Matematická analýza II

Transkrypt

1 Mtemtická lýz II Edit Peltová ktedr mtemtiky Fkult jderá fyzikálě ižeýrská ČVUT Trojov 3, Prh

2 Předmluv Skriptum je určeo studetům prvího ročíku FJFI jko učebí pomůck k předáškám z mtemtické lýzy. Pokrývá látku předášeou v letím semestru. Přestože je výkld doplě ilustrujícími příkldy, emůže hrdit cvičeí k předášce. Důležitým doplňkem tohoto skript jsou sbírky příkldů: Cvičeí z mtemtické lýzy, Difereciálí počet J. Mreš, J. Vodráčková) Cvičeí z mtemtické lýzy, Itegráí počet řdy E. Peltová, J. Vodráčková). Závěrem chci poděkovt své bývlé kolegyi Jě Vodráčkové, která svými předáškmi v miulých letech rozhodujícím způsobem ovlivil áplň předmětu Mtemtická lýz FJFI. Dále chci poděkovt Miloslvu Zojilovi, svému kolegovi z Dopplerov ústvu, z velice pečlivé přečteí rukopisu i z ceé připomíky, které pomohly zvýšit úroveň textu. Rověž jsem vděčá mohým studetům, kteří v mých pozámkách z předášky odstrili četé typogrfické i věcé chyby; zvláští dík ptří studetovi Václvu Potočkovi z pomoc s obrázky, které jsem v textu použil. Prh, lede 2007 Autork ii

3 Sezm použitých symbolů symbol pro příslušost prvku k možiě, průik, resp. sjedoceí moži k= podmoži existečí kvtifikátor obecý kvtifikátor součet sčítců N moži přirozeých čísel {, 2, 3,...} Z Q R R C C [x] moži celých čísel moži rcioálích čísel moži reálých čísel rozšířeá moži reálých čísel moži komplexích čísel rozšířeá moži komplexích čísel prázdá moži celá část čísl x :=, =: rovost defiující ový objekt α k) T,f, R d fx) = f b f implikce ekvivlece ozčeí koce důkzu kombičí číslo α d k -tý Tylorův polyom fukce f v bodě -tý zbytek v Tylorově vzorci difereciál fukce f v bodě x symbol pro ekoečou řdu i její součet zk itegrálu moži primitivích fukcí k fukci f určitý itegrál fukce f od do b iii

4 Obsh Aproximce fukce polyomem. Tylorův vzorec Odhd chyby v Tylorově vzorci Číselé řdy 6 2. Zákldí pojmy Řdy s kldými čley Řdy s obecými čley Přerováí řdy ásobeí řd Mocié řdy Defiice vlstosti mociých řd Rozvoj fukce do mocié řdy Aplikce mociých řd Primitiví fukce Defiice primitiví fukce Metody výpočtu primitiví fukce Primitiví fukce speciálích tříd fukcí Riemův itegrál Určitý itegrál: Cuchyov-Riemov defiice Určitý itegrál jko limit poslouposti Vlstosti určitého itegrálu Výpočet určitého itegrálu Věty o středí hodotě itegrálu Zobecěý Riemův itegrál Defiice zobecěého itegrálu Výpočet zobecěého itegrálu Kovergece zobecěého itegrálu iv

5 7 Aplikce Riemov itegrálu Délk grfu fukce Zvedeí goiometrických fukcí číslo π Odhdy fktoriálu v

6 Kpitol Aproximce fukce polyomem. Tylorův vzorec Polyomy jsou fukce, jejichž hodotu ve zvoleém bodě umíme sdo vypočítt. Pomocí polyomů lze rověž dobře proximovt ěkteré dlší rozumé fukce. V této kpitole budeme uvžovt pouze reálé polyomy px) = k x k, kde 0,,..., R,.) k=0 tedy fukce p : R R. Abychom tohoto zápisu mohli používt i pro hodotu x = 0, pokládáme 0 0 =. Je-li 0, zýváme idex stupěm polyomu p. V přípdě, že všechy koeficiety i jsou ulové, zveme p ulovým polyomem jeho stupeň edefiujeme. Budeme-li všk mluvit o polyomech stupě ejvýš, budeme mezi tyto polyomy počítt i ulový polyom. Ze zákldí věty lgebry plye, že koeficiety 0,,..., dého polyomu p jsou určey jedozčě. Podle biomické věty je x k = x ) + ) k = k i=0 ) k x ) i k i,.2) i proto lze pro libovolé pevě zvoleé R vyjádřit polyom p rověž ve tvru px) = b k x ) k, kde b 0, b,..., b R..3) k=0 Pro polyom p dý vzthem.) bod R jsou koeficiety b 0, b,..., b rověž určey jedozčě. Nvíc z vyjádřeí.2) plye, že koeficiet b je eulový právě tehdy, když stupeň polyomu p je. Vět... Necht reálá fukce reálé proměé f má v bodě R koečou -tou

7 derivci. Potom existuje právě jede polyom T stupě tkový, že Teto polyom má tvr T k) ) = f k) ) pro kždé k = 0,,...,. T x) = k=0 f k) ) k! x ) k zýváme jej -tým Tylorovým polyomem fukce f v bodě. Důkz. Uvžujme polyom p stupě ejvýš ve tvru.3). Jeho k-ásobým zderivováím doszeím bodu dosteme p k) ) = k! b k. Protože hledáme polyom, pro který by k-tá derivce v bodě byl rov k-té derivci fukce f v bodě pro všech k = 0,,...,, musí pltit k! b k = f k) ) = b k = f k) ) k! pro kždé k = 0,,...,. Koeficiety b k jsou proto jedozčě určey, tedy existuje jediý polyom hledých vlstostí. Pozámk. Neí-li z kotextu jsé, v jkém bodě jké fukci přiřzujeme Tylorův polyom, použijeme místo stručého T ozčeí T,f,. Tylorovy polyomy důležitých fukcí v bodě = 0. Pro fukci fx) = e x je f k) x) = e x. Proto f k) 0) = pro kždé k = {0} N fx) = e x T x) = k=0 k! xk Pro fukci fx) = si x je f 2k) x) = ) k si x f 2k+ x) = ) k cos x. Po doszeí bodu = 0 dosteme f 2k) 0) = 0 f 2k+) 0) = ) k. Proto fx) = si x T 2+ x) = T 2+2 x) = k=0 ) k 2k + )! x2k+ Pro fukci fx) = cos x je f 2k) x) = ) k cos x f 2k+ x) = ) k+ si x. Po doszeí bodu = 0 dosteme f 2k) 0) = ) k f 2k+) 0) = 0. Proto 2

8 fx) = cos x T 2 x) = T 2+ x) = k=0 ) k 2k)! x 2k Ozčme fx) = l+x). Pltí f0) = 0, protože pro přirozeé k je k-tá derivce f k) x) = ) k k )! + x) k, dosteme f k) 0) = ) k k )!. Tylorův polyom má tvr fx) = l + x) T x) = k= ) k k x k Uvžujme α R fukci fx) = + x) α. Její k-tá derivce pro kždé celé k 0 má tvr f k) x) = αα )... α k + ) + x) α k. Po doszí bodu 0 dosteme f k) 0) = αα )... α k + ). Defiujme výrz čteý α d k tkto ) { α := k když k = 0, αα )...α k+) k! když k N. Číslo α d k je tedy defiové pro libovolé reálé α. To, že jsme zvolili stejé zčeí, jké je zvykem používt pro kombičí čísl, eí áhodé. Když α je α! přirozeé, še defiice se shoduje s defiicí kombičího čísl. Při tomto k!α k)! zčeí můžeme zpst Tylorův polyom tkto fx) = + x) α T x) = k=0 ) α x k k Motivcí pro Tylorovy polyomy byl proximce fukce. Proto ás zjímá, jké chyby se dopustíme, když hodotu fukce v bodě x hrdíme hodotou Tylorov polyomu ve stejém bodě. Defiice..2. Necht fukce f má v bodě koečou -tou derivci. Položme R x) := fx) T x). Pk vzth fx) = T x) + R x) zýváme Tylorovým vzorcem R x) zýváme -tým zbytkem v Tylorově vzorci. 3

