O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH

DECYZJE nr 1 czerwiec 2004 37 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Krzysztof Jjug Akdemi Ekonomiczn we Wrocłwiu Wprowdzenie modele teorii finnsów Teori finnsów, zwn również ekonomią finnsową, jest jednym z podstwowych dziłów nuk ekonomicznych. W osttnich kilkudziesięciu ltch możn yło oserwowć znczny rozwój tej teorii. W osttnim okresie rozwój ten stje się corz rdziej dynmiczny, między innymi z powodu wzrostu znczeni plikcyjnego metod wyprcownych n gruncie teorii. W tym rtykule przedstwimy uwgi dotyczące pewnych modeli wyprcownych w teorii finnsów. Modele te mogą yć trktowne jko modele decyzyjne, gdyż w ezpośredni sposó odnoszą się do decyzji finnsowych, przede wszystkim tych decyzji, które podejmowne są n rynku finnsowym. Włściwe rozwżni poprzedzimy pewnymi syntetycznymi uwgmi dotyczącymi teorii finnsów. Krzysztof Jjug, Wydził Zrządzni i Informtyki, Akdemi Ekonomiczn we Wrocłwiu, ul. Komndorsk 118/120, 53-345 Wrocłw, krzysztof.jjug@e.wroc.pl

38 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Współczesn teori finnsów chrkteryzuje się nstępującymi cechmi: wysok precyzj i zwnsownie tworzonych metod; duż zleżność nrzędzi teoretycznych od rozwoju technologii komputerowych; łtw weryfikcj tworzonych metod n rynku finnsowym; stymulownie powstwini nowych rozwiązń przez wyzwni prktyki. Brdzo duż część osiągnięć teorii finnsów m u podstw mniej lu rdziej zwnsowne nrzędzi mtemtyczne. Nszym zdniem, nleży wyróżnić trzy podstwowe oszry teorii finnsów, w których kluczową rolę odgrywją nrzędzi mtemtyczne. Oszrmi tymi są: nliz finnsowych szeregów czsowych; wycen instrumentów finnsowych; nliz ryzyk finnsowego Pierwszy oszr jest często nzywny ekonometrią finnsową. Rozwżne są tutj jednowymirowe lu wielowymirowe finnsowe szeregi czsowe, tzn. szeregi zwierjące ceny kcji, wrtości indeksów giełdowych, stopy procentowe, kursy wlutowe. Częściej niż szeregi czsowe cen nlizuje się szeregi czsowe stóp zwrotu orz szeregi czsowe zmienności, przy czym zzwyczj zmienność mierzon jest poprzez odchylenie stndrdowe stóp zwrotu. Są dw główne cele relizowne przez modele ekonometrii finnsowej: weryfikcj hipotez ekonomii finnsowej n podstwie dnych empirycznych; nliz dnych empirycznych w celu identyfikcji pewnych prwidłowości, które mogłyy stnowić podstwę do podejmowni decyzji. Nleży stwierdzić, iż modele zliczne do tej grupy w zsdzie nie są stricte modelmi decyzyjnymi. Jednk możn je nzwć modelmi wspierjącymi podejmownie decyzji, gdyż: prognoz ceny wyznczon n podstwie modelu ceny lu modelu stopy zwrotu dostrcz dnych do podjęci decyzji o zkupie lu sprzedży instrumentu finnsowego; oszcownie miry zmienności n podstwie modelu umożliwi określenie poziomu ryzyk instrumentu finnsowego, co m istotne znczenie przy podejmowniu decyzji finnsowych dotyczących trnsferu ryzyk; oszcownie miry zmienności n podstwie modelu umożliwi wycenę instrumentu pochodnego (opcji) stosownego w celch zezpieczjących.

