Dalibor Slovák Wienerův proces

Transkrypt

1 Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Dalibor Slovák Wieerův proces Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Jakub Staěk Studijí program: Matematika Studijí obor: Obecá matematika 2007

2 Děkuji své rodiě a přátelům za podporu ve studiu. Děkuji Tereze Baumové za půjčeí počítače, Tomáši Kohaovi, Jau Bártkovi a Lucii Kračmerové za poskytuté rady a svému vedoucímu Jakubu Staňkovi za odborý dohled. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci apsal samostatě a výhradě s použitím citovaých prameů. Souhlasím se zapůjčováím práce a jejím zveřejňováím. V Praze de Dalibor Slovák 2

3 Obsah 1 Úvod 5 2 Důležité věty Defiice a pomocá tvrzeí Trasformace Wieerova procesu O existeci Wieerova procesu O eexisteci derivace Simulace Wieerova procesu 15 4 Závěr 17 Literatura 18 3

4 Název práce: Wieerův proces Autor: Dalibor Slovák Katedra (ústav): Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Jakub Staěk vedoucího: kubiks@post.cz Abstrakt: V předložeé práci studujeme výzamý proces z teorie stochastických procesů. Po úvodí defiici zformulujeme ěkolik vět z teorie pravděpodobosti, které budeme později využívat. Dokážeme, že Wieerův proces je stabilí vůči široké třídě trasformací, zformulujeme a dokážeme větu o existeci Wieerova procesu a akoec ukážeme, že trajektorie Wieerova procesu emá koečou derivaci v žádém bodě (0, ) skoro jistě. V další části uvedeme bez důkazu Doského pricip ivariace a a jeho základě asimulujeme ukázku trajektorie Wieerova procesu. Klíčová slova: Norbert Wieer, Wieerův proces, trajektorie Title: Wieer process Author: Dalibor Slovák Departmet: Departmet of Probability ad Mathematical Statistics Supervisor: Mgr. Jakub Staěk Supervisor s address: kubiks@post.cz Abstract: I the preset work we study a importat part of the theory of stochastic processes. After the iitial defiitio we state several theorems of the theory of probability, which we use afterwards. We demostrate stability of Wieer process toward the wide group of trasformatios, we preset ad prove theorem about the existece of Wieer process ad fially we demostrate that trajectory of Wieer process is fiitely diferetiable at o poit of (0, ) almost surely. I the ext part we state Dosker ivariace priciple without proof ad o its basis we simulate trajectory of Wieer process. Keywords: Norbert Wieer, Wieer process, trajektory 4

5 Kapitola 1 Úvod Wieerův proces (ěkdy též azývá Browův pohyb) je stochastický proces se spojitým časem, pojmeovaý a počest Norberta Wieera. Je to jede z ejdůležitějších příkladů Lévyho procesů, tj. procesů s přírůstky ezávislými a poloze. Browův pohyb popsal roku 1827 skotský botaik Robert Brow jako áhodý pohyb mikroskopických částeček v kapalém ebo plyém prostředí. Teto jev ěkolik desetiletí zepokojoval fyziky; s jeho vysvětleím přišel až Albert Eistei ve svém prvím čláku ze slavého roku 1905 O pohybu - potřebém pro molekulárí kietickou teorii tepla - malých částic umístěých v klidé kapaliě. Matematické pozadí tomuto jevu dodal Norbert Wieer, ale přesá matematická teorie mohla být budováa až poté, co Adrej Nikolajevič Kolmogorov ve 30. letech defioval pravděpodobostí prostor (Ω, A, P). V deším pojetí je Browův pohyb je jedou z aplikací Wieerova procesu. Na základě výsledků Paula Erdőse a Marka Kace ukázal Moroe D.Dosker, že Wieerův proces je limití možiou trajektorií áhodé procházky, tak jako jsme toho využili v kapitole 3. Wieerův proces se využívá v moha oblastech matematiky, fyziky a ekoomie, apř. při řešeí stochastických difereciálích rovic ebo pro filtraci šumu při přeosu sigálu. O tom, že toto téma ai zdaleka eí vyčerpaé, svědčí Nobelova cea za ekoomii uděleá v roce 1997 Robertu C. Mertoovi a Myrou Scholesovi, kteří při určováí hodot fiačích derivátů využívali bohaté teorie Wieerova procesu. Cílem aší práce je ukázat ěkteré důležité vlastosti, kterými se Wieerův proces vyzačuje. Jedá se zejméa o Větu o existeci Wieerova procesu a Větu o eexisteci derivace, které jsou dokázáy ve druhé kapitole. Třetí kapitola ám potom ukazuje, jak mohou vypadat trajektorie Wieerova procesu. Ačkoli jsou zde užívaé pojmy vesměs defiováy, u čteáře se předpokládají základí zalosti teorie pravděpodobosti. 5

