Problem wyboru optymalnej dywidendy z paryskim opóźnieniem dla spektralnie ujemnych procesów Lévy ego

Problem wyboru optymalnej dywidendy z paryskim opóźnieniem dla spektralnie ujemnych procesów Lévy ego Zbigniew Palmowski Wspólna praca z I. Czarna Zagadnienia aktuarialne: teoria i praktyka, Wrocław

Ekonomiczny punkt widzenia 2 Słowo dywidenda pochodzi od łacińskiego słowa dividendum, które oznacza rzecz, która ma być podzielona i zwykle oznacza część akcji rozprowadzanych pomiędzy akcjonariuszy;

Ekonomiczny punkt widzenia 2 Słowo dywidenda pochodzi od łacińskiego słowa dividendum, które oznacza rzecz, która ma być podzielona i zwykle oznacza część akcji rozprowadzanych pomiędzy akcjonariuszy; Dywidendy sa wypłacane z opodatkowanych dochodów oraz też podlegaja opodatkowaniu;

Ekonomiczny punkt widzenia 2 Słowo dywidenda pochodzi od łacińskiego słowa dividendum, które oznacza rzecz, która ma być podzielona i zwykle oznacza część akcji rozprowadzanych pomiędzy akcjonariuszy; Dywidendy sa wypłacane z opodatkowanych dochodów oraz też podlegaja opodatkowaniu; Sa dwie strony polityki wypłaty dywidend: z jednej strony menadżerowie staraja sie zminimalizować wypłatę dywidend aby na przykład zwiększyć inwestycje, z drugie strony akcjonariusze pragna zmaksymalizować jej wypłatę, m.in także dlatego aby zwiększyć efektywnośc firmy;

Ekonomiczny punkt widzenia 2 Słowo dywidenda pochodzi od łacińskiego słowa dividendum, które oznacza rzecz, która ma być podzielona i zwykle oznacza część akcji rozprowadzanych pomiędzy akcjonariuszy; Dywidendy sa wypłacane z opodatkowanych dochodów oraz też podlegaja opodatkowaniu; Sa dwie strony polityki wypłaty dywidend: z jednej strony menadżerowie staraja sie zminimalizować wypłatę dywidend aby na przykład zwiększyć inwestycje, z drugie strony akcjonariusze pragna zmaksymalizować jej wypłatę, m.in także dlatego aby zwiększyć efektywnośc firmy; Wypłata dywidend może być jeszcze jedna miara ryzyka (firma w słabej kondycji finansowej wypłaca mała dywidendę);

Ekonomiczny punkt widzenia 2 Słowo dywidenda pochodzi od łacińskiego słowa dividendum, które oznacza rzecz, która ma być podzielona i zwykle oznacza część akcji rozprowadzanych pomiędzy akcjonariuszy; Dywidendy sa wypłacane z opodatkowanych dochodów oraz też podlegaja opodatkowaniu; Sa dwie strony polityki wypłaty dywidend: z jednej strony menadżerowie staraja sie zminimalizować wypłatę dywidend aby na przykład zwiększyć inwestycje, z drugie strony akcjonariusze pragna zmaksymalizować jej wypłatę, m.in także dlatego aby zwiększyć efektywnośc firmy; Wypłata dywidend może być jeszcze jedna miara ryzyka (firma w słabej kondycji finansowej wypłaca mała dywidendę); W trakcie tej prezentacji będziemy koncentrować się tylko na zysku akcjonariuszy.

Modelowanie matematyczne 3 Aneta Kręglicka A model is a model, the reality is sometimes less perfect.

Modelowanie matematyczne 4 John M. Keynes It is better to be roughly right than precisely wrong.