9 Abychom v dlším textu emuseli opkovt u vět stejé předpokldy, zvedeme ásledující úmluvu. Úmluv. O fukci f, bodě R přirozeém čísle řekeme, že splňují zákldí předpokldy ZP), když existuje okolí H tkové, že pltí ) v kždém x H existuje koečá )-í derivce fukce f 2) v bodě existuje koečá -tá derivce fukce f. Vět..3. Necht pro f,, pltí ZP). Pk pro zbytek v Tylorově vzorci pltí Důkz. Z defiice zbytku plye, že lim x R x) x ) = 0. R ) = R ) = R ) =... = R ) ) = R ) ) = 0. Ze ZP) defiice -té derivce dosteme 0 = R ) R ) x) R ) ) ) = lim x x ) R ) x = lim x) x ). Existece limity ZP) ám umoží )-krát použít l Hospitlovo prvidlo výrzy typu 0. Dosteme 0 lim x R x) x ) = lim x R x) x ) =... = lim x R ) x)! x ). To dokzuje tvrzeí věty. Peův tvr zbytku. Ozčíme-li ω x) := Rx) x ), lze Tylorův vzorec pst ve tvru fx) = T x) + ω x).x ), kde lim ω }{{} x) = 0. x Peův tvr zbytku Zápis pomocí tohoto tvru zbytku lze plikovt výpočet limit. Příkld..4. Počítme limitu lim x 0 e x x x 2. Použijeme Tylorův vzorec pro fukci fx) = e x, bod = 0 = 2. Dosteme e x x lim x 0 x 2 = lim x 0 T 2 x) + ω 2 x)x 2 x x x + x2 = lim + ω 2 2x)x 2 x = x 0 x 2

10 ) = lim ω2 x) + x 0 2 =. 2 Příkld..5. Pro výpočet ásledující limity x si x lim x 0 x 3 = lim x 0 x T 3 x) ω 3 x)x 3 x 3 x x + x3 ω 3! 3 x)x 3 = lim = x 0 x 3 6 jsme použili Tylorův polyom stupě 3 pro fukci si x v bodě = 0. Tuto limitu jsme mohli spočítt i podle víceásobé plikce l Hospitlov prvidl. Proto si uved me ještě jede příkld. Příkld..6. Peov zbytku pro fukci logritmus využijeme pro výpočet limity l + y) = y 2 y2 + ω 2 y).y 2, kde lim y 0 ω 2 y) = 0 lim x x 2 l + x + x) ) = lim x x 2 x + x 2x + ω 2/x). )) 2 x 2 Příkld..7. Určeme limitu poslouposti vzorec fukce + x) 2 + x) 2 = + x 2 + xω x). Dosteme = lim + ω x + 2 2/x) =. 2 si 2 π 2 + )). Využijeme Tylorův pro prví Tylorův polyom s Peovým tvrem zbytku, tj. 2 + = + = ω ) ) = ω ). Heieov vět, spojitost fukce si 2 x fkt, že si 2 x má periodu π, implikují si 2 π 2 + ) = si 2 π + π 2 + πω ) ) = si 2 π 2 + πω ) ) si 2 π 2 ) =. Aplikce Tylorov vzorce k vyšetřováí průběhu fukce. Necht fukce f má v jistém okolí bodu derivce ž do stupě k echt = f ) = f ) =... = f k ) ) = 0 f k) ). Pk podle Tylorov vzorce Výrz ) f fx) = T k x) + ω k x).x ) k k) ) = f) + + ω k x) x ) k. k! }{{} ) f k) ) + ω k! k x) ozčeý svorkou má pro x limitu rovou f k) ) k!, což je 5

11 dle předpokldu eulové číslo. Proto existuje okolí H, kterém teto výrz eměí zméko. Podle defiice lokálího extrému můžeme rozhodout: Je-li k sudé, pk je v bodě lokálí extrém, přičemž pro f k) ) > 0 je v bodě lokálí miimum, v opčém přípdě je v bodě lokálí mximum. Je-li k liché, pk je v bodě iflexe. Uvedeé použití Tylorov vzorce eí zdlek ejdůležitější. Dlší vlstost lze heslovitě vyslovit jko Tylorův polyom je ejlepší proximce přesě formulovt ve větě. Vět..8. o ejlepší proximci) Necht pro f,, pltí ZP) echt Qx) je polyom stupě, růzý od Tylorov polyomu T x) příslušejícího fukci f v bodě. Pk existuje tkové okolí H, že fx) T x) < fx) Qx) pro kždé x H {}. Důkz. Uvžujme polyomy T Q ve tvru T x) = α k x ) k Qx) = k=0 β k x ) k. k=0 Protože se jedá o dv růzé polyomy, pltí i := mi{ k α k β k }. Použijeme vyjádřeí fukce f pomocí Peov zbytku fx) = T x) + ω x).x ). Pro x dosteme fx) Qx) x ) = i T x) + ω x).x ) Qx) x ) i = k=i α k β k )x ) k + ω x).x ) x ) i = = α i β i ) + Tedy pro x jdoucí k je α k β k )x ) k i + ω x)x ) i. k=i+ fx) Qx) x ) i α i β i > 0, 6

12 ztímco fx) T x) x ) i 0. Z věty o erovostech v limitě plye, že existuje okolí H tk, že fx) Qx) x ) i > fx) T x) x ) i pro kždé x H {}. Po vyásobeí posledí erovosti kldým x ) i dosteme tvrzeí věty. Důsledek..9. Když T x) T x), pk pro jisté okolí H pltí T x) fx) < T x) fx) pro kždé x H {}, tedy kždý dlší Tylorův polyom proximuje fukci f lépe. Následující obrázek zchycuje, jk se s rostoucím zlepšuje proximce fukce sius. T x) T 5 x) si x T 3 x) T 7 x) V důkze věty jsme evyužili kokrétí tvr Tylorov polyomu, le pouze jeho vlstost, že fx) T x) / x ) 0. Je-li tedy pro ějký polyom p stupě ejvýš limit podílu fx) px) / x ) pro x blížící se k rov 0, je polyom p ejlepší proximcí. Proto dlší větu lze uvést bez důkzu. Vět..0. Necht pro f,, pltí ZP). Necht dále pro polyom p stupě ejvýše reálou fukci ω pltí, že fx) = px) + x ). ωx), kde lim x ωx) = 0. Pk p je -tý Tylorův polyom fukce f v bodě. 7

13 Příkld... Určeme Tylorův polyom fukce fx) = e x2 v bodě = 0. Chceme-li jít T x) přímo z defiice potřebujeme určit f k) 0) pro kždé k. Protože fx) je fukce sudá, je kždá její lichá derivce f 2k+) x) fukce lichá, tedy f 2k+) 0) = 0. Z toho už můžeme odvodit, že T 2 = T 2+. Zjímjí ás tedy pouze f 2k) 0). K tomu le potřebujeme určit všechy derivce f k) x). Několikásobým derivováím fukce fx) zjistíme, že eí jedoduché odvodit tvr f k) x) pro obecé k. Myšleku zkostruovt Tylorův polyom přímo z defiice opustíme využijeme Tylorov vzorce pro fukci e x e x = k=0 k! xk + x ω x), kde lim x 0 ω x) = 0. Protože teto vzth pltí pro kždé reálé x, lze dosdit z proměou do rovosti x 2. Dosteme e x2 = k=0 Z věty o limitě složeé fukce pk tké Z předchozí věty plye, že k! x2k + x 2 ω x 2 ). lim ω x 2 ) = 0. x 0 T 2 x) = T 2+ x) = k=0 k! x2k. Z toho, že víme, čemu se rová koeficiet u x 2k v Tylorově polyomu, odvodíme přímo těžko určitelou 2k-tou derivci f 2k) 0) 2k)! = k! = f 2k) 0) = 2k)! k!. Pozámk. Dlší pomůckou, která ám umoží hledt Tylorovy polyomy, je vzth mezi Tylorovým polyomem fukce Tylorovým polyomem její derivce. T,f, x) ) = k= f k) ) k )! x )k = k=0 f k+) ) k! x ) k = T,f,x). Ze zlosti )-ího Tylorov polyomu derivce fukce odvodíme -tý Tylorův polyom původí fukce: T,f,x) = k x ) k x ) k+ = T,f, x) = f) + k k + k=0 k=0. 8

14 Příkld..2. v bodě 0. Nším úkolem bude určit Tylorův polyom fukce fx) = rctg x Určit k-tou derivci fukce pro obecé k evypdá schůdě. Zto umíme určit Tylorův polyom derivce. Využijeme zlosti Tylorov vzorce pro fukci + x) α se speciálí volbou α = : + x) = ) x k + x ω x), kde lim ω x) = 0. k x 0 k=0 Jelikož ) k = ) k, dosteme po hrzeí proměé x výrzem x 2 rovost ) rctg x = + x = ) k x 2k + x 2 ω 2 x 2 ). k=0 To už implikuje, že Tylorův polyom derivce fukce rctg x je polyom k=0 )k x 2k. Předchozí pozámk lichost fukce rctg pk dává řešeí šeho úkolu fx) = rctg x = T 2+ x) = T 2+2 x) = k=0 ) k 2k + x2k+..2 Odhd chyby v Tylorově vzorci Větou o ejlepší proximci je zruče existece okolí H, ve kterém je chyb proximce Tylorovým polyomem meší ež při použití jiého polyomu. V dlším kroku ás zjímá, jké chyby se dopustíme pro kokrétí x. Vět.2.. Tylorov) Necht existuje okolí H bodu tkové, že fukce f v ěm má koečou +)-í derivci. Pk zbytek v Tylorově vzorci fx) = T x) + R x) má tvr R x) = f +) ξ) + )! x ) + pro x H. Číslo ξ závisí x leží uvitř itervlu s krjími body x,. Důkz. Zvolme pevě x H {}, ozčme J uzvřeý itervl s krjími body x ěm defiujme fukci ψz) := k=0 f k) z) k! x z) k. 9

