Problem optymalizacji oczekiwanej użyteczności wypłat dywidend w modelu Craméra-Lundberga 1
|
|
- Marek Zieliński
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Roczniki Kolegium Analiz Ekonomicznych Zeszyt 31/213 Sebastian Baran Zbigniew Palmowski Problem optymalizacji oczekiwanej użyteczności wypłat dywidend w modelu Craméra-Lundberga 1 Streszczenie W niniejszej pracy rozważamy problem maksymalizacji oczekiwanej zdyskontowanej użyteczności wypłat dywidend przez firmę ubezpieczeniową, której rezerwy modelowane są przez klasyczny proces Craméra-Lundberga. Na wstępie analizujemy sytuację, gdy wielkość szkód opisana jest rozkładem Erlanga, funkcja użyteczności zaś spełnia warunki Inady. Przy takich założeniach, zgodnie z klasycznym podejściem weryfikacyjnym, wyprowadzamy równanie Hamiltona-Jacobiego-Bellmana. W dalszej części pracy analizujemy asymptotyczne zachowanie funkcji wartości oraz identyfikujemy optymalną strategię w przypadku wykładniczych roszczeń oraz potęgowej funkcji użyteczności. Na zakończenie proponujemy numeryczną procedurę wyznaczania funkcji wartości. 1. Wstęp Rezerwy firmy ubezpieczeniowej modelujemy zwykle przez proces Craméra- -Lundberga: N t R t = x + µt Y i, (1) gdzie x > jest kapitałem początkowym, µ R oznacza intensywność wpłaty składki, Y 1, Y 2,... są zaś niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, reprezentującymi wielkość roszczeń, które są zgłaszane do firmy ubezpieczeniowej zgodnie z niezależnym procesem Poissona N t ze stałą intensywnością λ >. Jak zazwyczaj zakładamy, że spełniony jest warunek net profit: µ > λe(y i ), który pozwala na nieograniczony wzrost rezerw firmy ubezpieczeniowej. Obok rezerw firmy ubezpieczeniowej drugim składnikiem naszego modelu będą wypłacane dywidendy. Pojęcie to zostało zaproponowane przez B. de Finettiego (1957) już w 1957 roku celem ograniczenia wzrostu rezerw firmy ubezpieczeniowej w klasycznym modelu ryzyka w czasie dyskretnym. W pracy tej 1 Praca została sfinansowana ze środków Narodowego Centrum Nauki przyznanych na podstawie decyzji nr 211/1/B/HS4/982. i=1
2 28 Sebastian Baran, Zbigniew Palmowski będziemy maksymalizować zysk z wypłat dywidend, a więc skoncentrujemy się na optymalizacji wypłat dywidend z punktu widzenia akcjonariusza. Matematycznie rzecz ujmując, definiujmy proces sterowany jako: X t = R t C t, t, (2) gdzie C t oznacza nieujemny, adaptowany oraz niemalejący proces reprezentujący łączną ilość dywidend wypłaconych do czasu t. Proces X t obserwujemy do czasu ruiny: τ = inf{t > : X t < }. Problem optymalizacji wypłacanych dywidend był wielokrotnie rozważany w matematyce ubezpieczeniowej. W klasycznym podejściu jako funkcjonał celu rozważano średnie zdyskontowane łączne dywidendy wypłacone do czasu ruiny: (ˆ τ ) v(x) = E x e βt dc t, gdzie β to stopa dyskonta w czasie ciągłym, dolny indeks zaś przy wartości oczekiwanej oznacza, że proces nadwyżki finansowej startuje z kapitału początkowego X = x. Wówczas szukano optymalnej strategii C, która maksymalizuje v(x). W 24 roku F. Hubalek oraz W. Schachermayer (24) zaproponowali pewną wariację klasycznego podejścia, opierającą się na funkcji użyteczności. Otóż założyli oni, że C t jest absolutnie ciągłe względem miary Lebesgue a. Wówczas C t = ˆ t c s ds p.n. W