Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe

Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję (, ) : V V R przyporządkowującą wektorom u, v V liczbę rzeczywistą (u, v) i spełniającą warunki 1. (u 1 + u 2, v) = (u 1, v) + (u 2, v) dla u 1, u 2, v V, 2. α(u, v) = (αu, v) dla u, v V, α R, 3. (u, v) = (v, u) dla u, v V, 4. (u, u) dla u V, 5. (u, u) = u =. Definicja 2 (Przestrzeń euklidesowa). Rzeczywistą przestrzeń liniową, w której wprowadzono iloczyn skalarny, nazywamy przestrzenią euklidesową. Twierdzenie 1. Niech E będzie przestrzenią euklidesową. Wówczas (a) (u, v 1 + v 2 ) = (u, v 1 ) + (u, v 2 ) dla u, v 1, v 2 E, (b) α(u, v) = (u, αv) dla u, v E, α R, (c) (αu 1 + βu 2, v) = α(u 1, v) + β(u 2, v) dla u 1, u 2, v E, α, β R, (d) (u, ) = dla u E, (e) w E (u, w) = (v, w) u = v dla u, v E. Zadanie 1. Udowodnić powyższe twierdzenie. Zadanie 2. Sprawdzić, czy podane funkcje (, ) są iloczynami skalarnymi w rozważanych przestrzeniach liniowych: a) (x, y) = 3x 1 y 1 2x 1 y 2 2x 2 y 1 + 4x 2 y 2 dla x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) R 2, b) (x, y) = 2x 1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 + x 2 y 2 dla x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) R 2, 1

[ ] [ ] [ ] 2 1 y1 c) (x, y) = x 1 x 2 dla x = (x 1 1 y 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) R 2, 2 ] 2 1 d) (x, y) = [x y 1 x 2 x 3 1 y 2 dla x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ) R 3, 1 1 y 3 ] e) (x, y) = [x 3 1 y 1 x 2 x 3 2 y 2 dla x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ) R 3, 1 1 y 3 f) (p, q) = p(1)q(1) + 2p(2)q(2) dla p, q R 1 [x], g) (p, q) = h) (f, g) = n+1 i=1 1 1 p(x i )q(x i ) dla p, q R n [x], gdzie x 1 < x 2 <... < x n+1, (x + 1)f(2x)g(2x)dx dla f, g C([ 2; 2]), i) (x, y) = 3x 1 y 1 2x 1 y 2 2x 2 y 1 + x 2 y 2 dla x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) R 2, j) (x, y) = 2x 1 y 1 + x 1 y 2 x 2 y 1 + 2x 2 y 2 dla x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) R 2, ] 2 1 3 k) (x, y) = [x y 1 x 2 x 3 1 1 y 2 dla x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ) R 3, 3 1 y 3 ] l) (x, y) = [x 1 2 1 y 1 x 2 x 3 2 4 2 y 2 dla x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ) R 3, 3 8 3 m) (p, q) = p()q() + p(1)q(1) dla p, q R 2 [x], n) (p, q) = p(1)q(1) p(2)q(2) dla p, q R 1 [x], n o) (p, q) = p(x i )q(x i ) dla p, q R n [x], gdzie x 1 < x 2 <... < x n, i=1 b p) (f, g) = f(x)g(x) dx dla f, g C([a; b]), a 1 q) (f, g) = f(x)g( x )dx dla f, g C([ 1; 1]). 1 2 y 3 Definicja 3 (Norma wektora). Niech v będzie dowolnym wektorem przestrzeni euklidesowej E. Normą tego wektora nazywamy liczbę v = (v, v). Twierdzenie 2. Niech E będzie przestrzenią euklidesową. Wówczas (a) v dla v E oraz v = v =, 2

(b) αv = α v dla v E, α R, (c) (u, v) u v dla u, v E, (d) u + v u + v dla u, v E, (e) u v u v dla u, v E, (f) u + v 2 + u v 2 = 2 ( u 2 + v 2) dla u, v E, (g) (u, v) = 1 ( 4 u + v 2 u v 2) dla u, v E. Zadanie 3. Obliczyć normę wektorów w podanej przestrzeni euklidesowej: a) (1, 3, 2, 1), (1, 1, 1, 1), (, 1,, 2) E 4, b) 1, x, 2x 2 3 z iloczynem skalarnym (p, q) = p( 1)q( 1) + p()q() + p(1)q(1), p, q R 2 [x], c) 1, x, x cos x, sin x z iloczynem skalarnym (f, g) = 2π f(x)g(x)dx, f, g C([, 2π]), d) x + 3, x 2 3, x 2 1 z iloczynem skalarnym (p, q) = 1 p(x)q(x)dx, p, q R[x]. Definicja 4 (Odległość wektorów). Niech u, v będą dowolnymi wektorami przestrzeni euklidesowej E. Odległością (metryką) tych wektorów nazywamy liczbę d(u, v) = u v. Twierdzenie 3. Niech E będzie przestrzenią euklidesową. Wówczas (a) d(u, v) dla u, v E, (b) d(u, v) = d(v, u) dla u, v E, (c) d(u, v) = u = v, (d) d(u, v) d(u, w) + d(w, v) dla u, v, w E. Definicja 5 (Miara kąta między wektorami). Niech u, v będą niezerowymi wektorami przestrzeni euklidesowej E. Miarą kąta między wektorami u i v nazywamy liczbę φ [; π] spełniającą równość cos φ = (u, v) u v. Zadanie 4. Obliczyć kąt między wektorami w podanej przestrzeni euklidesowej: a) (1, 3, 2, 1), (1, 1, 1, 1) E 4, b) x 2, 2x + 1 z iloczynem skalarnym (p, q) = p( 1)q( 1) + p(2)q(2), p, q R 1 [x], c) x 2, 2x + 1 z iloczynem skalarnym (p, q) = p()q() + p ()q (), p, q R 1 [x], 3

d) x 2, 2x + 1 z iloczynem skalarnym 1 p(x)q(x)dx, p, q R 1[x], e) x + 1, x 2 + 1 z iloczynem skalarnym (p, q) = p(1)q(1) + p(2)q(2) + p(3)q(3), p, q R 2 [x], f) x + 1, x 2 + 1 z iloczynem skalarnym (p, q) = p()q() + p ()q () + p ()q (), p, q R 2 [x], g) 1, x, x cos x, sin x z iloczynem skalarnym (f, g) = 2π f(x)g(x)dx, f, g C([, 2π]), h) x + 3, x 2 3, x 2 1 z iloczynem skalarnym (p, q) = 1 p(x)q(x)dx, p, q R[x]. Definicja 6 (Ortogonalność wektorów). Mówimy, że wektory u, v przestrzeni euklidesowej E są ortogonalne, jeśli spełniają warunek (u, v) =. Wektor jest ortogonalny do każdego wektora. Twierdzenie 4 (Pitagorasa). Wektory u, v przestrzeni euklidesowej są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy Zadanie 5. Udowodnić powyższe twierdzenie. u 2 + v 2 = u + v 2. Zadanie 6. Znaleźć wektory ortogonalne do wektora w podanej przestrzeni: a) (1,, ) w E 3, b) x z iloczynem skalarnym (p, q) = p( 1)q( 1) + p(2)q(2), p, q R 1 [x], c) 3 z iloczynem skalarnym (p, q) = p()q() + p ()q (), p, q R 1 [x], d) x + 1 z iloczynem skalarnym (p, q) = p(1)q(1) + p(2)q(2) + p(3)q(3), p, q R 2 [x], e) x 2 + 1 z iloczynem skalarnym (p, q) = p()q() + p ()q () + p ()q (), p, q R 2 [x]. Wśród takich wektorów wskazać jeden o normie równej 2. Zadanie 7. Zbadać ortogonalność wektorów w podanej przestrzeni: a) (2, 1, 1), (1,, 3) w E 3, b) (1, 1, 2), ( 2,, 1) w E 3, c) x, 2x 1 z iloczynem skalarnym (p, q) = p( 1)q( 1) + p(2)q(2), p, q R 1 [x], d) x, 3 z iloczynem skalarnym (p, q) = p()q() + p ()q (), p, q R 1 [x], e) x 2, x + 1 z iloczynem skalarnym (p, q) = p(1)q(1) + p(2)q(2) + p(3)q(3), p, q R 2 [x], f) x 2, 1 + 2x z iloczynem skalarnym (p, q) = p()q() + p ()q () + p ()q (), p, q R 2 [x], g) x, sin x z iloczynem skalarnym (f, g) = 2π f(x)g(x)dx, f, g C([, 2π]), h) 3, x 2 z iloczynem skalarnym (p, q) = 1 p(x)q(x)dx, p, q R[x]. 4

Zadanie 8. Dobrać stałą a R tak, aby podane wektory były ortogonalne w podanej przestrzeni: a) (2a, 1, 1), (1,, 3) w E 3, b) (a, 1, 2a, 3), ( 1,,, 1) w E 4, c) ax + 1, 2x + 1 z iloczynem skalarnym (p, q) = p( 1)q( 1) + p(2)q(2), p, q R 1 [x], d) x 1, x + a z iloczynem skalarnym (p, q) = p()q() + p ()q (), p, q R 1 [x], e) ax 2, x z iloczynem skalarnym (p, q) = p(1)q(1) + p(2)q(2) + p(3)q(3), p, q R 2 [x], f) x 2 1, ax z iloczynem skalarnym (p, q) = p()q() + p ()q () + p ()q (), p, q R 2 [x]. Definicja 7 (Układ ortogonalny). Układ wektorów przestrzeni euklidesowej nazywamy ortogonalnym wtedy i tylko wtedy, gdy każde dwa wektory z tego zbioru są ortogonalne. Jeżeli wszystkie wektory układu ortogonalnego są unormowane, to układ taki nazywamy ortonormalnym. Definicja 8 (Baza ortogonalna). Bazę przestrzeni euklidesowej, która jest układem ortogonalnym, nazywamy bazą ortogonalną. Analogicznie dla układu ortonormalnego. Stwierdzenie 1. Niech {e 1, e 2,..., e n } będzie bazą ortogonalną przestrzeni euklidesowej E. Wtedy: 1. współrzędne [α 1, α 2,..., α n ] wektora u E wyrażają się wzorami: α i = (u,e i) e i 2, 1 i n, 2. iloczyn skalarny wektorów u, v E wyraża się wzorem: (u, v) = (u, e 1)(v, e 1 ) e 1 2 + (u, e 2)(v, e 2 ) e 2 2 +... + (u, e n)(v, e n ) e n 2. Zadanie 9. Sprawdzić czy podany układ wektorów v i jest bazą ortogonalną lub ortonormalną odpowiedniej przestrzeni liniowej. Znaleźć współrzędne wskazanego wektora u w tej bazie: a) v 1 = (1, 3), v 2 = (3, 1), u = (1, 2) E 2, b) v 1 = ( 8 5, 2 5 ), v 2 = ( 2 5, 8 5 ), u = ( 2 5, 1 5 ) E2, c) v 1 = (1,, 1), v 2 = (2, 2, 2), v 3 = (3, 12, 3), u = (2, 1, 1) E 3, d) v 1 = (1, 1, 1, 1), v 2 = (3, 1, 1, 1), v 3 = (, 2, 1, 1), v 4 = (,, 1, 1), u = (1, 2,, 1) E 4, e) v 1 = 2, v 2 = x + x 2, v 3 = x + 2x 2, v 4 = 3x 3, u = x + 1 R 3 [x] z iloczynem skalarnym (ax 3 + bx 2 + cx + d, a 1 x 3 + b 1 x 2 + c 1 x + d 1 ) = aa 1 + (b c)(b 1 c 1 ) + (2c b)(2c 1 b 1 ) + dd 1, f) v 1 = 1, v 2 = 2 x, v 3 = 6 3x x 2, u = x 2 + x, R 2 [x] z iloczynem skalarnym (ax 2 + bx + c, a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ) = aa 1 + (3a b)(3a 1 b 1 ) + (2b + c)(2b 1 + c 1 ). 5

Twierdzenie 5 (Ortogonalizacja Grama-Schmidta). Niech {u 1, u 2,..., u n } będzie bazą przestrzeni euklidesowej E. Wtedy układ wektorów {v 1, v 2,..., v n } określonych wzorami v 1 = u 1 v 2 = u 2 (u 2,v 1 ) v 1 v [ 2 1 v 3 = u 3 (u3,v 1 ) v 1 v 2 1 + (u ] 3,v 2 ) v 2 v 2 2.. v n = u n [ (un,v 1 ) jest bazą ortogonalną tej przestrzeni. v 1 v 2 1 + (un,v 2) v 2 2 v 2 +... + (un,v n 1) v n 1 2 v n 1 ] Zadanie 1. Stosując metodę Grama-Schmidta zortogonalizować podane wektory we wskazanej przestrzeni euklidesowej: a) u 1 = (1, 1, 1), u 2 = (1, 1, 1), u 3 = (1, 1, 2) E 3, b) u 1 = (2, 1, ), u 2 = ( 1, 1, 1), u 3 = (1,, 2) E 3, c) u 1 = (1, 1, 2, ), u 2 = ( 1, 1, 1, 1), u 3 = (1,, 1, 2) E 4, d) u 1 = 1, u 2 = x, u 3 = x 2 R 2 [x] z iloczynem skalarnym (p, q) = p( 1)q( 1) + p()q() + p(1)q(1), e) u 1 = (2, 1, ), u 2 = ( 1, 1, 1), u 3 = (1,, 2) E 3 z iloczynem skalarnym ] 2 1 (x, y) = [x y 1 x 2 x 3 1 1 y 2 wektorów x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ), 2 f) u 1 = 1, u 2 = x + 1, u 3 = x, u 4 = sin(x) C([ 1; 1]) z iloczynem skalarnym (f, g) = 1 1 f(x)g(x)dx. y 3 Zadanie 11. Uzupełnić podany układ wektorów do bazy ortogonalnej odpowiedniej przestrzeni euklidesowej: a) (1,, 1), (2, 1, 2) E 3, b) (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1) E 3, c) x + 2 R 2 [x] z iloczynem skalarnym (ax 2 + bx + c, a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ) = aa 1 + bb 1 + cc 1, d) 1 R 2 [x] z iloczynem skalarnym (p, q) = p( 1)q( 1) + p()q() + p(1)q(1). Zadanie 12. Znaleźć bazy ortonormalne przestrzeni euklidesowej E i podać współrzędne wektora u w tej bazie: a) E = {(x, y, z, t) E 4 : 2y z = 4x z + 2t = }, u = (1, 1, 2, 1), b) E = L ((1, 1,, 1), (1, 2, 1, 1)), u = (, 1, 1, ), c) E = {(x, y, z, t) E 4 : x + y = y + z = t}, u = (1,, 1, 1), d) E = {(x, y, z, t) E 4 : x + y + z =, y = t}, u = (1, 2, 1, 2), 6

1 e) E = R 2 [x] z iloczynem skalarnym (p, q) = p(x)q(x)dx, u = x 2, f) E = R 2 [x] z iloczynem skalarnym (p, q) = p()q() + p(1)q(1) + p(2)q(2), u = x 2, g) E = L ( 1, sin(x), sin 2 (x) ) z iloczynem skalarnym (f, g) = π f(x)g(x)dx, u = 1. Twierdzenie 6 (Macierzowa metoda ortogonalizacji). Niech {u 1, u 2,..., u n } będzie układem wektorów liniowo niezależnych w przestrzeni euklidesowej E, a kolumny macierzy A (wymiaru m n) są współrzędnymi tych wektorów w bazie standardowej przestrzeni E. Wówczas stosując elementarne operacje na wierszach (tylko W i + αw j, i > j) macierzy blokowej [A T A A T ] można doprowadzić ją do postaci [G A ], gdzie G jest macierzą górnotrójkątną. Wtedy wiersze otrzymanej macierzy A są współrzędnymi wektorów ortogonalnych w przestrzeni E. A = u 1 u 2... u n [ [ A T A A T G ] A v 1 A v 2 =. v n Zadanie 13. Stosując metodę macierzową zortogonalizować podane wektory i porównać wyniki z metodą Grama-Schmidta (zadanie 1). a) u 1 = (1, 1, 1), u 2 = (1, 1, 1), u 3 = (1, 1, 2) E 3, b) u 1 = (2, 1, ), u 2 = ( 1, 1, 1), u 3 = (1,, 2) E 3, c) u 1 = (1, 1, 2, ), u 2 = ( 1, 1, 1, 1), u 3 = (1,, 1, 2) E 4, Definicja 9 (Ortogonalność wektora do podprzestrzeni). Niech E będzie podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej E. Mówimy, że wektor v E jest ortogonalny do przestrzeni E jeżeli Zapisujemy to symbolicznie v E. u E (v, u) =. Zadanie 14. Sprawdzić, czy podany wektor v jest ortogonalny do wskazanej podprzestrzeni euklidesowej E: a) E = {(a + 2b + c, a + b c, c + b + a, a + 2b + 3c) : a, b, c R}, v = (2, 2, 2, 2) E 4, b) E = {(a b c, a + b, a c, 2a b c) : a, b, c R}, v = ( 2, 1, 1, 1) E 4, c) E = R 1 [x], v = 6x 2 6x+1 w przestrzeni R 2 [x] z iloczynem skalarnym (p, q) = 1 p(x)q(x)dx. 7

Definicja 1 (Rzut ortogonalny wektora na podprzestrzeń). Niech E będzie podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej E. Rzutem ortogonalnym wektora u E na podprzestrzeń E nazywamy wektor u E spełniający warunek u u E. Zadanie 15. Znaleźć rzuty ortogonalne podanego wektora na wskazaną podprzestrzeń E przestrzeni euklidesowej: a) E = {(x, y, z) E 3 : 2x = y = 3z}, u = (1, 2, 3) E 3, b) E = {(x, y, z) E 3 : 2x y + 3z = }, u = (1, 2, 3) E 3, c) E = {(x, y, z, t) E 4 : x + y + z =, y = t}, u = (1,,, 1) E 4, d) E = span((1, 1, 1), (1, 1, )), u = (1,, 1) E 3, e) E = span((1,, 1, ), (1, 1,, )), u = (1, 1, 1, 1) E 4, f) E = span(x + 1, x 1), f = x 2 C([; 1]) z iloczynem skalarnym określonym wzorem (f, g) = 1 f(x)g(x)dx, g) E = span(1, cos(x)), f = x C([; 2π]) z iloczynem skalarnym określonym wzorem (f, g) = 2π f(x)g(x)dx, h) E = span((1,, 1), (1,, )), u = (1, 1, 1) E 3 z iloczynem skalarnym określonym wzorem ((v 1, v 2, v 3 ), (w 1, w 2, w 3 )) = 2v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 v 1 w 3 v 3 w 1. Twierdzenie 7 (o istnieniu i jednoznaczności rzutu ortogonalnego). Niech E będzie skończenie wymiarową podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej E oraz niech {v 1, v 2,..., v k } będzie bazą ortogonalną podprzestrzeni E. Wtedy dla dowolnego wektora u E istnieje jednoznacznie wyznaczony rzut u tego wektora na podprzestrzeń E. Rzut ten jest określony wzorem: u = (u, v 1) v 1 2 v 1 + (u, v 2) v 2 2 v 2 +... + (u, v k) v k 2 v k. Zadanie 16. Znaleźć rzuty ortogonalne podanego wektora na podprzestrzeń E o wskazanej bazie ortogonalnej: a) E = span(( 1, 1, 1), (1, 1, )), u = (1,, 1) E 3, b) E = span((1,, 1, 1), (1, 1,, 1)), u = (1, 1, 1, 1) E 4, c) E = span(x + 1, x 5 9 ), f = x2 C([; 1]) z iloczynem skalarnym określonym wzorem (f, g) = 1 f(x)g(x)dx, d) E = span(1, cos(x)), f = x C([; 2π]) z iloczynem skalarnym określonym wzorem (f, g) = 2π f(x)g(x)dx, e) E = span((1,, 2), (1,, )), u = (1, 1, 1) E 3 z iloczynem skalarnym określonym wzorem ((v 1, v 2, v 3 ), (w 1, w 2, w 3 )) = 2v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 v 1 w 3 v 3 w 1, 8

f) E = span(2 3x, x), p = x 2 1 R[x] z iloczynem skalarnym określonym wzorem (p, q) = 1 p(x)q(x)dx. Bibliografia 1. T. S. Blyth, E. F. Robertson: Basic Linear Algebra, 2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa. Przykłady i zadania, 3. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas: Algebra liniowa. Definicje, twierdzenia, wzory, 4. A. Romanowski: Algebra liniowa, 5. J. Rutkowski: Algebra liniowa w zadaniach, 6. L. Smith: Linear Algebra. 9