Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszeo roku kierunku zamawianeo Biotecnoloia w ramac projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera pewna lokata na przszłość jest współinansowan przez Unię Europejską w ramac Europejskieo Funduszu Społeczneo
6. Funkcję postaci = a, dzie a R \ {0} nazwam unkcją potęową. 6.. Przkład () a = 2k, k N \ {0} Rsunek. Wkres unkcji () =, () = 3, () = 5. -2-0 2 D = R, zbiór wartości R, unkcja rosnąca, unkcja nieparzsta. - (2) a = 2k, k N \ {0} Rsunek 2. Wkres unkcji () = 2, () = 4, () = 6. D = R, zbiór wartości R + {0}, unkcja parzsta. - 0 (3) a = 2k, k Z {0} Rsunek 3. Wkres unkcji () =, () = 3, () = 5. -2-0 2 - D = R \ {0}, zbiór wartości R \ {0}, unkcja nieparzsta, unkcja różnowartościowa. 29
(4) a = 2k, k Z Rsunek 4. Wkres unkcji () = 2, () = 4, () = 6. D = R \ {0}, zbiór wartości R \ {0}, unkcja parzsta. -2-0 2 (5) a = k, k = {2, 4,... } Rsunek 5. Wkres unkcji () = 2, () = 3, () = 4. 0 2 (6) a = k, k = {3, 5,... } Rsunek 6. Wkres unkcji () = 3, () = 5, () = 7. -3-2 - 0 2 3 6.2. Działania na potęac Zakładam, że a 0. a 0 = a = a a n+ = a n a 30
Jeśli m, n R, a, b R +, to a m a n = a m+n a m a n = a m n (a b) n = a n b n ( a b )n = an b n (a m ) n = a m n a n = a n n N, a R \ {0} a m n = n a m n N \ {0}, m N, a 0 6.3. Działania na pierwiastkac Jeśli m, n N, m, n >, a, b > 0, to n a b = n a n b a b = n a n n b m n a = m n a a ( n a) p = n a p n b = n a n b 6.4. Funkcje pierwiastkowe Funkcją odwrotną do unkcji : [0, + ) [0, + ), () = 2 jest unkcja pierwiastek kwadratow : [0, + ) [0, + ),. n = 2k, k Z + Funkcją odwrotną do unkcji potęowej : [0, + ) [0, + ), () = n jest unkcja n [0, + ), n. : [0, + ) n = 2k +, k Z + Funkcją odwrotną do unkcji : R R, () = n jest unkcja pierwiastek n : R R, n. 6.5. Równania i nierówności pierwiastkowe a,b 0 a = b a 2 = b 2 a,b<0 a = b a 2 = b 2 a,b 0 a b a 2 b 2 a,b<0 a b a 2 b 2 6.6. Przkładowe zadania. Rozwiązać równanie + 3 = +. Pierwiastek kwadratow jest określon dla liczb nieujemnc, więc + 3 0, czli 3. Podnosim obie stron do kwadratu. ( + 3) 2 = ( + ) 2 + 3 = 2 + 2 + 2 + 2 = 0 = 9, = 2, 2 = 3
Ponieważ operacja podnoszenia stron równania do kwadratu nie jest przekształceniem równoważnm i może spowodować wprowadzenie tzw. pierwiastków obcc, sprawdzam, cz otrzmane wniki są aktcznie rozwiązaniami wjścioweo równania. Odpowiedź: { 2, }. 2. Rozwiązać równanie 3 = 3 2. Pierwiastek kwadratow jest określon dla liczb nieujemnc, więc 0, czli oraz 3 2 0, czli 2 3. Zatem D = [, + ). Wrażenie to podnosim do kwadratu. (3 ) 2 = ( 3 2) 2 9 6 + = 3 2 6 = 2 0 3 = 5 Równanie podnosim po raz kolejn do kwadratu. (3 ) 2 = (5 ) 2 9( ) = 25 0 + 2 2 9 + 34 = 0, = 225, = 2, 2 = 7 Ponieważ operacja podnoszenia stron równania do kwadratu nie jest przekształceniem równoważnm i może spowodować wprowadzenie tzw. pierwiastków obcc, sprawdzam, cz otrzmane wniki są aktcznie rozwiązaniami wjścioweo równania. Odpowiedź: = 2. 3. Rozwiązać nierówność 4 2 2. Pierwiastek kwadratow jest określon dla liczb nieujemnc, więc 4 2 0, czli [0, 4]. Dla [0, 2) prawa strona nierówności jest ujemna, lewa natomiast jest dodatnia. Czli nierówność zacodzi w sposób oczwist dla każdeo [0, 2). Dla [2, 4] obie stron nierówności są nieujemne, więc można je podnieść do kwadratu (zacowując kierunek nierówności). ( 4 2 ) 2 ( 2) 2 4 2 2 4 + 4 2 4 + 2 0 = 8, = 2 2, 2 = 2 + 2, czli [2 2, 2 + 2] Uwzlędniając warunek wstępn [2, 4] otrzmujem [2, 2, + 2]. Bierzem sumę odpowiedzi z obu przpadków, czli [0, 2) lub [2, 2, + 2]. Odpowiedź: [0, 2 + 2]. 4. Rozwiązać nierówność + + 2. Pierwiastek kwadratow jest określon dla liczb nieujemnc, więc + 0, czli oraz 2 0, czli 2. Stąd D = [2, + ). Obie stron nierówności są dodatnie, więc możem podnieść obie stron nierówności do kwadratu. 32
( + ) 2 ( + 2) 2 + + 2 2 + 2 2 Podnosim równanie do kwadratu po raz kolejn. 2, więc 3 Odpowiedź: [3, + ). 6.7. Zadania Znaleźć dziedzinę unkcji:. () = 2 5 + 2 +. 2. () = 2 + 2 3 8. 3. () = 3 4 + 2 2 + 8. 4. () = 2 + 7 30. 5. () = 4+ 2. 6. () = 7. () = 3 + 2 9. 8. () = 2 8. 2 3 9. () = 3 6 2 4 + 2 5. 2 3+ 2. Rozwiązać równanie: 0. 2 4 + 2 = 2 4 28.. 2 5 2 2 = 4. 2. + 3 = +. 3. 3 = 3 2. 4. 2 25 + 2 = 4. 5. 2 + 0 + 25 2 8 + 6 = 5. 6. 3 + 45 3 6 =. 7. 2 2 + 20 + ( + ) = 68. 8. + 5 = 3. 9. + =. 20. 2 = 2. 2. 2 + 7 = 2. 22. + 4 + + = 7. 23. 2 3 8 = 25. 24. 2 + + 2 + + 6 =. 25. 2 3 2 5 3 = 3. 26. 4 5 7 = 2. 27. + 3 4 + + 8 6 =. Rozwiązać nierówność: 28. 2 > 2. 29. ( + 2) 2 8 + 3 < 3. 30. ( 4) + < 4 2. 3. 3 6 + 2 + 2 4. 32. 2 + 0 + 25 + 2 2 + 36 9. 33. 2 25 < 5. 34. 2 + 2 0. 35. + 3 + 2 >. 36. 2 6 < 2. 37. ( + 4)( 3) < 6. 38. 5 8 2 2 4. 39. 3 4 3 >. 33
Sporządzić wkres unkcji: 40. () = + 2. 4. () =. 42. () = 4 2. 43. () = 3 +. 44. () = 3 2. 45. () = 2 2 +. 46. Rozwiązać równanie 2 4 2 k + 2 = 0 z parametrem k. 47. Dla jakic wartości parametru m równanie 2 = + m ma rozwiązanie? ( )(+) Rozwiązać układ równań (nierówności): { + = 4 { 3 + 3 = 5 48. 49. + = 30 + + 2 = 8 2 + = 4 50. 5. + + + + = 4 { 4 > 3( 2 + ) + + 34