tym przypadku funkcjonał celu jest równy: (ˆ τ ) v(x) = E x e βt U(c t )dt, gdzie U(x) jest pewną z góry ustaloną funkcją użyteczności. Głównym celem jest znalezienie optymalnej strategii c, która maksymalizuje funkcję wartości v(x) spośród wszystkich strategii dopuszczalnych, przy czym dopuszczalna strategia c t jest nieujemnym, adaptowanym procesem takim, że c t = dla t τ. F. Hubalek oraz W. Schachermayer zaproponowali więc, aby zamiast maksymalizacji oczekiwanego zysku z samych tylko wypłat dywidend rozważać sytuację, gdy maksymalizujemy oczekiwaną użyteczność wypłat tych dywidend dla pewnej funkcji użyteczności U : R R. Podobnie jak oni będziemy wymagać, aby funkcja użyteczności była monotoniczna, gładka i wklęsła oraz aby spełniała warunki Inady, tzn. lim U (x) = oraz lim U (x) =. Dodatkowo będziemy x x zakładać, że lim U(x) =. x
3 Problem optymalizacji oczekiwanej użyteczności wypłat dywidend Przy rozważaniu strategii przybliżających jednorazową wypłatę na samym początku (czyli c t jak t ) warunek powyższy implikuje to, że lim v(x) = +. (3) x W odróżnieniu od F. Hubalka oraz W. Schachermayera, którzy rozważali sytuację, gdy proces nadwyżki finansowej jest ruchem Browna W t z dryfem, tj. R t = x + µt + σw t, (4) w naszej pracy będziemy rozważać sytuację, gdy procesem ryzyka jest klasyczny proces Craméra-Lundberga (1). Dla niego też, zgodnie z klasycznym podejściem weryfikacyjnym, utworzymy równanie Hamiltona-Jacobiego-Bellmana (HJB), które rozwiązuje jednoznacznie optymalna funkcja użyteczności. Skoncentrujemy się jednak na roszczeniach o rozkładzie Erlanga, który jak wiadomo służy do przybliżania innych rozkładów. Jest też jednym z najczęściej stosowanych rozkładów w praktyce aktuarialnej. Szczególnym przypadkiem tego rozkładu jest rozkład wykładniczy, dla którego przeprowadzamy analizę numeryczną. Wtedy też wybieramy jedną z bardziej znanych funkcji użyteczności: U(x) = xα, x, α (, 1). (5) α Analiza numeryczna jest tym bardziej wartościowa, że w tym przypadku jawne rozwiązanie równania HJB nie jest znane. W przeciwieństwie do procesu (4), który startując z zera, od razu przyjmuje wartość ujemną, proces (1) powoduje dodatkowe trudności. Przejawiają się one w identyfikacji wartości v(), do znalezienia której opracowaliśmy nową technikę numeryczną opartą na obserwacji optymalnego sterowanego procesu ryzyka do czasu pojawienia się pierwszego roszczenia. Okazuje się, że zaproponowany nowatorski sposób bardzo dobrze się sprawdza w praktyce numerycznej. Ze względu na fakt, że firmy ubezpieczeniowo-finansowe dysponują dużymi kapitałami, wyjątkowo wartościowa wydaje się wiedza o wyborze optymalnej strategii dla x. W twierdzeniu 1 pokazujemy, że przy powyższych założeniach optymalna intensywność wypłat dywidend c zależy liniowo od obecnego stanu rezerw, tzn.: c (x) β 1 α x, gdzie oznacza asymptotyczną równoważność. Praca jest zbudowana w następujący sposób. W paragrafie 2 wyprowadzamy równanie różniczkowe Hamiltona-Bellmana-Jacobiego. Następnie w paragrafie 3 analizujemy asymptotycznie optymalną strategię dla dużego kapitału. W paragrafie 4 zajmujemy się analizą numeryczną, kiedy roszczenia mają wykładniczy rozkład. W podsumowaniu przedstawiamy dalsze możliwe kierunki badań zademonstrowanego modelu.
