Od unimodálních posloupností k narozeninovému paradoxu

Transkrypt

1 Od uimodálích posloupostí arozeiovému paradoxu Atoí Slaví, Praha Abstrat. Koečá posloupost reálých čísel se azývá uimodálí, poud ji lze rozdělit a elesající a erostoucí úse. V textu se zaměříme především a ombiatoricé poslouposti tvořeé ombiačími čísly ebo Stirligovými čísly prvího a druhého druhu. Kromě uimodality se budeme věovat též příbuzému pojmu logaritmicé oávosti. Uážeme, ja tato témata souvisejí s lasicými Newtoovými a Maclauriovými erovostmi, teré v závěru využijeme řešeí obecé verze arozeiového paradoxu. 1. Maxima v řádcích Pascalova trojúhelíu V tabulce 1 vidíme ěoli prvích řádů zámého Pascalova trojúhelíu, terý je sestave z ombiačích čísel (, N0, {0 }. Zusíme-li v aždém řádu ajít maximálí hodotu, dospějeme ásledujícímu pravidlu: Obsahuje-li řáde lichý počet čísel (tj. je sudé), pa maximálí hodota se achází přesě uprostřed, zatímco řády se sudým počtem čísel (de je liché) mají uprostřed dvojici maxim. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6) Tabula 1 Pascalův trojúhelí K ověřeí pravidla stačí porovat podíly sousedích dvou ombiačích čísel s jedičou. Zjistíme, že platí ( ( ) = 1 ( +1)! ( +) ( 1)! = + 1 > 1 pro < +1 = 1 pro = +1 < 1 pro > +1,,. Doc. RNDr. Atoí Slaví, Ph.D., Matematico-fyziálí faulta UK, Soolovsá 83, Praha 8 Karlí, slavi@arli.mff.cui.cz 1

2 Pro sudé je podmía < +1 evivaletí s erovostí eí idy splěa. To zameá, že ( ) ( ) ( ) < < > >. 0 / a podmía = +1 Pro liché platí < +1 právě tehdy, dyž 1 = / ; odtud plye, že ( ) ( ) ( ) ( ) < < = > >. 0 / /. Uimodálí a logaritmicy oáví poslouposti Řády Pascalova trojúhelíu představují typicý přílad tzv. uimodálí poslouposti; jedá se o poslouposti tvořeé ejprve elesajícím a poté erostoucím úseem. Defiice 1. Posloupost reálých čísel {a } =0 se azývá uimodálí, poud existuje j {0 } taové, že platí a 0 a 1 a j a j+1 a. 1 Speciálě je tedy aždá mootóí posloupost uimodálí. Z předchozí části dále víme, že pro aždé N 0 je posloupost čísel ( ( 0), ( 1) ) uimodálí. Poud je sudé, pa idex j v předchozí defiici je rove /, zatímco pro liché můžeme volit j = / ebo j = /. Zavedeme ještě ásledující důležitý pojem. Defiice. Posloupost reálých čísel {a } =0 se azývá logaritmicy oáví, poud pro aždé {1 1} platí a 1 a +1 a. Všiměme si, že poud je posloupost {a } =0 ladá, můžeme logaritmováím dospět evivaletí podmíce log a 1 + log a +1 log a, {1 1}. Tu lze geometricy iterpretovat ta, že bod [, log a ] leží ad úsečou spojující body [ 1, log a 1 ] a [ + 1, log a +1 ], případě a této úsečce; viz obráze 1. Kladá posloupost {a } =0 je tedy logaritmicy oáví právě tehdy, dyž lomeá čára spojující body [, log a ], {0 }, je grafem oáví fuce. Důležitým příladem logaritmicy oávích posloupostí jsou opět řády Pascalova trojúhelíu. Pro aždé N 0 totiž platí ( )( ) ( +) ( 1 +1 ( 1)! (+1)! ( = ) = < 1, {1 1}, ( ( +1)! tj. posloupost čísel ( 0), ( 1) ( ) je logaritmicy oáví. Pro aše účely jsou logaritmicy oáví poslouposti důležité zejméa s ohledem a ásledující tvrzeí. 1 Poud jsou všechy erovosti ostré, pa má posloupost právě jedo maximum a azývá se silě ebo též ryze uimodálí. Z pohledu iformatiy je zajímavé, že maximum taové poslouposti lze ajít metodou půleí itervalu v čase O(log ) [7, str. 4], zatímco alezeí maxima obecé uimodálí poslouposti může být v ejhorším případě uté projít všechy její čley.