15 Pro tkto defiovou fukci pltí ψ z) = f z)+ k= f k+) z) k! x z) k f k) z) k )! x z)k = f +) z) x z)..4)! k= Nvíc ψx) = fx) ψ) = T x)..5) Dále uvžujme fukci ϕz) spojitou J, která má uvitř tohoto itervlu koečou eulovou derivci. Tím máme splěy předpokldy Cuchyovy věty o přírůstku fukce. Proto existuje bod ξ z vitřku itervlu J tkový, že Po doszeí z.4).5) dosteme ψx) ψ) ϕx) ϕ) = ψ ξ) ϕ ξ). R x) ϕx) ϕ) = fx) T x) ϕx) ϕ) = f +) ξ)! x ξ) ϕ ξ)..6) Abychom dokočili důkz, stčí zvolit fukci ϕz) = x z) +. Dosdíme-li do.6) z ϕ ξ) = + )x ξ), získáme tvrzeí věty. Pozámk k důkzu. kroku důkzu fukci ϕz) = z, dosteme Pokud místo fukce ϕz) = x z) + zvolíme v posledím R x) x = f +) ξ)! x ξ) odsud získáme tzv. Cuchyův tvr zbytku. To, který ze zbytků je výhodější použít, závisí kokrétí fukci f. Lgrgeův tvr zbytku R x) = f +) ξ) + )! x ) + Cuchyův tvr zbytku R x) = f +) ξ)! x ξ) x ) 0

16 Příkld.2.2. Ve fyzikálích výpočech př. u mtemtického kyvdl) se lze setkt s proximcí si x. = x pro jisté mlé hodoty x. Chceme-li všk počítt hodoty fukce sius kosius pro všechy reálé hodoty x přesěji - řekěme s přesostí 0 8, jk to dělá běžá klkulčk - potřebujeme lepší proximci. Kvůli periodicitě, symetriím vzthům mezi fukcemi si cos stčí umět počítt s dosttečou přesostí hodoty si x cos x pro x 0, π 4 ). Využijeme Tylorov vzorce Lgrgeov tvru zbytku pro stupeň Tylorov polyomu 2 + 2, si x = ) k 2k + )! x2k+ + )+ cosξ x, ) x )! }{{} R 2+2 x) k=0 Odhděme velikost zbytku pro x 0, π 4 ) R 2+2 x) x )! Už pro = 4 je A <, Ze vzthu π 4 ) )! =: A. si x =. x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! máme hodotu si x s chybou meší ež 0 8 pro kždé x 0, π 4 ). Příkld.2.3. Fukce fx) = e x je ekoečěkrát diferecovtelá celém R. Pro bod = 0 je její zbytek v Lgrgeově tvru R x) = eξ x +, +)! pro kždé N kždé x R, kde ξ < x. Abychom ezpoměli závislost ξ x, budeme používt zčeí ξ ξ x,. Nerovost ξ x, < x implikuje e ξ x, < e x. Můžeme proto odhdout R x) = e ξ x, + )! x+ < Lze tedy pst rovost e x + )! x + 0 pro pevé x R. e x = lim + k=0 x k k! pro kždé x R Fukci e x se ám podřilo pst jko limitu jejích Tylorových polyomů. Použili jsme ásledující jedoduché tvrzeí.

17 Tvrzeí.2.4. Necht fukce f je v bodě R ekoečěkrát diferecovtelá x D f. Pk fx) = lim T x) lim R x) = Důkz. Tvrzeí získáme limitím přechodem v Tylorově vzorci fx) = T x) + R x). Pozámk. Sdo odvodíme utou podmíku pro to, by lim T x) byl rov číslu fx): lim T x) = fx) lim T x) T x) ) f ) ) = 0 lim x ) = ! Zobecěý biomický vzorec Zkoumejme, kdy fukce fx) = + x) α je rov limitě svých Tylorových polyomů. Připomeňme, že f ) x) = αα )... α + ) + x) α. Odtud jsme odvodili f ) 0) = α! ). Pro α N {0} je fukce + x) α polyomem pro > α je -tá derivce ideticky rov 0. Proto T α x) = T α+ x) =.... Vzth fx) = T α x) je vlstě obyčejým biomickým vzorcem, tedy pltí pro kždé x R. Uvžujme α / N {0}. Zkoumejme ejdříve utou podmíku odvozeou v předchozí pozámce. Pro výpočet limity f ) 0) lim +! x = lim + ) α x použijeme podílové kritérium. Dosteme ) α + x + ) α x = α + x x = lim + f ) 0)! x = { + pro x > 0 pro x < Rovost + x) α = lim T x) má proto šci pltit pouze pro x,. Uvžujeme ejprve x, ). Po doszeí do Cuchyov tvru zbytku dosteme R x) = f +) ξ x, )! x ξ x, ) x = αα )... α )! + ξ x, ) α x ξ x, ) x Necht pro kldou posloupost ) existuje l := lim +. Je-li l >, pk lim = +, ztímco je-li l <, pk lim = 0. 2

18 ) ) α ξ x, = α x + + ξ x, ) α x. + ξ x, Výrzy obshující ξ x, odhdeme tk, bychom ξ x, vyloučili. Využijeme toho, že pro kldé x je 0 < ξ x, < x pro záporé x je x < ξ x, < 0. Sdými úprvmi, jež přeecháme čteáři, ověříme, že 0 < ξ x, x < 0 < + ξ x, ) α < mx{ + x) α, } =: K. + ξ x, Odhdem použitím podílového kritéri dosteme ) R x) α Kα x + Proto pltí zobecěý biomický vzorec 0. + x) α = lim + k=0 ) α x k pro kždé x, ) k Pltost předchozí rovosti lze pro ěkterá α rozšířit i hodoty x = ebo x =. Diskusi této otázky odložíme pozdější dobu, kdy budeme mít k dispozici silější mtemtický prát. Špté chováí Tylorových polyomů Následující příkld ukzuje, že zdlek e kždou fukci lze dobře proximovt jejím Tylorovým polyomem. Mějme fukci defiovou předpisem fx) = Průběh fukce zchycuje obrázek. { e x 2 pro x 0, 0 pro x = 0. Jelikož lim x 0 f = 0 = f0), fukce f je spojitá v bodě 0, pro výpočet derivce v bodě 0 3

19 lze použít Drbouxovu větu, f 0) = lim f 2 x) = lim x 0 x 0 x 3 e x 2 = 0. Posledí rovost plye z obecějšího vzthu, který pltí pro k N, lim x 0 ± x k e x 2 x = lim k = lim x 0 ± e x 2 y ± y k e y2 = dle l Hospitl = 0..7) Protože f 0) = lim x 0 f, je prví derivce spojitá v bodě 0, proto f 0) lze spočítt opět pomocí Drbouxovy věty. Pro výpočet limity využijeme.7), f 0) = lim x 0 f x) = lim x 0 Idukcí sdo hlédeme, že f ) x) má tvr f ) x) = P 6x 4 + 4x 6 ) ) x e x 2, e x 2 = 0. kde P y) je polyom. Opkovým použitím.7) Drbouxovy věty dosteme f ) 0) = 0 pro kždé N. Tylorův polyom fukce f má tedy tvr T x) = 0 pro kždé přirozeé zbytek má z defiice tvr R x) = e x 2 pro kždé x 0. Podmík lim R x) = 0, která je utá k tomu, by se fukce rovl limitě svých + Tylorových polyomů, eí splěá pro žádé eulové x. N závěr kpitoly zvedeme termí difereciál, který je běžě používá v růzých plikcích. Necht fukce f má v bodě x prví derivci. Tylorův vzorec pro = má tvr fx + h) = fx) + f x).h + h.ωx + h), kde lim h 0 ωx + h) = 0. 4

