Notatki do wykładu Analiza 4

Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego Grzegorz Plebanek Notatki do wykładu Analiza 4 Rozdział I: Funkcje na przestrzeniach metrycznych Wrocław 2004

O skrypcie Skrypt ten, traktowany łącznie z towarzyszącymi mu listami zadań, prezentuje treść wykładu Analiza 4 (semestr zimowy 2004/2005) i jest nieznacznie poprawioną wersją tekstu z poprzedniego roku. Należy pamiętać, że obecna forma notatek jest dość lakoniczna; w szczególności niektóre dowody zaprezentowane poniżej napisane są skrótowo i niewątpliwie będą w trakcie wykładu przedstawione dokładniej. Na wykładzie ponadto będę omawiał wybrane przykłady z list zadań. Na skrypt złożą się następujące cztery rozdziały: I Funkcje na przestrzenie metryczne II Funkcje zmiennej zespolonej III Całka Riemanna i całka Lebesgue a IV Elementy analizy funkcjonalnej Stosowane oznaczenia: to koniec dowodu lub przykładu;? sugeruje, aby czytelnik upewnił się, że dane stwierdzenie jest faktycznie znane, oczywiste etc.! warto zapamiętać, aby uniknąć typowego błędu. Przedstawione zagadnienia są treścią wielu podręczników, patrz na przykład W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona; S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych; R. Engelking, Zarys topologii ogólnej. c Grzegorz Plebanek 2003. Zapraszam wszystkich do korzystania w celach edukacyjnych. Podziękowania dla K.D. za korektę.

Analiza 4, Przestrzenie metryczne 1 1. Wstęp Przestrzeń metryczna to jeden z podstawowych obiektów w matematyce. Pojęcie abstrakcyjnej metryki pozwala ujednolicić wiele rozumowań dotyczących ciągów zbieżnych i funkcji ciągłych oraz uogólnić niektóre klasyczne fakty o funkcjach zmiennej rzeczywistej. Do najważniejszych przestrzeni metrycznych zaliczamy przestrzenie euklidesowe R d, wyposażone w odpowiednią metrykę, mierzącą prawdziwe odległości. Oprócz tych skończenie wymiarowych przestrzeni, będziemy poniżej rozważać znacznie bardziej skomplikowane przestrzenie funkcji ciągłych na danym zbiorze zwartym. 2. Przestrzenie metryczne W tym rozdziale wprowadzimy pojęcie przestrzeni metrycznej i przedstawimy najbardziej typowe przykłady takich przestrzeni. Definicja 2.1 Parę (X, ρ) nazywamy przestrzenią metryczną jeśli X jest ustaloną przestrzenią, a ρ jest funkcją ρ : X X R +, spełniającą dla dowolnych x, y, z X warunki (i) ρ(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy x = y; (ii) ρ(x, y) = ρ(y, x); (iii) ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(y, z). W tej definicji (ii) bywa nazywany warunkiem symetrii, a (iii) warunkiem trójkąta. Metryka przypisuje więc każdej parze punktów przestrzeni nieujemną liczbę rzeczywistą, która określa odległość tych punktów. Aby określić przestrzeń metryczną trzeba wyróżnić zarówno zbiór X, jak i funkcję ρ. Na danym zbiorze X można rozważać różne metryki ρ 1, ρ 2 i wtedy (X, ρ 1 ), (X, ρ 2 ) są różnymi przestrzeniami metrycznymi. Często w praktyce mówimy niech X będzie przestrzenią metryczną, co oznacza że na zbiorze X ustalona jest jakaś metryka, która jest nam znana, bądź