3 log a - 1 log a log a Obr. 1. Geometricý výzam logaritmicé oávosti. Věta 3. Každá ladá logaritmicy oáví posloupost je uimodálí. Důaz. Je-li {a } =0 ladá a logaritmicy oáví, pa z defiice plye, že pro aždé {1 1} platí a +1 a. a a 1 To zameá, že podíly sousedích čleů poslouposti {a } =0 tvoří erostoucí posloupost. Poud jsou všechy tyto podíly větší ebo rovy 1, posloupost {a } =0 je elesající, a tedy uimodálí. V opačém případě existuje ejmeší j {0 1} taové, že a j+1 /a j < 1. Odtud plye, že platí a 0 a 1 a j > a j+1 > > a. Dále uvidíme, že ověřeí logaritmicé oávosti může být v řadě případů jedodušší ež důaz uimodality; předchozí věta proto představuje užitečou postačující podmíu pro uimodalitu. Nejedá se ovšem o podmíu utou; apř. ladá posloupost (, 3, 5) je uimodálí, ale eí logaritmicy oáví. Doážeme ještě ásledující pomocé tvrzeí, teré využijeme později. Lemma 4. Necht {a } =0 je ezáporá logaritmicy oáví posloupost. Jsou-li avíc čley a 1 a ladé, pa platí a a +1 a 1 a, { 1}. Důaz. Podle předpoladu pro aždé { 1} máme a 1 0, a tedy 3. Stirligova čísla a a +1 = a a +1 a 1 a 1 a a a 1 a 1 a a 1 = a 1 a. Dalšími zajímavými přílady uimodálích posloupostí jsou řády trojúhelíů sestaveých z tzv. Stirligových čísel prvího a druhého druhu. Tato čísla mají jedoduchou ombiatoricou iterpretaci a hrají důležitou roli v řadě úloh z disrétí matematiy. Jsou pojmeováa po sotsém matematiovi Jamesi Stirligovi ( ), terý je popsal ve své ize Methodus Differetialis z rou 1730 (viz apř. []). V ásledujícím 3

4 textu stručě připomeeme ombiatoricé defiice Stirligových čísel, podrobější iformace lze ajít apř. v [5]. Pro aždé N 0 a N 0 defiujeme Stirligovo číslo druhého druhu { } jao počet možostí, ja rozdělit prvy -prvové možiy do eprázdých podmoži. Platí apřílad { } 4 3 = 6, ebot čtyři růzé prvy lze do tří podmoži rozdělit ( 4 ) = 6 způsoby (vybíráme dva prvy, teré budou ve stejé podmožiě; zbývající dva prvy budou tvořit jedoprvové podmožiy). V tabulce uvádíme ěteré další hodoty { } ; omezujeme se pouze a případ, dy 0, ebot pro aždé > zřejmě platí { } = 0. { } { } { } { } { } { } { } Tabula Stirligova čísla druhého druhu Pomocí pricipu iluze a exluze lze doázat (viz apř. [6, str. 06]) obecý vzorec { } = 1! ( ) ( 1) j ( j). (1) j j=0 Stirligova čísla druhého druhu lze počítat i pomocí ásledujícího reuretího vztahu, terý připomíá zámé pravidlo pro sestavováí Pascalova trojúhelíu: { } { } { } 1 1 = +,, 1 () 1 Sutečě, vezmeme-li apř. -prvovou možiu {1 }, pa čle { 1 1} a pravé straě vztahu je počet všech možostí, de jeda z podmoži obsahuje jediý prve a zbývajících 1 čísel je rozděleo do 1 podmoži, zatímco čle { } 1 odpovídá rozděleí čísel 1 1 do podmoži a ásledému zařazeí čísla do ěteré z existujících podmoži. Na rozdíl od Pascalova trojúhelíu ejsou řády tabuly symetricé, jsou vša uimodálí. Doázat tuto sutečost je složitější, ež tomu bylo u ombiačích čísel. Místo explicitího vzorce (1) je výhodější použít reuretí vztah () a doazovat logaritmicou oávost. Důaz je převzat z [6, str. 65]. Přímý důaz uimodality Stirligových čísel bez použití logaritmicé oávosti lze ajít v [4]. 4