Model Craméra-Lundberga 5 Zwykle rezerwy firmy ubezpieczeniowej sa modelowane przez proces Craméra-Lundberga: gdzie X t = x + pt N t C k - ciag niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie F (tzw. roszczenia) k=1 C k N t - niezależny proces Poissona z intensywnościa λ p - intensywność wpłaty składki

Proces Lévy ego 6 X t - spektralnie ujemny proces Lévy ego, który nie jest subordynatorem, będzie modelować rezerwy firmy ubezpieczeniowej przed wypłata dywidend X t - proces ze niezależnymi i stacjonarnymi przyrostami, który nie ma dodatnich skoków

Proces Lévy ego 7 X t - spektralnie ujemny proces Lévy ego, który nie jest subordynatorem, będzie modelować rezerwy firmy ubezpieczeniowej przed wypłata dywidend X t - proces ze niezależnymi i stacjonarnymi przyrostami, który nie ma dodatnich skoków Formuła Lévy ego-chinczyna: Ee iθx t = e Ψ(θ)t gdzie Ψ(θ) = ipθ + σ2 ( 2 θ2 + ) 1 e iθx ν(δx) (, 1) ( + 1 e iθx + iθx ) ν(dx) ( 1,0) oraz zakładamy, że ( 1,0) (1 x2 ) ν(dx) <

Motywacja 8 Motywacja rozważań dowolnych spektralnie ujemnych procesów Lévy ego: obok skoków modelujemy małe perturbacje Brownowskie i martyngałowe;

Motywacja 8 Motywacja rozważań dowolnych spektralnie ujemnych procesów Lévy ego: obok skoków modelujemy małe perturbacje Brownowskie i martyngałowe; wszystkie wzory dane w jednolitym języku tzw. funkcji skalujacych (brak potrzeby rozważania kolejnych przypadków różnych rozkładów roszczeń);

Motywacja 8 Motywacja rozważań dowolnych spektralnie ujemnych procesów Lévy ego: obok skoków modelujemy małe perturbacje Brownowskie i martyngałowe; wszystkie wzory dane w jednolitym języku tzw. funkcji skalujacych (brak potrzeby rozważania kolejnych przypadków różnych rozkładów roszczeń); krótsze dowody niż dla klasycznego procesu ryzyka (kosztem bardziej zaawansowanej wiedzy poczatkowej);

Motywacja 8 Motywacja rozważań dowolnych spektralnie ujemnych procesów Lévy ego: obok skoków modelujemy małe perturbacje Brownowskie i martyngałowe; wszystkie wzory dane w jednolitym języku tzw. funkcji skalujacych (brak potrzeby rozważania kolejnych przypadków różnych rozkładów roszczeń); krótsze dowody niż dla klasycznego procesu ryzyka (kosztem bardziej zaawansowanej wiedzy poczatkowej); te same metody pojawiaja się przy wycenie opcji i innych problemach matematyki finansowej;

Motywacja 8 Motywacja rozważań dowolnych spektralnie ujemnych procesów Lévy ego: obok skoków modelujemy małe perturbacje Brownowskie i martyngałowe; wszystkie wzory dane w jednolitym języku tzw. funkcji skalujacych (brak potrzeby rozważania kolejnych przypadków różnych rozkładów roszczeń); krótsze dowody niż dla klasycznego procesu ryzyka (kosztem bardziej zaawansowanej wiedzy poczatkowej); te same metody pojawiaja się przy wycenie opcji i innych problemach matematyki finansowej; im więcej modeli tym lepiej (nie ma jednego wiecznie prawdziwego modelu, co dobitnie pokazał ostatni kryzys finansowy).

Problem De Finettiego Zakładamy, że X t p.w. 9

Problem De Finettiego Zakładamy, że X t p.w. Proces regulowany: U π t = X t D π t 9 gdzie Dt π jest łaczn a ilości a wypłaconych dywidend do czasu t

Problem De Finettiego Zakładamy, że X t p.w. Proces regulowany: U π t = X t D π t 9 gdzie Dt π jest łaczn a ilości a wypłaconych dywidend do czasu t Obserwujemy proces U π do czasu ruiny σ, gdzie Klasyczna ruina: σ = σ π = inf{t 0 : U π t < 0} Paryska ruina: σ = σ π,ζ = inf{t > 0 : t sup{s t : U π s 0} ζ, U π t < 0}