4 3 Sebastian Baran, Zbigniew Palmowski 2. Równanie HJB dla erlangowskiego rozkładu roszczeń Załóżmy teraz, że wielkość szkód jest modelowana rozkładem Erlanga, tzn. D Y i = Erlang(k, ξ). Wówczas, posługując się klasycznym podejściem weryfikacyjmym (por. Hubalek, Schachermayer, 24), gdzie zostały zaprezentowane wymagane szczegóły, można pokazać, że optymalna funkcja celu rozwiązuje równanie Hamiltona-Jacobiego-Bellmana, które dla wyżej sformułowanego problemu ma następującą postać: βv + sup c { (µ c)v x + λξk (k 1)! ˆ [v(x y) v(x)]y k 1 e ξy dy + U(c) Oczywiście supremum w równaniu powyżej jest osiągane, gdy Wstawiając (7) do równania (6), otrzymujemy: µv x c v x βv + U(c ) + λξk (k 1)! co można zaprezentować jako: } =. (6) c (x) = (U ) 1 (v x ). (7) ˆ µv x c v x (β + λ)v + U(c ) + λξk (k 1)! [v(x y) v(x)]y k 1 e ξy dy =, ˆ x v(x y)y k 1 e ξy dy =. Zamiana zmiennych w całce w równaniu powyżej prowadzi do następującego równania różniczkowo-całkowego: µv x c v x (β + λ)v + U(c ) + λξk e ξx (k 1)! ˆ x v(z)(x z) k 1 e ξz dz =. (8) Wynika stąd, że v jest klasy C 2 (R ). Różniczkując powyższe równanie po x, otrzymujemy: µv xx c xv x c v xx (β + λ)v x + U x (c ) ξ λξk e ξx + λξk e ξx (k 1) (k 1)! (k 1)! ˆ x ˆ x v(z)(x z) k 1 e ξz dz v(z)(x z) k 2 e ξz dz =. (9) Wówczas, wyliczając całkę z równania (8) i wstawiając ją do równania (9), uzyskujemy: µv xx c xv x c v xx (β + λ)v x + U x (c ) + ξ(µv x c v x (β + λ)v + U(c )) + λξk e ξx (k 2)! ˆ x v(z)(x z) k 2 e ξz dz =. (1)
5 Problem optymalizacji oczekiwanej użyteczności wypłat dywidend Jeśli powtórzymy tę procedurę jeszcze k 1 razy, to wyeliminujemy całkę z naszego równania i otrzymamy równanie różniczkowe w postaci: ( ) k k ( ) ξ i µv (k+1 i) (β + λ)v (k i) (c v x ) (k i) + U (k i) (c ) + λξ k v =, i i= gdzie f (k) oznacza dk f dx k. Wówczas, zmieniając granice sumowania i stosując wzór Leibniza, po prostych przekształceniach otrzymujemy ( ) ( ) ) ( ) k 1 µv (k+1) k k k k + ξ (ξµ j (β + λ) v (k j) + ξ i U (k i) (c ) j + 1 j i j= i= ( ) ( ) k k k i ξ i k i c (l) v (k i l+1) ξ k βv =. (11) i l i= l= Jest to nieliniowe równanie różniczkowe rzędu k +1. Ponieważ jak na razie trudno coś wnioskować na temat rozwiązań równania (11), w następnym paragrafie zajmiemy się szczególnym przypadkiem tego równania, mianowicie będziemy rozważać sytuację, gdy roszczenia mają rozkład wykładniczy, funkcja użyteczności jest zaś potęgową funkcją użyteczności. 3. Asymptotyka rozwiązań równania HJB dla wykładniczego rozkładu roszczeń Zakładamy teraz, że roszczenia mają rozkład wykładniczy, tzn. Y i D = Exp(ξ), natomiast funkcja użyteczności dana jest wzorem (5). Wówczas: równanie różniczkowe (11) przyjmuje zaś postać: 1 c = (U ) 1 1 α (v x ) = vx, (12) µv xx + (ξµ β λ)v x ξβv + ξ 1 α α v α 1 α x z wyliczonym z równania (8) warunkiem początkowym 1 1 α vx v xx =, (13) v() = µ β + λ v x() + 1 α α(β + λ) v x() α 1 α. (14) Jest to nieliniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu. Stosując podstawienie Riccatiego, możemy przekształcić równanie (13) w nieliniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu. Niech v x (x) = y(v), wówczas v xx = y x (v) = y v v x = y v y. Wstawiając to do równania (13), otrzymujemy: µy v y + (ξµ β λ)y ξβv + ξ 1 α α y α α 1 α y 1 α yv =. (15)
6 32 Sebastian Baran, Zbigniew Palmowski Wyliczając y v, dostajemy: y v = 1 α (ξµ β λ)y ξβv + ξ α y α 1 α. (16) µy y α 1 α Niestety, według wszelkich dostępnych źródeł, rozwiązanie takiego równania nie wyraża się zamkniętym wzorem algebraicznym. Możemy natomiast sformułować pewne wnioski dotyczące asymptotyki rozwiązań tego równania. Jednak zanim przejdziemy do twierdzenia będącego głównym rezultatem naszej pracy, udowodnimy następujący fakt niezbędny do przeprowadzenia dowodu twierdzenia. Lemat 1. Zachodzi następująca zbieżność: Dowód. Pokażemy najpierw, że lim lim v x(x) =. x x c(x) =. Dla dowodu nie wprost załóżmy, że istnieje K > takie, że dla dowolnego x mamy c(x) < K. Jednak wówczas (ˆ τ ) (ˆ τ ) v(x) = sup E x e βt U(c t )dt E x e βt U(K)dt (ˆ ) E x e βt U(K)dt U(K) <. β To zaś oznacza, że v(x) jest ograniczone, co jest sprzeczne z (3). Zatem istotnie c(x) przy x. Skoro tak, to zauważmy, że z równości (7) wynika, że lim v x(x) = lim U (c (x)) =, x x przy czym ostatnia równość wynika z warunku Inady lim U (x) =, który narzuciliśmy na funkcję użyteczności. x Możemy teraz sformułować główne twierdzenie podające optymalną strategię wypłat dywidend dla dużego kapitału. Będziemy pisać f(x) g(x), jeśli f(x) g(x) = 1. lim x Twierdzenie 1. Jeżeli α = p q (, 1), gdzie p, q N 1, p < q, to asymptotyczne zachowania rozwiązania v(x) równania (13), jego pochodnej v x (x) oraz procesu wypłat dywidend c(x), przy x, dane są następująco: ( ) 1 α 1 α x α v(x) β α, ( ) 1 α 1 α v x (x) x α 1, β c (x) β 1 α x.