5 Věta 5. Pro aždé N 0 je posloupost { { 0}, { 1} } logaritmicy oáví. Důaz. Větu doážeme iducí podle. Pro = 0 a = 1 tvrzeí platí, ebot aždá posloupost dély 1 ebo je logaritmicy oáví. Předpoládejme dále, že tvrzeí platí pro 1. Potom je i posloupost { } { } { } { } ,, (3) logaritmicy oáví, protože { } 1 = 0 a přidáí ulového čleu a oec ezáporé poslouposti eporuší logaritmicou oávost. Zvolme libovolé {1 1} a doažme, že { }{ } { } Pro = 1 erovost platí, ebot levá straa je ulová. Pro { 1} vyjdeme z reuretího vztahu (), zísaý souči rozásobíme a odhademe s využitím logaritmicé oávosti poslouposti (3) a lemmatu 4: { }{ } ({ } { }) ({ } { }) = + ( 1) + ( + 1) { }{ } { }{ } { }{ } = + ( 1) + ( 1) { }{ } { } { } ( + 1) + ( 1) { }{ } { }{ } { } { } ( 1) + ( + 1) < { }{ } ({ } { }) { } = + =. 1 1 Důslede 6. Pro aždé N 0 je posloupost { 0}, { 1} { } uimodálí. Důaz. Z předchozí věty plye, že posloupost { { 1} } je logaritmicy oáví. Protože } je ladá, je podle věty 3 též uimodálí. Vložíme-li a její začáte číslo = 0, uimodalita zůstae zachováa. { 0 Obrat me yí pozorost e Stirligovým číslům prvího druhu. Připomeňme, že aždou permutaci libovolé oečé možiy lze rozložit a disjutí cyly. Pro aždé N 0 a N 0 defiujeme číslo [ ] jao počet permutací -prvové možiy tvořeých právě cyly. Platí apř. [ 4 3] = 6, ebot existuje šest permutací možiy {1,, 3, 4} tvořeých třemi cyly: ((1, ), (3), (4)) ((1, 3), (), (4)) ((1), (, 3), (4)) ((1, 4), (), (3)) ((1), (, 4), (3)) ((1), (), (3, 4)) V tabulce 3 jsou zaesey ěteré další hodoty [ ] ; opět se omezujeme pouze a případ, dy 0, jeliož pro aždé > platí [ ] = 0. 5