20 Výrz f x).h zýváme difereciál 2 zčíme d fx) = f x).h Npříkld d x 3 = 3x 2.h, d si x = cos x.h Protože d x =.h, hrzuje se čsto h v zápisu difereciálu výrzem d x. Difereciál lze tedy zpst d fx) = f x).d x. Teto zápis vede i k tzv. Leibizově symbolice pro derivci fukce d fx) d x = f x). 2 Difereciál vystihuje přírůstek fukce v bodě x + h oproti bodu x jeom přibližě. Pouze pro h = 0 je hodot difereciálu přesá to 0). To ebráilo Leibizovi mohým dlším, by prcovli s difereciálem jko s přesou hodotou i pro eulové h. Přitom správost svých dedukcí ty správé byly!) obhjovli tím, že h, se kterým prcují, je ekoečě mlá, tzv. ifiitezimálí veliči. Rověž Isc Newto používl ekoečě mlé veličiy, říkl jim fluxe. Ozvly se všk i kritické hlsy, které přirovávly ifiitezimálí veličiy k duchům zemřelých veliči - ty jedou jsou ulové pk zse ejsou, podle potřeby opercí, které se s imi provádějí. 5

21 Kpitol 2 Číselé řdy 2. Zákldí pojmy Tto kpitol je věová limitám číselých posloupostí, jejichž -tý čle vzikl součtem prvích čleů jié poslouposti. S limitmi tkových posloupostí jsme se už setkli záme lim + k= 2 k =, lim + k=0 k! = e lim + ) k k= k = l 2. Podobé limity hrjí v mtemtice výzmou roli. V kpitole Tylorův vzorec jsme už měli možost vidět, jk lze hodoty zámých fukcí vyjádřit jko limity posloupostí tohoto typu. Pro kždé x R příkld pltilo si x = lim ) k + k=0 x 2k+, td. 2k+)! Defiice 2... Necht ) N je číselá posloupost. Posloupost jejich částečých součtů s ) N defiujeme vzthem Dvojici posloupostí s = pro kždé N. ) N, s ) N ) pk zýváme číselou řdou zčíme ji symbolem + =, kde zýváme -tým čleem číselé řdy. Existuje-li koečá limit s = lim s, + říkáme, že řd koverguje má součet s. V opčém přípdě říkáme, že řd diverguje. Pozámk. Uved me tři kometáře k předchozí defiici.. Divergetí řdy ještě dělíme podsttě divergetí, pro ěž lim s existuje, le eí koečá, oscilující, pro ěž lim s eexistuje. 6

22 2. Jestliže idexováí původí číselé poslouposti ) zčíá jiým celým číslem ež jedičkou, uprvujeme i idexováí číselé řdy. Npř. k poslouposti ) 5 přiřzujeme řdu + =5, td. 3. Pro řdu tedy dvojici posloupostí) i pro její součet tedy číslo) se vžilo stejé zčeí + =. My u této zvyklosti zůsteme budeme zpisovt = 2 =, + =0 + k! = e, = = +. Neviá edblost této kovece eježe ezpůsobí žádé zmtky, le dá ám i možost psát = ) osciluje. Defiice Řekeme, že řdy + = + = b mjí stejý chrkter, když obě součsě kovergují, ebo obě součsě oscilují, ebo obě jsou součsě podsttě divergetí. Pozámk. Změíme-li hodoty pro koečě moho idexů, chrkter ové původí řdy je stejý. Speciálě, když vyecháme koečý počet čleů poslouposti, máme řdu se stejým chrkterem, le jiým součtem. Vět utá podmík kovergece) Když řd + = koverguje, pk lim = 0. + Důkz. Koečost limity posloupostí s ) implikuje 0 = lims s ) = lim. Příkld Řd + = diverguje, protože lim =. Příkld Řd + = diverguje, i když lim že podmík lim = 0 eí podmíkou postčující. = 0. Teto příkld demostruje, Jk už bylo zmíěo v úvodu, řdy jsou speciálím přípdem posloupostí. Proto moho vět pro řdy je okmžitým důsledkem vět pltých pro poslouposti uvádíme je proto bez důkzu. Vět Necht + = + = b jsou číselé řdy. Když řdy + = + = b kovergují, pk tké řd + = + b ) koverguje. Když řd + = koverguje řd + = b diverguje, pk řd + = +b ) diverguje. 7

23 Necht α C {0}. Pk řdy + = + = α ) mjí stejý chrkter. Vět Bolzovo-Cuchyovo kritérium kovergece) Řd + = koverguje právě tehdy, když +p ε > 0) 0 ) N, > 0 ) p N) k=+ < ε ). Nejdříve se budeme zbývt chováím řd s kldými čley. Že právě tyto řdy mjí důležité postveí mezi řdmi, zdůvodňuje ásledující důsledek Bolzov-Cuchyov kritéri. Důsledek Koverguje-li řd + =, pk koverguje i řd + =. Důkz. Kovergece řdy + = je podle předchozí věty ekvivletí tvrzeí +p ε > 0) 0 ) N, > 0 ) p N) Z trojúhelíkové erovosti dosteme +p k=+ +p k=+ k=+ < ε. < ε To zmeá, že Bolzov-Cuchyov podmík kovergece je splě i pro řdu + =. ). Defiice Necht + = je kovergetí řd. Koverguje-li tké řd + =, říkáme, že řd + = koverguje bsolutě. Když řd + = diverguje, říkáme, že řd + = koverguje ebsolutě. 2.2 Řdy s kldými čley V této kpitole budeme zkoumt kovergeci řd + =, u kterých 0 pro kždé N. V tomto přípdě je posloupost čstečých součtů rostoucí, protože s + = s + + s pro kždé N. Tedy lim s existuje koečá ebo + ). To zmeá, že kždá řd s kldými čley je bud kovergetí ebo podsttě divergetí. Tři elemetárí pozorováí plyou z věty o erovostech v limitách. Nzýváme je srovávcí kritéri. 8

24 Vět Necht pro ezáporé poslouposti ) N b ) N pltí, že b od jistého idexu 0. Pokud Pokud + = diverguje, pk + = b koverguje, pk + = b diverguje. + = koverguje. Vět Necht pro kldé poslouposti ) N b ) N pltí, že od jistého idexu 0. + b + b Pokud Pokud + = diverguje, pk + = b koverguje, pk + = b diverguje. + = koverguje. Důkz. U erovostí k+ k b k+ b k prvé stry. Po zkráceí dosteme s idexy k = 0, 0 +,..., vyásobíme levé 0 b b 0 = 0 b 0 b pro kždé N, > 0. Protože řdy + = b + 0 = b 0 věty z věty b mjí stejý chrkter, plye tvrzeí dokzové Vět Necht ) N b ) N jsou kldé poslouposti tkové, že existuje L := lim. b Pokud L < + + = b koverguje, pk + = koverguje. Důkz. Pokud L > 0 + = b diverguje, pk + = diverguje. Pokud 0 < L < +, pk řdy + = b + = mjí stejý chrkter. Třetí bod věty je přímým důsledkem dvou předchozích bodů toho, že řdy s kldými čley mohou pouze kovergovt ebo podsttě divergovt. Proto stčí dokázt prví dvě tvrzeí. Pokud L < +, pk od jistého idexu 0 pltí erovost b < L +. To implikuje < L + )b. Předpokld kovergece řdy + = b vyucuje kovergeci řdy + = L + )b. Podle věty 2.2. erovost < L + )b dává kovergeci řdy + =. Pokud L > 0 je koečé, pk od jistého idexu 0 pltí erovost b > L ebo 2 ekvivletě > L 2 b. V přípdě, že L = +, pk od jistého 0 je b > čili > b. Z předpokldu divergece + = b dosteme plikcí věty 2.2. še tvrzeí. 9

25 Některá populárí kritéri pro kovergeci řd s kldými čley jsou v podsttě je speciálími přípdy vět 2.2., , do kterých je dosze jed z ásledujících řd se zámým chováím.. Geometrická řd + = q koverguje právě tehdy, když q <. Pro geometrickou řdu je -tý částečý součet rove s = q s = pro q =. Posloupost s ) má tedy koečou limitu, to q <. q q q q pro q, pouze pro 2.. Necht α R. Řd + = koverguje právě tehdy, když α > α Pro α kždé N je >. Protože hrmoická řd + α = je divergetí, plye z věty 2.2. divergece řdy + = Uvžujme α >. Ozčme ε := α > 0. U řdy s kldými čley = α ) ε + ) ε sdo určíme -tý částečý součet posléze součet celé řdy s = +) ε. N úprvu -tého čleu této kovergetí řdy použijeme Tylorův vzorec Dosteme + x) ε = εx + x.ωx), kde lim x 0 ωx) = 0. := ε + ) = ε + ) ε = ε ε ε ε + ) ω ) = ε ω ). ε +ε Ozčíme-li b = α = +ε, máme lim řdy + =. α b = ε > 0. Z věty plye kovergece 3. Řd + =2 l diverguje. Protože víme, že lim s existuje, můžeme součet řdy určit tk, že spočítáme limitu vybré poslouposti s 2 ), s 2 = 2 k=2 k l k = 2 k k= i=2 k + ) i l i 2 k k= i=2 k + ) = 2 k l 2 k = k= 2 k 2 k l 2 k = 2 l 2 k= k +. 20