której nie ma potrzeby w danej chwili nazywać. Zauważmy, że warunki (i) (iii) zapisują najbardziej charakterystyczne cechy odległości punktów na prostej rzeczywistej podstawową przestrzenią metryczną jest (R, ρ), gdzie ρ(x, y) = x y jest po prostu prawdziwą długością odcinka o końcach x, y. Fakt, że istotnie ρ jest metryką wynika łatwo z własności modułu?. Przykład 2.2. Rozważmy X = R d, dla ustalonej liczby naturalnej d. Każdy x R d można przedstawić w postaci x = (x 1, x 2,..., x d ), gdzie x k R są odpowiednimi współrzędnymi wektora x. Niech e(x, y) = d (x k y k ) 2. k=1 Tak określona funkcja e nazywa się metryką euklidesową, a para (R d, e) jest d wymiarową przestrzenią euklidesową. Fakt, że e spełnia aksjomaty metryki zostanie sprawdzony na

Analiza 4, Przestrzenie metryczne 2 ćwiczeniach. Zauważmy, że dla d = 2 i d = 3 powyższy wzór określa prawdziwe odległości na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej. Przykład 2.3. Na zbiorze R d można rozważyć metryki określone w bardzo różny sposób. Niech d l(x, y) = x k y k, m(x, y) = max x k y k. k d k=1 Wzory te pokrywają się dla d = 1, ale oczywiście dają różne wartości dla każdego d 2. Dość proste rachunki? pozwalają sprawdzić, że l i m są także metrykami w przestrzeni R d. Nie należy sądzić, że na danym zbiorze jest jedna, jedynie słuszna metryka. Można łatwo wymyśleć sytuacje, gdy na płaszczyźnie wygodniej mierzyć odległość nie na sposób euklidesowy, ale za pomocą zupełnie innej reguły. Jak zobaczymy poniżej, można sensownie określać odległości w znacznie bardziej skomplikowanych przestrzeniach. Dla ustalonego odcinka [a, b] R przez C[a, b] będziemy oznaczać zbiór wszystkich funkcji ciągłych f : [a, b] R. Przykład 2.4. Dla f, g C[a, b] zdefiniujmy s(f, g) = sup{ f(x) g(x) : x [a, b]}. Sprawdźmy, że s jest metryką. Jeśli s(f, g) = 0 to oczywiście f(x) g(x) = 0 dla każdego x [a, b], co oznacza, że f i g są identyczne na odcinku [a, b]. Symetria wynika z faktu, że f(x) g(x) = g(x) f(x). Nierówność trójkąta: dla dowolnego x i funkcji f, g, h mamy f(x) g(x) f(x) h(x) + h(x) g(x) s(f, h) + s(h, g), co oznacza, że liczba po prawej stronie ogranicza wszystkie wartości f(x) g(x) z góry. Tym samym, na mocy definicji supremum, s(f, g) s(f, h) + s(h, g). Czy to wszystko, co należało sprawdzić? Musimy się jeszcze upewnić, że powyższy wzór dobrze określa funkcję o wartościach rzeczywistych: zauważmy, że metryka nie może przyjmować wartości. Fakt, że s(f, g) R jest wnioskiem z dobrze nam znanych? własności funkcji ciągłych na odcinku domkniętym. Tak określona metryka nazywa się metryką supremum. Dla ilustracji rozważmy funkcje f, g C[0, 1], f(x) = x, g(x) = x 2. Wtedy s(f, g) = sup (x x 2 ) = 1 x [0,1] 4, bo dla pomocniczej funkcji h(x) = x x 2 mamy h (1/2) = 0, więc h przyjmuje największą wartość na przedziale [0, 1] dla x = 1/2. Należy zauważyć, że w powyższym przykładzie nastąpiła drastyczna zmiana oznaczeń: jesteśmy przyzwyczajeni nazywać funkcje f, g, h,..., a argumenty funkcji x, y,.... Przykład 2.5. Dla f, g C[a, b] zdefiniujmy c(f, g) = b a f(x) g(x) dx.