6 [ 0 ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Tabula 3 Stirligova čísla prvího druhu Stirligova čísla prvího druhu lze počítat pomocí reuretího vzorce: [ ] [ ] [ ] 1 1 = + ( 1),, 1 (4) 1 [ ] Čle 1 1 a pravé straě vztahu lze iterpretovat jao počet všech permutací možiy {1 }, de číslo tvoří samostatý cylus a zbývajících 1 čísel je rozděleo do 1 cylů, zatímco čle ( 1) [ ] 1 odpovídá rozděleí čísel 1 1 do cylů a ásledému zařazeí čísla do ěterého z existujících cylů. Poslouposti čísel v řádcích tabuly 3 jsou uimodálí a logaritmicy oáví; to je obsahem ásledující věty. Její důaz přeecháváme čteáři, provede se s využitím vztahu (4) velmi podobě jao důaz věty 5 a důsledu 6 (viz též [6, str. 78]). Věta 7. Pro aždé N 0 je posloupost [ 0 ], [ 1 ] [ ] logaritmicy oáví a uimodálí. Dále si uážeme ještě jiý způsob, ja tomuto výsledu dospět Souvislost s polyomy Užitečým ástrojem pro zoumáí posloupostí jsou geerující (vytvořující) fuce (viz apř. [5, 14, 16]). Je-li dáa reálá posloupost {a } =0, pa její geerující fuce je mociá řada A(x) = =0 a x. V tomto textu se omezujeme pouze a oečé poslouposti {a } =0 ; geerující fucí taové poslouposti je polyom P (x) = =0 a x. Naším cílem je doázat převapivý a elegatí výslede: Má-li polyom P pouze reálé ořey, pa posloupost jeho oeficietů je logaritmicy oáví. K důazu budeme potřebovat ásledující pomocé tvrzeí. 4 Lemma 8. Má-li reálý polyom pouze reálé ořey, pa i jeho derivace má pouze reálé ořey. Důaz. Necht P je reálý polyom stupě, terý má pouze reálé ořey x 1 x l s ásobostmi m 1 m l, de l i=1 m i =. Stačí doázat, že polyom P má 1 reálých ořeů (aždý oře počítáme tolirát, oli je jeho ásobost). 3 Kombiačí čísla i oba druhy Stirligových čísel tvoří trojúhelíy, de čísla v řádu lze počítat jao lieárí ombiace dvou sousedích čísel z řádu 1. Obecé trojúhelíy tohoto typu jsou studováy v [10], de je odvozea postačující podmía pro logaritmicou oávost jejich řádů. 4 Důaz lemmatu 8 je převzat z [16, str. 146] a důaz věty 9 z [15, str. 146]. 6

7 Každý oře x i, jehož ásobost je m i > 1, je (m i 1)-ásobým ořeem polyomu P (toto zámé tvrzeí z algebry se sado doáže pomocí rozladu P a ořeové čiitele). Odtud plye, že P má aspoň l i=1 (m i 1) = l reálých ořeů. Zbývajících l 1 ořeů zísáme z Rolleovy věty: Bez újmy a obecosti můžeme předpoládat, že x 1 < < x l. Pa pro aždé i {1 l 1} platí P (x i ) = 0 = P (x i+1 ), a tedy existuje ξ i (x i, x i+1 ) splňující P (ξ i ) = 0. Věta 9. Má-li reálý polyom P (x) = i=0 a ix i pouze reálé ořey, pa poslouposti {a } =0 a {a / ( } =0 jsou logaritmicy oáví. Důaz. Zvolme libovolé {1 1}. Zderivujeme-li ( 1)-rát polyom P, obdržíme polyom Q(x) = ( 1)!a 1 +!a x + ( + 1)! a +1 x! + + ( + 1)! a x +1, terý má podle předchozího lemmatu pouze reálé ořey. Uvažujme yí polyom R, terý vzie z polyomu Q, jestliže zapíšeme oeficiety v obráceém pořadí: 5 R(x) = ( 1)!a 1 x +1 +!a x + ( + 1)! a +1 x 1! + + ( + 1)! a Povšiměme si, že pro aždé x 0 platí R(x) = x +1 Q(1/x). Odtud plye, že R má taé pouze reálé ořey. (Je-li R(x) = 0, pa bud x = 0, ebo x 0 a x +1 Q(1/x) = 0. Ve druhém případě platí Q(1/x) = 0, tj. 1/x je oře polyomu Q a x musí být reálé.) Zderivujeme-li ( 1)-rát polyom R, dostaeme vadraticý polyom ( + 1)! S(x) = ( 1)!a 1 x +!a (!x + ( + 1)! ( 1)!a +1. Te má podle lemmatu 8 pouze reálé ořey, proto jeho disrimiat musí být ezáporý: 0 (!a (!) ( 1)!a 1 ( + 1)!( + 1)!( 1)!a +1 (5) Po úpravě zísáme erovost a a 1 a +1! (! ( 1)!( + 1)!( + 1)!( 1)! = a < a, ze teré je zřejmé, že posloupost {a } =0 je logaritmicy oáví.6 Nerovost (5) lze ovšem upravit taé do tvaru a 1 ( 1)!( + 1)! a +1 ( + 1)!( 1)! a! (!!!!, jejímž důsledem je logaritmicá oávost poslouposti {a / ( } =0. 5 V agličtiě se taový polyom ozačuje jao reciprocal polyomial. Česá termiologie je zde poěud zavádějící, ebot reciproým polyomem se obvyle rozumí polyom, jehož oeficiety tvoří palidromicou posloupost; aglicy se taové polyomy azývají self-reciprocal ebo palidromic. 6 Protože je předchozí erovost ostrá, jedá se dooce o tzv. ryze logaritmicy oáví posloupost. Z důazu věty 3 je zřejmé, že taové poslouposti mohou mít ejvýše dvě maxima. 7