7 Problem optymalizacji oczekiwanej użyteczności wypłat dywidend Uwaga 1. Zauważmy, że założenie, że α jest wymierna, nie jest szczególnie restrykcyjne, ponieważ zbiór liczb wymiernych w zupełności wystarczy do modelowania różnych kształtów krzywej użyteczności. Dowód. Gdy α = p, to wówczas równanie (15) jest postaci: q µy v y + (ξµ β λ)y ξβv + ξ q p p y p p q y p p q y v =. Jeśli wykonamy podstawienie z = y 1 p q, wówczas z v = 1 p q y vzz q p. Wstawiając to do równania powyżej, otrzymujemy: (ξµ β λ)z ξβvz q p+1 + ξ q p p zq+1 z v (q p) ( µz p q z p) =. Mnożąc obustronnie przez z q p, uzyskujemy: (ξµ β λ)z q p+1 ξβvz 2q 2p+1 +ξ q p p z2q p+1 (q p) µz v (p q) z q z v =. Jest to równanie w postaci: (17) P (v, z) z v Q(v, z) =, (18) gdzie P, Q są wielomianami ze względu na z. Każdy składnik lewej strony tego równania przyjmuje jedną z dwóch postaci: albo z m a m (v), albo z v z n a n (v). V. Marić w swojej pracy (1972) udowodnił, że w sytuacji gdy m, n są całkowite oraz a m, a n H (gdzie H oznacza klasę funkcji Hardy ego 2 ), to wówczas zbiór wszystkich składników lewej strony równania P (v, z) z v Q(v, z) = jest uporządkowany względem relacji, przy czym a b przy v oznacza, że albo a b, albo a b l( ) przy v. Co więcej, V. Marić udowodnił, że w zbiorze tym istnieją dwa elementy tego samego rzędu, tzn. których stosunek dąży do pewnej granicy l przy v, co pozwala wyznaczyć asymptotyczne zachowanie rozwiązania równania typu P (v, z) z v Q(v, z) =, gdy v. Zauważmy, że ponieważ y przy v oraz p < q, zatem z. Łatwo zatem zauważyć, że w równaniu (17) składnik (q p) µz v jest niższego rzędu 2 Funkcją logarytmiczno-wykładniczą Hardy ego nazywamy funkcję rzeczywistą jednej zmiennej, określoną dla wszystkich wartości x większych od pewnej ustalonej wartości, zdefiniowaną jako skończona kombinacja symboli operacji algebraicznych (+,,,, n, (...) n ) oraz symboli funkcji ln(...) oraz e (...), określonych na zmiennej x lub rzeczywistych stałych (por. Hardy, 191).
8 34 Sebastian Baran, Zbigniew Palmowski niż drugi składnik zawierający z v. Podobnie składnik (ξµ β λ)z q p+1 jest niższego rzędu niż pozostałe dwa niezawierające z v. Zatem asymptotyki rozwiązań będziemy poszukiwać pomiędzy dwuelementowymi kombinacjami każdego z trzech pozostałych składników, tzn. możemy wyróżnić trzy przypadki, które mogą wyznaczyć nam asymptotykę rozwiązań: a) ξβvz 2q 2p+1 oraz ξ q p p z2q p+1, b) ξ q p p z2q p+1 oraz (p q) z q z v, c) ξβvz 2q 2p+1 oraz (q p) z q z v. Rozważymy teraz kolejno każdy z przypadków. W sytuacji a), skoro oba składniki są tego samego rzędu, mamy: lim v ξβvz 2q 2p+1 ξ q p p z2q p+1 = l( ), co oznacza, że zachowanie asymptotyczne z dane jest następująco: z(v) ( ) 1 βp p 1 v p. l(q p) Wstawiając powyższe wyrażenie asymptotyczne do równania (17) i dzieląc obustronnie równanie przez v 2q p+1 p, otrzymujemy, że l = 1. Otrzymujemy więc ostatecznie następujące przedstawienie asymptotyczne z: z(v) ( ) 1 βp p 1 v p. (19) q p Oczywiście w powyższym przypadku z, gdy v, czego wymagaliśmy od funkcji z. Prześledźmy teraz przypadek b). Wówczas, podobnie jak wyżej: lim v (p q) z q z v = l( ), z2q p+1 ξ q p p co sprowadza się do równania różniczkowego: z p q 1 z v = lξ p, które jest równaniem o zmiennych rozdzielonych. Rozwiązując to równanie, otrzymujemy wyrażenie asymptotyczne dla z w postaci: ( ) 1 lξ(q p) p q 1 z(v) (v + c) p q. p
9 Problem optymalizacji oczekiwanej użyteczności wypłat dywidend Jednakże p q <, zatem w powyższym równaniu z, gdy v, co daje nam sprzeczność z założeniem z przy v. W przypadku c) mamy: lim v (q p) z q z v = l( ), ξβvz2q 2p+1 co sprowadza się do równania różniczkowego: z 2p q 1 z v = lξβ q p v. Ponownie jest to równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. Rozwiązując je, otrzymujemy wyrażenie asymptotyczne dla z. Jednak możemy tutaj wyróżnić dwa przypadki: I. Jeśli q 2p, to II. Jeśli q = 2p, to ( ) 1 ( lξβ(2p q) 2p q v 2 z(v) q p z(v) e ( ) lξβ v 22 p +c. 2 + c ) 1 2p q Zauważmy, że w przypadku I przedstawienie asymptotyczne z ma sens tylko, gdy q < 2p, bo w przeciwnym wypadku z przy v i otrzymujemy sprzeczność. Zarówno w przypadku I, jak i II po wstawieniu wyrażenia asymptotycznego dla z do równania (17) okazuje się, że składnik powstały ze wstawienia do ξ q p p z2q p+1 przedstawienia asymptotycznego z jest największy względem relacji, tzn. granica ilorazu ξ q p p z2q p+1 przez dowolny inny składnik lewej strony równania (17) dąży do nieskończoności przy v. Wówczas, dzieląc równanie (17) przez ten największy składnik, otrzymujemy sprzeczność 1 =. Po przeanalizowaniu wszystkich przypadków otrzymujemy więc, że zachowanie asymptotyczne z dane jest równaniem (19). Przypomnijmy, że y = z p q, zatem wyrażenie asymptotyczne dla y(v) ma postać: y(v) co po powrocie do stałej α daje nam: ( 1 α y(v) αβ ( ) p q βp p v p q p, q p ) 1 α α v (1 α) α..
10 36 Sebastian Baran, Zbigniew Palmowski Wykonaliśmy wcześniej podstawienie y(v) = v x (x), dlatego mamy tu do czynienia z równaniem różniczkowym w postaci: ( 1 α v x (x) = αβ ) 1 α α v(x) (1 α) α. Jest to równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. Rozwiązując je, otrzymujemy wyrażenie asymptotyczne dla v(x): ( ) 1 α 1 α x α v(x) β α. Różniczkując wyrażenie asymptotyczne powyżej względem x, otrzymujemy przedstawienie asymptotyczne v x (x): ( ) 1 α 1 α v x (x) x α 1, β natomiast korzystając z równości (12), uzyskujemy zachowanie asymptotyczne dla c (x). 4. Analiza numeryczna dla wykładniczego rozkładu roszczeń Zajmiemy się teraz analizą numeryczną w przypadku, gdy roszczenia mają rozkład wykładniczy z parametrem ξ. Będziemy szukać rozwiązania numerycznego równania (13). Zauważmy, że do uzyskania rozwiązania numerycznego potrzebujemy warunku początkowego na v() oraz v x (). Równość (14) daje nam warunek na obliczanie v() w zależności od wartości v x (). Należy więc wyznaczyć jeszcze wartość v x (). Okazuje się, że wybór v x () jest bardzo istotny dla samego zagadnienia optymalności rozwiązania równania HJB. Istotnie, jeśli wybierzemy v x () za duże, jak na rysunku 1, to wówczas v(x) oraz v x (x) dążą do nieskończoności, gdy x. Jednak wtedy, ze względu na zależność (12), dywidendy dążą do zera (por. tabela 1). Sytuacja ta odpowiada ekonomicznemu pojęciu bańki finansowej rosnąca wartość firmy nie jest materializowana w wypłatach dywidend. Dlatego w takiej sytuacji nie możemy mówić o optymalnym rozwiązaniu.
11 Problem optymalizacji oczekiwanej użyteczności wypłat dywidend Rysunek 1. Funkcje v(x) oraz v x (x) dla α =.5, β =.5, µ =.26, ξ =.4, λ =.1 oraz v x () = 1.9, v() = (a) Funkcja v(x) Źródło: opracowanie własne. (b) Funkcja v x (x) W sytuacji, gdy v x () jest odpowiednio mniejsze, jak na rysunku 2, funkcja v(x) jest wklęsła, v x (x) zaś dąży do, gdy x, pozwalając na wzrost dywidend (por. tabela 2). Jest to więc sytuacja nam odpowiadająca. Tabela 1. Funkcje v(x), v x (x) oraz c(x) dla α =.5, β =.5, µ =.26, ξ =.4, λ =.1 oraz v x () = 2, v() = 6.8 x v(x) v x (x) c(x) 6,8 2,,25 1 9,422 3,1941, ,3275 4,752, ,1343 7,39, ,6771 1,2878,94 5 4,213 15,81, , ,787, , ,329, , ,2425, ,294 69,75, ,232 1,9833,1 Źródło: opracowanie własne.
12 38 Sebastian Baran, Zbigniew Palmowski Rysunek 2. Funkcje v(x) oraz v x (x) dla α =.5, β =.5, µ =.26, ξ =.4, λ =.1 oraz v x () = 1.9, v() = (a) Funkcja v(x) Źródło: opracowanie własne. (b) Funkcja v x (x) Tabela 2. Funkcje v(x), v x (x) oraz c(x) dla α =.5, β =.5, µ =.26, ξ =.4, λ =.1 oraz v x () = 1.9, v() = x v(x) v x (x) c(x) 6,821 1,9, ,579 1,6929, ,222 1,5575, ,71 1,4431, ,94 1,3454, ,3963 1,2613, ,623 1,1884, ,7762 1,1247, ,8723 1,687, ,9158 1,192, ,9126,9752 1,515 Źródło: opracowanie własne. Widać więc, że wybór odpowiedniej wartości v x () jest bardzo istotny dla zagadnienia optymalności rozwiązania równania (13). Poniżej proponujemy pewną procedurę wyznaczania v x (), która opiera się na znajomości zachowania asymptotycznego rozwiązań równania (13) udowodnionego w twierdzeniu 1. Aby znaleźć v x (), należy: zadać wartość początkową v x () =: b,
13 z warunku: Problem optymalizacji oczekiwanej użyteczności wypłat dywidend v() = µ β + λ v x() + 1 α α(β + λ) v x() α 1 α wyznaczyć wartość początkową v() =: a, rozwiązać numerycznie, przy zadanych warunkach początkowych, równanie różniczkowe: µv xx + (ξµ β λ)v x ξβv + ξ 1 α α v α 1 α x 1 1 α vx v xx =, wyznaczyć c(x) ze wzoru c(x) = v x (x) 1 1 α, metodą najmniejszych kwadratów dopasować do c(x) funkcję liniową ĉ(x) = = a 1 x + b 1, wyznaczyć X(t), rozwiązując zagadnienie początkowe: czyli µ ĉ(x(t)) = X (t), X() =, (2) X(t) = µ b 1 a 1 µ b 1 a 1 e a 1t, metodą najmniejszych kwadratów dopasować do v(x) funkcję postaci ˆv(x) = = a 2 x α + b 2, wyznaczyć A := v() ze wzoru: [ ] [ˆ ] S A = v() = E e βs ˆv(X(S) T ) + E e βs U(ĉ(X(S))ds, (21) gdzie S Exp(λ), T Exp(ξ), wyznaczyć różnicę a A, będącą błędem procedury. Oczywiście będziemy szukać takiego b, aby a A < ɛ dla pewnego ɛ >. Warto zaznaczyć, że metoda najmniejszych kwadratów wykorzystana w powyższej procedurze opiera się na punktach, w których wcześniej numerycznie obliczono wartości c(x) i v(x). Równanie (2) opisuje deterministyczną trajektorię X(t) sterowanego procesu (2) startującego z zera do czasu pojawienia się pierwszego roszczenia. Podobnie równanie (21) jest konsekwencją obserwacji procesu sterowanego zaraz po pierwszym skoku. Oczywiście jest tylko jedna poszukiwana wartość v(), która jest w otoczeniu epsilonowym a po zakończeniu powyższej procedury. Prześledzimy teraz zastosowanie naszej procedury do użytych już wcześniej danych, na podstawie których sporządzono rysunek 2. Na rysunku 3 przedstawiono funkcję ĉ(x) dopasowaną do funkcji c(x) wyznaczonej na podstawie rozwiązania numerycznego równania (13), a także trajektorię X(t). Widać, że dopasowanie funkcji ĉ(x) do funkcji c(x) jest dobre, mimo że do procedury MNK
14 4 Sebastian Baran, Zbigniew Palmowski użyto zaledwie 1 punktów. Na rysunku 4 została przedstawiona funkcja ˆv(x) dopasowana do funkcji v(x) wyznaczonej na podstawie rozwiązania numerycznego równania (13). Słabe dopasowanie wynika tutaj ze wspomnianej małej liczby punktów użytych w metodzie MNK. Przy większej ich liczbie dopasowanie jest znacznie lepsze, jednak rysunki stają się mało czytelne. Również w przypadku samej funkcji wartości otrzymujemy potwierdzenie zachowania asymptotycznego rozwiązań równania (13) wyznaczonego w twierdzeniu 1. W tabeli 3 przedstawiono natomiast wartości parametrów początkowych uzyskane zaproponowaną wyżej procedurą wyznaczania v x (). Widzimy, że początkowy błąd dla wartości początkowej v x () = 1, 9 wynosił blisko,77. Dzięki zastosowaniu tej procedury udało nam się ten błąd zminimalizować do około,58 dla v x () = 1, , przy czym procedura została zatrzymana już po kilku krokach. Można by więc uzyskać mniejszą wartość błędu. Jednak tak naprawdę, aby znaleźć właściwą wartość warunku