 1... ano b) P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = = ne
20 Pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Příklad II Zjistěte, zda je funkce P (x) pravděpodobnostní funkcí náhodné veličiny X. a) P (x) = 1/4 pro x = 0, 1, 2, 3 b) P (x) = 1/3 pro x = 0, 1, 2, 3 c) P (x) = x/4 pro x = 0, 1, 3 d) P (x) = (x 5)/10 pro x = 0, 5, 10, 15 e) P (x) = x 2 /10 pro x = 1, 0, 3 a) P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = = 1... ano b) P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = = ne c) P (0) + P (1) + P (3) = = 1... ano
21 Pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Příklad II Zjistěte, zda je funkce P (x) pravděpodobnostní funkcí náhodné veličiny X. a) P (x) = 1/4 pro x = 0, 1, 2, 3 b) P (x) = 1/3 pro x = 0, 1, 2, 3 c) P (x) = x/4 pro x = 0, 1, 3 d) P (x) = (x 5)/10 pro x = 0, 5, 10, 15 e) P (x) = x 2 /10 pro x = 1, 0, 3 a) P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = = 1... ano b) P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = = ne c) P (0) + P (1) + P (3) = = 1... ano d) P (0) + P (5) + P (10) + P (15) = = = 1... ne
22 Pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Příklad II Zjistěte, zda je funkce P (x) pravděpodobnostní funkcí náhodné veličiny X. a) P (x) = 1/4 pro x = 0, 1, 2, 3 b) P (x) = 1/3 pro x = 0, 1, 2, 3 c) P (x) = x/4 pro x = 0, 1, 3 d) P (x) = (x 5)/10 pro x = 0, 5, 10, 15 e) P (x) = x 2 /10 pro x = 1, 0, 3 a) P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = = 1... ano b) P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = = ne c) P (0) + P (1) + P (3) = = 1... ano d) P (0) + P (5) + P (10) + P (15) = = = 1... ne e) P ( 1) + P (0) + P (3) = = 1... ano
23 Pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Příklad II Zjistěte, zda je funkce P (x) pravděpodobnostní funkcí náhodné veličiny X. a) P (x) = 1/4 pro x = 0, 1, 2, 3 b) P (x) = 1/3 pro x = 0, 1, 2, 3 c) P (x) = x/4 pro x = 0, 1, 3 d) P (x) = (x 5)/10 pro x = 0, 5, 10, 15 e) P (x) = x 2 /10 pro x = 1, 0, 3 a) P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = = 1... ano b) P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = = ne c) P (0) + P (1) + P (3) = = 1... ano d) P (0) + P (5) + P (10) + P (15) = = = 1... ne e) P ( 1) + P (0) + P (3) = = 1... ano
24 Charakteristiky náhodné veličiny Střední hodnota diskrétní náhodné veličiny Pro diskrétní náhodnou veličinu X s možnými hodnotami x 1, x 2,..., x n a jejich pravděpodobnostmi p i = P (x i ) = P (X = x i ) definujeme střední hodnotu E(X) vztahem E(X) = x i P (x i ) = µ. Druhý obecný moment diskrétní náhodné veličiny Pro diskrétní náhodnou veličinu X s možnými hodnotami x 1, x 2,..., x n a jejich pravděpodobnostmi p i = P (x i ) = P (X = x i ) definujeme druhý obecný moment E(X 2 ) vztahem E(X 2 ) = x 2 i P (x i).
25 Charakteristiky náhodné veličiny Střední hodnota diskrétní náhodné veličiny Pro diskrétní náhodnou veličinu X s možnými hodnotami x 1, x 2,..., x n a jejich pravděpodobnostmi p i = P (x i ) = P (X = x i ) definujeme střední hodnotu E(X) vztahem E(X) = x i P (x i ) = µ. Druhý obecný moment diskrétní náhodné veličiny Pro diskrétní náhodnou veličinu X s možnými hodnotami x 1, x 2,..., x n a jejich pravděpodobnostmi p i = P (x i ) = P (X = x i ) definujeme druhý obecný moment E(X 2 ) vztahem E(X 2 ) = x 2 i P (x i). Rozptyl diskrétní náhodné veličiny Pro diskrétní náhodnou veličinu X s možnými hodnotami x 1, x 2,..., x n a jejich pravděpodobnostmi p i = P (x i ) = P (X = x i ) definujeme rozptyl D(X) vztahem D(X) = σ 2 = E(X 2 ) [E(X)] 2.
26 Charakteristiky náhodné veličiny Střední hodnota diskrétní náhodné veličiny Pro diskrétní náhodnou veličinu X s možnými hodnotami x 1, x 2,..., x n a jejich pravděpodobnostmi p i = P (x i ) = P (X = x i ) definujeme střední hodnotu E(X) vztahem E(X) = x i P (x i ) = µ. Druhý obecný moment diskrétní náhodné veličiny Pro diskrétní náhodnou veličinu X s možnými hodnotami x 1, x 2,..., x n a jejich pravděpodobnostmi p i = P (x i ) = P (X = x i ) definujeme druhý obecný moment E(X 2 ) vztahem E(X 2 ) = x 2 i P (x i). Rozptyl diskrétní náhodné veličiny Pro diskrétní náhodnou veličinu X s možnými hodnotami x 1, x 2,..., x n a jejich pravděpodobnostmi p i = P (x i ) = P (X = x i ) definujeme rozptyl D(X) vztahem D(X) = σ 2 = E(X 2 ) [E(X)] 2.
27 Charakteristiky náhodné veličiny Charakteristiky náhodné veličiny Obsluha nápojového automatu potřebuje zjistit, jak často má doplňovat jistý druh nápoje v daném automatu. Potřebuje proto zjistit střední hodnotu počtu prodaných láhví nápoje za jeden den a rozptyl této veličiny. Na základě minulých údajů o prodeji odhadla obsluha automatu následující pravděpodobnostní rozdělení veličiny X: x P (x) E(X) = i x i P (x i )
28 Charakteristiky náhodné veličiny Charakteristiky náhodné veličiny Obsluha nápojového automatu potřebuje zjistit, jak často má doplňovat jistý druh nápoje v daném automatu. Potřebuje proto zjistit střední hodnotu počtu prodaných láhví nápoje za jeden den a rozptyl této veličiny. Na základě minulých údajů o prodeji odhadla obsluha automatu následující pravděpodobnostní rozdělení veličiny X: x P (x) E(X) = i x i P (x i ) E(X) = = 17.45
29 Charakteristiky náhodné veličiny Charakteristiky náhodné veličiny Obsluha nápojového automatu potřebuje zjistit, jak často má doplňovat jistý druh nápoje v daném automatu. Potřebuje proto zjistit střední hodnotu počtu prodaných láhví nápoje za jeden den a rozptyl této veličiny. Na základě minulých údajů o prodeji odhadla obsluha automatu následující pravděpodobnostní rozdělení veličiny X: x P (x) E(X) = i x i P (x i ) E(X) = = E(X 2 ) = i x2 i P (x i)
30 Charakteristiky náhodné veličiny Charakteristiky náhodné veličiny Obsluha nápojového automatu potřebuje zjistit, jak často má doplňovat jistý druh nápoje v daném automatu. Potřebuje proto zjistit střední hodnotu počtu prodaných láhví nápoje za jeden den a rozptyl této veličiny. Na základě minulých údajů o prodeji odhadla obsluha automatu následující pravděpodobnostní rozdělení veličiny X: x P (x) E(X) = i x i P (x i ) E(X) = = E(X 2 ) = i x2 i P (x i) E(X 2 ) = =
31 Charakteristiky náhodné veličiny Charakteristiky náhodné veličiny Obsluha nápojového automatu potřebuje zjistit, jak často má doplňovat jistý druh nápoje v daném automatu. Potřebuje proto zjistit střední hodnotu počtu prodaných láhví nápoje za jeden den a rozptyl této veličiny. Na základě minulých údajů o prodeji odhadla obsluha automatu následující pravděpodobnostní rozdělení veličiny X: x P (x) E(X) = i x i P (x i ) E(X) = = E(X 2 ) = i x2 i P (x i) E(X 2 ) = = D(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2
32 Charakteristiky náhodné veličiny Charakteristiky náhodné veličiny Obsluha nápojového automatu potřebuje zjistit, jak často má doplňovat jistý druh nápoje v daném automatu. Potřebuje proto zjistit střední hodnotu počtu prodaných láhví nápoje za jeden den a rozptyl této veličiny. Na základě minulých údajů o prodeji odhadla obsluha automatu následující pravděpodobnostní rozdělení veličiny X: x P (x) E(X) = i x i P (x i ) E(X) = = E(X 2 ) = i x2 i P (x i) E(X 2 ) = = D(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 D(X) = (17.45) 2 =
33 Charakteristiky náhodné veličiny Charakteristiky náhodné veličiny Obsluha nápojového automatu potřebuje zjistit, jak často má doplňovat jistý druh nápoje v daném automatu. Potřebuje proto zjistit střední hodnotu počtu prodaných láhví nápoje za jeden den a rozptyl této veličiny. Na základě minulých údajů o prodeji odhadla obsluha automatu následující pravděpodobnostní rozdělení veličiny X: x P (x) E(X) = i x i P (x i ) E(X) = = E(X 2 ) = i x2 i P (x i) E(X 2 ) = = D(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 D(X) = (17.45) 2 = D(X) = σ = = 1.431
34 Charakteristiky náhodné veličiny Charakteristiky náhodné veličiny Obsluha nápojového automatu potřebuje zjistit, jak často má doplňovat jistý druh nápoje v daném automatu. Potřebuje proto zjistit střední hodnotu počtu prodaných láhví nápoje za jeden den a rozptyl této veličiny. Na základě minulých údajů o prodeji odhadla obsluha automatu následující pravděpodobnostní rozdělení veličiny X: x P (x) E(X) = i x i P (x i ) E(X) = = E(X 2 ) = i x2 i P (x i) E(X 2 ) = = D(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 D(X) = (17.45) 2 = D(X) = σ = = 1.431
35 Vlastnosti charakteristik náhodné veličiny Vlastnosti střední hodnoty Jestliže X a Y jsou náhodné veličiny a c je reálné číslo, potom platí: E(X + Y) = E(X) + E(Y), E(c X) = c E(X), E(X Y) = E(X) E(Y),... pouze pro nezávislé X a Y. Vlastnosti rozptylu Jestliže X a Y jsou náhodné veličiny a a, b jsou reálná čísla, potom platí: D(X) 0, D(a + b X) = b 2 D(X), D(X ± Y) = D(X) + D(Y),... pouze pro nezávislé X a Y.
36 Vlastnosti charakteristik náhodné veličiny Vlastnosti střední hodnoty Jestliže X a Y jsou náhodné veličiny a c je reálné číslo, potom platí: E(X + Y) = E(X) + E(Y), E(c X) = c E(X), E(X Y) = E(X) E(Y),... pouze pro nezávislé X a Y. Vlastnosti rozptylu Jestliže X a Y jsou náhodné veličiny a a, b jsou reálná čísla, potom platí: D(X) 0, D(a + b X) = b 2 D(X), D(X ± Y) = D(X) + D(Y),... pouze pro nezávislé X a Y.
37 Úlohy k samostatné práci Příklad I Určete, které z následujících náhodných veličin jsou diskrétní, resp. spojité. Počet vadných výrobků v balení 24 ks. Počet bodů, které získá FK Teplice na konci soutěžního ročníku. Doba trvání cvičení ze statistiky. Počet zákazníků, kteří přijdou k pokladně v supermarketu během jedné hodiny. Hmotnost dataprojektoru v této místnosti. Počet správně určených odpovědí v tomto cvičení. Příklad II Náhodná veličina X představuje výsledek hodu kostkou. Určete pravděpodobnostní funkci a distribuční funkci této náhodné veličiny. Příklad III Náhodná veličina X představuje výsledek hodu kostkou. Stanovte střední hodnotu E(X), rozptyl D(X) a směrodatnou odchylku σ této náhodné veličiny X.
38 Úlohy k samostatné práci Příklad V Náhodná veličina X představuje počet novinových titulů, které si náhodně vybraný zákazník zakoupí v novinovém stánku. Pravděpodobnostní rozdělení X je uvedeno v tabulce. x P (x) Určete pravděpodobnost, že počet zakoupených titulů u náhodně vybraného zákazníka je větší než dva, nejvýše roven dvěma, alespoň dva, větší než jedna a menší než tři. Příklad VI Vypočtěte střední hodnotu E(X), rozptyl D(X) a směrodatnou odchylku σ náhodné veličiny z předchozího příkladu.
39 Úlohy k samostatné práci Příklad VII Hráč sází při ruletě 1 Kč stále na černou barvu. Náhodná veličina X představuje velikost jeho výhry v každé kole hry. Vypočtěte střední hodnotu E(X), rozptyl D(X) a směrodatnou odchylku σ této náhodné veličiny. Interpretujte výslednou hodnotu střední hodnoty této náhodné veličiny. Příklad VIII Náhodná veličina představuje počet hodů kostkou do doby, než padne šestka. Zapište pravděpodobnostní funkci této veličiny a vypočtěte střední hodnotu E(X), rozptyl D(X) a směrodatnou odchylku σ této náhodné veličiny.
40 Binomické rozdělení náhodné veličiny Binomické rozdělení Předpokládejme, že při náhodném pokusu sledujeme jistý náhodný jev A, jehož pravděpodobnost označíme symbolem p. Je tedy P (A) = p. Uskutečníme-li tento náhodný pokus n-krát, pak počet případů, kdy nastane jev A je náhodnou veličinou X s tzv. binomickým rozdělením pravděpodobnosti Bi(n, p), přičemž platí: ( n P (X = x) = P (x) = p x) x (1 p) n x. Pro střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny s binomickým rozdělením pravděpodobnosti platí: E(X) = n p, D(X) = n p (1 p). Příklad - binomické rozdělení Při třech losováních s vracením karty z baĺıčku 32 karet (kde jsou 4 esa) označme jako veličinu X počet vylosovaných es. Vypočtěte hodnoty a) P (X = 0) = P (0) b) P (X = 2) = P (2) Dále vypočtěte střední hodnotu E(X) a rozptyl D(X).
41 Binomické rozdělení náhodné veličiny Binomické rozdělení Předpokládejme, že při náhodném pokusu sledujeme jistý náhodný jev A, jehož pravděpodobnost označíme symbolem p. Je tedy P (A) = p. Uskutečníme-li tento náhodný pokus n-krát, pak počet případů, kdy nastane jev A je náhodnou veličinou X s tzv. binomickým rozdělením pravděpodobnosti Bi(n, p), přičemž platí: ( n P (X = x) = P (x) = p x) x (1 p) n x. Pro střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny s binomickým rozdělením pravděpodobnosti platí: E(X) = n p, D(X) = n p (1 p). Příklad - binomické rozdělení Při třech losováních s vracením karty z baĺıčku 32 karet (kde jsou 4 esa) označme jako veličinu X počet vylosovaných es. Vypočtěte hodnoty a) P (X = 0) = P (0) b) P (X = 2) = P (2) Dále vypočtěte střední hodnotu E(X) a rozptyl D(X).
42 Binomické rozdělení náhodné veličiny Příklad - binomické rozdělení Studenti píší písemku ve formě testu s 20 otázkami. U každé otázky jsou nabídnuty 4 možné odpovědi, z nichž právě jedna je správná. Jaká je pravděpodobnost, že student, který naprosto náhodně tipuje odpovědi, zodpoví správně 1 právě tři otázky? 2 nejvýše tři otázky? 3 alespoň tři otázky? Příklad - binomické rozdělení Jaká je pravděpodobnost, že při 10 hodech mincí padne ĺıc 1 alespoň dvakrát? 2 nejvýše dvakrát? 3 právě dvakrát?
43 Binomické rozdělení náhodné veličiny Příklad - binomické rozdělení Studenti píší písemku ve formě testu s 20 otázkami. U každé otázky jsou nabídnuty 4 možné odpovědi, z nichž právě jedna je správná. Jaká je pravděpodobnost, že student, který naprosto náhodně tipuje odpovědi, zodpoví správně 1 právě tři otázky? 2 nejvýše tři otázky? 3 alespoň tři otázky? Příklad - binomické rozdělení Jaká je pravděpodobnost, že při 10 hodech mincí padne ĺıc 1 alespoň dvakrát? 2 nejvýše dvakrát? 3 právě dvakrát? Příklad - binomické rozdělení Podíl nezaměstnaných v populaci je 20 % Vypočtěte pravděpodobnost, že mezi 10 náhodně vybranými osobami budou nejvýše tři nezaměstnaní.
44 Binomické rozdělení náhodné veličiny Příklad - binomické rozdělení Studenti píší písemku ve formě testu s 20 otázkami. U každé otázky jsou nabídnuty 4 možné odpovědi, z nichž právě jedna je správná. Jaká je pravděpodobnost, že student, který naprosto náhodně tipuje odpovědi, zodpoví správně 1 právě tři otázky? 2 nejvýše tři otázky? 3 alespoň tři otázky? Příklad - binomické rozdělení Jaká je pravděpodobnost, že při 10 hodech mincí padne ĺıc 1 alespoň dvakrát? 2 nejvýše dvakrát? 3 právě dvakrát? Příklad - binomické rozdělení Podíl nezaměstnaných v populaci je 20 % Vypočtěte pravděpodobnost, že mezi 10 náhodně vybranými osobami budou nejvýše tři nezaměstnaní.
45 Hypergeometrické rozdělení náhodné veličiny Hypergeometrické rozdělení je základním pravděpodobnostním rozdělením při výběru bez vracení. Tj. provedeme náhodný výběr a vybranou jednotku nevracíme do základního souboru. Jednotlivé soubory jsou potom závislé, tj. pravděpodobnost nastoupení jevu A v určitém pokusu závisí na výsledcích v předchozích pokusech. Příklad - hypergeometrické rozdělení Určitý typ součástek je dodáván v séríıch po 50 kusech. Při přejímací kontrole je z každé série náhodně vybráno 5 výrobků. Série je přijata, jestliže mezi kontrolovanými výrobky není žádný zmetek. Jaká je pravděpodobnost, že série bude přijata, jestliže obsahuje 10 zmetků? Kontrola je přitom prováděna tak, že výrobek je podroben destrukční zkoušce. N rozsah základního souboru (50 kusů) M počet prvků s danou vlastností v základním souboru (10 kusů) n počet prvků vybraných ze základního souboru (5 kusů) x počet prvků z výběru s uvažovanou vlastností (0 kusů)
46 Hypergeometrické rozdělení náhodné veličiny Hypergeometrické rozdělení Mějme situaci, kdy v základním souboru o N prvcích jich má M určitou vlastnost a zbylých N M prvků tuto vlastnost nemá. Postupně ze souboru vybereme n prvků, z nichž žádný nevracíme zpět. Počet prvků se sledovanou vlastností mezi n vybranými prvky je náhodnou veličinou X, mající tzv. hypergeometrické rozdělení pravděpodobností. Pro pravděpodobnostní funkci veličiny X platí ( M )( N M ) x n x P (X = x) = P (x) = ( N pro max{n N + M, 0} x min{m, n}, n) E(X) = n M N D(X) = n M ( N 1 M ) N n N N 1 Připomeňme, že v uvedeném vzorci je N rozsah základního souboru M počet prvků s danou vlastností v základním souboru n počet prvků vybraných ze základního souboru x počet prvků z výběru s uvažovanou vlastností
47 Hypergeometrické rozdělení náhodné veličiny Příklad - hypergeometrické rozdělení V baĺıčku 32 karet jsou 4 esa. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru (bez vracení) 6 karet budou mezi vybranými kartami právě 2 esa, nejvýše dvě esa, alespoň dvě esa. Příklad - hypergeometrické rozdělení Určitý typ součástek je dodáván v séríıch po 50 kusech. Při přejímací kontrole je z každé série náhodně vybráno 5 výrobků. Série je přijata, jestliže mezi kontrolovanými výrobky není žádný zmetek. Jaká je pravděpodobnost, že série bude přijata, jestliže obsahuje 10 zmetků? Kontrola je přitom prováděna tak, že výrobek je podroben destrukční zkoušce.
48 Hypergeometrické rozdělení náhodné veličiny Příklad - hypergeometrické rozdělení V baĺıčku 32 karet jsou 4 esa. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru (bez vracení) 6 karet budou mezi vybranými kartami právě 2 esa, nejvýše dvě esa, alespoň dvě esa. Příklad - hypergeometrické rozdělení Určitý typ součástek je dodáván v séríıch po 50 kusech. Při přejímací kontrole je z každé série náhodně vybráno 5 výrobků. Série je přijata, jestliže mezi kontrolovanými výrobky není žádný zmetek. Jaká je pravděpodobnost, že série bude přijata, jestliže obsahuje 10 zmetků? Kontrola je přitom prováděna tak, že výrobek je podroben destrukční zkoušce. Příklad - hypergeometrické rozdělení Jak by se změnila předchozí úloha, kdyby za jinak stejných podmínek byla série přijata, jestliže mezi vybraným vzorkem jsou nejvýše dva zmetky?
49 Hypergeometrické rozdělení náhodné veličiny Příklad - hypergeometrické rozdělení V baĺıčku 32 karet jsou 4 esa. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru (bez vracení) 6 karet budou mezi vybranými kartami právě 2 esa, nejvýše dvě esa, alespoň dvě esa. Příklad - hypergeometrické rozdělení Určitý typ součástek je dodáván v séríıch po 50 kusech. Při přejímací kontrole je z každé série náhodně vybráno 5 výrobků. Série je přijata, jestliže mezi kontrolovanými výrobky není žádný zmetek. Jaká je pravděpodobnost, že série bude přijata, jestliže obsahuje 10 zmetků? Kontrola je přitom prováděna tak, že výrobek je podroben destrukční zkoušce. Příklad - hypergeometrické rozdělení Jak by se změnila předchozí úloha, kdyby za jinak stejných podmínek byla série přijata, jestliže mezi vybraným vzorkem jsou nejvýše dva zmetky?
50 Vztah binomického a hypergeometrického rozdělení Binomické rozdělení - výběr s vracením Hypergeometrické rozdělení - výběr bez vracení
51 Vztah binomického a hypergeometrického rozdělení Binomické rozdělení - výběr s vracením Hypergeometrické rozdělení - výběr bez vracení Vztah binomického a hypergeometrického rozdělení V regionu žije obyvatel, z nichž je nezaměstnaných. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 20 náhodně vybranými osobami v daném regionu je právě jeden nezaměstnaný?
52 Vztah binomického a hypergeometrického rozdělení Binomické rozdělení - výběr s vracením Hypergeometrické rozdělení - výběr bez vracení Vztah binomického a hypergeometrického rozdělení V regionu žije obyvatel, z nichž je nezaměstnaných. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 20 náhodně vybranými osobami v daném regionu je právě jeden nezaměstnaný? ( 20 ) Binomicky: P (1) = = 0,
53 Vztah binomického a hypergeometrického rozdělení Binomické rozdělení - výběr s vracením Hypergeometrické rozdělení - výběr bez vracení Vztah binomického a hypergeometrického rozdělení V regionu žije obyvatel, z nichž je nezaměstnaných. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 20 náhodně vybranými osobami v daném regionu je právě jeden nezaměstnaný? ( 20 ) Binomicky: P (1) = = 0, ( )( ) Hypergeometricky: P (1) = 1 19 ( ) = 0,
54 Vztah binomického a hypergeometrického rozdělení Binomické rozdělení - výběr s vracením Hypergeometrické rozdělení - výběr bez vracení Vztah binomického a hypergeometrického rozdělení V regionu žije obyvatel, z nichž je nezaměstnaných. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 20 náhodně vybranými osobami v daném regionu je právě jeden nezaměstnaný? ( 20 ) Binomicky: P (1) = = 0, ( )( ) Hypergeometricky: P (1) = 1 19 ( ) = 0, Vztah binomického a hypergeometrického rozdělení Je-li velikost výběru n malá v porovnání s velikostí základního souboru N, (tj. n/n < 0.05), můžeme místo hypergeometrického rozdělení použít binomické rozdělení.
55 Vztah binomického a hypergeometrického rozdělení Binomické rozdělení - výběr s vracením Hypergeometrické rozdělení - výběr bez vracení Vztah binomického a hypergeometrického rozdělení V regionu žije obyvatel, z nichž je nezaměstnaných. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 20 náhodně vybranými osobami v daném regionu je právě jeden nezaměstnaný? ( 20 ) Binomicky: P (1) = = 0, ( )( ) Hypergeometricky: P (1) = 1 19 ( ) = 0, Vztah binomického a hypergeometrického rozdělení Je-li velikost výběru n malá v porovnání s velikostí základního souboru N, (tj. n/n < 0.05), můžeme místo hypergeometrického rozdělení použít binomické rozdělení.
56 Poissonovo rozdělení Poissonovo rozdělení Po silnici před naší školou projede v době tohoto cvičení průměrně 100 automobilů za hodinu. Jaká je pravděpodobnost, že během této hodiny projede kolem fakulty právě 90 aut? Poissonovo rozdělení Označme průměrný počet výskytů jisté události za časovou jednotku číslem λ. Potom počet událostí x, které nastanou za časovou jednotku, je náhodnou veličinou X s tzv. Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti, jejíž pravděpodobnostní funkce má předpis P (X = x) = P (x) = λx x! e λ. E(X) = λ D(X) = λ Zkoumáme události, které přicházejí v čase, přičemž platí: v jednom okamžiku může nastat nejvýše jedna událost, události přicházejí nezávisle na sobě (počty vzniklých událostí v disjunktních časových intervalech jsou nezávislé), pravděpodobnost, že událost nastane v intervalu (t, t + h) závisí na h, ale nikoliv na t.
57 Poissonovo rozdělení Poissonovo rozdělení Po silnici před naší školou projede v době tohoto cvičení průměrně 100 automobilů za hodinu. Jaká je pravděpodobnost, že během této hodiny projede kolem fakulty právě 90 aut? Poissonovo rozdělení Označme průměrný počet výskytů jisté události za časovou jednotku číslem λ. Potom počet událostí x, které nastanou za časovou jednotku, je náhodnou veličinou X s tzv. Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti, jejíž pravděpodobnostní funkce má předpis P (X = x) = P (x) = λx x! e λ. E(X) = λ D(X) = λ Zkoumáme události, které přicházejí v čase, přičemž platí: v jednom okamžiku může nastat nejvýše jedna událost, události přicházejí nezávisle na sobě (počty vzniklých událostí v disjunktních časových intervalech jsou nezávislé), pravděpodobnost, že událost nastane v intervalu (t, t + h) závisí na h, ale nikoliv na t.
58 Poissonovo rozdělení Poissonovo rozdělení K pokladně v supermarketu přistoupí průměrně 5 zákazníků během deseti minut. Jaká je pravděpodobnost, že během následujících 10 minut přijdou právě 3 zákazníci? Jaká je pravděpodobnost, že během následujích dvou minut nepřijde ani jeden zákazník? P (X = 3) = 53 3! e 5 = 0, (tj. λ = 5)
59 Poissonovo rozdělení Poissonovo rozdělení K pokladně v supermarketu přistoupí průměrně 5 zákazníků během deseti minut. Jaká je pravděpodobnost, že během následujících 10 minut přijdou právě 3 zákazníci? Jaká je pravděpodobnost, že během následujích dvou minut nepřijde ani jeden zákazník? P (X = 3) = 53 3! e 5 = 0, (tj. λ = 5) P (X = 0) = 10 0! e 1 = 0, (tj. za 2 minuty v průměru přijde 1 zákazník, λ = 1)
60 Poissonovo rozdělení Poissonovo rozdělení K pokladně v supermarketu přistoupí průměrně 5 zákazníků během deseti minut. Jaká je pravděpodobnost, že během následujících 10 minut přijdou právě 3 zákazníci? Jaká je pravděpodobnost, že během následujích dvou minut nepřijde ani jeden zákazník? P (X = 3) = 53 3! e 5 = 0, (tj. λ = 5) P (X = 0) = 10 0! e 1 = 0, (tj. za 2 minuty v průměru přijde 1 zákazník, λ = 1) Poissonovo rozdělení Na výrobní lince dojde k poruše průměrně jednou za dvě hodiny. Jaká je pravděpodobnost, že během osmihodinové směny dojde na výrobní lince k (nejvýše) dvěma poruchám?
61 Poissonovo rozdělení Poissonovo rozdělení K pokladně v supermarketu přistoupí průměrně 5 zákazníků během deseti minut. Jaká je pravděpodobnost, že během následujících 10 minut přijdou právě 3 zákazníci? Jaká je pravděpodobnost, že během následujích dvou minut nepřijde ani jeden zákazník? P (X = 3) = 53 3! e 5 = 0, (tj. λ = 5) P (X = 0) = 10 0! e 1 = 0, (tj. za 2 minuty v průměru přijde 1 zákazník, λ = 1) Poissonovo rozdělení Na výrobní lince dojde k poruše průměrně jednou za dvě hodiny. Jaká je pravděpodobnost, že během osmihodinové směny dojde na výrobní lince k (nejvýše) dvěma poruchám? P (X = 2) = 42 2! e 4 = 0, (tj. λ = 4)
62 Poissonovo rozdělení Poissonovo rozdělení K pokladně v supermarketu přistoupí průměrně 5 zákazníků během deseti minut. Jaká je pravděpodobnost, že během následujících 10 minut přijdou právě 3 zákazníci? Jaká je pravděpodobnost, že během následujích dvou minut nepřijde ani jeden zákazník? P (X = 3) = 53 3! e 5 = 0, (tj. λ = 5) P (X = 0) = 10 0! e 1 = 0, (tj. za 2 minuty v průměru přijde 1 zákazník, λ = 1) Poissonovo rozdělení Na výrobní lince dojde k poruše průměrně jednou za dvě hodiny. Jaká je pravděpodobnost, že během osmihodinové směny dojde na výrobní lince k (nejvýše) dvěma poruchám? P (X = 2) = 42 2! e 4 = 0, (tj. λ = 4) P (X 2) = P (0) + P (1) + P (2) = 40 0! e ! e ! e 4 = 0,
63 Poissonovo rozdělení Poissonovo rozdělení K pokladně v supermarketu přistoupí průměrně 5 zákazníků během deseti minut. Jaká je pravděpodobnost, že během následujících 10 minut přijdou právě 3 zákazníci? Jaká je pravděpodobnost, že během následujích dvou minut nepřijde ani jeden zákazník? P (X = 3) = 53 3! e 5 = 0, (tj. λ = 5) P (X = 0) = 10 0! e 1 = 0, (tj. za 2 minuty v průměru přijde 1 zákazník, λ = 1) Poissonovo rozdělení Na výrobní lince dojde k poruše průměrně jednou za dvě hodiny. Jaká je pravděpodobnost, že během osmihodinové směny dojde na výrobní lince k (nejvýše) dvěma poruchám? P (X = 2) = 42 2! e 4 = 0, (tj. λ = 4) P (X 2) = P (0) + P (1) + P (2) = 40 0! e ! e ! e 4 = 0,
64 Poissonovo rozdělení Poissonovo rozdělení Poissonovo rozdělení popisuje počty událostí i v jiných než časových jednotkách, např. v jednotkách délky, obsahu atd. Poissonovo rozdělení V pruhu látky se vyskytuje průměrně 5 kazů na 100 metrů látky. Jaká je pravděpodobnost, že: 1 v náhodně vybrané roli látky o délce 100 metrů se nachází právě 4 kazy? 2 v náhodně vybrané roli látky o délce 200 metrů se nachází právě 6 kazů? 3 v náhodně vybrané roli látky o délce 50 metrů se nachází nejvýše 1 kaz? 1 P (X = 4) = 54 4! e 5 = 0, 175 (tj. λ = 5) 2 P (X = 6) = 106 6! e 10 = 0, 063 (tj. λ = 10) 3 P (X 1) = P (0) + P (1) = ! e ! e 2.5 = 0, 287 (tj. λ = 2.5)
65 Poissonovo rozdělení Poissonovo rozdělení Redaktor časopisu ze zkušenosti ví, že v dodaných rukopisech jsou průměrně 3 chyby na jedné tiskové straně. Jaká je pravděpodobnost, že v dodaném článku o rozsahu 5 stran bude méně než 10 chyb? Řešení Ze zadání plyne, že na 5 stranách textu bude průměrně 15 chyb. Proto bude v zadaném případě λ = 15. P (X < 10) = P (0) + P (1) + P (2) P (8) + P (9) = 150 e ! 1! ( 15 = e ! 1!. = 0, 0699 e ! ! e ! ) ! ! e ! e 15 Pravděpodobnost, že v článku o rozsahu 5 stran bude méně než 10 tiskových chyb, je přibližně rovna p = 0, 07.