8 Chceme-li doázat logaritmicou oávost jisté poslouposti {a } =0, pa podle věty 9 stačí ověřit, že polyom P (x) = i=0 a ix i má pouze reálé ořey. Zdůrazěme, že se jedá o postačující, ioliv vša utou podmíu; apř. posloupost (1, 1, 1) je logaritmicy oáví, ale polyom x + x + 1 emá reálé ořey. Vezmeme-li posloupost ombiačích čísel a = (, {0 }, pa z biomicé věty plye P (x) = =0 ( ) x = (x + 1) a teto polyom má pouze reálý -ásobý oře x = 1. Tím jsme jiým způsobem doázali, že řády Pascalova trojúhelíu jsou logaritmicy oáví. Pro Stirligova čísla prvího druhu obdržíme polyom P (x) = =0 [ ] x. Pomocí matematicé iduce a vztahu (4) se sado ověří (viz apř. [5, str. 63]), že =0 [ ] x = x(x + 1) (x + 1). Polyom a pravé straě má pouze reálé ořey 0, 1 ( 1), z čehož plye, že posloupost [ ] [ 0, ] [ 1 ] je logaritmicy oáví. Použitím věty 9 lze doázat i logaritmicou oávost Stirligových čísel druhého druhu; stačí ověřit, že polyom { } P (x) = x =0 má pouze reálé ořey. To je poěud pracější ež v předchozích dvou případech; detaily lze ajít v [16, str. 147]. 5. Newtoovy a Maclauriovy erovosti Bezprostředím důsledem věty 9 jsou tzv. Newtoovy erovosti, z ichž dále plyou tzv. Maclauriovy erovosti. Jedá se o lasicé a užitečé výsledy, jejichž historie sahá do 18. století a je úzce spjata s teorií algebraicých rovic. Věta 10. Necht x 1 x jsou reálá čísla. Ozačme E 0 = 1, E = ( 1 x i1 x i, {1 }. Pa platí Newtoovy erovosti 1 i 1<i < <i E E 1 E +1, {1 1}. (6) Jsou-li avíc x 1 x ladá, pa platí Maclauriovy erovosti E 1 E 1/ E 1/3 3 E 1/( 1) 1 E 1/. (7) 8