Analiza 4, Przestrzenie metryczne 3 Wtedy c jest inną metryką na C[0, 1]. Istotnie, łatwo sprawdzić symetrię i warunek trójkąta, opierając się na podstawowych własnościach całki. Ponadto całka wystepująca w definicji jest zawsze skończona?. Sprawdźmy jescze aksjomat (i) z definicji metryki. Niech f, g C[0, 1] i f g; wtedy, r = f(x 0 ) g(x 0 ) > 0 dla pewnego x 0 (0, 1)?. Z ciągłości funkcji f g wynika?, że istnieje δ > 0, taka że jeśli x [0, 1], x x 0 < δ to f(x) g(x) r/2. Stąd c(f, g) = 1 0 f(x) g(x) dx x0 +δ x 0 δ Dla funkcji f, g C[0, 1], f(x) = x, g(x) = x 2 mamy [ 1 x c(f, g) = (x x 2 2 ) dx = 0 2 x3 3 Definicja 2.6 W przestrzeni metrycznej (X, ρ) zbiór nazywamy kulą o środku x i promieniu r. f(x) g(x) dx 2δ r 2 > 0. ] 1 B(x, r) = {y X : ρ(x, y) < r} 0 = 1/6. Kula jest tu terminem umownym; na prostej rzeczywistej kula B(x, r) = (x r, x + r) jest odcinkiem, a na płaszczyźnie euklidesowej B(x, r) jest kołem o podanym środku i promieniu. Kula oczywiście zależy i od przestrzeni, i od metryki. Zauważmy, że f B(g, 1/5) dla funkcji f, g jak w ostatnim przykładzie, gdzie rozważaliśmy metrykę całkową, natomiast f / B(g, 1/5), gdy rozważamy kule w metryce supremum. Kule w dowolnej przestrzeni mają pewne geometryczne własności prawdziwych kul; na przykład jeśli B(x 1, r 1 ) B(x 2, r 2 ) to wykorzystując y, będący elementem części wspólnej, możemy oszacować ρ(x 1, x 2 ) < ρ(x 1, y) + ρ(y, x 2 ) < r 1 + r 2. Jednakże wykonanie rysunku typowej kuli w R 2 dla metryk e, l, m zdefiniowanych powyżej pozwoli nam zobaczyć zupełnie różne kształty. Definicja 2.7 Jeśli (X, ρ) jest przestrzenią metryczną i Y X to (Y, ρ) nazywamy podprzestrzenią przestrzeni (X, ρ). Podprzestrzeń ma więc metrykę określoną w ten sam sposób, natomiast może zawierać mniej punktów (formalnie rzecz biorąc, powinniśmy pisać (Y, ρ ), gdzie ρ jest obcięciem funkcji ρ : X X R do zbioru Y Y, ale oczywiście tego nie robimy). Operacja podprzestrzeni pozwala zdefiniować wiele nowych przestrzeni metrycznych, na przykład dowolny zbiór A R można rozpatrywać ze zwykłą metryką odziedziczoną z R.

