Algebra Liniowa 2 Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak Podobie«stwo macierzy, diagonalizacja macierzy 1. Znale¹ macierze przeksztaªcenia liniowego T : R 2 R 2, T (x, y) = (3x 2y, 2x + 3y) w podanych bazach przestrzeni kartezja«skiej R 2 (a) B R 2 = baza standardowa; (b) B R = {(3, 2), ( 2, 3)}; (c) 2 B R2 = {( 1, 2), ( 2, 2)}. 2. Znale¹ macierz przeksztaªcenia liniowego T : R 4 R 2, T (x, y, z, t) = ( 2x + y 2z + t, x 2y + z 2t) w podanych bazach przestrzeni R 4 i R 2 (a) B R 4 = baza standardowa, B R 2 = baza standardowa; (b) B R 4 = {(0, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0), ( 1, 1, 0, 1), (0, 0, 0, 1)}, B R 2 = {(2, 1), ( 1, 0)}; 3. O przeksztaªceniu liniowym T : R 2 R 5 wiemy,»e T (1, 1) = (1, 2, 3, 4, 5), T (2, 1) = (5, 4, 3, 2, 1). Jak wygl daj T (1, 0), T (0, 1) i ogólnie T (x, y) dla dowolnego (x, y) R 2? 4. Przeksztaªcenie liniowe T : V V ma w bazie B V = {v 1, v 2, v 3 } macierz 1 2 3 A = 4 5 6. 1 1 0 Znale¹ macierze A, A przeksztaªcenia T w podanych bazach (a) B V = {v 1 = 2v 1, v 2 = v 2 + v 3, v 3 = v 1 + 2v 2 v 3 }; (b) B V = {v 1 = v 1 + v 2 + v 3, v 2 = v 1 v 2 + v 3, v 3 = v 1 + v 2 v 3 } 5. Pokaza,»e poni»sze macierze A i A s podobne 1 0 0 A = 0 2 0, A = 0 0 1 2 0 0 0 1 0. 0 0 1 1
6. Wykaza,»e je±li macierze A i B s podobne, to: (a) dla dowolnej liczby λ R macierze A + λe i B + λe te» s podobne (E oznacza macierz jednostkow ); (b) dla dowolnej liczby k N macierze A k i B k te» s podobne. 7. Skorzysta z poprzedniego zadania i pokaza,»e poni»sze macierze A i B nie s podobne 1 2 0 1 0 1 A = 0 1 2, B = 0 1 0. 0 0 1 0 0 1 8. Sprawdzi, dla jakich warto±ci parametrów a i b macierz A jest diagonalizowalna [ ] a 1 A =. b a 9. Dla podanej macierzy A skonstruowa macierz podobn A, która ma posta diagonaln (wykona proces diagonalizacji macierzy): [ ] 2 1 2 0 1 3 3 6 8 (a) A =, (b) A = 0 5 6, (c) A = 8 3 8 4 4 6 3 1 3 2. 0 3 4 2 1 2 0 W ka»dym przypadku wskaza macierz P realizuj c podobie«stwo, tzn. tak,»e A = P 1 AP. 2
Przestrzenie euklidesowe 10. Sprawdzi, czy funkcja.,. : R n R n R jest iloczynem skalarnym w przestrzeni R n, je±li (a) n = 2, x, y = x 1 y 2 + x 2 y 1, (b) n = 2, x, y = 2x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 3x 2 y 2, (a) n = 3, x, y = 2x 1 y 1 + 3x 2 y 2 + x 3 y 3, (b) n = 4, x, y = 2x 1 y 1 + 3x 2 y 2 + x 3 y 3 x 4 y 4. 11. Wiadomo,»e B = {v 1, v 2, v 3 } jest baz ortonormaln w przestrzeni euklidesowej (V,, ). Sprawdzi, czy B jest baz ortogonaln, ortonormaln w tej przestrzeni, je±li: { (a) B = u 1 = 1 v 1 1 v 2 + 1 v 3, u 2 = 1 v 2 + 1 v 3, 3 3 3 2 2 2 u 3 = v 1 + 1 v 2 1 v 3 }, 3 6 6 (b) B = {u 1 = v 1 v 2 + 3v 3, u 2 = 10v 1 + v 2 3v 3, u 3 = 6v 2 + 2v 3 }. 12. Zastosowa ortogonalizacj Grama-Schmidta i skonstruowa baz ortogonaln przestrzeni R 3 startuj c z podanej bazy B: (a) B = { (1, 1, 1), (1, 2, 3), ( 1, 0, 1) }, (b) B = ( {1, 2, 3), ( 1, 0, 1), (1, 1, 1) }. 13. Skonstruowa baz ortogonaln w przestrzeni euklidesowej (V,, ), je±li (a) V = Lin { (1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 0, 2) }, (b) V = Lin { (1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 0, 2), (0, 3, 1, 1) }, a, jest iloczynem skalarnym w indukowanym na podprzestrzeni liniowej V przestrzeni kartezja«skiej R 4 wyposa»onej w standardowy iloczyn skalarny. 14. Poda baz ortonormaln przestrzeni (V,, ), w której iloczyn skalarny jest indukowany z przestrzeni R 4 : (a) V = {(x, y, z, t) R 4 : x + y + z + t = 0}, (b) V = {(x, y, z, t) R 4 : x 2y + z 3t = 0}, (c) V = {(x, y, z, t) R 4 : x + y + z + t = 0 x 2y + z 3t = 0}. 15. Wyznaczy dopeªnienie ortogonalne V podprzestrzeni liniowej V w przestrzeni R 3 ze standardowym iloczynem skalarnym, je±li (a) V = {(x, y, z) R 3 : 2x y z = 0}, (b) V = {(x, y, z) R 3 : 2x y z = 0 3x + 2y 5z = 0}, (c) V = Lin{( 1, 2, 3)}, (d) V = Lin{( 1, 2, 1), (1, 2, 1)}. 3
16. Wyznaczy dopeªnienie ortogonalne V podprzestrzeni liniowej V w przestrzeni R 4 ze standardowym iloczynem skalarnym, je±li (a) V = {(x, y, z, t) R 4 : x y z t = 0}, (b) V = {(x, y, z, t) R 4 : x y z t = 0 x + y z + t = 0}, (c) V = Lin{(1, 1, 0, 0)}, (d) V = Lin{(1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1)}, (e) V = Lin{(1, 2, 1, 0), (2, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 2)}, (f) V = Lin{(1, 2, 1, 0), (2, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 2), (1, 1, 0, 0)}. 17. Wyznaczy rzut ortogonalny wektora v na wektor u w podanej przestrzeni kartezja«skiej R n wyposa»onej w standardowy iloczyn skalarny (a) v = (3, 4), u = (1, 1), R 2, (b) v = (1, 1, 1), u = (1, 1, 1), R 3, (c) v = (1, 1, 2, 2), u = (2, 2, 1, 1), R 4. 18. Wyznaczy rzut ortogonalny wektora v na podprzestrze«liniow V przestrzeni kartezja«- skiej R n wyposa»onej w standardowy iloczyn skalarny, je±li (a) v = (3, 4), V = Lin{(1, 1)}, R 2, (b) v = (1, 1, 1), V = Lin{(2, 1, 0)}, R 2, (c) v = (1, 1, 1), V = Lin{(2, 1, 0), (0, 1, 2)}, R 3, (d) v = (1, 2, 3, 4), V = Lin{(1, 0, 1, 1), (0, 0, 1, 1)}, R 4, (d) v = (1, 2, 2, 0, 2), V = Lin{(1, 1, 0, 1, 1), (2, 1, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 1, 0)}, R 5 4
Formy kwadratowe 19. Napisa macierz podanej formy kwadratowej f. Jak wygl da symetryczna forma dwuliniowa F odpowiadaj ca formie kwadratowej f? (a) f(x 1, x 2 ) = x 2 1 x 1 x 2 + x 2 2, (b) f(x 1, x 2, x 3 ) = 2x 2 1 x 2 2 + 5x 2 3 6x 1 x 2 + 2x 1 x 3 + 4x 2 x 3, (c) f(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 x 2 x 3, (d) f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 2x 1 x 4 2x 2 x 3 + 3x 2 4. 20. Sprowadzi do postaci kanonicznej formy kwadratowe z zadania poprzedniego. Odp. Np. (a) x 2 1 + 5 4 x 2 2, x 1 = x 1 + 1 2 x 2, x 2 = x 2, (b) 2x 2 1 11 2 x 2 2 + 74 11 x 2 3, x 1 = x 1 3 2 x 2 + 1 2 x 3, x 2 = x 2 7 11 x3, x 3 = x 3, (c) x 2 1 x 2 2, x 1 = 1 2 (x 1 + x 2 x 3 ), x 2 = 1 2 (x 1 x 2 x 3 ), (d) 1 3 x 2 1 1 2 x 2 2 + 1 2 x 2 3 + 3x 2 4, x 1 = x 1, x 2 = x 2 + x 3, x 3 = x 2 x 3, x 4 = 1 3 x 1 + x 4. 21. Napisa macierz symetrycznej formy dwuliniowej F. Jak wygl da forma kwadratowa f odpowiadaj ca formie dwuliniowej F? (a) f(x 1, x 2, y 1, y 2 ) = x 1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 2x 2 y 2, (b) f(x 1, x 2, x 3, y 1, y 2, y 3 ) = 2x 1 y 1 x 1 y 2 + x 1 y 3 x 2 y 1 + x 3 y 1 + 3x 3 y 3, (c) f(x 1, x 2, x 3, x 4, y 1, y 2, y 3, y 4 ) = 6x 1 y 4 6x 4 y 1 + 6x 2 y 3 + 6x 3 y 2. 22. Dla jakiej warto±ci parametru λ forma kwadratowa f jest dodatnio okre±lona? (a) f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + 2λx 1 x 2 + 9x 2 2, (b) f(x 1, x 2, x 3 ) = 5x 2 1 + x 2 2 + λx 2 3 + 4x 1 x 2 2x 1 x 3 2x 2 x 3, (c) f(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1 + x 2 2 + 5x 2 3 + 2λx 1 x 2 2x 1 x 3 + 4x 2 x 3, (d) f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 2x 2 1 + x 2 2 + 7x 2 3 + 3x 2 4 + 2λx 1 x 2 + 2x 1 x 4. Odp.: (a) 3 < λ < 3, (b) λ > 2, (c) 4 5 5 5 < λ < 0, (d) 3 < λ < 3. 23. Dla jakiej warto±ci parametru λ forma kwadratowa f jest ujemnie okre±lona? (a) f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + λx 2 2 + 4x 1 x 2, (b) f(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1 + 2λx 2 2 x 2 3 + 4x 1 x 2 + 8x 2 x 3, (c) f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x 2 1 x 2 2 x 2 3 x 2 4 + 2λ(x 1 x 3 + x 2 x 4 ). Odp.: (a) λ < 4, (b) λ < 10, (c) 1 < λ < 1. 5
Arytmetyka 24. Korzystaj c z algorytmu Euklidesa, znale¹ najwi kszy wspólny dzielnik liczb a, b Z, a nast pnie zapisa go w postaci Polecenie wykona dla NWD(a, b) = a x + b y, gdzie x, y Z. (a) a = 379, b = 77; (b) a = 975, b = 442; (c) a = 2849, b = 1258; (d) a = 34307, b = 34216; (e) a = 22869, b = 11025. Odp.: (a) 1, x = 13, y = 64; (b) 13, x = 5, y = 11; (c) 37, x = 15, y = 34; (d) 91, x = 1, y = 1; (e) 63, x = 27, y = 56. 25. Sprawdzi, która para liczb a, b to liczby wzgl dnie pierwsze, je±li (a) a = 1273, b = 858; (b) a = 1037, b = 793; (c) a = 273, b = 231; (d) a = 27333, b = 23134. Odp.: Wzgl dnie pierwsze s pary liczb w (a) i (d). 26. Obliczy reszt z dzielenia liczby a przez liczb b, je±li (a) a = 1946, b = 26; (b) a = 1946 1972, b = 26; (c) a = 1972, b = 26; (d) a = 1972 1946, b = 26; Odp.: (a) 22; (b) 22; (c) 22; (d) 16; (e) 12. (e) a = 1946 1972 + 1972 1946, b = 26. 27. Obliczy reszt z dzielenia liczby a przez liczb b, je±li (a) a = 5555, b = 191; (b) a = 5555 190, b = 191; (c) a = 5555 7777, b = 191; (d) a = 7777 5555, b = 191; Odp.: (a) 16; (b) 1; (c) 40; (d) 185; (e) 34. (e) a = 5555 7777 + 7777 5555, b = 191. 6
28. Obliczy reszt z dzielenia liczby a przez liczb b, je±li (a) a = 295500 18, b = 19; (b) a = 295500 18n, b = 19, n N; (c) a = 295500 19, b = 19; Odp.: (a) 1; (b) 1; (c) 12; (d) 12; (e) 12. (d) a = 295500 18n+1, b = 19, n N; (e) a = 295500 18n+13, b = 19, n N. 29. Wyznaczy ostatnie dwie cyfry rozwini cia dziesi tnego liczb 9 9, 9 10, 9 99, 7 9, 7 99, 7 99 9. Odp.: 89, 1, 89, 7, 7, 7. 30. Korzystaj c z wªasno±ci kongruencji (m.in. maªego twierdzenia Fermata) sprawdzi,»e dla ka»dej liczby naturalnej n (a) 31 2 5n 1, (b) 13 1 + 3 3n+1 + 9 3n+1, (c) 13 4 2n+1 + 3 n+2. 7