9 Důaz. Pro polyom P (x) = (x x 1 ) (x x ), terý má pouze reálé ořey, platí P (x) = A 0 x A 1 x 1 + A x + ( 1) A, (8) de A 0 = 1 a A = 1 i 1<i < <i x i1 x i = ( ) E, {1 }. Podle druhé části věty 9 je posloupost ( 1) A ( 0), ( 1) 1 A 1 ( 1) A 1 ), ( 1 A 0 ( ) logaritmicy oáví. Tato posloupost je vša totožá s posloupostí ( 1) A ( ), ( 1) 1 A ) 1 ( 1 A 1 ( 1), A 0 ( 0). Použitím logaritmicé oávosti obdržíme vztahy ( ) ( 1) A ( ( 1) 1 A ( 1 ( 1) ) +1 A ( +1 ), {1 1}, 1 +1 eboli po úpravě ( ) A ( ( A 1A +1 )( ), {1 1}. (9) 1 +1 Tím jsou doázáy Newtoovy erovosti (6), teré říají, že posloupost {E } =0 je logaritmicy oáví. Dále budeme předpoládat, že čísla x 1 x jsou ladá (a tedy E 0 E jsou taé ladá), a odvodíme Maclauriovy erovosti. 7 Víme, že lomeá čára spojující body [, log E ], {0 }, je grafem oáví fuce. Čísla L = log E, {1 }, představují směrice úseče spojujících body [, log E ] s bodem [0, 0] = [0, log E 0 ]. Z oávosti plye (viz obráze ), že tyto směrice tvoří erostoucí posloupost: L 1 L L 1 L Použitím expoeciálí fuce ihed zísáme vztahy (7). 7 Tato část důazu je převzata z ihy [13]; tam lze ajít i jiý důaz Newtoových erovostí, terý evyužívá větu 9. 9

10 log E 4 log E 3 log E log E 1 log E Obr.. Směrice úseče spojujících body [, log E ] s počátem tvoří erostoucí posloupost. Pro zajímavost pozameejme, že Isaac Newto v ize Arithematica uiversalis z rou 1707 zformuloval pravidlo umožňující odhadout počet omplexích ořeů libovolého polyomu. Nerovosti (9) z jeho pohledu představovaly utou podmíu pro to, aby všechy ořey polyomu (8), tj. čísla x 1 x, byly reálé (srov. [15]). O důaz Newtoova pravidla týajícího se počtu omplexích ořeů se pousil Coli Maclauri a dospěl přitom erovostem (7), teré des esou jeho jméo. 8 Poud ve vztahu (7) poecháme pouze rají čley, obdržíme zámou erovost mezi aritmeticým a geometricým průměrem čísel x 1 x : x x x 1 x 6. Narozeiový paradox Jeda ze zajímavých apliací Maclauriových erovostí souvisí s tzv. arozeiovým paradoxem, což je ásledující lasicá úloha: Jaá je pravděpodobost, že ve supiě áhodě vybraých lidí mají ějaé dvě osoby arozeiy ve stejý de? Ja velé musí být číslo, aby hledaá pravděpodobost čiila aspoň 50 %? Jedodušší je vypočítat pravděpodobost opačého jevu, tj. pravděpodobost, že žádí dva lidé ve supiě osob emají arozeiy ve stejý de; ozačíme ji P ( a bude ás zajímat, dy platí P ( < 1/. Vezmeme-li v úvahu i přestupé roy, pa existuje celem = 366 růzých dat arozei. Při řešeí úlohy se obvyle předpoládá, že všecha data arozei jsou stejě pravděpodobá. V taovém případě platí P ( = ( 1) ( + 1). Postupým dosazováím čísel N lze zjistit, že podmía P ( < 1/ je splěa pro 3 (viz obráze 3). Název arozeiový paradox souvisí se sutečostí, že požadovaý počet osob je převapivě ízý. 8 Podrobější iformace o historii Newtoových a Maclauriových erovostí lze ajít v [11]. 10

11 Obr. 3. Hodoty pravděpodobostí P (, {1 50}, poud všecha data arozei jsou stejě pravděpodobá. Zusme yí uvažovat obecější variatu úlohy, ve teré vyecháme epříliš realisticý předpolad, že všecha data arozei jsou stejě pravděpodobá. 9 Protože existuje celem růzých dat arozei, můžeme je očíslovat přirozeými čísly 1. Necht x j začí pravděpodobost, že áhodě zvoleá osoba má arozeiy v j-tý de, j {1 }. Pa platí P ( = i 1,i,...,i {1,...,} avzájem růzá x i1 x i =! 1 i 1<i < <i x i1 x i. I dyž ezáme hodoty x 1 x, můžeme pomocí Maclauriových erovostí zísat ásledující horí odhad pro pravděpodobost P (: ( ) x i1 x i ( ) ( ) 1 i 1<i < <i P ( =! ( =! E! E1 = ( ) ( ) ( ) x1 + + x 1 ( 1) ( + 1) =! =! = Pravděpodobost, že žádé dvě osoby ve supiě emají arozeiy ve stejý de, se tedy oproti předchozí variatě úlohy ezvýšila. To zameá, že pro 3 opět máme aspoň padesátiprocetí pravděpodobost alezeí dvou osob s arozeiami ve stejý de Závěr V ombiatorice i v jiých matematicých disciplíách se můžeme setat s moha dalšími zajímavými přílady uimodálích ebo logaritmicy oávích posloupostí. Zmiňme apřílad tzv. Eulerova čísla (srov. [1, 5, 9]): Pro N a {0 1} 9 Z údajů Česého statisticého úřadu lze vypočítat, že v letech se v Česé republice arodilo v červeci průměrě dětí, zatímco v prosici průměrě je 8 74 dětí. 10 Teto důaz založeý a použití Maclauriových erovostí je převzat z [8]; jiý přístup řešeí úlohy lze ajít v [3]. 11

12 defiujeme jao počet permutací π : {1 } {1 } s právě polesy, tj. permutací π splňujících podmíu {i {1 1}; π(i + 1) < π(i)} =. Pro aždé N je posloupost 0, 1 1 logaritmicy oáví a uimodálí. Toto tvrzeí lze doázat ombiatoricy (viz [1, str. 17]); jiou možostí je ověřit, že polyom 1 =0 x má pouze reálé ořey (viz [1, str. 4]). Čteářům se zájmem o hlubší studium uimodálích a logaritmicy oávích posloupostí doporučujeme přehledový čláe [1], jehož součástí je i obsáhlý sezam literatury. L i t e r a t u r a [1] Bóa, M.: Combiatorics of permutatios, d editio. CRC Press, Boca Rato, FL, 01. [] Boyadzhiev, K. N.: Close ecouters with the Stirlig umbers of the secod id. Math. Mag. 85 (01), [3] Cleveso, M. L., Watis, W.: Majorizatio ad the birthday iequality. Math. Mag. 64 (1991), [4] Dobso, A. J.: A ote o Stirlig umbers of the secod id. J. Comb. Theory 5 (1968), [5] Graham, R. L., Kuth, D. E., Patashi, O.: Cocrete Mathematics. Addiso- Wesley, New Yor, [6] Gross, J. L.: Combiatorial methods with computer applicatios. Chapma ad Hall/CRC, Boca Rato, FL, 008. [7] Kleiberg, J., Tardos, É.: Algorithm Desig. Pearso, 005. [8] McCoell, T. R.: A iequality related to the birthday problem. Techical Report, Departmet of Mathematics, Uiversity of Syracuse, 001. [9] Peterse, T. K.: Euleria Numbers. Birhäuser/Spriger, New Yor, 015. [10] Saga, B. E.: Iductive ad ijective proofs of log cocavity results, Discrete Math. 68 (1988), [11] Slaví, A.: O ěterých lasicých erovostech. Sborí 36. meziárodí oferece Historie matematiy, J. Bečvář, M. Bečvářová (eds), Matfyzpress, Praha, 015. [1] Staley R. P.: Log-cocave ad uimodal sequeces i algebra, combiatorics, ad geometry. A. New Yor Acad. Sci., vol. 576, [13] Steele, J. M.: The Cauchy-Schwarz master class. A itroductio to the art of mathematical iequalities. Mathematical Associatio of America, Washigto, DC; Cambridge Uiversity Press, Cambridge, 004. [14] Trojovsý, P., Veselý, J.: Vytvořující fuce. PMFA 45 (000), [15] Wager, C. G.: Newto s iequality ad a test for imagiary roots. Two-Year College Math. J. 8 (1977), [16] Wilf, H. S.: Geeratigfuctioology, 3rd editio. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA,