Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli związane jest z jednorodnym równaniem stanu, którego rozwiązanie zależy wyłącznie od warunku początkowego - stabilności zewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu w ujęciu wejście - wyjście Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Rozpoczniemy od ogólniejszego przypadku Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Definicja SII.. Stan równowagi 0 ~ systemu t f t, 0 jest Stabilny, jeżeli dla danego dowolnego 0 istnieje odpowiednia 0 0 0 : Niestabilny, jeżeli nie jest stabilny taka, że Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3 Asymptotycznie stabilny, jeżeli jest on stabilny i można wybrać 0 0 0 lim t taką, że W szczególności, dla danego dowolnego 0 istnieje chwila czasowa T 0 dla której odpowiadająca jej trajektoria spełnia T : Globalnie asymptotycznie stabilny, jeżeli jest on stabilny i dla dowolnego stanu początkowego zachodzi lim t 0 W szczególności, dla danego dowolnego 0 czasowa T 0 taka, że 0 M 0 T : M oraz 0 istnieje chwila
Ekspotencjalnie stabilny, jeżeli istnieją dodatnie stałe ke 0 0 0 :,k oraz takie, że Globalnie eksponencjalnie stabilny, jeżeli istnieją dodatnie stałe takie, że dla wszystkich warunków początkowych zachodzi k oraz 0 : ke 0 globalna asymptotyczna stabilność asymptotyczna stabilność niestabilność stabilność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4
Dla przypadku punkt jest punktem równowagi Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5
Definicja SII.. Stan równowagi 0 ~ systemu t A t, 0 jest Stabilny, jeżeli istnieje skończona dodatnia stała początkowego 0 0 : 0 0 taka, że dla dowolnego stanu dla odpowiadającej mu trajektorii stanu, zachodzi Niestabilny, jeżeli nie jest stabilny (Globalnie) asymptotycznie stabilny, jeżeli dla dowolnego istnieje 0 takie, że dla dowolnego stanu początkowego zachodzi T : 0 0 0 T dla odpowiadającej mu trajektorii stanu (Globalnie) ekspotencjalnie stabilny, jeżeli istnieją dodatnie stałe takie, że dla wszystkich warunków początkowych 0 stanu zachodzi 0 : ke 0 k oraz, dla odpowiadających im trajektorii Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6
Twierdzenie SII.. Stan równowagi 0 0 ~ systemu t A t, 0 jest Stabilny, wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne macierzy mają niedodatnie części rzeczywiste i geometryczna krotność którejkolwiek wartości własnej mającej zerową część rzeczywistą jest równa jej krotności algebraicznej A (Globalnie) asymptotycznie stabilny, wtedy i tylko wtedy, gdy każda wartość własna macierzy A ma ujemną część rzeczywistą Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7
Analiza energetyczna stabilności Przykład : system mechaniczny Model systemu wejście - wyjście: Model przestrzeni stanu: Naturalny wybór zmiennych stanu: przemieszczenie masy y przemieszczania masy y, prędkość Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8
Model przestrzeni stanu: Stąd Podstawiając do modelu we - wy Postać równań stanu modelu przestrzeni stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9
Postać równania wyjścia modelu przestrzeni stanu Wejście systemu Postać macierzowa: Różniczkowe równanie stanu Algebraiczne równanie wyjścia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 0
System drugiego rzędu, jedno wejście, jedno wyjście p = q =, n = Rozważmy stabilność wewnętrzną zerowe wejście Jednorodne równanie różniczkowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Zmienne stanu przykładu związane z energią układu energia potencjalna zgromadzona w sprężynie (przemieszczenie) energia kinetyczna poruszającej się masy (prędkość) Całkowita energia systemu Właściwości: całkowita energia systemu jest dodatnia we wszystkich punktach przestrzeni stanu takich, że ~ T 0 T ~ 0 całkowita energia systemu osiąga minimum równe zero w stanie równowagi ~ ~ T 0 T 0 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Dla oceny wartości funkcji energii wzdłuż trajektorii stanu systemu policzmy pochodną po czasie Przypadek : c 0 Dla zerowej wartości współczynnika tłumienia c 0 mamy de dt 0 - całkowita energia systemu pozostaje stała wzdłuż dowolnej trajektorii Wniosek: ma miejsce wieczysta przemiana energii potencjalnej zgromadzonej w sprężynie i kinetycznej zgromadzonej w poruszającej się masie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3
T 0 0 To pokazuje, że dla tego przypadku stan T stanem równowagi ~ ~ jest stabilnym Zachodzą następujące nierówności co wskazuje, że istnieje ograniczenie na normę trajektorii wskazujące na sposób doboru stałej z Definicji stabilności SII. Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4
Wyniki symulacji: Parametry Ns c 0 m m kg Warunek początkowy k N 0 m 0 T 0 Wartości własne, Zmienne stanu j3.6 - zerowa część rzeczywista - różne (zespolone sprzężone) = krotność algebraiczna równa krotności geometrycznej Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5
Energia całkowita systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6
Przypadek : c 0 d E dt Jednorodne równanie stanu Punkt równowagi T, c 0 k m T 0 0 ~ ~ c m - przemieszczenie - prędkość Wniosek: Zdążanie energii całkowitej systemu do zera, dla dowolnej trajektorii stanu, przy czasie zdążającym do nieskończoności powinno odpowiadać asymptotycznej zbieżności tej trajektorii do stanu równowagi ~ T 0 T ~ 0 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7
Zdążanie energii całkowitej systemu do zera oznacza, że dla dowolnego istnieje T 0, że dla t T min k,m E, E0, ma k,m 0 0 Wykorzystując uprzednio ustalone granice E min, k,m 0 0 E, ma k,m 0 dla t T co potwierdza, że ~ T 0 T ~ 0 asymptotycznie stabilnym stanem równowagi Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8
Wyniki symulacji: Parametry Ns c m m kg Warunek początkowy k N 0 m 0 T 0 Wartości własne Zmienne stanu, 0.5 j3. - ujemna część rzeczywista - różne (zespolone sprzężone) = krotność algebraiczna równa krotności geometrycznej Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9
Energia całkowita systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 0
Przypadek 3: c 0 d E dt Jednorodne równanie stanu Punkt równowagi T, c 0 Zwiększanie się energii całkowitej systemu wzdłuż jakiejkolwiek trajektorii dla której prędkość masy nie jest tożsamościowo równa zeru Zwiększanie się energii całkowitej systemu wzdłuż jakiejkolwiek trajektorii różnej od k m T 0 0 ~ ~ T 0 T ~ c m Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania - przemieszczenie - prędkość Wniosek: Zwiększanie się energii całkowitej systemu dla dowolnej trajektorii stanu dla dowolnego stanu początkowego różnego od stanu równowagi powoduje, że trajektoria ta oddala się nieskończenie od stanu równowagi ~ T 0 T ~ ~ ~ 0 0 przy czasie zdążającym do nieskończoności
Wyniki symulacji: Parametry Ns c m m kg Warunek początkowy k N 0 m 0 T 0 Wartości własne Zmienne stanu, 0.5 j3. - dodatnia część rzeczywista - różne (zespolone sprzężone) = krotność algebraiczna równa krotności geometrycznej Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Energia całkowita systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3
Wniosek z przykładu: stabilność punktu równowagi może być określona bezpośrednio z w oparciu o pochodną po czasie funkcji energii całkowitej systemu liczoną wzdłuż trajektorii stanu systemu Obliczanie tej pochodnej po czasie może być interpretowane jako liczenie następującej funkcji zmiennych stanu E E,,, E k m E, k m k m k m c m c której wartość liczona wzdłuż trajektorii stanu systemu równa się d dt, c E, E Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4
Analiza stabilności Lapunova Źródła: spostrzeżenie, że wnioski na temat stabilności stanu równowagi mogą być wyciągnięte z analizy tzw. funkcji energetycznej systemu Dla systemu f, 0 0 rozważana jest funkcja rzeczywista V V,,, n posiadająca ciągłe pochodne cząstkowe względem każdej ze zmiennych stanu i która jest dodatnio określona, tzn.: V 0 0, V 0 dla 0 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5
Dla analizy pochodnej czasowej funkcji V V,,, n stanu systemu f, 0 0 definiuje się wzdłuż trajektorii Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6
Twierdzenie bezpośredniej metody Lapunova Twierdzenie SII.. Stan równowagi 0 Stabilny, jeżeli trajektorii ~ systemu t f t, 0 jest V w otoczeniu 0 Asymptotycznie stabilny, jeżeli dla wszystkich trajektorii 0 ujemnie półokreślona; to znaczy V 0 ~ V ujemnie określona; to znaczy V 0 0 w otoczeniu ~ 0 dla wszystkich Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7
Nas interesuje szczególnie asymptotyczna stabilność Dla niej, podsumowując możemy podać twierdzenie Twierdzenie SII.3. Stan równowagi 0 ~ systemu t f t jest Asymptotycznie stabilny, jeżeli istnieje funkcja Lapunova V V V V 0, 0, 0, 0 0 0 0, 0 pozostaje słuszne w otoczeniu ~ 0 V : R n R taka, że Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8
Przykład 3: system nieliniowy Rozważamy system Propozycja funkcji Lapunova Zachodzi oczywiście Policzymy V 4 4 3 3 4 4 4 4 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9
Zatem jest słuszne dla dowolnego otoczenia ~ 0 Stan ~ 0 jest globalnie asymptotycznie stabilny Przykład 4: system nieliniowy Rozważamy system Propozycja funkcji Lapunova Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30
Zachodzi oczywiście Policzymy Zachodzi oczywiście Ponadto dla otoczenia punktu równowagi ~ 0 Zachodzi Stan ~ 0 jest lokalnie asymptotycznie stabilny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3
Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3