Tytuł: 01 Budowa portfela produktowego. Zastosowanie programowania liniowego Autor: Piotr SAWICKI, dr hab. inż. Zakład Systemów Transportowych WIT PP piotr.sawicki@put.poznan.pl piotr.sawicki.pracownik.put.poznan.pl www.facebook.com/piotr.sawicki.put Przedmiot: Specjalność: LT, TD, TŻ Wersja: 2019.03.02 Agenda Kluczowe elementy wykładu WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu. PROBLEM PORTFELOWY Istota. Sformułowanie matematyczne. Rozwiązanie. Analiza rozwiązania ZADANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Uogólnienie zadania programowania liniowego (zpl). Cechy zpl PODSUMOWANIE Resume. Dyskusja 2 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 1
Wprowadzenie Cel i zakres wykładu à Cel rozpoznanie specyfiki problemu portfelowego zbudowanie modelu matematycznego rozwiązanie problemu (metodą graficzną i z zastosowaniem Solver-a) uogólnienie problemów o charakterze liniowym Grafika: www.dreamstime.com 3 Wprowadzenie! M1: dobór i wykorzystanie zasobów budowa portfela produktowego (programowanie liniowe) ustalanie kompozycji floty (programowanie całkowitoliczbowe) załadunek problem plecakowy (programowania całkowitoliczbowe) harmonogramowanie pracy (programowanie binarne) warsztat podsumowujący M1 Ramowy program zajęć à 3 moduły tematyczne (grupy problemów) M0: wprowadzenie M1: dobór i wykorzystanie zasobów M2: lokalizacja obiektów i ustalanie zasięgu ich działania M3: ustalanie tras M4: podsumowanie 4 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 2
Agenda Kluczowe elementy wykładu WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu. PROBLEM PORTFELOWY Istota. Sformułowanie matematyczne. Rozwiązanie. Analiza rozwiązania ZADANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Uogólnienie zadania programowania liniowego (zpl). Cechy zpl PODSUMOWANIE Resume. Dyskusja 5 Definicja problemu à Ustalenie zestawu produktów, lub usług (zasobów) gwarantujących osiągnięcie najkorzystniejszego rezultatu rynkowego w zdefiniowanych warunkach oferta usług logistycznych rodzaj przewozów w firmie transportowej 6 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 3
Definicja problemu A: Dobór metody rozwiązania. B: Rozwiązanie problemu A: Interpretacja rozwiązania B: Analiza wrażliwości à Analiza problemu na przykładzie 4-etapowy proces rozwiązywania 7 : Identyfikacja Dobór metody rozwiązania. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości à Analiza przypadku problem sformułowany w postaci zadania programowania liniowego zobacz treść przypadku: Firma ForkLift Service (FLS) jest jednym z ( ) 8 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 4
: matematycznego Dobór metody rozwiązania. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości à Zmienne decyzyjne 2 zmienne S: liczba sprzedanych wózków widłowych typu 20S oferowana przez FLS H: liczba sprzedanych wózków widłowych typu 45H oferowana przez FLS à Parametry zyskowność koszt jednostkowy vs. budżet pracochłonność vs. zatrudnienie dostępność 9 : matematycznego Dobór metody rozwiązania. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości à Funkcja celu maksymalizacja zysku Z ze sprzedaży wózków widłowych typu 20S i 45H Max Z(S,H) jak ustalić zysk wynikający ze sprzedaży obu typów wózków? Z=z S +z H! gdzie: z S - jednostkowy zysk ze sprzedaży wózka typu 20S z H - jednostkowy zysk ze sprzedaży wózka typu 45H 10 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 5