6 Kapitola 2 Důležité věty 2.1 Defiice a pomocá tvrzeí Přikročme ejprve k vlastí defiici: Defiice: Stochastický proces {W (t), t 0} se azývá Wieerův proces, jestliže platí: 1. L(W (t) W (s)) = N(0, t s ), s, t 0 2. W (t 1 ), W (t 2 ) W (t 1 ),..., W (t ) W (t 1 ) jsou ezávislé áhodé veličiy pro 0 t 1 t 2... t < 3. {W (t), t 0} má všechy trajektorie spojité a W (0) = 0. V ásledující části si zformulujeme tvrzeí a věty, jichž budeme později využívat. Jejich důkaz vyžaduje vybudováí eelemetárí teorie, a proto až a větu 2.4 je a důkazy pouze odkazováo. Defiice Bud T R idexová možia, N, t 1,..., t T a x 1,..., x R. Systém distribučích fukcí {F t1,...,t (x 1,..., x )} se azývá kozistetí, jestliže má ásledující vlastosti: (1) Pro libovolou permutaci i 1,..., i čísel 1,..., platí (2) F ti1,...,t i (x i1,..., x i ) = F t1,...,t (x 1,..., x ) lim x F t 1,...,t 1,t (x 1,..., x 1, x ) = F t1,...,t 1 (x 1,..., x 1 ). 6

7 Defiice Bud T R idexová možia, X = {X(t), t T } a Y = {Y (t), t T } áhodé procesy defiovaé a stejém pravděpodobostím prostoru. Řekeme, že proces Y je modifikace procesu X, jestliže P[X(t) = Y (t)] = 1 pro každé t T. Věta 2.1 (Daiell-Kolmogorov). Necht {F t1,...,t (x 1,..., x )} je kozistetí systém distribučích fukcí. Potom existuje áhodý proces {X(t), t T } takový, že pro každé N, libovolá t 1,..., t T a libovolá reálá x 1,..., x platí P(X(t 1 ) x 1,..., X(t ) x ) = F t1,...,t (x 1,..., x ). Důkaz: Štěpá (1987), věta I.10.3 Věta 2.2 (O spojité modifikaci). Necht {X(t), t T } je stochastický proces a existují kladé kostaty K, α, δ takové, že E X(s) X(t) α K s t 1+δ pro všecha s, t T. Pak existuje spojitá modifikace procesu {X(t), t T }. Důkaz: Štěpá (1987), věta III.5.8 Věta 2.3. Bud te Y 1,..., Y áhodé veličiy takové, že áhodý vektor Y = (Y 1,..., Y ) má ormálí rozděleí. Pak Y 1,..., Y jsou ezávislé áhodé veličiy. Důkaz: Štěpá (1987), věta II.7.28 Věta 2.4. Stochastický proces {W (t), t 0} vyhovuje podmíkám 1., 2. z defiice právě tehdy, když jsou splěy ásledující podmíky: (i) L(W (t 1 ),..., W (t )) je -rozměré ormálí rozděleí s ulovým vektorem středích hodot pro t 1,..., t R + koečé, N (ii) cov (W (t), W (s)) = mi (s, t), s, t 0. 7

8 Důkaz: Mějme t 1,..., t koečá ezáporá reálá čísla a 0 s 1 <... < s echt je jejich uspořádáí podle velikosti. Má-li vektor Y -rozměré ormálí rozděleí s ulovou středí hodotou a variačí maticí V a X = Y A, kde A je matice typu, pak vektor X má -rozměré ormálí rozděleí s ulovou středí hodotou a variačí maticí A T V A. Položíme-li Y = (W (s 1 ), W (s 2 ),..., W (s )) a X = (W (s 1 ), W (s 2 ) W (s 1 ),..., W (s ) W (s 1 )), pak matice lieárích zobrazeí A, převádějící X a Y, a matice B, převádějící Y a X, vypadají ásledově: A = , B = Z toho plye, že L (W (s 1 ), W (s 2 ),..., W (s )) má -rozměré ormálí rozděleí s ulovou středí hodotou právě tehdy, když L (W (s 1 ), W (s 2 ) W (s 1 ),..., W (s ) W (s 1 )) má -rozměré ormálí rozděleí s ulovou středí hodotou. Nyí přistupme k samotému důkazu. Necht platí 1., 2.: Jelikož L (W (s 1 ), W (s 2 ) W (s 1 ),..., W (s ) W (s 1 )) má -rozměré ormálí rozděleí s ulovou středí hodotou, plye vlastost (i) z předchozí pozámky. cov (W (t), W (s)) = E W (t)w (s) E W (t)e W (s) = }{{} =0 = E W (t)[w (s) W (t) + W (t)] = = E W (t)[w (s) W (t)] +E [W (t)] 2 = }{{} =0 = var W (t) = t, s t a obdobě cov (W (t), W (s)) = s pro s t, takže platí i vlastost (ii). Necht platí (i), (ii): 8

9 Podle pozámky ze začátku důkazu je L(W (t) W (s)) = N(0, σ 2 ), kde podle (ii) σ 2 = E [W (t) W (s)] 2 = E[(W (t)) 2 2W (t)w (s) + (W (s)) 2 ] = = t 2 mi(t, s) + s = t s, t, s 0. Podle (ii) rověž platí 0 t < s < u E (W (u) W (s))(w (s) W (t)) = = E [W (u)w (s) (W (s)) 2 W (u)w (t) + W (s)w (t)] = s s t + t = 0, čímž jsme dokázali ekorelovaost veliči W (u) W (s), W (s) W (t). Tvrzeí plye z věty Trasformace Wieerova procesu Jak ám ukazuje ásledující věta, Wieerův proces je stabilí k široké třídě trasformací: Věta 2.5 (Trasformace Wieerova procesu). (i) { W (t), t 0}, {σ 1 W (σ 2 t), t 0}, σ 2 > 0 jsou Wieerovy procesy. (ii) {W (t + t 0 ) W (t 0 ), t 0} je pro t 0 0 Wieerův proces ezávislý a σ-algebře σ(w (t), t t 0 ). (iii) Ozačíme-li W (t) = t W (t 1 ), t > 0, a W (0) = 0, pak existuje Wieerův proces {W (t), t 0} takový, že W (t) = W (t) pro t 0 skoro jistě. Důkaz: (i) Ozačme W 1 (t) := W (t) a W 2 (t) := σ 1 W (σ 2 t). Ukážeme, že jsou to Wieerovy procesy, tedy že vyhovují defiici: 1. L(W 1 (t) W 1 (s)) = L( W (t) + W (s)) = L(W (s) W (t)) = = N(0, s t ), s, t 0 2. W (t 1 ), (W (t 2 ) W (t 1 )),..., (W (t ) W (t 1 )) jsou ezávislé áhodé veličiy pro 0 t 1 t 2... t < 3. Spojitost trajektorií W 1 plye ze spojitosti trajektorií a W 1 (0) = W (0) = 0. 9

10 Obdobě pro W 2 : 1. Jelikož W (t) W(s) má ormálí rozděleí, pak i σ 1 (W (σ 2 t) W (σ 2 s)) má ormálí rozděleí a dále E (W 2 (t) W 2 (s)) = σ 1 E(W (σ 2 t) W (σ 2 s)) = 0 var (W 2 (t) W 2 (s)) = E(W 2 (t) W 2 (s)) 2 = = E[σ 1 (W (σ 2 t) W (σ 2 s))] 2 = σ 2 E[W (σ 2 t) W (σ 2 s)] 2 = = σ 2 var (W (σ 2 t) W (σ 2 s)) = σ 2 σ 2 (t s) = t s 2. Máme-li 0 t 1 t 2... t <, pak 1 σ W (σ2 t 1 ), 1 σ (W (σ2 t 2 ) W (σ 2 t 1 )),..., jsou ezávislé áhodé veličiy, ebot ozačíme-li pak s i := σ 2 t i, i = 1,...,, 1 σ (W (σ2 t ) W (σ 2 t 1 )) W (s 1 ), W (s 2 ) W (s 1 ),..., W (s ) W (s 1 ) jsou ezávislé áhodé veličiy z předpokladu. 3. Spojitost trajektorií W 2 opět plye ze spojitosti trajektorií W a W 2 (0) = σ 1 W (σ 2 0) = σ 1 0 = 0, takže i W 2 je Wieerovým procesem. (ii) W (t+t 0 ) W (t 0 ) je jistě Wieerův proces a z 2. vlastosti z defiice Wieerova procesu jsou W (t + t 0 ) W (t 0 ), W (s) W (0) ezávislé áhodé veličiy pro s t 0, z čehož plye tvrzeí. (iii) Proces W (t) splňuje podmíky 1., 2. z defiice podle věty 2.4, protože vektory ( W (t1 ),..., W (t ) ) vzikají lieárí trasformací vektoru ( W (t 1 1 ),..., W (t 1 ) ) a protože E ( W (s) W (t) ) = st mi(s 1, t 1 ) = mi(s, t) pro s, t > 0. Podle věty 2.2 má teto proces spojitou modifikaci W, jež je Wieerovým procesem. Pak P [ W (t) = W (t), t 0 ] = P [ W (t) = W (t), t Q [0, ) ] = 1, ebot procesy W a W mají všechy své trajektorie spojité a itervalu (0, ). 10

11 2.3 O existeci Wieerova procesu Mohlo by ás apadout, zda vůbec existuje proces, který by měl vlastosti, které požadujeme. Odpovědí je ásledující věta: Věta 2.6 (O existeci Wieerova procesu). a) Existuje stochastický proces X(t) s vlastostmi 1., 2. z defiice. b) Každý proces X(t), který má vlastosti 1., 2. z defiice a pro ějž platí X(0) = 0, má modifikaci, která je Wieerovým procesem. Důkaz: a) Pro každou posloupost t 1,..., t R + bud F t1,...,t = N (0, K), kde K ij = mi (t i, t j ), 1 i, j. Potom systém {F t1,...,t } splňuje požadavky Daiellovy- Kolmogorovovy věty 2.1 a existuje tudíž proces X = {X(t), t 0} s koečěrozměrými rozděleími {F t1,...,t }. Podle věty 2.4 má pak proces X vlastosti 1., 2. b) Mějme ejprve áhodou veličiu Z, Z N(0, 1). Pak z vlastosti ormovaého ormálího rozděleí a derivováím per partes získáváme 1 = var Z = EZ 2 = 1 + } z 2 exp { z2 dz = 2π = = 1 2π ( [z 3 3 exp 1 + 2π z 4 3 exp odkud plye, že EZ 4 = 3. }] + { z2 2 { z } dz = 1 3 EZ4, z 4 3 exp } { z2 dz 2 Uvažujme yí proces X = {X(t), t 0} s vlastostmi 1., 2, pro ějž X(0) = 0. Pak E X(s) X(t) 4 = s t 2 E = 3 s t 2, [ X(s) X(t) s t ] 4 = protože (X(s) X(t)) / s t má pro s t rozděleí N(0, 1). Proces X splňuje předpoklad věty 2.2 o spojité modifikaci, a tedy 11 ) =

12 existuje spojitá modifikace procesu X, kterou ozačíme { X(t), t 0}. Protože X(0) = 0 skoro jistě, je W = {W (t), t 0} Wieerův proces, položíme-li W ω = X ω, pokud X ω (0) = 0 = 0, pokud X ω (0) O eexisteci derivace Trajektorie Wieerova procesu mají díky ezávislosti přírůstků ěkteré patologické vlastosti: Věta 2.7 (O eexisteci derivace). Trajektorie Wieerova procesu emá koečou derivaci v žádém bodě itervalu (0, ) skoro jistě, tj. existuje možia D A, P(D) = 1 taková, že pro ω D fukce t W ω (t) emá derivaci v žádém bodě itervalu (0, ). Důkaz: Stačí ověřit, že trajektorie Wieerova procesu emají derivaci v žádém bodě itervalu (0, 1) skoro jistě. Položme L = {ω : W ω má koečou derivaci alespoň v jedom bodě itervalu (0, 1)}. To zameá, že ke každému ω L existuje alespoň jede bod t 0 takový, W že lim ω(t) W ω(t 0 ) t t0 t t 0 je koečá, tedy ω L r N δ > 0 t 0 (0, 1) : t t 0 < δ W ω (t) W ω (t 0 ) t t 0 < r. Pro pevé δ > 0 a t 0 (0, 1) můžeme ajít ejmeší m = m(δ) N takové, že ke každému m existuje 1 i 2, že i 1 < t 0 i a body i 1, i, i+1, i+2 leží v otevřeém δ-okolí bodu t 0. Potom pro každé ω L a j = i, i + 1, i + 2 platí ( ) ( ) ( ) j j 1 W ω W ω j W ω W ω (t 0 ) + ( ) + j 1 W ω W ω (t 0 ) r t 0 j + r t 0 j 1 6r, ebot absolutí hodoty t0 j a t0 j 1 jsou ejvětší pro t0 = i 1 a j = i

13 Z toho plye L A, kde { A = ω Ω : = { ω Ω : 2 i+2 r=1 m=1 m i=1 j=i r=1 m=1 A r,m } A [ ( ) ( j j 1 W ω W ω ) 6r ] } = Nyí ám stačí dokázat, že P(A r,m ) = 0, ebot pak je také P(L) = 0 a Wieerův proces emá koečou derivaci v žádém bodě itervalu (0, 1) skoro jistě. Vezměme tedy pevé r, m N: P(A r,m ) = if m P ( ω Ω : 2 i=1 i+2 [ ( ) j W ω j=i W ω ( j 1 ) 6r ] ) Vzhledem ke stacioaritě přírůstků Wieerova procesu (z prví vlastosti z defiice) je ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) j j 1 1 L W W = L W W (0) = ( ( ) ) 1 = L W a platí Dále a rověž P(A r,m ) = if m P P P ( i+2 ( ( 2 i=1 ω Ω : 2 i=1 i+2 j=i [ W ω ( 1 ) 2 X P (X) P (X) i 1 ) X = P (X X X) = [P (X)] 3, j=i z čehož plye ( [ P(A r,m ) if P ω Ω : m W ω ( 1 ) 6r ] ). ) 6r ]) 3. Z vlastostí ormálího rozděleí a Wieerova procesu L (W (1)) = N(0, 1) = L W ( 1 ) W (0) = L W ( ) 1 = ( = L W ( ) 1 ) 13

14 a tudíž [ P ω Ω : W ω ( 1 ) 6r ] [ = P ω Ω : W ω (1) 6r ] = = 1 6r 1/2 } exp { x2 dx. 2π 6r 2 1/2 Máme tedy { ebot exp P(A r,m ) if m x2 2 } 1. if m ( 1 6r 1/2 2π ( 12r 2π ) 3 = 6r 1/2 exp } 3 { dx) x2 2 ( 12r 2π ) 3 if m 1 = 0, 14

15

16

17 Kapitola 4 Závěr Wieerův proces je důležitým a často používaým procesem. Hlaví část této práce tvoří Věta o existeci Wieerova procesu a Věta o eexisteci derivace a jejich důkazy. Kvůli im jsme zformulovali ěkolik vět a tvrzeí, vesměs bez důkazu. Dále jsme s využitím Doskerova pricipu ivariace asimulovali ukázku pěti trajektorií Wieerova procesu. Teorie Wieerova procesu má des bohaté uplatěí v přírodích vědách, a tak je zde velký prostor pro další práci. 17

18 Literatura [1] Štěpá J.: Teorie pravděpodobosti, Academia, Praha, 1987 [2] Wieer N.: Můj život, Mladá frota, Praha, 1970 [3] 18