26 Pozámk. I když řd + + = + = je divergetí. Jelikož +ε koverguje pro sebemeší pevé kldé ε, řd lim + = lim =, má podle věty řd + = + stejý chrkter jko hrmoická řd + =. A yí slíbeá kritéri. Prví dvě kritéri získáme porováím zkoumé řdy s geometrickou řdou. Cuchyovo odmociové kritérium: Necht 0 pro kždé N. ) Jestliže existuje q < 0 tkové, že pro kždé N, > 0 pltí q, pk řd + = koverguje. 2) Jkmile pro ekoečě moho idexů pltí, pk řd + = diverguje. Důkz. ) Z předpokldů plye, že q pro kždé od jistého idexu. Tvrzeí pk plye z věty 2.2. z toho, že geometrická řd s kldým kvocietem meším ež jed koverguje. 2) Předpokld implikuje, že pro ekoečě moho idexů je. Řd diverguje, protože eí splě i utá podmík kovergece 0. d Alembertovo podílové kritérium: Necht > 0 pro kždé N. ) Jestliže existuje q < 0 tkové, že pro kždé N, > 0 pltí řd + = koverguje. 2) Jkmile pro všechy idexy od jistého idexu 0 pltí + = diverguje. + q, pk +, pk řd Důkz. Obě tvrzeí plyou z věty 2.2.2, kde z b ) bereme geometrickou posloupost. V bodě ) bereme kvociet q 0, ) v bodě 2) bereme q =. Dlší kritérium dosteme, když jko srovávcí řdu použijeme + = koverguje pro α >., která α Rbeovo kritérium: Necht > 0 pro kždé N. 2

27 ) ) Existuje-li α > 0 tkové, že pltí + α pro kždé N, > 0, pk řd + = koverguje. ) 2) Když existuje 0 tkové, že pro kždé N, > 0 pltí +, pk řd + = diverguje. Důkz. ) Ozčme ε := α > 0 uvžujme kovergetí řdu b = =2 =2 ) + ε 2. Ověříme-li pltost erovosti + b + b, bude tvrzeí plyout z věty Z tímto účelem si rozepíšeme b + b = ) + ε 2 pomocí Tylorov vzorce jko b + b = + ε 2 ) ) ω. Nerovost + α lze ekvivletě přepst jko + α = +ε. Stčí ukázt, že od jistého idexu je + ε? + ε 2 ω ) To přepíšeme po jedoduchých ekvivletích úprvách odečteí vyásobeí erovosti číslem ) + ε? + ε 2 + ω ). Protože levá str erovosti má limitu ostře větší ež prvá str, podle věty o erovostech v limitách existuje 0 tk, že erovost, d kterou jsme udělli otzík, pltí pro 0. 2) Nerovost ) + je ekvivletí s erovostí +. Jelikož = b + b, můžeme položit b = divergece řdy + =2 plye přímo z věty z toho, že řd + =2 b je divergetí. Pozámk. Pro Cuchyovo d Alembertovo kritérium je třeb ověřit existeci q < tkového, že q, resp. + q, pro všech. To lze jedoduše provést lezeím limity poslouposti ), resp. + ), v přípdě, že tto limit existuje. Příkld Máme rozhodout o kovergeci řdy + 2 =. Použijeme Cuchyovo 2 + kritérium = ) Z defiice limity plye, že od jistého idexu 0 je 2 < , tedy řd koverguje. Pozámk. Rověž v Rbeově kritériu lze existeci poždového α > ebo splěí předpokldu druhé části sdo demostrovt pomocí výpočtu lim + ), pokud 22

28 existuje eí rov. Příkld Máme rozhodout o kovergeci řdy = ) 2 3 2) ). Podíl + = 2 2 pro kždé limit podílu je. Neí tedy možé použít d Alembertovo kritérium. Zkoumejme výrz relevtí pro Rbeovo kritérium ) + = 2 ) = e l 2 l 2. Protože l 2 <, zkoumá řd podle Rbeov kritéri koverguje. Jk jsme viděli dvou příkldech, k ověřeí předpokldů kritérií se používá výpočet limity. Proto se s oblibou tto kritéri vyslovují v tzv. limitím tvru, který je o ěco slbší. Cuchyovo odmociové kritérium - limití tvr: Necht 0 pro kždé N. ) Když lim = q <, pk řd + = koverguje. 2) Když lim = q >, pk řd + = diverguje. d Alembertovo podílové kritérium - limití tvr: Necht > 0 pro kždé N. ) Když lim + = q <, pk řd + = koverguje. 2) Když lim + = q >, pk řd + = diverguje. Rbeovo kritérium - limití tvr: Necht > 0 pro kždé N. ) ) Když lim + = α >, pk řd + = koverguje. ) 2) Když lim + = α <, pk řd + = diverguje. Kpitolu zkočíme Gussovým kritériem, které v podsttě jeom shruje předešlá kritéri. Gussovo kritérium: Necht ) je kldá posloupost, pro íž existují q, α R, kldé ε omezeá posloupost c ) tková, že + = q α + c +ε pro kždé N. 2.) ) Když je q < ebo když q = α >, pk řd + = koverguje. 2) Když je q > ebo když q = α, pk řd + = diverguje. 23

29 Důkz. Z tvru 2.) dosteme, že lim + = q. Je-li q, dává tvrzeí věty d Alembertovo podílové kritérium v limitím tvru. Je-li q =, dosteme z 2.), že lim + = α pro α umíme o kovergeci rozhodout podle Rbeov kritéri. ) Jediý přípd, který zbývá diskutovt, je q = α =. Uvžujme proto řdu, jejíž čley ) vyhovují pro kždé N vzthu Tuto řdu srováme s řdou + =3 + = + c +ε. b, kde b =. Tto divergetí řd je jedou ) l ) z těch, které jsme uváděli mezi klibrovcími. Uprvme ejdříve podíl jejích čleů, b + b = ) l ) l = ) l + l ) = + ) ) l l. Když ukážeme, že erovost b + b + divergece řdy k=. + b + c b ) l +ε l pltí od jistého idexu, bude z věty plyout ) c ε l }{{} + ) }{{} l ) }{{ } Protože výrz prvé strě posledí erovosti má limitu protože je podle předpokldu posloupost c ) omezeá, erovost pltí od jistého idexu 0. Příkld Vyšetříme kovergeci řdy + α = ), α R. Připomeňme, že ) α αα )... α + ) =.! Pro α N {0} je od idexu 0 = α + rovo 0, proto řd koverguje. Uvžujme proto α / N {0}. Při tkovém α jsou všechy čley řdy kldé. V Gussově kritériu místo podílu + / budeme uprvovt podíl /. Zjedoduší se techické úprvy, přitom chrkter řdy s čley řdy s čley je stejý. = α + = α + = α + Řd je tedy kovergetí právě tehdy, když α + >. 24 pro kždé > α +.

30 Připojeím přípdu α N {0} dostáváme závěr, že řd + α = ) koverguje právě tehdy, když α 0. Tvr Gussov kritéri by mohl svádět k doměce, že eexistují řdy s kldými čley, o jejichž kovergeci toto kritérium erozhode. Ale opk je prvdou. O ěkterých řdách totiž lze dokázt, že podíl + / elze vyjádřit ve tvru poždovém v Gussově kritériu. Mezi tkové ptří řd v ásledujícím příkldě. Příkld Zkoumejme v závislosti reálém prmetru β kovergeci řdy =2 Když β, tk pro kždé N {} je Protože řd + =2 l β. l β l. je divergetí, plye z věty 2.2. i divergece řdy + l =2 Uvžujme proto β >. Ozčme ε := β > 0. U řdy s kldými čley =2 ) l ε l ε + ). l β je sdé určit -tý částečý součet s =. Jedá se tedy o kovergetí řdu. Ukážeme, l ε 2 l ε +) l ε 2 že lim l ε l ε +) l +ε = ε > 0. Uprvme pomocí Tylorov vzorce +x) ε = εx+ωx)x, kde lim 0 ωx) = 0, ejdříve ásledující výrz l ε + ) = l + l ) ) + ε = l ε + l + )) ε = l = l ε ε l + ) l )) + + ω, kde ω 0. l l Proto l ε l ε +) l +ε = l + ) ε ) ω ε. Podle věty 2.2.3, je tedy řd + =2 l +ε 25 kovergetí pro ε > 0. Dostli jsme tk