Analiza 4, Przestrzenie metryczne 4 3. Zbiory otwarte i domknięte; ciągi zbieżne Niech (X, ρ) będzie ustaloną przestrzenią metryczną. Definicja 3.1 Mówimy, że zbiór V X jest otwarty jeśli dla każdego x V istnieje δ > 0, taka że B(x, δ) V. Mówimy, że zbiór F X jest domknięty jeśli zbiór V = X \ F jest otwarty; równoważnie: dla każdego x / F istnieje δ > 0, taka że B(x, δ) F =. Wykonajmy w myśli ćwiczenie logiczne, aby upewnić się, że zbiory, X są otwarte oraz są domknięte. Jak widać te dwie własności nie wykluczają się wzajemnie! Warto te definicje wypróbować na prostej rzeczywistej, aby przkonać się, że zbiór (0, 1) jest otwarty, zbiór [0, 1] jest domknięty, natomiast zbiór [0, 1) nie ma żadnej z tych własności.! Na ogół w przestrzeni istnieją zbiory które ani nie są otwarte, ani nie są domknięte. Twierdzenie 3.2 W dowolnej przestrzeni metrycznej (i) każda kula B(x, r) jest otwarta; (ii) każdy zbiór postaci {y : ρ(y, x) r} jest domknięty; (iii) jeśli zbiory U, V są otwarte to zbiory U V, U V też są otwarte; (iv) jeśli zbiory F, H są domknięte to zbiory F H, F H też są domknięte. Dowód. (i) Niech y B(x, r); wtedy ρ(y, x) < r, czyli δ = r ρ(y, x) > 0. Wystarczy teraz sprawdzić, że B(y, δ) B(x, r). Istotnie, dla dowolnego z B(y, δ) mamy ρ(z, y) < δ, co daje ρ(z, x) ρ(z, y) + ρ(y, x) < δ + ρ(y, x) = r, czyli z B(x, r). (ii) Można sprawdzić podobnie jak (i). (iii) Jeśli x U V to x U lub x V. W pierwszym przypadku B(x, δ) U U V dla pewnego δ > 0 (bo U jest otwarty); drugim przypadku, analogicznie, B(x, δ) V U V dla pewnego δ > 0. Niech x U V ; wtedy B(x, δ 1 ) U, B(x, δ 2 ) V dla pewnych δ 1, δ 2 > 0. Jeśli δ = min(δ 1, δ 2 ) to B(x, δ) B(x, δ 1 ) B(x, δ 2 ) U V, co dowodzi, że U V jest zbiorem otwartym. (iv) Wynika z (iii) i praw de Morgana. Definicja 3.3 Jesli (x n ) n jest ciągiem w przestrzeni X, to mówimy że x n zbiega do x X (lub że x jest granicą tego ciągu), jeśli dla każdego ε > 0 istnieje k, że dla wszystkich n k zachodzi ρ(x n, x) < ε.

Analiza 4, Przestrzenie metryczne 5 Warunek z powyższej definicji oznacza, że każda kula postaci B(x, ε) zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu. Zauważmy, że x n zbiega do x wtedy i tylko wtedy gdy lim ρ(x n, x) = 0. n Dla zaznaczenia zbieżności ciągu (x n ) n do x stosujemy zwykłe oznaczenia lim x n = x, lub x n x. n Jak widać zbieżność ciągów (x n ) n w abstrakcyjnej przestrzeni metrycznej jest prostym uogólnieniem zbieżności ciągów liczbowych. Warto w tym miejscu przypomnieć sobie, jak pokazać w sposób ścisły z samej definicji, że lim 1/n = 0. Poniższe twierdzenie wyjaśnia, że w przestrzeniach euklidesowych sytuacja jest niewiele bardziej skomplikowana. Przyjmijmy tutaj, że jeśli x n R d to x n (k) oznacza k tą współrzędną wektora x n, tzn. x n = (x n (1), x n (2),..., x n (d)). Twierdzenie 3.4 W przestrzeni euklidesowej R d ciąg x n zbiega do x wtedy i tylko wtedy gdy lim n x n (k) = x(k) dla każdego k d. Dowód. Niech x będzie granicą ciągu (x n ) n w R d. Wtedy dla każdego k d d x n (k) x(k) (x n (j) x(j)) 2 = e(x n, x) 0, j=1 czyli lim x n (k) = x(k). Na odwrót, gdy wiemy, że lim x n (k) = x(k) dla każdego k d, to e(x n, x) dąży do zera, na podstawie twierdzeń o ciągach liczbowych zbieżnych. Nastepne twierdzenie wyjaśnia, że zbieżność w metryce supremum zdefiniowanej w przestrzeni C[a, b] jest po prostu znaną? zbieżnością jednostajną ciągów funkcyjnych. Twierdzenie 3.5 Ciąg (f n ) n w przestrzeni C[a, b] z metryką supremum jest zbieżny do funkcji f C[a, b] wtedy i tylko wtedy gdy funkcje f n zbiegają jednostajnie do f. W szczególności, jesli ciąg (f n ) n jest zbieżny w metryce supremum do f to lim f n (x) = f(x) dla każdego x [a, b]. Dowód. Identyczność obu definicji zbieżności, jednostajnej i tej w metryce supremum, wynika z faktu, że warunki f n (x) f(x) ε dla każdego x [a, b]; s(f n, f) ε; są równoważne. Drugie stwierdzenie jest oczywiste: zbieżność jednostajna pociąga zbieżność w każdym punkcie z osobna.

Analiza 4, Przestrzenie metryczne 6! Wzór lim f n = f odnosi się do zbieżności w metryce określonej na przestrzeni C[a, b]; lim f n (x) = f(x) oznacza, że w danym punkcie x ciąg liczbowy f n (x) zbiega do liczby f(x). Przykład 3.6. Rozważmy przykładowe ciągi w przestrzeni C[0, 1] z metryką supremum. Niech f n (x) = x n. Wtedy ciąg f n nie jest zbieżny: ewentualna granica f musiałaby spełniać warunki f(x) = lim x n = 0 dla x < 1 i f(1) = 1, ale taka funkcja nie jest ciągła! Niech f n (x) = x n (1 x); sprawdzimy, że f n 0 w metryce supremum (tutaj 0 oznacza funkcję stale równą zeru). Otóż f n(x) = nx n 1 (n+1)x n, więc f n(n/(n+1)) = 0. Łatwo dojść do wniosku, że f n osiąga największą wartośc dla x n = n/(n + 1). Stąd s(f n, 0) = f n (x n ) = ( ) n n 1 n + 1 n + 1 1 n + 1 0. Przykład 3.7. Powróćmy do funkcji f n (x) = x n, ale rozważmy teraz metrykę całkową z przykładu na stronie 2. Teraz f n 0, gdyż c(f n, 0) = 1 0 x n dx = 1 n + 1 0. Zauważmy, że zbieżność w metryce c nie pociąga zbieżności punktowej. Za pomocą ciągów zbieżnych można wyrazić domkniętość zbioru, co wyjaśnia poniższe twierdzenie. Twierdzenie 3.8 Zbiór F jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego zbieżnego ciągu (x n ) n wyrazów zbioru F jego granica należy do F. Dowód. Załóżmy, że zbiór F jest domknięty w sensie Definicji 3.1. Jeśli x n F dla każdego n, natomiast x = lim x n / F to istnieje δ > 0, taka że B(x, δ) F =. Ale wtedy B(x, δ) nie zawiera żadnego wyrazu ciągu x n, co jest sprzeczne z definicją granicy. Aby sprawdzić dostateczność warunku ciągowego rozpatrzmy x / F. Gdyby B(x, δ) F dla każdego δ > 0 to rozpatrując δ = 1/n, dla dowolnego naturalnego n, możemy wybrać x n B(x, 1/n) F. W ten sposób określiliśmy ciąg (x n ) n wyrazów F, gdzie ρ(x, x n ) < 1/n, co oznacza lim x n = x; sprzeczność. Na dowolnym podzbiorze A przestrzeni metrycznej można przeprowadzić operację domknięcia A jak następuje. Powiemy, że x A jeśli B(x, δ) A dla każdego δ > 0. Rozumując jak w dowodzie Twierdzenia 3.8 nietrudno wykazać następujący fakt. Twierdzenie 3.9 x A wtedy i tylko wtedy gdy x = lim a n dla pewnego ciągu (a n ) n złożonego z wyrazów zbioru A. Zauważmy też, że A jest zbiorem domkniętym: jeśli x / A to B(x, δ) A = dla pewnego δ > 0. Wtedy B(x, δ) A =.

Analiza 4, Przestrzenie metryczne 7 Definicja 3.10 Mówimy, że zbiór A w przestrzeni metrycznej X jest gęsty jeśli A B(x, δ) dla każdego x X i δ > 0. Własność gęstych podzbiorów przestrzeni można teraz wyrazić na różne sposoby. Twierdzenie 3.11 Dla zbioru A w przestrzeni X nastepujące warunki są równoważne (i) A jest gęsty w X; (ii) dla każdego x X istnieje ciąg (a n ) n wyrazów A, taki że lim a n = x; (iii) A = X. Przypomnijmy, że na mocy dobrze znanej własności zbioru liczb wymiernych Q, Q (a, b) dla każdego niepustego przedziału (a, b). Wynika stąd, że Q jest gęstym podzbiorem prostej rzeczywistej (przypomnijmy, że na prostej B(x, δ) = (x δ, x + δ)). Twierdzenie 3.12 Zbiór Q d jest gęstym podzbiorem przestrzeni euklidesowej R d. Dowód. Jeśli x = (x(1), x(2),..., x(d)) R d to dla każdego k d można znaleźć ciąg liczb wymiernych x n (k) zbieżny do x(k) (ponieważ zbiór Q R jest gęsty). Wtedy przyjmując x n = (x n (1), x n (2),..., x n (d)), mamy lim x n = x w przestrzeni R d, na mocy Twierdzenia 3.4. Zaletą takich zbiorów gęstych, jak Q w R, jest to, że z jednej strony są one dostatecznie bogate, aby ich elementami można przybliżać wszystkie inne elementy przestrzeni, a z drugiej strony składają się one z niedużej ilości elementów łatwiej opisywalnych. Przy okazji warto przypomnieć, że zbiór Q jest przeliczalny. Z definicji zbiór A jest przeliczalny, jesli istnieje ciąg zawierający wszystkie elementy tego zbioru. Dla zbioru Q może to być ciąg 0, 1, 1, 2 1, 2 1, 1 2, 1 2, 3 1,... który faktycznie wylicza wszystkie ułamki (każdy nieskończenie wiele razy!). Definicja 3.13 Przestrzeń metryczną nazywamy ośrodkową jeśli zawiera ona podzbiór przeliczalny gęsty. Wniosek 3.14 Przestrzenie euklidesowe R d są ośrodkowe. Dowód. Wynika to z Twierdzenia 3.12 i faktu, że zbiór Q d jest przeliczalny dla każdej liczby naturalnej d. W przyszłości znajdziemy ważne podzbiory gęste przestrzeni C[a, b] i pokażemy, że ta przestrzeń, w metryce supremum, też jest ośrodkowa.

Analiza 4, Przestrzenie metryczne 8 4. Zupełność Niektóre ciągi nie są zbieżne po prostu dlatego, że w danej przestrzeni brakuje odpowiedniego kandydata na granicę. Przykład 4.1. Rozważmy przestrzeń X = (0, 1) z metryką naturalną. Ciąg x n = 1/n nie jest zbieżny w tej przestrzeni! Mówiąc nieco niesciśle, dlatego że 0 / X. Dokładniej, dla dowolnego x X przyjmując r = x/2, widać że kula B(x, r) zawiera tylko skończenie wyrazów ciągu. Przy okazji zauważmy, że (0, 1) jest domkniętym podzbiorem X (bo to cała przestrzeń). Nie zmienia to faktu, że (0, 1) nie jest domkniętym podzbiorem R.! Domkniętość danego zbioru zależy od tego, w jakiej przestrzeni ten zbiór rozpatrujemy. Przy badaniu ciągów, którym brakuje kandydata na granicę posługujemy się pojęciem warunku Cauchy ego, który jest zdefiniowany analogicznie jak dla ciągów liczbowych. Definicja 4.2 Ciąg (x n ) n w przestrzeni X spełnia warunek Cauchy ego (lub jest ciągiem Cauchy ego) jesli dla każdego ε > 0 istnieje k, takie że dla wszystkich n k mamy ρ(x k, x n ) < ε. Twierdzenie 4.3 Każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy ego. Dowód. Jeśli lim x n = x to dla ε > 0 istnieje k, że ρ(x, x n ) < ε/2 dla każdego n k. Wtedy ρ(x k, x n ) ρ(x k, x) + ρ(x, x n ) < ε 2 + ε 2 = ε, co kończy dowód. Definicja 4.4 Mówimy, że przestrzeń metryczna X jest zupełna jeśli każdy ciąg Cauchy ego w X ma granice w X. Przykład podany powyżej wyjaśnia, że przestrzeń X = (0, 1) nie jest zupełna (bo ciąg x n = 1/n oczywiście? spełnia warunek Cauchy ego). Przypomnijmy, że Q nie jest przestrzenią zupełną (bo istnieją ciągi liczb wymiernych zbieżne do liczby niewymiernej), natomiast przestrzeń R jest zupełna w zwykłej metryce. Pytanie dla dociekliwych: Czy to twierdzenie, czy aksjomat? Twierdzenie 4.5 Każda przestrzeń euklidesowa R d jest zupełna. Dowód. Jeśli x n R d jest ciągiem Cauchy ego to dla każdego j d ciąg liczb x n (j) spełnia warunek Cauchy ego, bo x n (j) x k (j) e(x n, x k ). Ponieważ R jest przestrzenią zupełną, ciąg x n (j) ma granicę x n. W ten sposób zdefiniowaliśmy wektor x = (x 1, x 2,..., x d ), taki że lim x n = x, porównaj Twierdzenie 3.4.

Analiza 4, Przestrzenie metryczne 9 Twierdzenie 4.6 Przestrzeń C[a, b] jest zupełna w metryce supremum. Dowód. Niech f n będzie ciągiem Cauchy ego w C[a, b]. Wtedy dla każdego x [a, b] mamy f n (x) f k (x) s(f n, f k ), co pokazuje, że ciąg liczbowy f n (x) spełnia warunek Cauchy ego. Oznaczmy jego granicę przez f(x). W ten sposób określiliśmy funkcję f : [a, b] R. Pozostaje wykazać, że f C[a, b] i lim f n = f w metryce supremum. Niech ε > 0; ponieważ f n spełnia warunek Cauchy ego, więc dla odpowiedniego k, n k i wszystkich x f n (x) f k (x) s(f n, f k ) < ε. Stąd f(x) f k (x) = lim n f n (x) f k (x) ε, i s(f, f k ) = sup f(x) f k (x) ε. x Tym samym s(f, f k ) 0; to z kolei implikuje ciągłość funkcji f. Istotnie f(x + h) f(x) f(x + h) f k (x + h) + f k (x + h) f k (x) + f k (x) f(x) s(f, f k ) + ε + s(f, f k ) 3ε, gdzie k jest odpowiednio duże, tak aby s(f, f k ) < ε; z kolei h jest natomiast dobrane tak, aby f k (x + h) f k (x) < ε (tutaj korzystamy z ciągłości funkcji f k ). Przykład 4.7. Dla porównania sprawdzimy, że metryka całkowa na C[0, 1] nie jest zupełna. Niech f n C[0, 1] będzie funkcją, określoną przez warunki f n (x) = 0 dla x [0, 1/2 1/n]; f n (x) = 1 dla x [1/2, 1]; f n jest liniowa na przedziale [1/2 1/n, 1/2]. Łatwo sprawdzić warunek Cauchy ego w metryce c: dla n k f n (x) f k (x) dx = 1 2k 1 2n. Gdyby f n f to f(x) = 1 dla x 1/2 i f(x) = 0 dla x < 1/2, a taka funkcja nie jest ciągła. Twierdzenie 4.8 Jeśli przestrzeń (X, ρ) jest zupełna, a F X jest zbiorem domkniętym to przestrzeń (F, ρ) też jest zupełna.