Krzysztof Jjug 39 Przegląd rdziej zwnsownych modeli nlizy finnsowych szeregów czsowych znjduje się n przykłd w prcch nstępujących utorów: Mills (1999), Tsy (2002), Chn (2002), Brooks (2002). Drugi oszr zwier modele wyceny instrumentów finnsowych. Modele te umożliwiją określenie ceny instrumentu finnsowego, po której to cenie powinny yć zwierne trnskcje przez posidjących informcje rcjonlnych inwestorów n rynku znjdującym się w równowdze. Wśród tych modeli wyróżni się dw podstwowe podejści: wycen dochodow (wywodząc się z koncepcji równowgi), w której wrtość instrumentu finnsowego jest określon jko dzisiejsz wrtość (Present Vlue) przyszłych przepływów pieniężnych związnych z posidniem instrumentu finnsowego; wycen dochodow njczęściej stosown jest poprzez metodę zdyskontownych przepływów pieniężnych służącą do wyceny instrumentów dłużnych lu kcji; wycen ritrżow (wywodząc się z koncepcji ritrżu), w której wrtość instrumentu finnsowego określon jest w tki sposó, iż nie jest możliwe dokonnie trnskcji djącej dochód ritrżowy (dodtni przychód ez ponoszeni ryzyk i nkłdu początkowego); wycen ritrżow stosown jest njczęściej w metodzie wyceny opcji (por. Blck, Scholes 1973, Merton 1973). Modele wyceny możn trktowć jko modele wspierjące decyzje zkupu lu sprzedży instrumentu finnsowego. Oprócz tego możn je trktowć jko modele równowgi uksztłtownej w wyniku podejmowni decyzji przez uczestników rynku. Jest tk, gdyż uczestnicy rynku, dokonujący wyceny poprzez dziłni wynikjące z podjętych decyzji, doprowdzją (według modeli wyceny) do równowgi n rynku dnego instrumentu finnsowego. Trzeci oszr zwier modele stosowne w nlizie ryzyk finnsowego. Modele te umożliwiją określenie ryzyk instrumentu finnsowego ądź ryzyk instytucji. Są to przede wszystkim metody nlizy dwóch rodzjów ryzyk. Są nimi: ryzyko rynkowe ryzyko wynikjące ze zmin cen n rynkch finnsowych (zmin cen kcji, zmin stóp procentowych, zmin kursów wlutowych); ryzyko kredytowe ryzyko wynikjące z możliwości niedotrzymni wrunków przez drugą stronę kontrktu finnsowego.

40 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Modele stosowne w nlizie ryzyk finnsowego są to głównie: modele pomiru ryzyk; nie są to stricte modele decyzyjne, le modele wspierjące decyzje dotyczące trnsferu ryzyk do innego podmiotu finnsowego opis njwżniejszych typów modeli pomiru ryzyk znjduje się w prcy: Crouhy, Gli, Mrk (2001); modele podejmowni decyzji w wrunkch ryzyk, są to typowe modele decyzyjne, w których zstosownie m konkretne kryterium podlegjące optymlizcji, o tego typu modelch trktuje część poniższych rozwżń. Wynik z tego, że podstwowe modele decyzyjne, występujące w teorii finnsów, są to modele podejmowni decyzji w wrunkch ryzyk. Jk przy tym widomo z teorii podejmowni decyzji, wyróżni się zsdniczo dwie grupy modeli podejmowni decyzji: modele normtywne, w których przedstwi się zsdy, którymi POWINIEN SIĘ KIEROWAĆ rcjonlny decydent, w tym wypdku podejmujący decyzje n rynku finnsowym; modele opisowe, w których przedstwi się zsdy, którymi w istocie KIERUJE SIĘ decydent, w tym wypdku podejmujący decyzje n rynku finnsowym. Modele normtywne są rdzo rozpowszechnione w teorii finnsów. W modelch tych zkłd się, że podmiot podejmujący decyzję kieruje się zsdmi rcjonlności. Podstwowym nrzędziem teoretycznym, wykorzystywnym w normtywnych modelch podejmowni decyzji, jest pojęcie rozkłdu zmiennej losowej. Przy tym istnieją różne możliwości określeni zmiennej losowej, której rozkłd jest nlizowny. W szczególności nlizowne mogą yć nstępujące zmienne losowe: wrtość końcow inwestycji; zmin wrtości inwestycji w stosunku do wrtości początkowej; odchylenie wrtości końcowej inwestycji od wymgnej wrtości końcowej inwestycji; stop zwrotu inwestycji; względne odchylenie wrtości końcowej inwestycji od wymgnej wrtości końcowej inwestycji. Wynik z tego, iż podejmownie decyzji w zkresie wyoru inwestycji poleg n porównniu rozkłdów spotyknych w inwestycjch, np. rozkłdów stóp zwrotu inwestycji. Jedną z njrdziej ogólnych, proponownych w teorii metod wyoru inwestycji, jest metod stochstycznej domincji. Metod t poleg n porównywniu dystryunt rozkłdów stóp zwrotu inwestycji. Często zmist porównywni cłych rozkłdów stóp zwrotu inwestycji porównuje się jedynie pr-

Krzysztof Jjug 41 metry rozkłdu. Njrdziej znne jest oczywiście podejście zproponowne przez Mrkowitz (por. Mrkowitz 1952), w którym nlizowne są: oczekiwn stop zwrotu inwestycji, trktown jko mir dochodu; odchylenie stndrdowe stopy zwrotu, trktowne jko mir ryzyk. Jk widomo, nliz decyzji finnsowych, podejmownych w prktyce, wskzuje, iż mogą yć one różne od decyzji wynikjących z modeli normtywnych. Prolemem tym zjmują się modele opisowe. Mimo to często przyjmuje się kryterium oczekiwnej użyteczności. W tym podejściu zmist rozkłdu stóp zwrotu inwestycji lu rozkłdu wrtości końcowej inwestycji nlizuje się rozkłd użyteczności i stwierdz się, że podmioty strją się mksymlizowć oczekiwną użyteczność, czyli wrtość oczekiwną rozkłdu użyteczności. W dlszej części rtykułu pokżemy, jk w ktegorich oczekiwnej użyteczności możn opisć podstwowe decyzje finnsowe. Podstwowe decyzje finnsowe Przedstwimy terz podstwowe rodzje decyzji finnsowych. Proponowny podził tych decyzji z jednej strony odzwierciedl rzeczywiste sytucje prktyczne, z drugiej strony pozwl n zstosownie jednolitej koncepcji teoretycznej w prostym modelu decyzyjnym. Nleży zuwżyć, iż wszystkie omwine rodzje decyzji finnsowych relizowne są z pomocą kontrktów finnsowych między dwiem stronmi, często przyjmujących postć instrumentów finnsowych. Przy omwiniu decyzji odręnie rozptrzymy rynek pierwotny orz (jeśli występuje) rynek wtórny. Rynek pierwotny to zwrcie kontrktu finnsowego, co ozncz pierwszą trnskcję kupn-sprzedży instrumentu finnsowego. Rynek wtórny to orót instrumentem finnsowym, czyli kolejne trnskcje kupnsprzedży instrumentu finnsowego. Nszym zdniem, ogół decyzji finnsowych możn podzielić n dwie grupy: decyzje w zkresie trnsferu kpitłu; decyzje w zkresie trnsferu ryzyk. Trnsfer kpitłu jest to klsyczn trnskcj finnsow, często dokonywn n rynku finnsowym poprzez opercję kupn lu sprzedży instrumentu finnsowego. W tej trnskcji występują dwie strony (stosujemy tu stndrdową terminologię finnsową): stron dług, udostępnijąc kpitł; stron krótk, pozyskując kpitł.

42 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH W tej trnskcji stron dług podejmuje decyzję inwestowni, zś stron krótk decyzję finnsowni. Nrzędziem trnsferu kpitłu jest instrument finnsowy, przy czym są dwie grupy instrumentów: dłużny instrument finnsowy (oligcj, instrument rynku pieniężnego); włścicielski instrument finnsowy (kcj, udził). Trnsfer ryzyk jest to trnskcj finnsow, dokonywn n rynku finnsowym poprzez opercję kupn-sprzedży opcji ( więc szczególnego instrumentu finnsowego), ądź n rynku uezpieczeniowym poprzez opercję kupn/ sprzedży polisy uezpieczeniowej. W trnskcji tej występują dwie strony: stron dług, przekzując ryzyko; stron krótk, przejmując ryzyko. W trnskcji trnsferu ryzyk stron dług podejmuje decyzję uezpieczjącą (w finnsch nzywną również zezpieczjącą), zś stron krótk decyzję uezpieczeniową. Nrzędziem trnsferu ryzyk mogą yć: opcj, podstwowy pochodny instrument finnsowy; polis uezpieczeniow. Nleży zwrócić uwgę n to, iż trnskcj polegjąc n trnsferze kpitłu zwier w istocie również trnsfer ryzyk, gdyż stron krótk (finnsując się) przekzuje ryzyko stronie długiej (inwestującej). W przypdku dłużnych instrumentów finnsowych jest to ryzyko niedotrzymni wrunków (ryzyko kredytowe), choć może do tego dojść również ryzyko stopy procentowej (ryzyko rynkowe). W przypdku włścicielskich instrumentów finnsowych jest to ryzyko cen kcji (ryzyko rynkowe). Wynik z tego, iż trnskcj trnsferu kpitłu oejmuje dwie części: trnsfer kpitłu wolnego od ryzyk; trnsfer ryzyk. W tkiej sytucji stop procentow, odzwierciedljąc cenę kpitłu, skłd się z dwóch części: stopy wolnej od ryzyk i premii z ryzyko. Oecnie przedstwimy chrkterystykę ou rodzjów decyzji podejmownych n rynku pierwotnym i rynku wtórnym. Trnsfer kpitłu rynek pierwotny Trnskcje trnsferu kpitłu n rynku pierwotnym polegją n zkupie przez stronę inwestującą instrumentów finnsowych (dłużnych lu włścicielskich) wyemitownych przez stronę finnsującą się. Ilustrcj trnskcji przedstwion jest n rysunku 1.

Krzysztof Jjug 43 Rysunek 1 Trnsfer kpitłu n rynku pierwotnym 1A. W momencie emisji instrumentu finnsowego kpitł A instrument finnsowy ryzyko B 1B. W momencie wykupu (dotyczy instrumentów dłużnych) A instrument finnsowy kpitł cen kpitłu wolnego od ryzyk premi z ryzyko B Jk widć, w momencie zwrci trnskcji stron A przekzuje kpitł stronie B kupując instrument finnsowy, zś dodtkowo stron B przekzuje stronie A ryzyko (rysunek 1A). Z kolei w momencie wykupu (rysunek 1B) nstępuje wykup instrumentu finnsowego, zś stron B płci cenę kpitłu wolnego od ryzyk orz premię z ryzyko. Nleży tu dodć dw istotne fkty: rysunek 1B dotyczy jedynie dłużnych instrumentów finnsowych; jeśli chodzi o włścicielskie instrumenty finnsowe, to nie istnieje moment wykupu, dl strony inwestującej zkończenie inwestycji może nstąpić jedynie n rynku wtórnym (o czym dlej); formlnie cen kpitłu wolnego od ryzyk i premi z ryzyko mogą yć płcone w postci wielu przepływów pieniężnych w różnych terminch przed terminem wykupu dotyczy to instrumentów dłużnych płcących odsetki. Trnsfer kpitłu rynek wtórny Trnskcje trnsferu kpitłu n rynku wtórnym polegją n kupnie-sprzedży instrumentów finnsowych, przy czym w przypdku instrumentów dłużnych trnskcje te mją miejsce tylko w okresie przed terminem wykupu. Dl strony sprzedjącej ozncz to zkończenie inwestycji, zś dl strony kupującej ozncz

44 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH to rozpoczęcie inwestycji. W ten sposó stron kupując stje się stroną długą n rynku pierwotnym dotyczy to jedynie dłużnych instrumentów finnsowych. Ilustrcj trnskcji przedstwion jest n rysunku 2. Rysunek 2 2A. W momencie trnskcji Trnsfer kpitłu n rynku wtórnym A instrument finnsowy kpitł cen kpitłu wolnego od ryzyk premi z ryzyko C 2B. W momencie wykupu (dotyczy instrumentów dłużnych) C instrument finnsowy kpitł cen kpitłu wolnego od ryzyk premi z ryzyko B Jk widć, w momencie zwrci trnskcji stron A przekzuje instrument finnsowy stronie C, zś stron C płci cenę kpitłu wolnego od ryzyk orz premię z ryzyko (rysunek 2A). Z kolei w momencie wykupu (rysunek 2B) nstępuje wykup instrumentu finnsowego, zś stron B płci cenę kpitłu wolnego od ryzyk orz premię z ryzyko stronie C (któr zstąpił w kontrkcie finnsowym stronę A). Przykłd Klsycznym przykłdem trnsferu kpitłu są trnskcje n rynku oligcji. N rynku pierwotnym stron krótk emituje oligcję, zś stron dług ją kupuje. W ten sposó stron krótk przekzuje ryzyko stronie długiej, zś stron dług przekzuje kpitł stronie krótkiej. W terminie wykupu oligcji nstępuje trns-

Krzysztof Jjug 45 kcj odwrotn. Z kolei n rynku wtórnym posidcz oligcji sprzedje ją innemu podmiotowi, który w ten sposó stje się stroną długą w stosunku do emitent oligcji. Trnsfer ryzyk rynek pierwotny Trnskcje trnsferu ryzyk n rynku pierwotnym polegją n sprzedży polisy uezpieczeniowej ądź n wystwieniu (co jest równowżne ze sprzedżą) opcji. Ilustrcj trnskcji przedstwion jest n rysunku 3. Rysunek 3 Trnsfer ryzyk n rynku pierwotnym A opcj lu polis ryzyko premi z ryzyko B Jk widć, w momencie zwrci kontrktu stron A, ędąc uezpieczycielem, sprzedje instrument finnsowy (opcję) ądź polisę uezpieczeniową stronie B, ędącej uezpieczjącym. W zmin z to przejmuje od strony B ryzyko i otrzymuje premię z ryzyko. W tkiej sytucji stron B otrzymuje prwo, zś stron A podejmuje zoowiąznie. Zuwżmy, że trnsferowne ryzyko może tu mieć rdzo różny chrkter, w przypdku opcji jest to z reguły ryzyko rynkowe. Trnsfer ryzyk rynek wtórny Trnskcje trnsferu ryzyk n rynku wtórnym dotyczą jedynie opcji, gdyż w przypdku polisy uezpieczeniowej rynek wtórny nie występuje. Trnskcje te, to po prostu kupno-sprzedż opcji. Ilustrcj trnskcji przedstwion jest n rysunku 4. Jk widć, stron B sprzedje instrument finnsowy stronie C, otrzymując w zmin premię z ryzyko. W ten sposó stron C stje się uezpieczjącym, otrzymując prwo. Oczywiście stroną, któr podjęł zoowiąznie, jest w dlszym ciągu stron A.

46 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Przykłd Klsycznym przykłdem trnsferu ryzyk są trnskcje n rynku opcji. N rynku pierwotnym stron krótk wystwi opcję, zś stron dług ją kupuje. W ten sposó stron krótk przejmuje ryzyko od strony długiej. Z kolei n rynku wtórnym posidcz opcji sprzedje ją innemu podmiotowi, który w ten sposó stje się stroną długą w stosunku do wystwijącego opcję. Rysunek 4 Trnsfer ryzyk n rynku wtórnym B opcj premi z ryzyko C A ryzyko C N zkończenie wrto wspomnieć, iż może również występowć dwustronny trnsfer ryzyk, czyli wymin ryzyk. Tego typu trnskcj poleg n tym, iż jedn stron przekzuje drugiej stronie jeden rodzj ryzyk, zś w zmin przejmuje od niej inny rodzj ryzyk. Mmy z tką trnskcją do czynieni w kontrktch terminowych (futures, forwrd) i kontrktch typu swp. N przykłd w wlutowym kontrkcie terminowym jedn stron przekzuje drugiej ryzyko wzrostu kursu wlutowego, przejmując od tej strony ryzyko spdku kursu wlutowego. W dlszym ciągu nie ędziemy się zjmowć tego typu trnskcjmi, gdyż możn je nlizowć jko komincję dwóch kontrktów trnsferu ryzyk. Jk wynik z powyższych rozwżń, w zsdzie prwie wszystkie trnskcje finnsowe są trnskcjmi zwierjącymi trnsfer ryzyk. Ozncz to, iż decyzje finnsowe są decyzjmi dotyczącymi ryzyk. Dotyczy to zrówno klsycznych decyzji w zkresie trnsferu ryzyk (decyzj uezpieczjąc lu decyzj uezpieczeniow), jk i decyzji w zkresie trnsferu kpitłu (decyzj inwestowni lu