31 dlší klibrovcí řdu.. Necht β R. Řd + =2 l β koverguje právě tehdy, když β > Nyí bychom mohli vytvořit ové, jemější kritérium, které by ovšem opět ebylo uiverzálí. 2.3 Řdy s obecými čley Při vyšetřováí řdy + = zčíme se zkoumáím kovergece řdy + =. V přípdě, že tto řd koverguje, jsme s úkolem hotovi. V opčém přípdě musíme použít jemější kritéri. Dirichletovo kritérium: Necht ) N je reálá posloupost b ) N komplexí posloupost splňující i) ) N je mootoí lim = 0; ii) b ) N má omezeou posloupost částečých součtů. Pk řd + = b koverguje. Důkz. Kovergeci řdy odvodíme z Bolzov - Cuchyov kritéri. Pro odhd výrzu +p k=+ kb k použijeme Abelovy sumčí formule. Ozčme pro pevé N libovolé k N, k Speciálě tedy B = 0. Pk +p k=+ k b k = +p k=+ k B k B k ) = B k := b + + b b k. +p k=+ +p k B k k=+ Omezeost částečých součtů poslouposti b ) N zmeá, že K) N) +p ) k+ B k = +p B +p + k k+ Bk ) b i K. i= k=+ To pro B k = k i= b i i= b i dává odhd B k 2K. S využitím trojúhelíkové erovosti yí můžeme odhdout +p k=+ +p +p k b k B +p + ) k k+ Bk 2K +p + 2K k=+ +p k=+ ) k k+ Jelikož ) je mootoí posloupost, jsou všechy rozdíly k k+ ekldé ebo 26

32 ezáporé. Proto +p k=+ ) +p ) k k+ = k k+ = +p + +p + + k=+ Pokrčujeme proto v odhdu, přičemž využijeme mootoii ). +p k=+ k b k 2K 2 +p + + ) 6K. 2.2) Podle předpokldu má posloupost ) ulovou limitu, což symbolicky lze zpst ε > 0) 0 ) N, > 0 ) < ε). 2.3) Dosteme-li kldé ε, položíme ε = ε. K tomuto ε podle 2.3) lezeme 6K 0 tk, že pro kždé > 0, N pro kždé p N podle 2.2) pltí +p k=+ kb k < 2K2 ε + ε) = 6K ε = ε. To podle Bolzov - Cuchyov kritéri dává kovergeci řdy. Příkld Pomocí Dirichletov kritéri dokážeme, že řd = cosα) koverguje, když α 2πk, k Z. Když je α celočíselým ásobkem 2π, pk cosα) = pro kždé řd s čley, tj. hrmoická řd, je divergetí. α Necht tedy α R, / Z. Roli poslouposti 2π ) v Dirichletově kritériu má posloupost ), která je klesjící má limitu 0; z posloupost b ) bereme cosα)). Protože cosαk) = k= si α) cos + α) 2 2 si α 2 si α, má b ) omezeou posloupost částečých součtů. To implikuje kovergeci zkoumé řdy. Tto řd ovšem ekoverguje bsolutě, protože 2 = cosα) = cos 2 α) = = + cos2α) 2. Řd prvo je pro α kπ součtem divergetí řdy + + cos2α) = 2 = 2 kovergetí řdy, tedy řd prvo je divergetí. Je-li α = kπ, je řd prvo hrmoická, tedy rověž divergetí. Odvodíme ěkolik důsledků Dirichletov kritéri. 27

33 Abelovo kritérium: Necht ) N je reálá posloupost b ) N komplexí posloupost splňující i) ) N je mootoí kovergetí; ii) + = b je kovergetí řd. Pk řd + = b koverguje. Důkz. Ozčme = lim R. Řd + = b koverguje, protože je součtem dvou kovergetích řd: = b = = )b + přičemž řd + = )b koverguje podle Dirichlet řd + = b koverguje podle předpokldu. Jedoduchým příkldem poslouposti b ), která má omezeé částečé součty, je posloupost b = ) +. Zřejmě pltí k= )k+. Řdy, kde -tý čle má tvr ) +, přičemž posloupost ) eměí zmék, se vyskytují čsto. Setkli jsme se s imi př. při vyjádřeí fukcí si x, cos x l + x) pomocí Tylorov polyomu. = b, Defiice Necht ) je reálá posloupost kldých čísel. Řdu + = )+ zýváme řdou se střídvými zméky. Vyslovíme dvě kritéri určeá speciálě řdy se střídvými zméky. Leibizovo kritérium: Necht ) je klesjící posloupost kldých čísel. Když pltí lim = 0, pk řd + = )+ koverguje. Důkz : Plye přímo z Dirichletov kritéri, ve kterém položíme b = ) +. Důkz 2: Je pro zjímvost uvedeme i přímý jedoduchý důkz. Protože s 2+2 = s ) }{{} 0 s 2 s 2+ = s ) s }{{} 2, 0 je posloupost s 2 ) rostoucí s 2 ) klesjící. Posloupost sudých čleů s 2 ) má tedy limitu l > posloupost lichých čleů s 2 ) má limitu l 2 < +. Jelikož víc s 2 = s 2 2 lim = 0, je limit poslouposti s 2 ) rov limitě poslouposti s 2 ). Z pokrývcí věty o limitách vybrých posloupostí plye, že existuje i lim s = l = l 2 ±, tj. řd koverguje. Když o kovergeci řdy lze rozhodout pomocí Leibizov kritéri, pk rozdíl součtu řdy od -tého částečého součtu můžeme sdo odhdout. 28

34 Odhd chyby: Necht ) je posloupost klesjící k ule. Součet kovergetí řdy + = )+ ozčme s. Pk s ) k+ + k = ) k+ k = }{{} }{{} , }{{} k= k= proto s ) k+ k = }{{ +3 } }{{} k= Součet s řdy se střídvými zméky se liší od sumy prvích čleů řdy o míň, ež je velikost dlšího čleu řdy. Pozámk. Vrt me se k výpočtu hodoty si x pro x 0, π) s přesostí Tuto úlohu jsme řešili v příkldě.2.2. Protože si x = + ) =0 2+)! x2+ je pro x 0, π) 4 řd se střídvými zméky, je z předchozího prvidl jsé, že ) k k=0 2k+)! x2k+ se liší v bsolutí hodotě od si x o méě ež x2+3. To je odhd stejě dobrý, jko výsledek 2+3)! odvozeý prcěji pomocí Lgrgeov tvru zbytku. Modifikové Gussovo kritérium: ějké q, α R, kldé ε omezeou posloupost c ) vzth Necht ) je kldá posloupost splňující pro + = q α + c +ε pro kždé N. Je-li q > ebo je-li q = α 0, pk řd + = )+ diverguje. Je-li q < ebo je-li q = α >, pk řd + = )+ koverguje bsolutě. Je-li q = α 0,, pk řd + = )+ koverguje ebsolutě. Důkz. ) Necht q >. Protože lim + = q > implikuje lim = +, eí splě i utá podmík kovergece. Tedy řd + = )+ diverguje. 2) Necht q <. Pk podle Gussov kritéri pro kldé řdy dosteme, že + = koverguje, tedy + = )+ koverguje bsolutě. 3) Necht q =. Rozlišíme čtyři přípdy. 3) Necht α >. Pk podle Gussov kritéri pro kldé řdy dosteme, že + = koverguje, tedy + = )+ koverguje bsolutě. 3b) Necht α < 0. Protože lim ) + < 0, tedy + + ) = α < 0, máme od jistého idexu erovost >. To le zmeá, že kldá posloupost ) roste 29

35 že její limit emůže být rov 0. Neí tedy splě utá podmík kovergece řd + = )+ diverguje. 3c) Necht 0 < α. Podle Gussov kritéri pro řdy s kldými čley řd + = diverguje. Nebsolutí kovergeci řdy + = )+ ukážeme ověřeím podmíek Leibizov kritéri. Jelikož lim tj. + ) = α > 0, je od jistého 0 spě erovost k k+ k ) > α 2, k+ k < α 2k < pro všech k N, k > ) To zmeá, že kldá posloupost ) je klesjící. Abychom ještě dokázli, že lim = 0, využijeme toho, že pro x 0, ) je l x) < x. Zlogritmováím 2.4) dosteme l k+ l k < l α ) 2k < α 2k. Sečteím předchozích erovostí pro k = 0, 0 +,..., máme l l 0 < α ), To implikuje l =, tedy lim = 0, jk jsme pro splěí podmíek Leibizov kritéri potřebovli. 3d) Necht α = 0. Čley kldé poslouposti ) splňují Využijeme toho, že + = + c +ε pro kždé N. 2.5) pro x 2, + ) je l + x) x x 2. Protože lim c = 0, od jistého idexu +ε je c <. Zlogritmováím 2.5) využitím +ε 2 odhdu dosteme l k+ l k = l + c ) k > c k k +ε k ck ) 2 pro kždé k N, k > +ε k +ε. Sečteím předchozích erovostí pro k =, +,..., máme l l > k= c k k +ε ck k +ε ) 2 30

36 Uvědomme si, že řd prvo je kovergetí. Plye to ze srovávcího kritéri pro kldé řdy. Jelikož c k ) je omezeá posloupost, existuje H tk, že c k H. Proto je c k H c podobě 2 k +ε k +ε k H2. Přitom řdy + k 2+2ε k 2+2ε k= + +ε k= jsou kovergetí. Proto řd prvé strě erovosti má koečý součet, řekěme β. Po 2+2ε limitím přechodu + dosteme lim if l l + β lim if e β > 0 lim 0. Tedy eí splě utá podmík kovergece, proto řd + = )+ diverguje. Všech kritéri, která jsme pro kovergeci řd s obecými čley vyslovili, vyždovl mootoii poslouposti ). U Gussov kritéri to eí ptré prví pohled. Ale v důkzu jsme viděli, že poždvek, by podíl + měl dý tvr, bud vyucuje mootoii ) ebo implikuje lim 0. Je tedy jsé, že př. pro vyšetřováí řdy =2 ) + ) elze použít žádé z dosud odvozeých kritérií. Proto zvedeme možiě řd operci závorkováí, jejíž výsledek je ěkdy řd, chováí které lze již vyšetřit pomocí uvedeých kritérií. Defiice uzávorkováí řdy) Necht ) + = je číselá posloupost echt k ) + =0 je ostře rostoucí posloupost přirozeých čísel s ultým čleem k 0 = 0. Řdu + = A, jejíž čley defiujeme předpisem A = k + + k k pro kždé N, zýváme uzávorkováím řdy + k= podle poslouposti k ) + =0. Když ozčíme s částečé součty řdy + = S částečé součty jejího uzávorkováí + = A, pk S = s k pro kždé N. Tedy posloupost částečých součtů S ) je vybrá z poslouposti s ). Vět Pokud řd + = koverguje, pk koverguje i kždé její uzávorkováí + = A. Pozámk. Obráceé tvrzeí epltí. Řd + = ) osciluje, ztímco její uzávorkováí podle poslouposti k ) = 2) je kovergetí řdou s čley A = 0 pro kždé N. 3

37 Z hledisk použití je vět málo zjímvá. Závorkujeme přece v ději, že z chováí uzávorkové řdy budeme moci ěco říct o ezámém chováí řdy původí. To ám umoží dlší vět. Vět Necht + = A je uzávorkováí řdy + = podle poslouposti k ). Necht jsou splěy podmíky i) existuje M N tkové, že pro kždé N je k + k M ii) lim = 0. Pk řdy + = A + = mjí stejý chrkter v přípdě kovergece i stejý součet. Důkz. Opět ozčíme S -tý částečý součet řdy + = A s -tý částečý součet řdy + =. Uvžujme těchto M posloupostí: S ), S + k+), S + k+ + k+2),..., S + k+ + k k+m ). Existuje-li lim S, pk všechy tyto poslouposti mjí díky podmíce ii) tutéž limitu. Přitom všechy uvedeé poslouposti jsou vybré z poslouposti s ), kokrétě jsou to poslouposti s k ), s k +), s k +2),..., s k +M ). Jelikož idexy vybrých posloupostí vzhledem k podmíce i) pokrývjí celé N, plye z pokrývcí věty pro limity, že existuje tké lim s je rov lim S. Příkld Uzávorkujme řdu =2 podle poslouposti k ) = 2). Dosteme kde = 2 + α = ) = 2 + ) + ) = ) 2 + ) = = α β ), ) 2 + ) = 2 + ) 2 + ) ) Přitom lim + β = ) 2 + ) α = 4 2 3/2 32 lim + β =.

38 Tedy řd α koverguje řd β diverguje. Proto uzávorková řd α β ) diverguje. Jelikož lim = 0, diverguje i původí řd. Přitom podle Leibizov kritéri řd =2 ) koverguje. Vidíme, jk je předpokld mootoie v Leibizově kritériu důležitý. 2.4 Přerováí řdy ásobeí řd Operce sčítáí v C je komuttiví. Proto při sčítáí koečého počtu čísel ezáleží pořdí, v jkém sčítáme. Ted se budeme věovt otázce, co udělá zámě pořdí při ekoečě moh sčítcích. Defiice Mějme číselou řdu + = bijekci ϕ : N N. Pk řdu + = ϕ) zýváme přerováím řdy + = podle ϕ. Příkld Uvžujme kovergetí řdu l 2 = = ) + = Součet řdy jsme uměli určit již v zimím semestru s využitím rovosti k= k l = γ + ε, kde γ je Eulerov kostt lim + ε = 0. Pro 2-tý částečý součet s 2 totiž pltí s 2 = 2k ) = 2k k= 2 k= k 2 2k = l 2 l + ε 2 ε l 2. k= Jelikož s 2+ = s , je i lim s 2+ = l 2. Čley řdy ted uspořádáme tk, by vždycky po dvou kldých čleech ásledovl jede záporý čle, tj. uvžujeme řdu Formálě lze bijekci ϕ popst předpisem 2k, pro = 3k, ϕ) = 4k, pro = 3k, 4k 3, pro = 3k 2. 33

39 Budeme uvžovt součet řdy + = A, která vzike z řdy + = ϕ) uzávorkováím po třech. Protože limit -tého čleu řdy je 0, mjí obě řdy stejý chrkter v přípdě kovergece i součet. Pro -tý částečý součet S řdy + = A pltí S = 4k 3 + 4k ) = 2k k= = l 4 + γ + ε k= l 2 + γ + ε 2 ) 2 k 2 k= 2k k= 2k = l + γ + ε ) Přerová řd je tedy opět kovergetí, má le jiý součet. 3 2 l 2. Pozmeejme, že řd, kterou jsme v předchozím příkldě přerovli, byl ebsolutě kovergetí. Jk ukáže dlší vět, to je i důvodem, proč bylo možé přerováím změit její součet. Předtím se ještě pro obecou reálou řdu podívejme zvlášt chováí kldých chováí záporých čleů. Pozámk. Necht + = je reálá řd. Pro kždé N ozčme + := + 2 := 2. Sdo hlédeme, že { +, když > 0 = 0, když 0 = { 0, když > 0, když 0 Rověž pro kždé N pltí = +. Z defiičího vzthu pro + dosteme: Když řd + = koverguje bsolutě, pk obě řdy + = + + = kovergují pltí = +. Když řd + = koverguje ebsolutě, pk obě řdy + = + + = podsttě divergují, tj. mjí obě součet +. Vět Necht + = je bsolutě kovergetí řd. Pk kždé její přerováí je bsolutě kovergetí řd se stejým součtem. Důkz. Necht + = je bsolutě kovergetí řd ϕ : N N je bijekce. Pro kždé N položme h := mx{ϕ), ϕ2),..., ϕ)}. Pk ϕk) k= h k= k k= k R. 2.6) Posloupost částečých součtů bsolutích hodot přerové řdy je omezeá, tedy řd + = ϕ) je bsolutě kovergetí. 34

40 Důkz toho, že přerováím ezměíme součet řdy, rozdělíme tři přípdy: ) Necht pro kždé N je 0. Pk odhd 2.6) říká, že ϕ) = = Protože řd vzike přerováím z bsolutě kovergetí řdy ϕ) pomocí bijekce ϕ, pltí tké = ϕ ϕ)). = = = ϕ). To už dává rovost součtů ϕ) =. b) Pro reálou bsolutě kovergetí řdu využijeme pozorováí, že + jsou kovergetí řdy s ezáporými čley. Pro ty jsme už v bodě ) ukázli, že přerováí eměí jejich součet. Proto můžeme psát = + = + ϕ) ϕ) = ϕ). c) Koverguje-li bsolutě komplexí řd, pk ze vzthu Re Im plye, že kovergují bsolutě i řdy Re Im. U těchto řd už podle bodu b) přerováí ezměí součet. Proto pltí = Re + i Im = Re ϕ) + i Im ϕ) = ϕ) pro kždé přerováí. Vět Riemov) Necht + = je ebsolutě kovergetí reálá řd. Pk ke kždému s R existuje přerováí ϕ), jež má součet s. Rověž existuje oscilující přerováí ψ). Důkz. Protože řd + = koverguje, je lim = 0. Nvíc se jedá o ebsolutí kovergeci, proto + = + = + = = +. Vyecháím koečě moh čleů řdy ezměíme její chrkter, tedy =N + = =N = + pro kždé N N. 2.7) Uvžujme s R. Vlstost 2.7) ám umoží přeuspořádávt čley poslouposti ) tkto: Bereme postupě kldé čley tk dlouho, ž jejich součet převýší hodotu s. Jkmile přesáheme s zčeme k získému součtu přidávt ekldé čley poslouposti pokud edocílíme součtu mešího ež s. Jkmile součet klese pod hodotu s, zčíáme přidávt 35