66 Poissonovo rozdělení Poissonovo rozdělení Předpokládejme, že pravděpodobnost, že se 35letý muž nedožije následujícího roku je 0,01. Roční pojistné této věkové skupiny činí Kč. V případě úmrtí pojišt ovna jednorázově vyplatí Kč. Jaká je pravděpodobnost, že zisk z pojištěných mužů ve věku 35 let bude alespoň Kč? Řešení Ze zadání plyne, že pojišt ovna získá z pojištění mužů celkem Kč. Pokud má mít z pojištění zisk alespoň Kč, potom nesmí vyplatit více než Kč, tj. nesmí dojít k úmrtí více než 5 mužů. Dále ze zadání plyne, že v průměru zemře během jednoho roku jeden muž ze 100, tj. 10 mužů z Je tedy λ = 10 a hledáme pravděpodobnost P (X 5). P (X 5) = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) + P (4) + P (5) = 100 e ! 1! ( 10 = e ! 1!. = 0, 067 e ! ! ! e ! ! ! e ! ) e ! e 10 Pravděpodobnost, že zisk pojišt ovny z daného pojištění bude alespoň Kč, je přibližně rovna p = 0, 067.
67 Poissonovo rozdělení Poissonovo rozdělení Pro dostatečně velké n (prakticky pro n > 30) a pro malou pravděpodobnost (prakticky pro p 0, 1), lze binomické, resp. hypergeometrické rozdělení aproximovat Poissonovým rozdělením, kde λ = np, resp. λ = nm/n. Poissonovo rozdělení V regionu s obyvatel v produktivním věku je nezaměstnaných. V dotazníkovém šetření vybereme 100 obyvatel z regionu. Jaká je pravděpodobnost toho, že mezi nimi bude právě 8 nezaměstnaných. Jde o výběr bez vracení, tedy o hypergeometrické rozdělení s parametry N = , M = , n = 100 a x = 8. Je ( ) ( ) 92 P (8) = ( ) = 0, Protože ale jde o velké osudí, je možné to počítat pomocí binomického rozdělení s parametry n = 100 a p = / = 0, 04. Tak dostaneme ( 100 ) P (8) = (0, 04) 8 (0, 96) 92 = 0, Přes Poissonovo rozdělení dostaneme (λ = np = 100 0, 04 = 4) P (8) = 48 e 4 = 0, !
68 Úlohy k samostatné práci Příklad I Na zákaznickou linku zavolá průměrně 12 zákazníků za hodinu. S jakou pravděpodobností nezavolá během následující čtvrthodiny ani jeden zákazník? Příklad II V rybníku je ryb. Rybáři chytí ryb, označí je a vrátí do rybníka. Pak vyloví 20 ryb. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou právě dvě označené ryby? Příklad III Hráč hodí šesti kostkami najednou. Jaká je pravděpodobnost, že na kostkách při hodu padla alespoň jedna jednička? Příklad IV Amatérský střelec trefí při jednom výstřelu černý střed terče s pravděpodobností p = Jaká je pravděpodobnost, že se střelec trefí při 10 výstřelech do černého středu terče nejvýše devětkrát?
69 Úlohy k samostatné práci Příklad V Na plese bylo prodáno 150 losů do tomboly. V tombole je deset cen. Jaká je pravděpodobnost, že soutěžící, který si zakoupil 10 losů, vyhraje více než jednu cenu? Příklad VI Předpokládejme, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození děvčete. Vypočtěte jaká je pravděpodobnost, že v náhodně vybrané rodině se třemi dětmi je víc synů než dcer. Příklad VII V extraligovém play-off se utkaly týmy A a B. Předpokládejme, že tým A je lepší a pravděpodobnost jeho výhry činí p = 0, 6 (jedná se o play-off, a není tedy možná remíza na konci zápasu). Jaká je pravděpodobnost výhry slabšího týmu v celé sérii, hraje-li se tato na 4 vítězné zápasy? Příklad IX V baĺıčku 32 karet je osm karet červené barvy. Hráč dostane při rozdání 5 karet. Jaká je pravděpodobnost, že všechny budou mít červenou barvu?
Statistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení deváté aneb Důležitá rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 15 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina
Úvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií
Náhodné vektory prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký,
Aproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
Kristýna Kuncová. Matematika B3
(10) Vícerozměrný integrál II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 1 / 30 Transformace Otázka Jaký obrázek znázorňuje čtverec vpravo po transformaci u = x + y a
Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
MATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
Matematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární
Edita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
Matematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
Numerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
Funkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
Kristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií
Základní pojmy pravděpodobnosti prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek,
Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25
(2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25
podle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010
Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010
Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
Vybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
Inverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
(13) Fourierovy řady
(13) Fourierovy řady Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 1 / 22 O sinech a kosinech Lemma (O sinech a kosinech) Pro m, n N 0 : 2π 0 2π 0 2π 0 sin nx dx = sin nx cos mx
Katedra kybernetiky skupina Inteligentní Datové Analýzy (IDA) Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Vytěžování dat Filip Železný Katedra kybernetiky skupina Inteligentní Datové Analýzy (IDA) Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Filip Železný (ČVUT) Vytěžování dat 1 / 26
DFT. verze:
Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály
Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36
(1) Vzorové otázky Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36 Limity - úlohy Otázka Určete lim x 0 f (x) A -3 B 0 C 5 D 7 E D Zdroj: Calculus: Single and Multivariable,
Ústav teorie informace a automatizace. Tato prezentace je k dispozici na:
Aplikace bayesovských sítí Jiří Vomlel Ústav teorie informace a automatizace Akademie věd České republiky Tato prezentace je k dispozici na: http://www.utia.cas.cz/vomlel/ Obsah přednášky Podmíněná pravděpodobnost,
Linea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
Úvod do pravděpodobnosti a statistiky
KMA/MAT1 Přednáška č. 3, Úvod do pravděpodobnosti a statistiky 3. října 2016 1 Pravděpodobnost [Otipka, Šmajstrla] 1.1 Náhodný pokus, náhodný jev Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.
Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
Katedra kybernetiky skupina Inteligentní Datové Analýzy (IDA) 3. listopadu Filip Železný (ČVUT) Vytěžování dat 3. listopadu / 1
Vytěžování dat Filip Železný Katedra kybernetiky skupina Inteligentní Datové Analýzy (IDA) 3. listopadu 2014 Filip Železný (ČVUT) Vytěžování dat 3. listopadu 2014 1 / 1 Metafora pro tuto přednášku Filip
Stochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS
Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě
Powyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy!
Krykiet W krykieta może grać od 2 do 4 osób, którzy albo grają każdy przeciw każdemu, albo dzielą się na dwie drużyny. Bramki oraz palik startowy i powrotne umieszcza się tak, jak pokazano na rysunku.
Algebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se
Algebra I Cvičení Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se kterými jsem při přípravě cvičení spolupracoval. Sbírka vznikla modifikací některých
Obsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.
Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:
Kombinatorika a grafy I
Kombinatorika a grafy I Martin Balko 1. přednáška 19. února 2019 Základní informace Základní informace úvodní kurs, kde jsou probrány základy kombinatoriky a teorie grafů ( pokračování diskrétní matematiky
Obsah. Zobrazení na osmistěn. 1 Zobrazení sféry po částech - obecné vlastnosti 2 Zobrazení na pravidelný konvexní mnohostěn
Obsah 1 2 3 Použití Zobrazení rozsáhlého území, ale hodnoty zkreslení nesmí přesáhnout určitou hodnotu Rozdělením území na menší části a ty pak zobrazíme zvlášť Nevýhodou jsou však samostatné souřadnicové
Matematika pro ekonomiku
Statistika, regresní analýza, náhodné procesy 7.10.2011 1 I. STATISTIKA Úlohy statistiky 2 1 Sestavit model 2 Odhadnout parametr(y) 1 Bodově 2 Intervalově 3 Testovat hypotézy Častá rozdělení ve statistice:
Paradoxy geometrické pravděpodobnosti
Katedra aplikované matematiky 1. června 2009 Úvod Cíle práce : Analýza Bertrandova paradoxu. Tvorba simulačního softwaru. Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 V rovině je zadán kruh
Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU
Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více
5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme
Matematika III Stechiometrie stručný
Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup
kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)
TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z
Kombinatorika a komplexní aritmetika
a komplexní aritmetika katedra matematiky, FEL ČVUT v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ Jan Hamhalter Datum Komplexní čísla, kombinatorika 1/56 Historie: Zavedení komplexních čísel bylo motivováno snahou
Internet a zdroje. (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec. Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17.
Internet a zdroje (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17. listopadu 12 26. listopadu 2010 (KFC-INTZ) Databáze, citování 26. listopadu 2010
NÁVOD K POUŽITÍ KEZELÉSI KÉZIKÖNYV INSTRUKCJA OBSŁUGI NÁVOD NA POUŽÍVANIE. Česky. Magyar. Polski. Slovensky
CANON INC. 30-2 Shimomaruko 3-chome, Ohta-ku, Tokyo 146-8501, Japan Europe, Africa & Middle East CANON EUROPA N.V. PO Box 2262, 1180 EG Amstelveen, The Netherlands For your local Canon office, please refer
Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32
Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html
Rovnice proudění Slapový model
do oceánského proudění Obsah 1 2 3 Co způsobuje proudění v oceánech? vyrovnávání rozdílů v teplotě, salinitě, tlaku, ρ = ρ(p, T, S) vítr - wind stress F wind = ρ air C D AU 2 10 slapy produkují silné proudy,
Pracovní listy. Stereometrie hlavního textu
v tomto dodatu jsou sebrána zadání všech úloh řešených v aitolách Planimetrie a tereometrie hlavního textu slouží ta jao racovní listy samostatnému rocvičení uvedených úloh Zracoval Jiří Doležal 1 eznam
x2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.
Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5
Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného
Katedra kybernetiky laboratoř Inteligentní Datové Analýzy (IDA) Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Vytěžování dat: klasifikace Filip Železný Katedra kybernetiky laboratoř Inteligentní Datové Analýzy (IDA) Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Filip Železný (ČVUT) Vytěžování
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. rizik. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Milena Benešová Aktuárský přístup k modelování kreditních rizik Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové
Zadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných
Příklad k procvičení : Průřeové charakteristik Zadání: Vpočítejte hlavní moment setrvačnosti a vkreslete elipsu setrvačnosti na adaných obracích. Příklad. Zadání: Rokreslení na jednoduché obrace: 500 T
1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A
1 Definice 1. Množiny: podmnožina: A B x(x A x B) průnik: A B = {x A x B} sjednocení: A B = {x x A x B} rozdíl: A B = {x A x B} A B A B vlastní podmnožina 2. uspořádaná dvojice: (x, y) = {{x}, {x, y}}
Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské
Co to znamená pro vztah mezi simultánní a marginální hustotou pravděpodobnosti f (x) (pravděpodobnostní funkci p(x))?
Ondřej Pokora M5120 Lineární statistické modely I poznámky do cvičení podzim 2011 1 / 36 12.12.2011 Maximálně věrohodné odhady Náhodný výběr X 1,..., X n rosahu n z rozdělení pravděpodobnosti P: X i P
Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)
![Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)](/thumbs/95/126221157.jpg "Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)")
KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A
Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
NDMI002 Diskrétní matematika
NDMI002 Diskrétní matematika prof. RNDr. Martin Loebl, CSc. ZS 2016/17 Obsah 1 Množiny 2 1.1 Relace....................................... 2 1.2 Ekvivalence.................................... 3 1.3 Částečné
FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA AKUTA STAVEBNÍ Stavební statika Pohyblivé zatížení Jiří Brožovský Kancelář: P H 406/3 Telefon: 597 32 32 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast0.vsb.cz/brozovsky
Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52
í150doc-start í251doc-start Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Matematika 1 Jiří Fišer 24. září 2013 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Zimní semestr
Petr Beremlijski, Marie Sadowská
Počítačová cvičení Petr Beremlijski, Marie Sadowská Katedra aplikované matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB - Technická univerzita Ostrava Cvičení : Matlab nástroj pro matematické modelování
Vybrané partie z kvantitativního řízení rizik - kreditní riziko
Vybrané partie z kvantitativního řízení rizik - kreditní riziko 1 Úvod Kreditní riziko je riziko vyplývající z neschopnosti nebo neochoty protistrany splatit své závazky. Basilejský rámec pro kapitálovou
Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy.
1 Kapitola 1 Množiny 1.1 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky. Pro známé množiny
Návod k použití BUBNOVÁ SUŠIČKA
Návod k použití BUBNOVÁ SUŠIČKA CZ Česky, 1 SK Slovenčina, 52 TCD 83B HU Magyar, 18 TR Türkçe, 69 PL Polski, 35 Při prvním zapnutí sušičky musíte zvolit preferovaný jazyk, viz str. 6 Obsah Důležité informace,
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text
Komplexní analýza. Příklad Body. Nepište obyčejnou tužkou ani červeně, jinak písemka nebude přijata. Soupis vybraných vzorců. 4a.
Komplexí aalýa Písemá část koušky (XX.XX.XXXX) Jméo a příjmeí:... Podpis:... Příklad.. 3.. 5. Body Před ahájeím práce Vyplňte čitelě rubriku Jméo a příjmeí a podepište se. Během písemé koušky smíte mít
Internetová matematická olympiáda 8. ročník, Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem:
Internetová matematická olympiáda 8. ročník, 24. 11. 2015 1. Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem: Kamarád: Co jsi tak veselý? Něco slavíš? Student FSI: Já přímo ne,
Obsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β
Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................
TGH01 - Algoritmizace
TGH01 - Algoritmizace Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Metainformace materiály: jan.brezina.matfyz.cz/vyuka/tgh (./materialy/crls8.pdf - Introduction to algorithms) SPOX: tgh.spox.spoj.pl
Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Matematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz
Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza II pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/
TGH01 - Algoritmizace
TGH01 - Algoritmizace Jan Březina Technical University of Liberec 28. února 2017 Co je to algoritmus? Porovnávání algoritmů Porovnávání algoritmů Co je to algoritmus? Který algoritmus je lepší? Záleží
Geometrická nelinearita: úvod
Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,
Škola matematického modelování 2017
Počítačová cvičení Škola matematického modelování 2017 Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Marie Sadowská Počítačová cvičení Škola matematického modelování Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Marie Sadowská Katedra
Obsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30
Určitý integrál Robert Mřík 6. září 8 Obsh 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. Výpočet Newtonov Leibnizov vět. 18 3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo 19 4 Aplikce výpočet objemů obshů 3 c Robert
z předmětu Matematika 2: Funkce dvou a více
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testování znalostí studentů příprava ke zkoušce z předmětu Matematika 2: Funkce
Popisná statistika. David Hampel. Přednáška Statistika 1 (BKMSTA1) 13. říjen 2012, Brno.
12235@mail.muni.cz Přednáška Statistika 1 (BKMSTA1) 13. říjen 2012, Brno Motivace slouží zejména k prezentaci dat a výsledků. Číselné charakteristiky informují o úrovni, variabilitě a těsnosti závislosti
Univerzita Palackého v Olomouci
Počítačová grafika - 5. cvičení Radek Janoštík Univerzita Palackého v Olomouci 22.10.2018 Radek Janoštík (Univerzita Palackého v Olomouci) Počítačová grafika - 5. cvičení 22.10.2018 1 / 10 Reakce na úkoly
Základní elektrotechnická terminologie,
Přednáška č. 1: Základní elektrotechnická terminologie, veličiny a zákony Obsah 1 Terminologie 2 2 Veličiny 6 3 Kirchhoffovy zákony 11 4 Literatura 14 OBSAH Strana 1 / 14 1 TERMINOLOGIE Strana 2 / 14 1
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. bankovnictví. Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Barbora Janečková Aplikace 2-dimenzionálních rozdělení v bankovnictví Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí
PROGRAMECH JOSEF TVRDÍK ČÍSLO OBLASTI PODPORY: STUDIJNÍCH PROGRAMECH OSTRAVSKÉ UNIVERZITY REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/2.2.00/28.
ANALÝZA VÍCEROZMĚRNÝCH DAT URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH JOSEF TVRDÍK ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ.1.07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST OPATŘENÍ:
Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více
Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Poslední úprava dokumentu: 7. května 2019
Poslední úprava dokumentu: 7. května 2019 Budu velmi vděčný za upozornění na případné chyby a překlepy. 1 Podmíněné hustoty, podmíněné momenty Z teorie pravděpodobnosti (NMSA 333 víme, že podmíněná střední
K SAMOSTATNÉ MODULOVÉ SCHODY MONTÁŽI. asta
N O V I N K A K SAMOSTATNÉ MODULOVÉ SCHODY MONTÁŽI asta MODULOVÉ SCHODY asta...jsou nejnovějším výrobkem švédsko-polského koncernu, který se již 10 let specializuje na výrobu schodů různého typu. Jednoduchá
Obsah Atributová tabulka Atributové dotazy. GIS1-2. cvičení. ČVUT v Praze, Fakulta stavební, katedra mapování a kartografie
ČVUT v Praze, Fakulta stavební, katedra mapování a kartografie září 2010 prezentace 1 2 Obecně otevření atributové tabulky (vlastnosti vrstvy Open Attribute Table) řádky v tabulce jednotlivé záznamy (objekty)
Lineární algebra - iterační metody
Lineární algebra - iterační metody Numerické metody 7. dubna 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Rozdělení Metody Zastavení SOR Programy 1 Úvod Úvod - LAR Mějme základní úlohu A x = b, (1) kde A R n,n je
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 8. přednáška: Kvadratické formy Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
A71100TSW0 CS MRAZNIČKA NÁVOD K POUŽITÍ 2 PL ZAMRAŻARKA INSTRUKCJA OBSŁUGI 18 SL ZAMRZOVALNIK NAVODILA ZA UPORABO 35
A71100TSW0 CS MRAZNIČKA NÁVOD K POUŽITÍ 2 PL ZAMRAŻARKA INSTRUKCJA OBSŁUGI 18 SL ZAMRZOVALNIK NAVODILA ZA UPORABO 35 2 PRO DOKONALÉ VÝSLEDKY Děkujeme vám, že jste si zvolili výrobek značky AEG. Aby vám
Sb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.
Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura