Zadanie: Wyznaczyć położenie głównych centralnych osi bezwładności i obliczyć główne centralne momenty bezwładności 1. Szkic projektu * Rozwiązanie zadania * Oznaczenia: A [cm²] - pole powierzchni figury Xo [cm] - współrzędna X środka ciężkości figury w układzie globalnym Yo [cm] - współrzędna Y środka ciężkości figury w układzie globalnym Strona:1
A x [cm³] - moment statyczny względem osi Y w układzie globalnym A y [cm³] - moment statyczny względem osi X w układzie globalnym Xc [cm] - współrzędna X środka ciężkości układu figur w układzie globalnym Yc [cm] - współrzędna Y środka ciężkości układu figur w układzie globalnym xc [cm] - odległość X pomiędzy środkiem ciężkości figury a środkiem ciężkości układu yc [cm] - odległość Y pomiędzy środkiem ciężkości figury a środkiem ciężkości układu cy [cm] - odległość X pomiędzy środkiem ciężkości figury a Left cx [cm] - odległość Y pomiędzy środkiem ciężkości figury a Top Jx [cm4] - moment bezwładności figury względem osi X Jy [cm4] - moment bezwładności figury względem osi Y Dxy [cm4] - dewiacyjny moment bezwładności figury A x x [cm4] - element do wzoru Steinera A y y [cm4] - element do wzoru Steinera A x y [cm4] - element do wzoru Steinera [... tablice] lub Red Book - wartość odczytana z Tablic Inżynierskich Transformacja Kątowa : współrzędne X i Y obliczamy ze wzorów na obrót układu: X = X cos(φ) Y sin(φ) Y = X sin(φ) + Y cos(φ) gdzie X i Y to punkt po transformacji kątowej a X' i Y' punkt przed transformacją kątową gdzie φ to kąt obrotu figury układ X'Y' względem układu XY - jeżeli jest on zgodny z ruchem wskazówek zegara to jest on ujemny Transformacja Liniowa : współrzędne Xo i Yo obliczamy ze wzorów na przesunięcie układu: gdzie dx i dy to współrzędne początku (TopLeft) figury w nowym położeniu X o = dx + X Y o = dy + Y Strona:
. Położenie XcYc głównych centralnych osi bezwładności względem układu XY Obliczenie nowych wartości środka ciężkości figury po obrocie o kąt i przesunięciu do punktu docelowego. Figura znajduje się teraz w takim położeniu jak wzory podane na obliczanie momentów. Układ taki nazywamy układem lokalnym figury..1.figura Prostokąt b=11[cm] h=6[cm] kąt OX: 0 [stopnie] transformacja liniowa figury do punktu docelowego o wektor dx i dy dx = 5 [ cm ] dy = 10 [ cm ] X o = 5 + 5.5 = 10.5 [ cm ] Y o = 10 + ( 3) = 7 [ cm ]..Figura ćwiartka koła r=4[cm] kąt OX: 0 [stopnie] transformacja liniowa figury do punktu docelowego o wektor dx i dy dx = 5 [ cm ] dy = 4 [ cm ] X o = 5 + 1.6977 = 6.6977 [ cm ] Y o = 4 + 1.6977 = 5.6977 [ cm ] Strona:3
.3.Figura Dwuteownik 10 INP kąt OX: -4.16174 [stopnie] Transformacja kątowa : figury w układzie lokalnym o kąt φ = 4 9 ' 4 ' ' X =.9 [ cm ] Y = ( 6) [ cm ] X =.9 cos(φ) ( 6) sin(φ) Y =.9 sin(φ) + ( 6) cos(φ) X =.9 cos(( 4.1617)) ( 6) sin(( 4.1617)) Y =.9 sin(( 4.1617)) + ( 6) cos(( 4.1617)) X =.9 0.914 ( 6) 0.4093 Y =.9 0.4093 + ( 6) 0.914 X =.6459 (.4559) = 5.1018 [ cm ] Y = 1.187 + ( 5.4744) = ( 4.874) [ cm ] transformacja liniowa figury do punktu docelowego o wektor dx i dy dx = ( 0.919) [ cm ] dy = 5.66 [ cm ] X o = ( 0.919) + 5.1018 = 4.8099 [ cm ] Y o = 5.66 + ( 4.874) = 1.3386 [ cm ] ΣA = 67.6336 [ cm ] ΣAx = 677.136 [ cm 3 ] Strona:4
ΣAy = 409.4097 [ cm 3 ] Xc = ΣAx = 677.136 = 10.0118 [ cm ] ΣA 67.6336 Yc = ΣAy = 409.4097 = 6.0533 [ cm ] ΣA 67.6336 Tabela Środki ciężkości Figur Fig. Xo [cm] Yo [cm] A [cm²] A x [cm³] A y [cm³] 1 10.500 7.000 66.000 693.000 46.000 6.698 5.698-1.566-84.165-71.599 3 4.810 1.339 14.00 68.301 19.009 Sumy 67.634 677.136 409.410 1. Momenty bezwładności 1.1.Figura Prostokąt b=11[cm] h=6[cm] kąt OX: 0 [stopnie] Wartości Jxo, Jyo, Dxyo w układzie XoYo bez obrotu figury 1.1.1. Układ nachylony nie występuje kąt nachylenia jest równy zero względem naszego układu XY Jx o = 198 [ cm 4 ] Jy o = 665.5 [ cm 4 ] Strona:5
Dxy o = 0 [ cm 4 ] 1.1.. Ocena czy figura podana została jako ujemna pole dodatnie: figura została podana jako dodatnia wartości: Jxo, Jyo, Dxyo zostaną przy swoich znakach 1.1.3. Odległości od środka ciężkości figury do środka ciężkości układu x = Xo Xc = 10.5 10.0118 = 0.488 [ cm ] y = Yo Yc = 7 6.0533 = 0.9467 [ cm ] 1..Figura ćwiartka koła r=4[cm] kąt OX: 0 [stopnie] Wartości Jxo, Jyo, Dxyo w układzie XoYo bez obrotu figury 1..1. Układ nachylony nie występuje kąt nachylenia jest równy zero względem naszego układu XY Jx o = ( 14.0489) [ cm 4 ] Jy o = ( 14.0489) [ cm 4 ] Dxy o = 4.166 [ cm 4 ] 1... Ocena czy figura podana została jako ujemna pole ujemne: figura została podana jako ujemna wartości: Jxo, Jyo, Dxoyo zostały zmienione na przeciwne Jx o = ( 14.0489) [ cm 4 ] Strona:6
Jy o = ( 14.0489) [ cm 4 ] Dxy o = 4.166 [ cm 4 ] pole ujemne: figura została podana jako ujemna wartość: A - pole powierzchni zostało zmienione na ujemne A = ( 1.5664) [ cm ] 1..3. Odległości od środka ciężkości figury do środka ciężkości układu x = Xo Xc = 6.6977 10.0118 = ( 3.314) [ cm ] y = Yo Yc = 5.6977 6.0533 = ( 0.3557) [ cm ] 1.3.Figura Dwuteownik 10 INP kąt OX: -4.16174 [stopnie] Wartości Jxo, Jyo, Dxyo w układzie XoYo bez obrotu figury 1.3.1. Momenty i dewiacje dla układu nachylonego względem naszego układu XY (ponieważ kąt nachylenia analizowanej figury jest różny od zera i wynosi jak poniżej to należy obliczyć układ nachylony ) α = 4 9 ' 4 ' ' Momenty wejściowe do obliczenia układu nachylonego Jx o = 38 [ cm 4 ] Jy o = 1.5 [ cm 4 ] Dxy o = 0 [ cm 4 ] Strona:7
1.3.. Jx w układzie nachylonym Jx c = Jx o +Jy o = 38+1.5 = 349.5 + Jx o Jy o cos(α) Dxy o sin(α) = + 38 1.5 cos(( 4.1617)) 0 sin( ( 4.1617)) = + 306.5 cos(( 48.335)) 0 sin(( 48.335)) = = 174.75 + 153.5 0.6649 0 ( 0.7469) = = 174.75 + 101.8997 0 = 76.6497 [ cm 4 ] 1.3.3. Jy w układzie nachylonym Jy c = Jx o +Jy o = 38+1.5 = 349.5 Jx o Jy o cos(α) + Dxy o sin(α) = 38 1.5 cos( ( 4.1617)) 0 sin( ( 4.1617)) = 306.5 cos(( 48.335)) 0 sin(( 48.335)) = = 174.75 153.5 0.6649 + 0 ( 0.7469) = = 174.75 101.8997 + 0 = 7.8503 [ cm 4 ] 1.3.4. Dxy w układzie nachylonym Dxy c = Jx o Jy o sin(α) + Dxy o cos(α) = = 38 1.5 sin( ( 4.1617)) + 0 cos( ( 4.1617)) = = 306.5 sin(( 48.335)) + 0 0.6649 = = 153.5 ( 0.7469) + 0 0.6649 = = ( 114.4641) + 0 = ( 114.4641) [ cm 4 ] 1.3.5. Ocena czy figura podana została jako ujemna pole dodatnie: figura została podana jako dodatnia wartości: Jxo, Jyo, Dxyo zostaną przy swoich znakach 1.3.6. Odległości od środka ciężkości figury do środka ciężkości układu x = Xo Xc = 4.8099 10.0118 = ( 5.019) [ cm ] y = Yo Yc = 1.3386 6.0533 = ( 4.7147) [ cm ] Strona:8
. Centralne Momenty bezwładności dla układu XcYc względem środka ciężkości Osi Centralnych.1. Sumy częściowe Jxo, Jyo, Dxoyo zestawienie sumowania przedstawiono w tabeli Excel *Momenty i Dewiacje* w dalszej części projektu ΣJx o = 460.6008 [ cm 4 ] ΣJy o = 74.3015 [ cm 4 ] ΣDxy o = ( 110.475) [ cm 4 ] ΣAx o = 61.949 [ cm 4 ] ΣAy o = 373.019 [ cm 4 ] ΣAxy o = 363.948 [ cm 4 ] 3. Jxc, Jyc, Dxyc całego układu zgodnie z twierdzeniem Steinera Jx c = ΣJx o + ΣAy o = 460.6008 + 373.019 = 833.807 [ cm 4 ] Jy c = ΣJy o + ΣAx o = 74.3015 + 61.949 = 986.507 [ cm 4 ] Dxy c = ΣDxy o + ΣAxy o = ( 110.475) + 363.948 = 53.7006 [ cm 4 ] 3.1. Zestawienie Centralnych Jxc, Jyc, Dxyc do dalszych obliczeń Jx c = 833.807 [ cm 4 ] Jy c = 986.507 [ cm 4 ] Dxy c = 53.7006 [ cm 4 ] to są Centralne Momenty Bezwładności układu figur 4. Kąt OXc Głównych Centralnych osi bezwładności tan(α glowne ) = Dxy c Jy c Jx c = tan(α glowne ) = 507.4011 15.448 = 3.384 53.7006 986.507 833.807 = α glowne = arctan (tan(α glowne )) = α glowne = arctan(3.384) = 73.77 [ stopnie ] 4.1. Kąt alfa α glowne = α glowne = 36 38 ' 18 ' ' Strona:9
5. Główne Centralne momenty bezwładności 5.1. Jmax J max = Jy c +Jx c + ( Jy c Jx c ) + Dxy c = = 986.507+833.807 + ( 986.507 833.807 ) + 53.7006 = = 910.067 + (76.4) + 53.7006 = = 910.067 + 70174.0744 = 910.067 + 64.9039 = J max = 1174.9306 (J I ) [ cm 4 ] 5.. Jmin J min = Jy c +Jx c ( Jy c Jx c ) + Dxy c = = 986.507+833.807 ( 986.507 833.807 ) + 53.7006 = = 910.067 (76.4) + 53.7006 = = 910.067 70174.0744 = 910.067 64.9039 = J min = 645.18 (J II ) [ cm 4 ] Tabela Momenty i Dewiacje Fig. xc [cm] yc [cm] Jx [cm⁴] Jy [cm⁴] Dxy [cm⁴] A x x [cm⁴] A y y [cm⁴] A x y [cm⁴] 1 0.488 0.947 198.000 665.500 0.000 15.79 59.146 30.501-3.314-0.356-14.049-14.049 4.17-138.06-1.590-14.814 3-5.0-4.715 76.650 7.850-114.464 384.46 315.646 348.61 Sumy 460.601 74.301-110.47 61.949 373.0 363.948 6. Sprawdzenie 6.1. Niezmiennik J1 δj 1 = (Jy c + Jx c ) (J max + J min ) = 0 (Jy c + Jx c ) = 986.507 + 833.807 = 180.0534 Strona:10
(J max + J min ) = 1174.9306 + 645.18 = 180.0534 δj 1 = 180.0534 180.0534 = 0 6.. Niezmiennik J δj = (Jy c Jx c Dxy c ) (J max J min ) = 0 (Jy c Jx c Dxy c ) = 986.507 833.807 53. 7006 = 757974.519 (J max J min ) = 1174.9306 645.18 = 757974.519 δj = 757974.519153884 757974.5191539 = ( 1.16415318693481E 10) δ% = ( 1.535873830099868E 14)% 7. Wskaźniki Wx, Wy maxx -maksymalna odległość punktu układu od osi Xcentralnej maxy -maksymalna odległość punktu układu od osi Ycentralnej W x = W y = J x maxy = 833.806 11.3760 = 73.943cm3 J y maxx = 986.507 10.3037 = 95.7180cm3 Strona:11
8. Szkic projektu Wydruk wygenerowany w programie Rectan Copyright 019 Rectan Strona:1