Fluktuacje procesów Lévy ego

Transkrypt

1 Fluktuacje procesów Lévy ego Mateusz Kwaśnicki (Politechnika Wrocławska) 5 Forum Matematyków Polskich Poznań, 16 maja 2014 r.

2 Błądzenie losowe X n = X n X n 1 i.i.d. (niezależne, o jednakowym rozkładzie) X n = X X n charakteryzacja: X0 = 0 (Xn ) ma niezależne i stacjonarne przyrosty

3 X n = ±1 z pr. 1 2

4 X n [ 1, 1] jednostajnie

5 arc tg( Xn ) [ π2, π2 ] jednostajnie

6 X n = 1 z pr. 5 6, X n = 1 Z n z pr. 1 6, e Z n [0, 1] jednostajnie

7 Procesy Lévy ego charakteryzacja: X0 = 0 (Xt ) ma niezależne i stacjonarne przyrosty (Xt ) ma granice jednostronne i jest prawostronnie ciągły (càdlàg) X t = X t X t X t = a W t + b t + s [0,t] W t proces Wienera X t punktowy proces Poissona X s (rozkład Lévy ego Itō)

8 proces Wienera

9 proces Cauchy ego

10 klasyczny proces ryzyka

11 proces o jednostronnych skokach

12 Supremum i infimum (X t ) błądzenie losowe lub proces Lévy ego X t = sup X s T t : X t = X Tt s [0,t] X t = inf s [0,t] X s T t : X t = X Tt

13 X A T A A

14 Odwracanie X t = X A t X t = X A X t (X ) jest takim samym błądzeniem losowym lub t procesem Lévy ego X A = X A X A T A = A T A (A, X A ) = (T A, X A ) + (T A, X A )

15 X A X A T A T A A

16 Proces drabinowy Twierdzenie Zbiór (T t, X t ) jest zbiorem wartości pewnego dwuwym. błądzenia losowego lub procesu Lévy ego (τ u, ξ u ) jest to tzw. proces drabinowy

17 X A (τ u, ξ u ) T A A

18 Rozbicie na wycieczki trajektorię (t, X t ) można rozbić na wycieczki, tj. odcinki pomiędzy kolejnymi (τ u, ξ u ) dla błądzenia losowego: ciąg i.i.d. wycieczek dla procesu Lévy ego: punktowy proces Poissona wycieczek

19 XA TA A

20 Niezależność wycieczek przyjmujemy, że A jest losowe, niezależne od (X t ) i wybrane z rozkładu o własności braku pamięci: geometrycznego lub wykładniczego Twierdzenie (1) U = max{u : τ u < A} ma rozkład geometryczny lub wykładniczy (2) Wycieczka o numerze U jest niezależna od poprzednich

21 XA (τu, ξu ) wycieczki o numerach < U wycieczka o numerze U TA A

22 Niezależność Wniosek Wektory (T A, X A ) oraz (A T A, X A X A ) są niezależne zatem we wzorze (A, X A ) = (T A, X A ) + (T A, X A ) sumowane są niezależne wektory losowe

23 Wzór Spitzera Twierdzenie (Spitzer, 1956) Dla błądzeń losowych i P(A = n) = (1 q)q n : q n (1 Ee z max(xn,0) ) Ee zx A = exp n n=1 Twierdzenie (Rogozin, 1966) Dla procesów Lévy ego i P(A > t) = e qt : e qt (1 Ee z max(xt,0) ) Ee zx A = exp dt t 0

24 Wzór Baxtera Donskera Twierdzenie (Baxter, Donsker, 1957) Dla procesów Lévy ego i P(A > t) = e qt : Ee zx A = q exp 1 z log(1 + Ψ(s)/q) ds 2π s(s iz) tutaj Ψ(s) to wykładnik Lévy ego Chinczyna: Ee isx t = e tψ(s) gdy X t jest symetryczny: Ee zx A = q exp 1 π 0 z log(1 + Ψ(u)/q) du z 2 + u 2

25 Teoria fluktuacji we Wrocławiu Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu: Zbigniew Michna Uniwersytet Wrocławski: Krzysztof Dębicki Zbigniew Palmowski Tomasz Rolski Politechnika Wrocławska: Tomasz Jakubowski Jacek Małecki Michał Ryznar K.