41 k již vytvořeému součtu dosud epoužité kldé čley poslouposti ž do doby, ež prvě přesáheme hodotu s. Pk opět rozšiřujeme součet o dlší ekldé čley, bychom klesli pod hodotu s, td. Z kostrukce je ptré, že kždý čle poslouposti ) je vybrá právě jedou, tedy se jedá o přerováí řdy. V kždém kroku se částečý součet liší od s ejvýš o bsolutí hodotu posledího čleu, z kterým jsme zčli vybírt čley s opčým zmékem. Protože lim = 0, částečé součty kovergují k s. Uvžujeme-li s = +, proces vybíráí čleů poslouposti ) modifikujeme tkto: Bereme postupě kldé čley poslouposti, dokud jejich součet epřekročí hodotu, pk k součtu přidáme prví ekldý čle. Opět přidáváme kldé čley poslouposti, ž součet přesáhe hodotu 2, pk k součtu přidáme v pořdí druhý ekldý čle. A zovu přidáváme kldé čley poslouposti, pokud edosáheme součtu většího ež 3, td. Je zřejmé, že limit částečých součtů je +. Pro s = je postup obdobý. Chceme-li docílit oscilující řdy, vybíráme střídvě z kldých ekldých čleů tk dlouho, ž částečý součet přesáhe hodotu, resp. klese pod hodotu. V tělese pltí kromě komuttivích zákoů i distributiví zákoy, tedy souči dvou koečých součtů N )b + b b N ) lze získt jko součet čísel i b j, kde probereme v libovolém pořdí všechy kombice idexů i j. Po zkušeosti s přerováváím řdy už musíme být při ásobeí ekoečých součtů optrí. Defiice Necht + = + = b jsou číselé řdy ϕ : N N N echt je bijekce. Pro kždé N položme c = i b j, kde = ϕi, j). Pk řdu + = c zýváme součiem řd + = + = b. Pozámk. Pro souči řd se používá zčeí i b j, i,j N které le epostihuje zvoleou bijekci ϕ, tedy epostihuje pořdí sčítáí v řdě. To le evdí v přípdě, že souči dvou řd je bsolutě kovergetí řdou. V té, jk víme, pořdí čleů ezáleží. Vět Necht + = + = b jsou bsolutě kovergetí řdy. Pk jejich li- 36

42 bovolý souči je tky bsolutě kovergetí řd pro její součet pltí + ) + ) i b j = b. i,j N = Důkz. Mějme bijekci ϕ : N N N. Číslo i echt ozčuje prví složku dvojice ϕ ) = číslo j druhou složku dvojice ϕ ), tj. ϕi, j ) =. Položme k := mx{i, i 2,..., i, j, j 2,..., j }. Pk k ) k ) + ) + ) c k k b k k b k. k= k= k= To zmeá, že řd + = c má omezeé částečé součty. Proto je + = c bsolutě kovergetí. Součet bsolutě kovergetí řdy lze získt z libovolého přerováí libovolého uzávorkováí řdy. Ozčme k= k= M k = {i, j) N 2 i k, j k, k i)k j) = 0}. Zřejmě M k = N 2 M k M l =, když k l. k N Součet řdy lze tedy získt tkto: = c = lim + k= i b j = lim + i,j) M k i= i ) j= b j ). Defiice Necht + = + = b jsou číselé řdy. Řdu =2 ) k b k k= zýváme součiovou řdou řd + = + = b. Pozámk. Součiová řd je uzávorkováím jedoho kokrétího součiu dvou řd. Proto můžeme rovou vyslovit důsledek předchozí věty. Důsledek Pro bsolutě kovergetí řdy + = + = b pltí + ) + ) b = = = =2 k= k b k ). 37

43 Zčíá-li idexováí čleů řd od jiého idexu ež jed, př. od uly, musíme příslušě uprvit i idexováí součiové řdy. Protože = =0 = pltí pro bsolutě kovergetí řdy b = =0 = b, + ) + ) b = =0 =0 =2 ) k b k = k= 2 =2 ) k b k 2 = k=0 =0 k=0 k b k ). Komplexí moci: Uvžujme dvě bsolutě kovergetí řdy =0 α! =0 β, α, β C.! Určeme -tý čle jejich součiové řdy k b k = k=0 k=0 α k β k k! k)! =! k=0 ) α k β k = α + β) k!. Z důsledku tedy plye + =0 α ) +! =0 β ) ) α + β =!! =0 To ás le epřekvpuje. Z kpitoly o Tylorově rozvoji už víme, že + x =0 = e x pro! kždé reálé x, tedy jsme dokázli tvrzeí e α.e β = e α+β, 2.8) které je pro reálé expoety zřejmé z defiice obecé mociy. Fkt, že řd + z =0! je kovergetí pro kždé komplexí z, ám umožňuje defiovt komplexí mociu předpisem e z := =0 z! pro z C Ukázli jsme tedy pltost vzthu 2.8) pro kždé komplexí α β. Koečě můžeme 38

44 psát e iϕ = =0 iϕ)! = =0 i 2 ϕ 2 2)! + =0 i 2+ ϕ )! = = =0 ) ϕ 2 2)! + i =0 ) ϕ )! = cos ϕ + i si ϕ odvodit tk vzth e iϕ = cos ϕ + i si ϕ pro kždé ϕ R užitečý ve fyzice, v elektrotechice pod. 39

45 Kpitol 3 Mocié řdy 3. Defiice vlstosti mociých řd Defiice 3... Necht ) + =0 je reálá resp. komplexí posloupost echt je reálé resp. komplexí číslo. Pk řdu + =0 x ) zýváme mociou řdou se středem v bodě. Možiu všech reálých resp. komplexích čísel x, pro která mociá řd koverguje, zýváme obor kovergece mocié řdy, sx) pk ozčuje součet mocié řdy pro x z oboru kovergece. Poslouposti ) + =0 bodu přiřzujeme fukci sx). Je-li s x) = + =0 x ) s 0 x) = + =0 x, pk s x) = s 0 x ). Stčí tedy studovt vlstosti mociých řd se středem v bodě 0. Uved me si ěkolik příkldů reálých mociých řd. ) + =0 + =0 x = x ) + +! =0 =0 = sx), obor kovergece je, ). x = e x = sx), obor kovergece je R.!!) + =0 + =0! x koverguje pouze pro x = 0. Vět Pro kždou mociou řdu + =0 x ) existuje ρ R, ρ 0 tkové, že i) pokud x < ρ, pk + =0 x ) koverguje bsolutě; ii) pokud x > ρ, pk + =0 x ) diverguje. Důkz. Stčí ověřit pltost dvou tvrzeí:. když je posloupost x 0 ) ) omezeá, pk pro kždé x tkové, že x < x 0, řd + =0 x ) koverguje bsolutě, 2. když je posloupost x 0 ) ) eomezeá, pk pro kždé x tkové, že x x 0, řd + =0 x ) diverguje, 40

46 pk položit { ρ = sup x 0 ; posloupost x 0 ) ) } je omezeá. Předpokládejme, že v ějkém bodě x 0 je posloupost x 0 ) ) omezeá. Tedy existuje K > 0 tkové, že x 0 ) K pro kždé N. Pk pro x < x 0 dosteme x ) x ) x ) = x = x 0 K. x 0 x 0 Posloupost prvé strě je geometrická s kldým kvocietem <, proto podle srovávcího kritéri řd + =0 x ) koverguje. Druhé tvrzeí je zřejmé, protože eomezeost x 0 ) ) implikuje eomezeost x ) ) pro x x 0 eí tedy splě i utá podmík kovergece řdy. Defiice řdy. Číslo ρ z předchozí věty zýváme poloměr kovergece mocié Vět Poloměr kovergece mocié řdy + =0 x ) je rove ρ = lim sup, přičemž kldeme ρ = 0, když limes superior je +, ρ = +, když limes superior je 0. Důkz. Z důkzu předchozí věty víme, že ρ = sup M, kde M = { y ; y ) je omezeá}. Popíšeme prvky možiy M. Zřejmě 0 M. Uvžujme proto y 0. Pro eulové y pltí lim sup y = y lim sup. Když lim sup y >, pk existuje ε > 0, že pro ekoečě moho idexů je y > + ε), tedy posloupost y ) eí omezeá. Máme tedy implikci y lim sup > = y / M. Když lim sup y <, pk od jistého idexu počíje je y <, tedy posloupost y ) je omezeá. Pltí tedy y lim sup < = y M. 4