: matematycznego Dobór metody rozwiązania. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości à Funkcja celu zyskowność ze sprzedaży każdego typu wózka widłowego z s = 0,15 19.000 [ ] S = 2.850S z H = 0,19 33.000 [ ] H = 6.270H ostateczne sformułowanie funkcji celu jeżeli Z=z S +z! to Max Z(S, H) = 2.850S + 6.270H! 11 : matematycznego Dobór metody rozwiązania. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości à Ograniczenia (identyfikacja) (1) zasoby finansowe firmy FLS max. 2.400.000 [ /rok] (2) dostępny fundusz czasu pracy poświęcany przez pracowników FLS na sprzedaż wózków 20S i 45H max. 520 [rbh/rok] (3) dostępność wózków u producenta 20S: max 100 [szt./rok] 45H: max 75 [szt./rok] (4) minimalna wielkość zamówienia u producenta 20S: min 10 [szt.] 45H: min 5 [szt.] 12 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 6
: matematycznego Dobór metody rozwiązania. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości à Ograniczenia (zapis) (1) zasoby finansowe firmy FLS: max. 2.400.000 [ ], stąd: 19.000 S + 33.000 H 2.400.000 [ ] (2) dostępny fundusz czasu pracy: max. 520 [rbh/rok], stąd: 6 S + 4 H 520 [rbh/rok] 13 : matematycznego Dobór metody rozwiązania. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości à Ograniczenia (zapis) (3) możliwości produkcyjne firmy Clark w zakresie dostarczenia firmie FLS wózków widłowych typu 20S i 45H dostępność wózków 20S S 100 [szt./rok] dostępność wózków 45H H 75 [szt./rok] 14 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 7
: matematycznego Dobór metody rozwiązania. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości à Ograniczenia (zapis) (4) minimalna liczba wózków w jednorazowym zamówieniu, zapewniająca ciągłość sprzedaży przy jednoczesnym zachowaniu satysfakcji klientów firmy FLS zapotrzebowanie firmy FLS na wózki typu 20S S 10 [szt./rok] zapotrzebowanie firmy FLS na wózki typu 45H H 5 [szt./rok] 15 : matematycznego Dobór metody rozwiązania. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości à Ograniczenia (zapis) (5) formalnie: poszukiwane rozwiązanie (S, H) nie powinno przyjmować wartości ujemnych dla wózków typu 20S S 0 [szt./rok] dla wózków typu 45H H 0 [szt./rok] 16 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 8
: matematycznego à Ostateczna postać modelu matematycznego funkcja celu Max Z(S, H) = 2.850S + 6.270H! przy ograniczeniach (1) 19S + 33H 2.400 (2) 6S + 4H 520 (3.1) S 100 Dobór metody rozwiązania. Rozwiązanie problemu (3.2) H 75 (4.1) S 10 Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości (4.2) H 5 (5.1) S 0 (5.2) H 0 17 : Dobór metody i rozwiązanie A. Dobór metody rozwiązania B. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości A. Dobór metody rozwiązania B. Rozwiązanie problemu Metoda graficzna 18 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 9
H 140 100 75 20 5 0 (5.1) 10 (4.1) S 0 S 10 Obszar rozwiązań niedopuszczalnych Obszar rozwiązań dopuszczalnych dla ograniczeń (3.1) (5.2) H 0 (5.2) (3.1) S 100 H 75 Ograniczenia (5.1) i (5.2) są nieaktywne 20 100 120 (3.2) H 5 (4.2) S : Dobór metody i rozwiązanie Metoda graficzna Funkcja celu: Max Z(S, H) = 2.850S + 6.270H! Ograniczenia: (1) 19S + 33H 2.400 (2) 6S + 4H 520 (3.1) S 100 (3.2) H 75 (4.1) S 10 (4.2) H 5 (5.1) S 0 (5.2) H 0 19 H 140 (4.1) S 10 (3.1) S 100 : Dobór metody i rozwiązanie Metoda graficzna 100 75 20 5 0 (0;130) (5.1) 10 (2) S 0 Ograniczenie (3.1) staje się nieaktywne 6S + 4H = 520 H 0 (5.2) (86,7; 0) H 75 20 100 120 (3.2) H 5 (4.2) S Funkcja celu: Max Z(S, H) = 2.850S + 6.270H! Ograniczenia: (1) 19S + 33H 2.400 (2) 6S + 4H 520 ograniczenie (2) 6S + 4H = 520 jeżeli S = 0 to H = 130; (0;130) jeżeli H = 0 to S = 86,7; (86,7;0) 20 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 10
H 140 (130) 100 75 20 5 0 (5.1) (2) (0; 72,7) 10 (4.1) S 0 S 10 6S + 4H = 520 H 0 (5.2) (1) (3.1) S 100 19S +33H = 2 400 (126,3; 0) H 75 H 5 20 (86,7) 100 120 (3.2) (4.2) : Dobór metody i rozwiązanie Metoda graficzna S Funkcja celu: Max Z(S, H) = 2.850S + 6.270H! Ograniczenia: (1) 19S + 33H 2.400 (2) 6S + 4H 520 ograniczenie (1) 19 S + 33 H = 2.400 jeżeli S = 0 to H = 72,7 (0;72,7) jeżeli H = 0 to S = 126,3 (126,3;0) 21 H 140 S = 10 S = 100 : Dobór metody i rozwiązanie Metoda graficzna (130) 100 75 Z 2 =364 800 Z 1 =239 400 6S + 4H = 520 (40; 40) Ostatni wierzchołek H = 75 19S +33H = 2 400 określanie kierunku zmiany wartości funkcji celu (tu kierunek przyrostu FC) Max Z(S, H) = 2.850S + 6.270H! 2.850S + 6.270H = 0 jeżeli S = 10 to H = -4,5 (10; -4,5) jeżeli S = 20 to H = -9 (20; -9) 20 (40; 20) Z= 2 850S + 6 270H 5 H = 5 0-4,5-9 20 40 (86,7) 100 120 (126,3) S 22 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 11
H 140 (130) 100 75 20 S = 10 6S + 4H = 520 (10; 66,97) S = 100 H = 75 19S +33H = 2 400 5 H = 5 0 20 100 120 S (86,7) (126,3) : Dobór metody i rozwiązanie Metoda graficzna określanie parametrów wierzchołka (określenie punktu przecięcia prostych) S = 10 19S + 33H = 2.400 H = -19/33 S + 2.400/33 S = 10; H = 66,97 określanie wartości funkcji celu jeżeli S = 10 i H = 66,97 to Z = 448.400 à Z max 23 : Dobór metody i rozwiązanie Metoda graficzna à Algorytm metody graficznej (1) narysuj obszar rozwiązań dopuszczalnych i określ jego wierzchołki jeżeli obszar rozwiązań jest pusty à wszystkie rozwiązania są niedopuszczalne à ponownie rozważ sformułowanie ograniczeń (2) narysuj 2 różne wykresy funkcji celu (FC) i określ kierunek optymalizacji (max vs. min) jeżeli problem dotyczy max FC równolegle przesuń linię reprezentującą FC w kierunku przyrostu jej wartości jeżeli problem polega na min FC przesuń linię w kierunku przeciwnym, tj. zmniejszania się wartości FC (3) przesuń funkcję celu znajdując ostatni wierzchołek w przypadku, gdy FC jest równoległa do jednego z boków obszaru rozwiązań dopuszczalnych (ORD), wówczas problem posiada szereg rozwiązań alternatywnych leżących pomiędzy wierzchołkami ORD (4) równania prostych, które przecinają się w punkcie wierzchołkowym (patrz p.3) tworzą układ równań określających współrzędne punktu optymalnego 24 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 12
: Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości à Rozwiązanie optymalne optymalna liczba sprzedanych wózków widłowych 20S wynosi S=10 [szt.] optymalna liczba sprzedanych wózków widłowych 45H wynosi H=66,97 [szt.] w praktyce: H=66 lub H=67* (*- rozwiązanie poza obszarem rozwiązań dopuszczalnych) A. Dobór metody rozwiązania B. Rozwiązanie problemu A: Interpretacja rozwiązania B: Analiza wrażliwości zysk ze sprzedaży wózków obu typów Z=2.850S + 6.270H! S=10 [szt.] i H=66,97 [szt.] Z=448.400 [ ] à Z max lub S=10 i H=66 à Z=442.320 [ ] 25 : Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości A. Dobór metody rozwiązania B. Rozwiązanie problemu A: Interpretacja rozwiązania B: Analiza wrażliwości à Analiza ograniczeń ograniczenie (1) dostępne zasoby finansowe LHS* RHS* 19.000S + 33.000H 2.400.000 jeżeli S=10 [szt.] i H=66,97 [szt.] to LHS 1 = 2.400.000 [ ] RHS 1 -LHS 1 = 0 [ ] (brak zasobów!) * LHS ang. left-hand side; RHS- ang. right-hand side 26 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 13
: Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości A. Dobór metody rozwiązania B. Rozwiązanie problemu A: Interpretacja rozwiązania B: Analiza wrażliwości à Analiza ograniczeń ograniczenie (2) dostępna liczba roboczogodzin 6S + 4H 520 jeżeli S=10 szt. i H=66,97 [szt.] to LHS 2 = 327,84 [rbh] RHS 2 -LHS 2 =192,16 [rbh] (rezerwa) 27 : Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości A. Dobór metody rozwiązania B. Rozwiązanie problemu A: Interpretacja rozwiązania B: Analiza wrażliwości à Analiza ograniczeń ograniczenie (3.1) dostępność wózków 20S S 100 jeżeli S=10 szt. i H=66,97 [szt.] to LHS 3 = 10 [szt.] RHS 3 -LHS 3 = 90 [szt.] (rezerwa) 28 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 14
: Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości A. Dobór metody rozwiązania B. Rozwiązanie problemu A: Interpretacja rozwiązania B: Analiza wrażliwości à Analiza ograniczeń ograniczenie (3.2) dostępność wózków 45H H 75 jeżeli S=10 szt. i H=66,97 [szt.] to LHS 4 = 66,96 [szt.] RHS 4 -LHS 4 = 8,04 [szt.] (rezerwa) 29 : Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości à Analiza ograniczeń pozostałe ograniczenia (4.1-5.2) A. Dobór metody rozwiązania B. Rozwiązanie problemu A: Interpretacja rozwiązania B: Analiza wrażliwości (4.1) S 10 (4.2) H 5 (5.1) S 0 (5.2) H 0 30 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 15
: Dobór metody i rozwiązanie A. Dobór metody rozwiązania B. Rozwiązanie problemu Interpretacja rozwiązania Analiza wrażliwości A. Dobór metody rozwiązania B. Rozwiązanie problemu Metoda graficzna 31 : Dobór metody i rozwiązanie Solver Model zbudowany w MS Excel stanowi załącznik do materiału wykładowego: _LP.xlsx Funkcja celu: Max Z(S, H) = 2.850S + 6.270H Ograniczenia: (1) 19S + 33H 2.400 (2) 6S + 4H 520 (3.1) S 100 (3.2) H 75 (4.1) S 10 (4.2) H 5 (5.1) S 0 (5.2) H 0 Zapis modelu matematycznego w arkuszu MS Excel Model matematyczny problemu 32 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 16
: Dobór metody i rozwiązanie Solver =C7*C3 + D7*D3 lub =SUMA.ILOCZYNÓW(C7:D7; C3:D3) Funkcja celu: Max Z(S, H) = 2.850S + 6.270H Ograniczenia: (1) 19S + 33H 2.400 (2) 6S + 4H 520 (3.1) S 100 (3.2) H 75 (4.1) S 10 (4.2) H 5 (5.1) S 0 (5.2) H 0 33 : Dobór metody i rozwiązanie Solver =C12*C3 + D12*D3 lub =SUMA.ILOCZYNÓW(C12:D12; C3:D3) LHS* Funkcja celu: Max Z(S, H) = 2.850S + 6.270H Ograniczenia: (1) 19S + 33H 2.400 (2) 6S + 4H 520 (3.1) S 100 (3.2) H 75 (4.1) S 10 (4.2) H 5 (5.1) S 0 (5.2) H 0 RHS* * LHS ang. left-hand side; RHS- ang. right-hand side 34 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 17
: Dobór metody i rozwiązanie Solver 35 : Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości Solver Max Z(S, H) = 448.400 dla! S=10 [szt.] i H=66,97 [szt.] Dostępne zasoby Wykorzystane zasoby * LHS ang. left-hand side; RHS- ang. right-hand side 36 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 18
: Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości Solver Max wartość FC Wartość zmiennych decyzyjnych dla optimum FC LHS dla wartości zmiennych decyzyjnych Raport wyników RHS dla wartości zmiennych decyzyjnych; Wiążące = brak zasobów Niewiążace = wolne zasoby 37 : Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości Solver Optymalna wartość zm. dec. Parametry w FC Dopuszczalny wzrost/ zmniejszenie wartości param., dla których wartości zm. dec. nie ulegną zmianie Jaki zakres zmian RHS nie spowoduje zmiany ceny dualnej Raport wrażliwości O ile zmieni się wartość FC, jeżeli RHS wzrośnie o 1 38 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 19
: Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości Solver H 140 (130) S = 10 S = 100 100 6S + 4H = 520 75 H = 75 Z(max) = 448.400 E 19S +33H = 2 400 Raport granic 20 Z(min) = 59.850 E 5 H = 5 0 20 100 120 S (86,7) (126,3) 39 : Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości Solver Optymalna wartość FC Wartość zm. dec. dla których FC à max Granice zmienności obszaru rozwiązań dopuszczalnych FC nie zależy od zmian S DG (S)= GG (S) = 10 DG (H) = 5; GG (H) = 66,97 Raport granic 40 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 20
: Interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości à Rozwiązanie problemu portfelowego czy w portfelu produktowym (palecie wózków) znajdują się modele wózków 20S i 45H? 20S: 10 szt. 45H: 66(,97) szt. rekomendacja utrzymanie 20S w portfelu dla zachowania ciągłości sprzedaży koncentracja sprzedaży na 45H pozyskanie dodatkowych środków finansowych (eliminacja ograniczenia fin.) à Czy na pewno model zbudowano właściwie? czy zapis funkcji celu i ograniczeń jest właściwy? 41 Agenda Kluczowe elementy wykładu WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu. PROBLEM PORTFELOWY Istota. Sformułowanie matematyczne. Rozwiązanie. Analiza rozwiązania ZADANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Uogólnienie zadania programowania liniowego (zpl). Cechy zpl PODSUMOWANIE Resume. Dyskusja 42 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 21
