Odkrywanie twierdzeń geometrycznych przy pomocy komputera

Transkrypt

1 Odkrywanie twierdzeń geometrycznych przy pomocy komputera Andrzej Sendlewski WMiI UMK Koło Matematyczne 15 maja 2010

2 DGS programy komputerowe CINDERELLA ver. 1.4, ver. 2.0 (komercyjna) Circle & Ruler (R. Grothmann) Car Metal (R. Grothmann, E. Hakenholtz) CABRI Geometry II CABRI Geometry 3D Geometry Expressions

3 Cechy programów DGS dynamiczne konstrukcje wyznaczanie miejsc geometrycznych automatyczne animacje eksport do apletów Javy obsługiwanych przez przeglądarki internetowe interaktywne ćwiczenia

4 Trójkąt i okrąg Twierdzenie 1. Kąt wewnętrzny przy wierzchołku trójkąta jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy wierzchołek ten leży na okręgu, którego średnicą jest przeciwległy temu wierzchołkowi bok. Wniosek 2. Na każdym prostokącie można opisać okrąg. Jego środek jest punktem przecięcia przekątnych tego prostokąta.

5 Okrąg 9-ciu punktów trójkąta Twierdzenie 3. (Euler) Środki boków, spodki wysokości i środki odcinków łączących wierzchołki trójkąta ABC z jego ortocentrum leżą na jednym okręgu. Okrąg ten nazywamy okręgiem Eulera, albo okręgiem 9-ciu punktów trójkąta.

6 Prosta Eulera trójkąta Twierdzenie 4. Dla dowolnego trójkąta cztery następujące punkty: środek O okręgu opisanego na tym trójkącie, środek E okręgu Eulera tego trójkąta, ortocentrum H tego trójkąta, środek ciężkości M tego trójkąta leżą na jednej prostej. Co więcej, prawdziwe są równości OH = 2 OE = 3 OM. Prostą zawierającą punkty O, M, E i H nazywamy prostą Eulera trójkąta.

7 Twierdzenie Menelausa Twierdzenie 5. Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. a) (Menelaus)Jeżeli punkty A, B, C odpowiednio prostych BC, CA, AB są współliniowe (leżą na wspólnej prostej), to AC C B BA A C CB B A = 1. b) Odwrotnie, jeżeli punkty A, B, C odpowiednio prostych BC, CA, AB są takie,że: AC C B BA A C CB B A = 1, oraz dodatkowo proste AA, BB, CC nie są współpękowe, to punkty te są współliniowe (leżą na wspólnej prostej).

8 Proste Simsona względem trójkąta Twierdzenie 6. Rzuty prostokątne dowolnego punktu X płaszczyzny, na proste zawierające boki trójkąta leżą na jednej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy punkt X leży na okręgu opisanym na tym trójkącie. Prostą tą nazywamy prostą Simsona punktu X względem tego trójkąta. Prostą Simsona punktu X ABC oznaczamy symbolem względem trójkata s ABC (X).

9 Proste Simsona punktów antypodycznych Twierdzenie 7. Proste Simsona dwóch punktów antypodycznych okręgu opisanego na trójkącie są wzajemnie prostopadłe. Twierdzenie 8. Miejscem geometrycznym wszystkich punktów przecięcia prostych Simsona punktów antypodycznych okręgu opisanego na trójkącie jest okrąg Eulera tego trójkąta.

10 Proste Simsona dowolnych dwóch punktów Twierdzenie 9. Proste Simsona dwóch punktów X i Y okręgu o środku O opisanego na trójkącie przecinają się pod kątem równym połowie kąta środkowego XOY. Twierdzenie 10. Miejscem geometrycznym wszystkich punktów przecięcia prostych Simsona punktów X i Y okręgu opisanego na trójkącie tworzących stały kąt środkowy jest krzywa zwana hipocykloidą.

11 Czy prostopadłość jest istotna? Twierdzenie 11. Rzuty dowolnego punktu X płaszczyzny pod ustalonym kątem α na proste zawierające boki trójkąta leżą na jednej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy punkt X leży na okręgu opisanym na tym trójkącie. Prostą tą nazywamy uogólnioną prostą Simsona punktu X względem tego trójkąta. Uogólnioną prostą Simsona punktu X względem trójkata ABC dla rzutów pod kątem α oznaczamy symbolem s α ABC(X).

12 Obwiednia rodziny wszystkich prostych Simsona Twierdzenie 12. Obwiednią rodziny prostych Simsona wszystkich punktów X okręgu opisanego na trójkącie (rzutowanych prostopadle na proste zawierające boki) jest hipocykloida zwana deltoidem Steinera. Inaczej, obwiednią rodziny prostych jest deltoid Steinera. {s ABC (X); X o(o, R)}

13 Obwiednia rodziny wszystkich uogólnionych prostych Simsona Twierdzenie 13. Obwiednią rodziny uogólnionych prostych Simsona wszystkich punktów X okręgu opisanego na trójkącie, rzutowanych pod ustalonym katem α na proste zawierające boki, jest hipocykloida będąca deltoidem. Inaczej, obwiednią rodziny prostych jest deltoid. {s α ABC(X); X o(o, R)}

14 Obwiednia rodziny uogólnionych prostych Simsona ustalonego punktu Twierdzenie 14. Obwiednią rodziny uogólnionych prostych Simsona ustalonego punktu X okręgu opisanego na trójkącie rzutowanego na proste zawierające boki pod kątami α, 0 < α < 2π, jest parabola. Inaczej, obwiednią rodziny prostych jest parabola. {s α ABC(X); α [0, 2π)}

15 Proste Simsona względem czworokąta Twierdzenie 15. Rzuty prostokątne dowolnego punktu X okręgu opisanego na czworokącie ABCD, na proste Simsona punktu X względem czterech trójkątów: ABC, BCD, CDA, DAC leżą na jednej prostej. Prostą tą nazywamy prostą Simsona punktu X względem czworokąta ABCD, oznaczenie s ABCD (X).

16 Proste Simsona względem czworokąta punktów antypodycznych Twierdzenie 16. Proste Simsona względem czworokąta dwóch punktów antypodycznych okręgu opisanego na tym czworokącie są do siebie równoległe.