26 Oszacowanie (1/2) Twierdzenie (K., Małecki, Ryznar, 2013) (1) P(M t < x) min 1, 2κ( 1 t, 0)V(x) (2) Gdy ϵ P(X s > 0) 1 ϵ dla s > 0: P(M t < x) min 1 100, c(ϵ)κ( 1 t, 0)V(x) w skrócie: P(M t < x) min 1, κ( 1 t, 0)V(x) Ee zτ u = e uκ(z,0) E inf{u : ξ u > x} = V(x) (τ u, ξ u ) proces drabinowy

27 Miara Lévy ego N t (E) = #{s [0, t] : X s E} EN t (E) = tν(e) ν to miara Lévy ego (X t ) jest scharakteryzowane przez a, b i ν: X t = a W t + b t + X s s [0,t] X t ma całkowicie monotoniczne skoki, jeśli ν(dx) = ν(x)dx oraz ( 1) n ν (n) (x) 0 dla x > 0 ν (n) (x) 0 dla x < 0

28 Oszacowanie (2/2) Twierdzenie (K., Małecki, Ryznar, 2013) Gdy X t jest symetr. i ma całkowicie monotoniczne skoki: P(M t < x) 10 1 min 1, tψ(1/x) można istotnie osłabić założenia przy nieco mocniejszych założeniach można różniczkować względem t

29 Dokładniejsze oszacowanie Twierdzenie (K., Małecki, Ryznar, 2013) Gdy X t jest symetr., ma całkowicie monotoniczne skoki oraz ν(x) jest regularnie zmieniająca się w 0 i z dodatnimi indeksami: c 1 (n) dn t n+1/2 ( 1)n Ψ(1/x) dt P(τ c 2 (n) n x > t) t n+1/2 Ψ(1/x) dla t c 0(n, α) Ψ(1/ x) nieco słabszy wynik gdy Ψ jest wolno zmieniająca się

30 Przestrzenna transformata Laplace a Ee zx A = q 0 e qt Ee zx t dt Twierdzenie (K., Małecki, Ryznar, 2013) Gdy X t jest symetryczny i Ψ (s) > 0 dla s > 0: Ee zx t = 0 Ψ (λ)e tψ(λ) Ψ(λ) exp 1 π z λ 2 + z 2 0 z log λ2 s 2 Ψ(λ) Ψ(s) z 2 + s 2 ds dλ uogólnienie dla procesów niesymetrycznych o całkowicie monotonicznych skokach

31 Jawne wzory (11/11) Twierdzenie (K., Małecki, Ryznar, 2013) Gdy X t jest symetryczny, ma całkowicie monotoniczne skoki i spełnia techniczny warunek: P(X t < x) = 2 Ψ (λ) π 2λΨ(λ) e tψ(λ) F λ (x)dλ gdzie 0 F λ (x) = sin(λx + ϑ λ ) e xs γ λ (ds) oraz ϑ λ [0, π 2 ) i γ λ 0 są dane (pół)jawnie 0

32 Jawne wzory (1/11) Twierdzenie (Lévy, 1937; Hunt, 1956; Dynkin, 1957) Dla procesu Wienera: Dowód: Jeśli to P(W t x) = 2P(W t x) τ x = inf{t : W t x} P(W t x) = P(τ x t) = 2P(τ x t; W t W τx ) = 2P(τ x t; W t x) = 2P(W t x) P. Lévy Théorie de l addition des variables aléatoires Gauthier Villars, Paris, 1937

33 Jawne wzory (2/11) Twierdzenie (Schrödinger, 1915; Smoluchowski, 1915; Cameron, Martin, 1944) Dla procesu Wienera z dryfem, X t = W t + bt: P(X t x) = P(X t x) + e 2bx P( X t x) E. Schrödinger Zur Theorie der Fall und Steigversuche an... Physik. Zeit. 16 (1915) M. Smoluchowski Notiz über die Berechning der Brownsche... Physik. Zeit. 16 (1915) R.H. Cameron, W.T. Martin Transformation of Wiener integrals under... Ann. Math. 45 (1944)

34 Jawne wzory (3/11) Twierdzenie (Darling, 1956) Dla procesu Cauchy ego (ν(x) = 1 π P(X t < x) = 1 x π t λ 2 + x 2 1 exp π 0 1 x 2 ): log(λ/x + s) ds dλ. 1 + s 2 D.A. Darling The maximum of sums of stable random variables Trans. Amer. Math. Soc. 83 (1956)

35 Jawne wzory (4/11) Twierdzenie (Baxter, Donsker, 1957) Dla symetrycznego procesu Poissona (ν = 1 2 δ δ 1): P(X t n) = n gdzie I n to funkcja Bessela t 0 I n (u) u e u du G. Baxter, M. D. Donsker On the distribution of the supremum functional... Trans. Amer. Math. Soc. 85 (1957)

36 Jawne wzory (5/11) Twierdzenie (Gani, Prabhu, 1959; Pyke, 1959) Dla procesu Poissona z dryfem (b < 0, ν = δ 1 ): b t+x b t + x n P(X t x) = e t n=0 b n n! x n (j x) j ( b t + x j) n j 1 j j=0 J. Gani, N.J. Prabhu The time-dependent solution for a storage model... J. Math. Mech. 8 (1959) R. Pyke The supremum and infimum of the Poisson process Ann. Math. Stat. 30(2) (1959)