Zadanie programowania liniowego Zapis à Ogólne sformułowanie zadania programowania liniowego funkcja celu (maksymalizacja) Max Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... +c n x n! ograniczenia (dostępne zasoby) a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n b 1! a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n b 2!...! a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n b m! x 1 0, x 2 0,..., x n 0 gdzie:! x 1, x 2,..., x 3 zmienne decyzyjne parametry: c j jednostkowy przyrost j-tej czynności w ocenie globalnej Z (j = 1, 2,..., n) b i ilość i -tego zasobu dostępnego do alokacji do czynności (i = 1, 2,..., m) a ij ilość i -tego zasobu konsumowanego przez j-tą czynność 43 Zadanie programowania liniowego Cechy zpl à Model matematyczny problemu à Które z poniższych sformułowań mają sformułowany w postaci zadania charakter liniowy? programowania liniowego 2 Min Z (x funkcja celu (kryterium jakości dobroci 1,x 2 ) = 2 x 1 + 3 x 2 rozwiązania) 3 Min Z (x funkcja liniowa 1,x 2 ) = x 1 + x 2 zmienne decyzyjne w pierwszej potędze 2 2 x ograniczenia 1 + 3 x 2 45 funkcja liniowa Min Z (x 1,x 2 ) = 2 x 1 + x 2 zmienne decyzyjne w pierwszej potędze zależności w postaci >, <, = 3 x 1 + 4 x 2 + x 3 10 44 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 22
Zadanie programowania liniowego Cechy zpl à Co w praktyce oznacza liniowość modelu matematycznego? zależność funkcyjna pomiędzy zmiennymi decyzyjnymi posiada graficzną reprezentację w postaci prostych dotyczy to każdego wyrażenia w modelu matematycznym 45 Agenda Kluczowe elementy wykładu WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu. PROBLEM PORTFELOWY Istota. Sformułowanie matematyczne. Rozwiązanie. Analiza rozwiązania ZADANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Uogólnienie zadania programowania liniowego (zpl). Cechy zpl PODSUMOWANIE Resume. Dyskusja 46 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 23
Podsumowanie Przypomnienie kluczowych pojęć à Resume problem portfelowy (PP) rozwiązanie przykładowego PP - identyfikacja problemu - budowa modelu matematycznego - dobór metody i rozwiązanie - interpretacja rozwiązania i analiza wrażliwości uogólniony model zadania programowania liniowego definicja rozwiązań - rozwiązanie dopuszczalne rozwiązanie dla którego spełnione są wszystkie ograniczenia - rozwiązania niedopuszczalne rozwiązania znajdujące się poza obszarem rozwiązań dopuszczalnych - rozwiązanie optymalne (optimum) rozwiązanie dopuszczalne osiągające wartość ekstremalną - ograniczenie aktywne ograniczenie wyznaczające obszar rozwiązań dopuszczalnych - ograniczenie nieaktywne ograniczenie nie należące do obszaru rozwiązań dopuszczalnych 47 Podsumowanie Przypomnienie kluczowych pojęć à Resume przykłady obszarów rozwiązań dopuszczalnych Funkcja celu może przyjmować nieograniczone wartości Obszar rozwiązań dopuszczalnych jest pusty 48 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 24
Podsumowanie Zapraszam do dyskusji i zadawania pytań Grafika: www.chemtrailsky.com 49 Tytuł: 01 Budowa portfela produktowego. Zastosowanie programowania liniowego Autor: Piotr SAWICKI, dr hab. inż. Zakład Systemów Transportowych WIT PP piotr.sawicki@put.poznan.pl piotr.sawicki.pracownik.put.poznan.pl www.facebook.com/piotr.sawicki.put Przedmiot: Specjalność: LT, TD, TŻ Wersja: 2019.03.02 Piotr Sawicki WIT PP, ZST 25