Krzysztof Jjug 47 decyzj finnsowni). W nstępnym punkcie przedstwimy formlną koncepcję nlizy tych decyzji w ktegorich funkcji użyteczności. Decyzje finnsowe teori użyteczności Przedstwione powyżej podstwowe decyzje finnsowe mogą yć nlizowne w ktegorich funkcji użyteczności. Jk już wskzywliśmy, teori użyteczności jest często stosowną koncepcją teorii podejmowni decyzji. Przedstwimy terz sposó nlizowni omówionych decyzji finnsowych w kontekście oczekiwnej użyteczności. Rozptrywć ędziemy dw rodzje decyzji, które umownie nzywmy inwestycją i uezpieczeniem. W inwestycji występują dwie strony: kupujący inwestycję (inwestujący) i sprzedjący inwestycję (n rynku pierwotnym jest to stron finnsując się). W uezpieczeniu zś stronmi są: uezpieczjący (kupujący opcję lu polisę uezpieczeniową) i uezpieczyciel (wystwijący opcję lu sprzedjący polisę uezpieczeniową). W nszych rozwżnich ryzyko formlnie opisywne ędzie, tk jk to zwykle czyni się, z pomocą zmiennej losowej, której wrtość oczekiwn jest skończon (dodtni lu ujemn). Czsem tę zmienną losową przedstwi się z pomocą loterii, mówiąc, że kupno lu sprzedż ryzyk jest to kupno lu sprzedż loterii. Przedstwimy terz pewne podstwowe pojęci związne z trnsferem ryzyk. Przy tym w poniższych rozwżnich wprowdzone są nstępujące oznczeni: U funkcj użyteczności, przyporządkowując wrtości kpitłu wrtość użyteczności dnego podmiotu; w 0 wielkość kpitłu w wypdku niepodejmowni ryzyk; X zmienn losow, odzwierciedljąc podejmownie ryzyk, czyli loterię. Pierwszym pojęciem jest równowżnik pewności (certinty equivlent). Definiuje się go z pomocą nstępującej zleżności: U ( w ) = E( U ( w0 + X )) (1)

48 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Przy tym: w * równowżnik pewności. Ze wzoru (1) wynik, że równowżnik pewności jest to tk wrtość kpitłu osiągnięt ez ponoszeni ryzyk, której użyteczność jest tk sm, jk oczekiwn użyteczność wrtości kpitłu w sytucji ponoszeni ryzyk, tzn. posidni loterii. Równowżnik pewności możn wyrzić w sposó ezpośredni nstępującym wzorem: 1 w = U ( E( U ( w0 + X ))) (2) Nstępnym rozptrywnym pojęciem jest tzw. cen sprzedży loterii (sking price), dn nstępującym wzorem: U ( w + p ) = E( U ( w0 + 0 X )) (3) Lu w sposó ezpośredni: p = w w 0 (4) Gdzie: U funkcj użyteczności sprzedjącego loterię; w 0 wielkość kpitłu sprzedjącego loterię; p cen sprzedży loterii. Cen sprzedży loterii jest to minimln cen, po jkiej podmiot posidjący tę loterię jest ją skłonny sprzedć. Wrto rozptrzyć dwie szczegółowe interpretcje tego pojęci. Cen sprzedży loterii w inwestycji. Wrtość oczekiwn loterii jest tutj dodtni, ztem loteri przynosi dochód (oczekiwny). Cen sprzedży loterii jest to licz dodtni. Jest to minimln cen, po jkiej sprzedjący inwestycję

Krzysztof Jjug 49 (inczej: sprzedjący loterię) jest ją skłonny sprzedć kupującemu inwestycję (inczej: kupującemu loterię). Cen sprzedży loterii w uezpieczeniu. Wrtość oczekiwn loterii jest tutj ujemn, ztem loteri przynosi strtę (oczekiwną). Cen sprzedży loterii jest to licz ujemn. Formlnie jest to minimln cen, po jkiej sprzedjący loterię (uezpieczjący się) jest ją skłonny sprzedć kupującemu loterię (uezpieczycielowi). Z uwgi n to, że jest to licz ujemn, sensown jest nstępując interpretcj w odniesieniu do wrtości ezwzględnej tej liczy: jest to mksymln cen, jką uezpieczjący się (inczej: sprzedjący loterię) jest skłonny zpłcić uezpieczycielowi (inczej: kupującemu loterię) z pozycie się loterii. Jeśli złożymy, że funkcj użyteczności jest wklęsł (co odpowid wersji do ryzyk), wówczs zchodzi (z nierówności Jensen): E U ( U 0 + ( w0 + X )) U ( E( w0 + X )) = U ( w E( X )) Z tego wynik, że: ( 0 + w0 + p ) U ( w E( X )) Poniewż zzwyczj zkłd się, że funkcj użyteczności jest rosnąc, otrzymujemy: w Z czego wynik, że: E( 0 + p w0 + X ) p E(X ) (5) Przykłd Rozptrzymy logrytmiczną funkcję użyteczności, dną nstępującym wzorem: U ( w) = ln w