Elementy algebry abstrakcyjnej 31. Sprawdzi, czy para (G, ) jest grup, je±li (a) G = {x R: 0 < x 1}, x y = xy (mno»enie liczb x, y), gdy x, y G; (b) G = {(x, y) R 2 : x 0}, (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2, y 1 + x 1 y 2 ), gdy (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) G; (c) G = R, a b = a + b ab, gdy a, b G; (d) G = {a R: a 1}, a b = a + b ab, gdy a, b G. Odp.: (a) nie; (b) tak; (c) nie; (d) tak. 32. Sprawdzi, czy w Zadaniu 32 (b) i (d) grupy s abelowe. 33. W grupie (G, ) z Zadania 32 (b) deniujemy dwa podzbiory H 1 = {(x, 0): x R x 0}, H 2 = {(1, y): y R}. Pokaza,»e H 1 i H 2 s podgrupami w tej grupie. 34. Rozwa»my zbiór K = R 2 z dwoma dziaªaniami i (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ), (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = (x 1 y 1, x 2 y 2 ), gdy (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) K. Sprawdzi, czy (K,, ) jest (a) pier±cieniem; (b) ciaªem. 35. Wykaza,»e zbiór K = {c R: c = a + b 2 a, b Q} z dodawaniem i mno»eniem liczb (rzeczywistych) tworzy ciaªo. Wyznaczy elementy odwrotne do liczb (a) c = 1 + 2, (b) c = 1 2, (c) c = 2 3 2. Odp. (a) c 1 = 1 + 2. 36. Niech {[ ] a b K = b a } : a, b R. Sprawdzi,»e trójka (K, +, ) jest ciaªem, je±li + i oznaczaj zwykªe dodawanie i mno»enie macierzy. 37. Wyznaczy podane elementy (liczby) w podanym ciele liczbowym (a) 1, 2, 5, 9 w ciele Z 13 ; (b) 2 1, 2 2, 7 1, 7 5 w ciele Z 13 ; (c) 1, 10, 15, 88 w ciele Z 89 ; (d) 10 1, 10 2, 15 1, 15 5 w ciele Z 89 ; (e) 7 1, 7 2, 7 8 w ciele Z 89 ; (f) 20 1, 21 1 w ciele Z 23 ; (g) 100 1, 499 1 w ciele Z 5503. 8
W przypadkach trudnych skorzysta m.in. z maªego twierdzenia Fermata. zadanie nast pne. Porówna te» Odp.: (a) 5 = 8; (b) 2 2 = 3 = 10; (d) 10 2 = 8 = 81; (e) 7 1 = 38 = 51, 7 2 = (7 1 ) 2 = 51 2 = 20, 7 8 = 20 4 = 22 = 67; (g) 100 1 = 1816, 499 1 = 1180 = 4323. 38. Do wyznaczania elementu odwrotnego a 1 w ciele Z n mo»na wykorzystywa algorytm Euklidesa. Istotnie, je±li a Z n i n jest liczb pierwsz, to NWD(a, n) = 1. Korzystaj c z (rozszerzonego) algorytmu Euklidesa znajdujemy x, y Z takie,»e a x + n y = 1 = NWD(a, n). Wówczas mamy a x 1 mod n. Zatem x to szukane a 1. Zrobi zadanie poprzednie korzystaj c z tej procedury. 9
Zadania dodatkowe 39. Rozwi za równania diofantyczne (a) 2x + 3y = 1; (b) 696x 16y = 88; (c) 999x 49y = 5000; (d) 903x + 731y = 2107. Odp.: (a) x = 1 + 3p, y = 1 2p; (b) x = 11 2p, y = 473 87p; (c) x = 90000 49p, y = 1835000 999p; (d) x = 196 + 17p, y = 245 21p, p Z. 40. Rozwi za ukªady równa«diofantycznych (a) (b) (c) { 2x + 3y = 1, 3x + 4y = 1; { 2x + 3y = 1, 3x + 2y = 1; { 253x 207y = 69, 207x + 253y = 3013. Odp.: (a) x = 7, y = 5; (b) nie ma rozwi za«; (c) x = 6, y = 7. 41. W ciele Z 113 znale¹ rozwi zania równa«(a) 2x = 77; (b) 77x = 2; (c) 10x = 112. Odp.: (a) x = 95; (b) x = 69; (c) x = 79. 42. Pokaza,»e 17 (2x + 3y) wtedy i tylko wtedy, gdy 17 (9x + 5y). 10