37 Jawne wzory (6/11) Twierdzenie (Pyke, 1959) Dla odwróconego procesu Poissona z dryfem (b > 0, ν = δ 1 ): bt x (n + x)n 1 (n+x)/b P(X t x) = x e b n n! n=0 R. Pyke The supremum and infimum of the Poisson process Ann. Math. Stat. 30(2) (1959)

38 Jawne wzory (7/11) Tw. (Cramér; Prabhu, 1961; Takács, 1965; Michna, 2011) Dla procesu o dodatnich skokach: P(X t < x)dx = P(X t < x)dx t 0 P(X s dx) E( X t s) + t s N.U. Prabhu On the ruin problem of collective risk theory Ann. Math. Stat. 32(3) (1961) L. Takács On the distribution of the supremum for stochastic... Trans. Amer. Math. Soc 119 (1965) Z. Michna Formula for the supremum distribution of a... arxiv: (2011) ds

39 Procesy stabilne X t stabilny, jeśli X t ma ten sam rozkład, co t 1/α X 1 równoważnie c x 1 α (x < 0) ν(x) = c + x 1 α (x > 0) jest to proces o całkowicie monotonicznych skokach

40 Jawne wzory (8/11) Tw. (Skorochod, 1964; Heyde, 1969; Bingham, 1973) Dla procesu α-stabilnego o ujemnych skokach (α > 1): P(X t x) = F 1/α (t/x 1/α ) gdzie F β to dystrybuanta rozkł. β-stabilnego na (0, ) A.V. Skorokhod Random Processes with Independent Increments Izdat. Nauka, Moscow, 1964 C.C. Heyde On the Maximum of Sums of Random Variables... J. Appl. Probab. 6 (1969) N.H. Bingham Maxima of sums of random variables and suprema... Z. Wahrscheinlichkeit. Verw. Gebiete 26 (1973) Uwaga: P(X t x) = αp(x t x) z zasady odbicia

41 Jawne wzory (9/11) Twierdzenie (Bernyk, Dalang, Peskir, 2008) Dla procesu α-stabilnego o dodatnich skokach (α > 1): 1 P(X t < x) = Γ(αn)Γ( n /α) xαn 1 n=1 V. Bernyk, R.C. Dalang, G. Peskir The law of the supremum of a stable Lévy process... Ann. Probab. 36 (2008) R.A. Doney On Wiener-Hopf factorization and the distribution... Ann. Probab. 15 (1987) P. Graczyk, T. Jakubowski On exit time of stable processes Stoch. Process. Appl. 122(1) (2012)

42 Jawne wzory (10/11) Twierdzenie (Hubalek, Kuznetsov, 2011) Dla prawie wszystkich procesów α-stabilnych: a n,m x m+αn+αϱ (α > 1) n=0 m=0 P(X t < x) = a n,m x m αn (α < 1) n=1 m=0 gdzie ϱ = P(X t > 0) oraz ±1 a n,m = Γ(...)Γ(...) m sin(...) i=1 sin(...) n sin(...) j=1 sin(...) F. Hubalek, A. Kuznetsov A convergent series representation for the density... Elect. Comm. Probab. 16 (2011)

43 Książki E. Spitzer Principles of random walk Van Nostrand, 1964 W. Feller An introduction to probability theory and... (tom II) Wiley, 1971 J. Bertoin Lévy processes Cambridge University Press, 1996 K.-I. Sato Lévy processes and infinitely divisible distributions Cambridge University Press, 1999

44 Wzór Spitzera E. Spitzer A combinatorical lemma and its application to... Trans. AMS 82 (1956) E. Spitzer The Wiener-Hopf equation whose kernel is a... Duke Math. J. 24 (1957)

45 Wzór Fristedta Peczerskiego Rogozina B.A. Rogozin Distribution of certain functionals related to... Teor. Veroyatnost. i Primenen. 11 (1966) E.A. Percheskii, B.A. Rogozin On the joint distribution of random variables... Teor. Veroyatnost. i Primenen. 14 (1969) B.E. Fristedt Sample functions of stochastic processes... Adv. Probab. Rel. Top. 3, Dekker, New York, 1974

46 Wzór Baxtera Donskera G. Baxter, M. D. Donsker On the distribution of the supremum functional... Trans. Amer. Math. Soc. 85 (1957)

47 Wrocław K., T. Kulczycki, J. Małecki, A. Stós Spectral properties of the Cauchy process on... Proc. LMS 101(2) (2010) K. Spectral analysis of subordinate Brownian motions... Studia Math. 206(3) (2011) K., J. Małecki, M. Ryznar Suprema of Lévy processes Ann. Probab. 41(3B) (2013) K., J. Małecki, M. Ryznar First passage times for subordinate Brownian... Stoch. Proc. Appl 123 (2013) K. Rogers functions and fluctuation theory arxiv: