Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych zadań). Rozstrzygąć, czy moża pomiąć założeie dodatiości liczb a 1, a 2, a 3,...a dopuszczając dowole liczby rzeczywiste (ewetualie róże od zera, gdy jest problem z dziedzią ierówości). 201. a 1 a 2 a 3...a 1 202. a 2 1 +a 2 2 +a 2 3 +...+a 2 203. a 4 1 +a 4 2 +a 4 3 +...+a 4 204. a1 + a 2 + a 3 +...+ a 205. a 3 1 +a 3 2 +a 3 3 +...+a 3 206. a 17 1 +a 17 2 +a 17 3 +...+a 17 207. 208. 1 + 1 + 1 +...+ 1 a 1 a 2 a 3 a a 3 1 + a 3 2 + a 3 3 +...+ a 3 209. a 1 a 2 +a 2 a 3 +a 3 a 1 3 tylko dla = 3 210. a 1 a 2 +a 2 a 3 +a 3 a 4 +...+a 1 a +a a 1 2 4 tylko dla 5 211. 212. a1 a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 4 +...+ a 1 a + a a 1 5 a 2 1a 3 2 + 5 a 2 2a 3 3 + 5 a 2 3a 3 4 +...+ 5 a 2 1a 3 + 5 a 2 a 3 1 213. 214. 215. a 1 + a 2 + a 3 +...+ a 1 + a a 2 a 3 a 4 a a 1 a 2 1 + a2 2 + a2 3 +...+ a2 1 + a2 a 2 a 3 a 4 a a 1 a 5 1 a 3 2 + a5 2 + a5 3 +...+ a5 1 + a5 a 3 3 a 3 4 a 3 a 3 1-1 - Jarosław Wróblewski Blok Olimpijski 2018/19, klasy 2A, 3A
216. Dowieść, że wśród dowolych 6 osób zajdą się 3 osoby, z których każde dwie się zają, lub 3 osoby, z których żade dwie się ie zają. 217. Każde dwa wierzchołki 10-kąta foremego połączoo odcikiem czerwoym lub iebieskim. Dowieść, że powstał czerwoy trójkąt lub iebieski czworokąt z iebieskimi przekątymi. 218. Każde dwa wierzchołki 9-kąta foremego połączoo odcikiem czerwoym lub iebieskim. Dowieść, że powstał czerwoy trójkąt lub iebieski czworokąt z iebieskimi przekątymi. 219. Każde dwa wierzchołki 18-kąta foremego połączoo odcikiem czerwoym lub iebieskim. Dowieść, że powstał czworokąt, którego wszystkie boki i przekąte są tego 220. Każde dwa wierzchołki 222-kąta foremego połączoo odcikiem czerwoym lub iebieskim. Dowieść, że powstał sześciokąt, którego wszystkie boki i przekąte są tego 221. Każde dwa wierzchołki 17-kąta foremego połączoo odcikiem czerwoym, zieloym lub iebieskim. Dowieść, że powstał trójkąt, którego wszystkie boki są tego 222. Każde dwa wierzchołki 66-kąta foremego połączoo odcikiem czerwoym, zieloym, fioletowym lub iebieskim. Dowieść, że powstał trójkąt, którego wszystkie boki są tego 223. Każde dwa wierzchołki 1958-kąta foremego połączoo odcikiem jedego z sześciu kolorów. Dowieść, że powstał trójkąt, którego wszystkie boki są tego 224. Każde dwa wierzchołki 34-kąta foremego połączoo odcikiem czerwoym, zieloym lub iebieskim. Dowieść, że powstał czerwoy trójkąt lub zieloy trójkąt lub iebieski czworokąt z iebieskimi przekątymi. 225. Każde dwa wierzchołki 85-kąta foremego połączoo odcikiem czerwoym, zieloym lub iebieskim. Dowieść, że powstał czerwoy trójkąt lub zieloy czworokąt z zieloymi przekątymi lub iebieski czworokąt z iebieskimi przekątymi. 226. Każde dwa wierzchołki 254-kąta foremego połączoo odcikiem czerwoym, zieloym lub iebieskim. Dowieść, że powstał czworokąt, którego wszystkie boki i przekąte są tego 227. Każde dwa wierzchołki 176-kąta foremego połączoo odcikiem czerwoym, zieloym lub iebieskim. Dowieść, że powstał czerwoy trójkąt lub zieloy czworokąt z zieloymi przekątymi lub iebieski pięciokąt z iebieskimi przekątymi. 228. Każde dwa wierzchołki 166-kąta foremego połączoo odcikiem czerwoym, zieloym, fioletowym lub iebieskim. Dowieść, że powstał czerwoy trójkąt lub zieloy trójkąt lub fioletowy trójkąt lub iebieski czworokąt z iebieskimi przekątymi. 229. Każde dwa wierzchołki 165-kąta foremego połączoo odcikiem czerwoym, zieloym, fioletowym lub iebieskim. Dowieść, że powstał czerwoy trójkąt lub zieloy trójkąt lub fioletowy trójkąt lub iebieski czworokąt z iebieskimi przekątymi. 230. Zbiór liczb aturalych od 1 do 5 podzieloo a dwa podzbiory. Dowieść, że zajdą się takie dwie liczby (iekoieczie róże), że obie te liczby oraz ich suma ależą do tego samego podzbioru. - 2 - Jarosław Wróblewski Blok Olimpijski 2018/19, klasy 2A, 3A
231. Zbiór liczb aturalych od 1 do 16 podzieloo a trzy podzbiory. Dowieść, że zajdą się takie dwie liczby (iekoieczie róże), że obie te liczby oraz ich suma ależą do tego samego podzbioru. 232. Zbiór liczb aturalych od 1 do 1957 podzieloo a sześć podzbiorów. Dowieść, że zajdą się takie dwie liczby (iekoieczie róże), że obie te liczby oraz ich suma ależą do tego samego podzbioru. 233. Liczby iewymiere dodatie α i β spełiają rówaie 1 α + 1 β = 1. Dla N defiiujmy a = α oraz b = β, gdzie x ozacza część całkowitą liczby x. Dowieść, że każda liczba całkowita dodatia występuje w dokładie jedym z ciągów (a ), (b ). 234. Niech ϕ = 1+ 5 będzie złotą liczbą. 2 Dowieść, że dla dowolej liczby aturalej zachodzi ierówość ϕ ϕ < ϕ 2. 235. Dowieść, że dla dowolej liczby aturalej zachodzi ierówość ϕ (ϕ+1) > ϕ 2. 236. Dowieść, że dla dowolej liczby aturalej zachodzi rówość ϕ ϕ+1 = ϕ 2. 237. Niech a = 2 dla = 1,2,3,... oraz iech (b ) będzie rosącym ciągiem złożoym ze wszystkich liczb całkowitych dodatich iewystępujących w ciągu (a ). Dowieść, że dla każdej liczby całkowitej dodatiej liczby a i b są tej samej parzystości. 238. Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia m 10 = 10 +2m+4 w liczbach całkowitych dodatich m,. 239. Ciągi rosące (a ), (b ), (c ), (d ) o wyrazach całkowitych dodatich spełiają astępujące waruki: (i) każda liczba całkowita dodatia występuje w dokładie jedym z ciągów (a ), (b ), (ii) każda liczba całkowita dodatia występuje w dokładie jedym z ciągów (c ), (d ), (iii) dla dowolej liczby całkowitej dodatiej zachodzi rówość b = a +, (iv) dla dowolej liczby całkowitej dodatiej zachodzi rówość d = c +4. Dowieść, że dla dowolej liczby całkowitej dodatiej zachodzi ierówość 2b d. 240. Udowodić, że rówaie m 15 = 5+ 15 ie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatich m,. - 3 - Jarosław Wróblewski Blok Olimpijski 2018/19, klasy 2A, 3A
Idukcja matematycza 241. Dowieść, że dla każdej liczby aturalej zachodzi rówość 1+2 3+3 3 2 +4 3 3 +5 3 4 +...+ 3 1 = 2 1 3 + 1 4 4. 242. Zgadąć, a astępie udowodić wzór a sumę (skończoą, bo wyrazy poza trójkątem Pascala są zerami) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 + + + +... 0 1 2 3 We wzorze mają prawo pojawić się wyrazy zaego ciągu liczbowego. 243. Dowieść, że dla każdej liczby aturalej zachodzi ierówość Wskazówka: 5/4 1/(2(+1)). 1+ 1 8 + 1 27 +...+ 1 3 < 5 4. 244. Dowieść, że dla dowolej liczby aturalej 256 zachodzi ierówość 32 2. 245. Dowieść, że dla dowolej liczby aturalej 6 kwadrat (figurę geometryczą) moża podzielić a kwadratów. 246. Dowieść, że dla każdej liczby aturalej zachodzi ierówość 1000000 < 2 +19000000. 247. Dowieść, że dla każdej liczby aturalej zachodzi ierówość ( ) 2+4 < 2 2+1. 248. Dowieść, że dla dowolej liczby aturalej zachodzi ierówość 9 (3)!...2 (3!) 3. W miejsce kropek wstawić jede ze zaków: >, <, =,,. 249. Dowieść, że dla każdej liczby aturalej 200 sześcia moża podzielić a sześciaów. Postarać się zastąpić liczbę 200 liczbą miejszą. 250. Wskazać sesowe liczby rzeczywiste A, B, C, D i dowieść, że dla dowolej liczby aturalej zachodzą oszacowaia 4 ( ) 2 4 A < < C. +B +D 251. Dowieść, że dla każdej liczby aturalej zachodzą ierówości 2 3 +1 < 1+ 2+ 3+ 4+ 5+...+ 1+ < 2 3 (+1). - 4 - Jarosław Wróblewski Blok Olimpijski 2018/19, klasy 2A, 3A
252. Dowieść, że w dowolym trójkącie środkowe przeciają się w jedym pukcie. W jakiej proporcji są oe dzieloe przez pukt przecięcia? Jakie są proporcje pól sześciu trójkątów, a które środkowe dzielą trójkąt? 253. Dowieść, że w dowolym czworościaie środkowe przeciają się w jedym pukcie. W jakiej proporcji są oe dzieloe przez pukt przecięcia? Środkowa czworościau to odciek łączący wierzchołek ze środkiem ciężkości przeciwległej ściay. 254. Dowieść, że w dowolym czworościaie odciki łączące środki przeciwległych krawędzi przeciają się w jedym pukcie. 255. Dowieść, że w dowolym ostrosłupie o podstawie będącej czworokątem wypukłym odciki łączące środki ciężkości ścia boczych ze środkami przeciwleglych krawędzi podstawy przeciają się w jedym pukcie. W jakiej proporcji odciki te są dzieloe przez pukt przecięcia? 256. Dowieść, że w dowolym trójkącie dwusiecze kątów wewętrzych przeciają się w jedym pukcie. W jakiej proporcji są oe dzieloe przez pukt przecięcia? Jakie są proporcje pól sześciu trójkątów, a które dwusiecze dzielą trójkąt? 257. W trójkącie ABC pukty A i B leżą odpowiedio a bokach BC i AC, przy czym BA A C = a oraz AB B C = b. Pukt C jest takim puktem boku AB, że odciki AA, BB i CC przeciają się w jedym pukcie. Wyzaczyć AC /C B. W jakiej proporcji odciki AA, BB i CC są dzieloe przez pukt przecięcia? Jakie są proporcje pól sześciu trójkątów, a które te odciki dzielą trójkąt ABC? 258. Dla którego puktu wewątrz trójkąta rówoboczego suma jego odległości od boków trójkąta jest ajmiejsza? 259. Dla którego puktu wewątrz trójkąta rówoboczego suma jego odległości od wierzchołków trójkąta jest ajmiejsza? 260. Dla którego puktu wewątrz czworościau foremego suma jego odległości od ścia czworościau jest ajmiejsza? 261. Dla którego puktu wewątrz czworościau foremego suma jego odległości od wierzchołków czworościau jest ajmiejsza? 262. Dla którego puktu wewątrz czworościau foremego suma jego odległości od krawędzi czworościau jest ajmiejsza? 263. Dla którego puktu wewątrz czworościau (dowolego) suma jego odległości od środków krawędzi czworościau jest ajmiejsza? 264. Chomik ma pod ziemią cztery spiżarie zajdujące się w wierzchołkach czworościau foremego. Chomik chce połączyć te spiżarie siecią dróg o możliwie ajkrótszej łączej długości. Chomik wpadł a pomysł, aby połączyć każdą spiżarię ze środkiem ciężkości czworościau. Czy powstała w te sposób sieć dróg jest ajkrótszą z możliwych? - 5 - Jarosław Wróblewski Blok Olimpijski 2018/19, klasy 2A, 3A