początkowego v x (), należałoby zastosować tę procedurę dla całej półprostej dodatniej, co niewątpliwie jest dużym utrudnieniem. Warto zaznaczyć, że zaproponowany przez nas algorytm wyznaczania wartości parametrów początkowych opiera się na metodzie prób i błędów. Zagadnienia zbieżności algorytmu do odpowiedniej postaci funkcji v(x) oraz optymalnego wyboru zakresu wartości początkowych w kolejnych krokach, tak aby zbieżność algorytmu była jak najszybsza, stanowią ciekawy, bardzo ważny, ale również trudny problem. Dlatego analizę tego zagadnienia pozostawiamy na przyszłość. Rysunek 3. Funkcje c(x), ĉ(x) oraz proces X(t) dla parametrów α =.5, β =.5, µ =.26, ξ =.4, λ =.1 oraz v x () = 1.9, v() = (a) Funkcje c(x) oraz ĉ(x) Źródło: opracowanie własne. (b) Proces X(t)
15 Problem optymalizacji oczekiwanej użyteczności wypłat dywidend Rysunek 4. Funkcje v(x) oraz ˆv(x) dla parametrów α =.5, β =.5, µ =.26, ξ =.4, λ =.1 oraz v x () = 1.9, v() = Źródło: opracowanie własne. Tabela 3. Wartości parametrów początkowych otrzymane za pomocą procedury wyznaczania v x () b a A a A 1,9 6, , , ,89 6, , , ,882 6, , , ,8819 6, , , , , ,798695, , , , , , , , , , , , , Źródło: opracowanie własne. 5. Podsumowanie W pracy tej zajmowaliśmy się problemem znalezienia optymalnej strategii wypłat dywidend, przy czym w odróżnieniu od klasycznego modelu, w którym funkcja wartości opisywała łączną zdyskontowaną sumę wypłat dywidend do momentu ruiny, maksymalizowaliśmy średnią zdyskontowaną użyteczność wypłat dywidend do momentu ruiny. Sformułowaliśmy równanie Hamiltona-Jacobiego-Bellmana w sytuacji, gdy rozkład roszczeń jest rozkładem Erlanga. Sprowadziliśmy również
16 42 Sebastian Baran, Zbigniew Palmowski to równanie z równania różniczkowo-całkowego do równania różniczkowego. Sformułowaliśmy także twierdzenie opisujące zachowanie asymptotyczne rozwiązań równania HJB w nieskończoności, w przypadku gdy rozkład roszczeń jest rozkładem wykładniczym, funkcja użyteczności jest zaś potęgową funkcją użyteczności. Wyznaczenie asymptotyki funkcji wartości pozwoliło nam również wyznaczyć asymptotykę wypłat dywidend w nieskończoności. Jest to o tyle istotne, że w przypadku firm o dużym kapitale początkowym otrzymujemy gotowy wzór na strategię wypłat dywidend, mianowicie dywidendy należy wypłacać liniowo. Przedstawiliśmy również analizę numeryczną dotyczącą wspomnianego wyżej przypadku wykładniczych roszczeń i potęgowej funkcji użyteczności. Zajęliśmy się bardzo istotnym problemem znajdywania odpowiedniej wartości warunków początkowych, proponując procedurę ich wyznaczania. W przyszłości planujemy zająć się również problemem optymalizacji oczekiwanej użyteczności wypłat dywidend w przypadku innych rozkładów roszczeń i funkcji użyteczności. Bibliografia [1] De Finetti B. (1957), Su un impostazione alternativa della teoria collettiva del rischio, Trans. XV Intern. Congress Act. 2, s [2] Hardy G.H. (191), Orders of infinity, University Press, Cambridge. [3] Hubalek F. (24), Schachermayer W. (24), Optimizing expected utility of dividend payments for a Brownian risk process and a peculiar nonlinear ODE, Insurance: Mathematics and Economics, vol. 34, s [4] Marić V. (1972), Asymptotic behavior of solutions of nonlinear differential equation of the first order, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 38(1), s *** The problem of optimizing expected utility of dividend payments for a Cramér-Lunberg risk process Abstract In this paper we consider the problem of maximizing the expected discounted utility of dividend payments of an insurance company whose reserves are modeled as a classical Cramér-Lunberg risk process. In the beginning we allow claims to be Erlang and the utility to satisfy the Inada conditions. We derive classical so-called Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation for this case. Afterwards we focus on the exponential claims and power utility function. Finally we analyze asymptotic behaviour of the value function and identify the asymptotic optimal strategy. We also give the numerical procedure of finding considered value function.
17 Problem optymalizacji oczekiwanej użyteczności wypłat dywidend Autorzy: Sebastian Baran, Instytut Matematyki, Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Jagielloński, ul. Łojasiewicza 6, Kraków, sebastianbaran13@gmail.com Zbigniew Palmowski, Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski, pl. Grunwaldzki 2/4, Wrocław, zbigniew.palmowski@gmail.com
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Wykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Matematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Definicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Sterowanie optymalne
Sterowanie optymalne Sterowanie Procesami Ciągłymi 2017 Optymalizacja statyczna funkcji Funkcja celu/kryterialna/kosztów Ograniczenie Q(x) min x x = arg min Q(x) x x X, gdzie X zbiór rozwiązań dopuszczalnych
Wykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Problem wyboru optymalnej dywidendy z paryskim opóźnieniem dla spektralnie ujemnych procesów Lévy ego
Problem wyboru optymalnej dywidendy z paryskim opóźnieniem dla spektralnie ujemnych procesów Lévy ego Zbigniew Palmowski Wspólna praca z I. Czarna Zagadnienia aktuarialne: teoria i praktyka, Wrocław Ekonomiczny
4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
Równanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Układy równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Programowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Wstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Przykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Optymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 1. Optymalizacja funkcji jednej zmiennej Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.02.2019 1 / 54 Plan wykładu Optymalizacja funkcji jednej
Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Weryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Informacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA
ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania
8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Wstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Metody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).
6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))
Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Zadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji
Paweł Kliber Zadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji Zadania Zad Dla podanych funkcji produkcji a fk z k + z b fk z 6k z c fk z k z d fk z k 4 z e fk z k + z wykonaj następujące polecenia: A
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań
F t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wprowadzenie Rozważmy
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Ciągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Równania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1
Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład dr Mariusz Grządziel 5 lutego 04 Paradoks Zenona z Elei wersja uwspółcześniona Zenek goni Andrzeja; prędkość Andrzeja:
1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Równanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
Ogólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka Warszawa, 9 11 czerwca 2008
Przemysław Klusik Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Ogólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka Warszawa, 9 11 czerwca 2008 (UWr) Zagadnienia Aktuarialne -
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Wykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp. Definicja 1. Operatorem
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
9 Funkcje Użyteczności
9 Funkcje Użyteczności Niech u(x) oznacza użyteczność wynikającą z posiadania x jednostek pewnego dobra. Z założenia, 0 jest punktem referencyjnym, czyli u(0) = 0. Należy to zinterpretować jako użyteczność
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Metody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Rozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
3.Funkcje elementarne - przypomnienie
3.Funkcje elementarne - przypomnienie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 1 / 51 1 Funkcje
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Zagadnienia stacjonarne
Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy
MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest
UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Wykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31
Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 8 26..208, M.A-B / 3 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb
1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą
ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Algorytm simplex i dualność
Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K