Funkcja wypłaty 10 Średnie zdyskontowane łaczne dywidendy: [ σπ ] v π (x) = E x e qt dd π t oraz [ ] σπ,ζ vπ(x) ζ = E x e qt dd π t gdzie E x oznacza średnia kiedy X 0 = x. 0 0

Funkcja wypłaty 10 Średnie zdyskontowane łaczne dywidendy: [ σπ ] v π (x) = E x e qt dd π t oraz [ ] σπ,ζ vπ(x) ζ = E x e qt dd π t gdzie E x oznacza średnia kiedy X 0 = x. Celem jest znalezienie optymalnej strategii 0 0 π = D która maksymalizuje v π (x) oraz vπ(x) ζ oraz porównanie optymalnych v π (x) oraz vπ(x), ζ czyli jak opóźnienie paryskie wpływa na łaczn a zdyskontowana wypłatę dywidend.

Strategia barierowa π a 11

Czas lokalny w maksimum 12 Dla strategii barierowej w a: D π a t = a X t a, gdzie X t = sup s t X s oraz {U π a t, t σ π a ; U π a 0 = x} = D {a Y t, t σ a ; Y 0 = a x} gdzie Y t = (a X t ) X t jest procesem odbitym w supremum i σ a = inf{t > 0 : Y t > a} jest pierwszym momentem wyjścia tego procesu z przedziału [0, a]

Proces regulowany raz jeszcze 13

Zdyskontowany czas lokalny 14

Paryska strategia barierowa π a 15 X t a z,z t

Funkcje skalujace Wykładnik Laplace a: ψ(θ): 16 E[e θx t ] = e tψ(θ) Φ(q) - największy pierwiastek równania ψ(θ) = q Pierwsza funkcja skalujaca: W (q) : [0, ) [0, ): 0 e θx W (q) (y)dy = (ψ(θ) q) 1, θ > Φ(q) Interpretacja probabilistyczna: W (q) (x) = e Φ(q)x P Φ(q) x (τ 0 = ), gdzie τ 0 = inf{t > 0 : X t < 0} oraz dp Φ(q) dp = exp (Φ(q)X t qt) Ft

Paryskie funkcje skalujace 17 gdzie V (q) (x) = e Φ(q)x P Φ(q) x (τ ζ = ), τ ζ = inf{t > 0 : t sup{s t : X s 0} ζ, X t > 0} X t t - 0 z t z t P x (τ ζ < ) było rozważane w poprzedniej prezentacji Irminy Czarnej!!!

Funkcja wypłaty dla π a 18 Twierdzenie 1. W (q) (x), x a, W (q) (a) v πa (x) = x a + W (q) (a) x > a oraz v ζ π a (x) = W (q) (a), V (q) (x), x a, V (q) (a) x a + V (q) (a) V (q) (a), x > a

Funkcja wypłaty dla π a 18 Twierdzenie 1. W (q) (x), x a, W (q) (a) v πa (x) = x a + W (q) (a) x > a oraz v ζ π a (x) = W (q) (a), V (q) (x), x a, V (q) (a) x a + V (q) (a) V (q) (a), x > a Optymalność π a w zbiorze wszystkich dopuszczalnych strategii (HJB): Γf(x) qf(x) 0, if x R, f (x) 1, if x R, gdzie Γ jest generatorem procesu ryzyka X: Γf(x) = σ2 2 f (x) + p 0 f (x) + 0 [ f(x + y) f(x) + f (x)y1 { y <1} ] ν(dy)

Optymalność π a 19 Twierdzenie 2. Przypuśćmy, że miara skoków ma gęstość monotonicznie malejac a, to wtedy strategia barierowa jest optymalna dla obu problemów optymalizacyjnych z klasyczna i paryska ruina. W szczególności, optymalna bariera dla problemu z klasyczna ruina wynosi: a = inf{a > 0 : W (q) (a) W (q) (y) dla każdego y 0}, zaś dla problemu z paryskim opóźnieniem w momencie ruiny: a,ζ = inf{a > 0 : V (q) (a) V (q) (y) dla każdego y 0}. Dodatkowo jeśli W (q) C 2 (R) (a tak jest na przykład kiedy mamy Bronowskie perturbacje), to optymalne bariery rozwiazuj a następujace równania: W (q) (a ) = 0, V (q) (a,ζ ) = 0.

Model Craméra-Lundberga X t = x + pt N t U i 20 U i Exp(ξ) i=1 dla oraz a,ζ = a = 1 q + (q) q (q) log q (q) 2 (ξ + q (q)) q + (q) 2 (ξ + q + (q)) q ± (q) = q + λ ξp ± (q + λ ξp) 2 + 4pqξ 2 2c [( log ξ q λ q λ q D cξ q λ q (1 D) ) ( 1 cξ )] q λ q cφ(q) dla D = 1 ζ 0 pξ q λ q e (λ q+pξ q )t t 1 I 1 (2t pλ q ξ)dt z λ q = λξ/ξ q i ξ q = ξ + q + (q)

C-L - an. numeryczna 21 Bierzemy następujace parametry procesu ryzyka: ξ = 2, λ = 2, q = 0.1, p = 2.5. Wtedy a = 3.78. ζ 0.1 0.3 0.7 2 a,ζ 3.54 3.09 2.40 0.84 Tabela 1: Optymalna wyskość bariery dla różnych paryskich opóźnień. x 2 5 10 50 v(x) 12.57 15.71 20.71 60.71 v a,ζ(x) 13.38 16.40 21.40 61.40 Tabela 2: Łaczna ilość zdyskontowanych dywidend dla klasycznej i paryskiej ruiny dla różnych kapitałów poczatkowych

C-L - an. numeryczna 22 Niech ζ = 0.3. x 1 2.69 5.69 10.69 50.69 x 2 5 10 50 v(x 1 ) = v a,ζ(x) 13.38 16.40 21.40 61.40 Tabela 3: Ile więcej potrzebujemy kapitału poczatkowego aby w przypadku klasycznym ilość wypłaconych dwyidend była na tym samym poziomie jak dla paryskiego opóźnienia

Ruch Browna z dryfem 23 Wtedy: X t = σb t + pt, a = log δ + ω δ ω dla δ=σ 2 p 2 + 2qσ 2 i ω = p/σ 2 oraz ( ) p a,ζ = σ2 Ψ q ζ σ 2 log p q ( ) Ψ p q σ ζ 2 1/δ p q ζπ σ 2 + p q σ ζπ 2 ( 1 2p ) q p q p i dla Ψ(x) = 2 πxn ( 2x) πx + e x2 p q = p 2 + 2qσ 2

R. Browna - an. numeryczna 24 Bierzemy następujace parametry procesu ryzyka: σ = 2, p = 2.5. Wtedy a = 5.28. ζ 0.1 0.3 0.7 2 a,ζ 4.48 3.89 3.12 1.17 Tabela 1: Optymalna wyskość bariery dla różnych paryskich opóźnień. x 2 5 10 50 v(x) 20.49 24.72 29.72 69.72 v a,ζ(x) 23.00 26.11 31.11 71.11 Tabela 2: Łaczna ilość zdyskontowanych dla klasycznej i paryskiej ruiny dla różnych kapitałów poczatkowych

R. Browna - an. numeryczna 25 Niech ζ = 0.3. x 1 3.40 6.39 11.39 51.39 x 2 5 10 50 v(x 1 ) = v a,ζ(x) 23.00 26.11 31.11 71.11 Tabela 3: Ile więcej potrzebujemy kapitału poczatkowego aby w przypadku klasycznym ilość wypłaconych dwyidend była na tym samym poziomie jak dla paryskiego opóźnienia

DZIEKUJ E BARDZO ZA UWAGE!!!!! 26