50 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Pod uwgę weźmiemy dwie loterie, odzwierciedljące inwestycję i uezpieczenie. Loteri w inwestycji Podmiot dysponuje kpitłem w wysokości 100. Ryzyko (loteri) odzwierciedlne jest przez zmienną losową, któr może przyjąć dwie wrtości, 20 i 80, oie z prwdopodoieństwem 0,5. Wynik z tego, że wrtość końcow kpitłu może przyjąć dwie wrtości: 80 i 180, oie z prwdopodoieństwem 0,5. Po podstwieniu do wzoru (1) otrzymujemy: ln w w = 0,5ln(80) + 0,5ln(180) = 4,787 = 120 Wrtość oczekiwn loterii wynosi 30. Równowżnik pewności wynosi 120. Po podstwieniu do wzoru (4) otrzymujemy: p = 120 100 = 20 Wynik z tego, że minimln cen, po jkiej sprzedjący inwestycję jest skłonny sprzedć kupującemu inwestycję wynosi 20. Jest to mniej niż oczekiwn wrtość loterii wynosząc 30. Loteri w uezpieczeniu Podmiot dysponuje kpitłem w wysokości 100. Ryzyko (loteri) odzwierciedlne jest przez zmienną losową, któr może przyjąć dwie wrtości, 40 i 0, oie z prwdopodoieństwem 0,5. Wynik z tego, że wrtość końcow kpitłu może przyjąć dwie wrtości: 60 i 100, oie z prwdopodoieństwem 0,5. Po podstwieniu do wzoru (4) otrzymujemy: ln w w = 0,5ln(60) + 0,5ln(100) = 4,350 = 77,46 Wrtość oczekiwn loterii wynosi 20. Równowżnik pewności wynosi 77,46. Po podstwieniu do wzoru (4) otrzymujemy:

Krzysztof Jjug 51 p = 77,46 100 = 22,54 Wynik z tego, że mksymln cen, po jkiej uezpieczjący jest skłonny pozyć się ryzyk, wynosi 22,54. Widć, że 22,54 jest to mniej niż oczekiwn wrtość loterii wynosząc 20. Nstępnym rozptrywnym pojęciem jest tzw. cen kupn loterii (id price), dn nstępującym wzorem: U ( w ) = E( U ( w0 + X p 0 )) (6) Gdzie: U funkcj użyteczności kupującego loterię; w 0 wielkość kpitłu kupującego loterię; p cen kupn loterii. Cen kupn loterii jest to mksymln cen, po jkiej podmiot chcący posidć loterię jest ją skłonny kupić. Wrto tu rozptrzyć dwie szczegółowe interpretcje tego pojęci. Cen kupn loterii w inwestycji. Wrtość oczekiwn loterii jest tutj dodtni, ztem loteri przynosi dochód (oczekiwny). Cen kupn loterii jest to licz dodtni. Jest to mksymln cen, po jkiej kupujący inwestycję (inczej: kupujący loterię) jest ją skłonny kupić od sprzedjącego inwestycję (inczej: sprzedjącego loterię). Cen kupn loterii w uezpieczeniu. Wrtość oczekiwn loterii jest tutj ujemn, ztem loteri przynosi strtę (oczekiwną). Cen kupn loterii jest to licz ujemn. Formlnie jest to mksymln cen, po jkiej kupujący loterię (uezpieczyciel) jest ją skłonny kupić od sprzedjącego loterię (uezpieczjącego się). Z uwgi n to, że jest to licz ujemn, sensown jest nstępując interpretcj w odniesieniu do wrtości ezwzględnej tej liczy: jest to minimln cen, jką uezpieczyciel (inczej: kupujący loterię) jest skłonny zkceptowć od uezpieczjącego się (inczej: sprzedjącego loterię) z przyjęcie loterii.

52 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Jeśli złożymy, że funkcj użyteczności jest wklęsł (co odpowid wersji do ryzyk), wówczs zchodzi (z nierówności Jensen): E U ( U 0 + ( w0 + X p )) U ( E( w0 + X p )) = U ( w p E( X )) Z tego wynik, że: ( 0 + w0 ) U ( w p E( X )) Poniewż zzwyczj zkłd się, że funkcj użyteczności jest rosnąc, otrzymujemy: w0 w0 p + E( X ) Z czego wynik, że: p E(X ) (7) Przykłd Rozptrzymy (podonie jk w poprzednim przykłdzie) logrytmiczną funkcję użyteczności. Pod uwgę weźmiemy dwie loterie, te sme co w poprzednim przykłdzie, odzwierciedljące inwestycję i uezpieczenie. Loteri w inwestycji Podmiot dysponuje kpitłem w wysokości 100. Wrtość oczekiwn loterii wynosi 30. Po podstwieniu do wzoru (6) otrzymujemy: ln( 100) = 0,5ln(80 p ) + 0,5ln(180 p ) Rozwiązując powyższe równnie otrzymujemy: p = 18,19

Krzysztof Jjug 53 Wynik z tego, że mksymln cen, jką kupujący inwestycję jest skłonny zpłcić z inwestycję, wynosi 18,19. Jest to mniej niż oczekiwn wrtość loterii wynosząc 30. Loteri w uezpieczeniu Podmiot dysponuje kpitłem w wysokości 100. Wrtość oczekiwn loterii wynosi 20. Po podstwieniu do wzoru (6) otrzymujemy: ln( 100) = 0,5ln(100 p ) + 0,5ln(60 p ) Rozwiązując powyższe równnie otrzymujemy: p = 21,98 Wynik z tego, że minimln cen, po jkiej uezpieczyciel jest skłonny przejąć ryzyko, wynosi 21,98. Widć, że 21,98 jest to mniej niż oczekiwn wrtość loterii wynosząc 20. Nierówności dne wzormi (5) i (7) wskzują, że cen sprzedży loterii i cen kupn loterii są nie większe niż wrtość oczekiwn loterii. Wrto się jeszcze zstnowić, czy istnieje zleżność między ceną kupn loterii i ceną sprzedży loterii. Loteri w inwestycji Cen sprzedży loterii w inwestycji jest to minimln cen, po jkiej sprzedjący przedmiot inwestycji jest go skłonny sprzedć kupującemu inwestycję. Cen kupn loterii w inwestycji jest to mksymln cen, po jkiej kupujący przedmiot inwestycji jest go skłonny kupić od sprzedjącego inwestycję. Sensowne jest przyjęcie złożeni, że cen sprzedży loterii w inwestycji nie przekrcz ceny kupn loterii w inwestycji (w przeciwnym przypdku nie doszłoy do trnskcji). Loteri w uezpieczeniu Cen sprzedży loterii w uezpieczeniu jest to mksymln cen, jką uezpieczjący się jest skłonny zpłcić uezpieczycielowi z uezpieczenie. Cen kupn loterii w uezpieczeniu jest to minimln cen, jką uezpieczyciel jest skłonny zkceptowć od uezpieczjącego z przyjęcie ryzyk. Sensowne jest przyjęcie złożeni, że cen sprzedży loterii w uezpieczeniu nie przekrcz ceny kupn loterii w uezpieczeniu (w przeciwnym przypdku nie doszłoy do trnskcji).

54 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Biorąc pod uwgę te wnioski orz zleżności (5) i (7) otrzymujemy: p p E(X ) (8) Trze jednk zuwżyć, że w zleżności (8) cen kupn loterii i cen sprzedży loterii wyznczne są (zzwyczj) n podstwie różnych funkcji użyteczności. Biliogrfi Blck F., Scholes M. 1973. The pricing of options nd corporte liilities, Journl of Politicl Economy, 81, 637-654. Brooks C. 2002. Introductory econometrics for finnce, Cmridge University Press, Cmridge. Chn N.H. 2002. Time series. Applictions to finnce, Wiley, New York. Crouhy M., Gli D., Mrk R. 2001. Risk mngement, McGrw Hill, New York. Mills T. 1999. The econometric modeling of finncil time series, 2 nd ed., Cmridge University Press, Cmridge. Tsy R.S. 2002. Anlysis of finncil time series, Wiley, New York. Mrkowitz H.M. 1952. Portfolio selection, Journl of Finnce, 7, 77-91. Merton R.C. 1973. Theory of rtionl option pricing, Bell Journl of Economics nd Mngement Science, 4, 141-183.