Analiza 4, Przestrzenie metryczne 10 Dowód. Jeżeli (x n ) n jest ciągiem Cauchy ego w F to x n ma granicę x w przestrzeni X (bo ta jest zupełna). Mamy x = lim x n ; ponieważ zbiór F jest domknięty, na podstawie Twierdzenia 3.8 x F i to kończy dowód. Jak zobaczymy później, następujące twierdzenie Baire a ma wiele zastosowań. Twierdzenie 4.9 (Baire a) Niech (X, ρ) będzie niepustą przestrzenią metryczną zupełną. Jeśli X = F n, gdzie F n są zbiorami domkniętymi to pewien F n zawiera niepustą kulę. n=1 Dowód. Załóżmy, że żaden F n nie zawiera kuli; wtedy w szczególności F 1 X; ustalmy dowolny x 1 X \F 1. Ponieważ F 1 jest zbiorem domkniętym istnieje δ 1 1, że B(x 1, δ 1 ) F 1 =. Kula B(x 1, δ 1 /2) nie zawiera sie w F 2 i dlatego istnieje x 2 B(x 1, δ 1 /2) \ F 2 i δ 2 1/2 takie że B(x 2, δ 2 ) B(x 1, δ 1 ) \ F 2. Kontynuując, określamy w ten sposób ciąg x n w przestrzeni X i ciąg δ n 1/n. Dla n k mamy x n B(x k, ρ k ) czyli ρ(x n, x k ) δ k 1/k co oznacza, że ciąg ten spełnia warunek Cauchy ego i dlatego ma granicę; niech x = lim x n. Dla n k mamy ρ(x n, x k ) < δ k /2 a stąd ρ(x, x k ) δ k /2 < δ k. Tym samym x B(x k, δ k ) i x / F k. Okazuje się więc, że co jest sprzeczne z założeniem. x / F k = X, k=1 Wniosek 4.10 (1) Zbiór R nie jest przeliczalny. (2) Płaszczyzna R 2 nie da się zapisać jako suma przeliczalnie wielu prostych. Dowód. Gdyby ciąg x 1, x 2,... zawierał wszystkie liczby rzeczywiste to moglibyśmy napisać R = {x n }. n=1 Ale twierdzenie Baire a orzeka, że jest to niemożliwe, gdyż zbiory {x n } są domknięte i nie zawierają kul. Dowód (2) jest analogiczny, wystarczy zauważyć, że żadna prosta na płaszczyźnie nie zawiera kuli. Zauważmy, że rozumując jak w (1) możemy stwierdzić, że żaden odcinek [a, b], gdzie a < b nie jest zbiorem przeliczalnym.

Analiza 4, Przestrzenie metryczne 11 5. Zwartość Przypomnijmy, że jeśli (x n ) n jest ciągiem w odcinku [a, b] to istnieje jego podciąg zbieżny do pewnej liczby z tego odcinka. Poniższa definicja podaje uogólnienie tej własności odcinków na prostej rzeczywistej. Definicja 5.1 Mówimy, że przestrzeń metryczna X jest zwarta, jeśli dla każdego ciągu (x n ) n w tej przestrzeni istnieje podciąg (x nk ) k i x X, takie że x = lim k x nk. Ogólniej, podzbiór F przestrzeni metrycznej X jest zwarty, jeśli F jest przestrzenią zwartą względem metryki odziedziczonej z X. Tak więc każdy odcinek [a, b] jest zwartym podzbiorem prostej. Zauważmy, że odcinek (0, 1) nie jest zwarty bo ciąg 1/n nie ma granicy w (0, 1). Także R nie jest przestrzenią zwartą, gdyż ciąg liczb naturalnych nie zawiera podciągu zbieżnego. Twierdzenie 5.2 (1) Podzbiór domknięty przestrzeni zwartej jest zwarty. (2) Każda przestrzeń zwarta (X, ρ) jest zupełna. Dowód. Aby sprawdzić (1) wystarczy zastosować definicję zwartości i domkniętości. Niech (x n ) n będzie ciągiem Cauchy ego w X. Ze zwartości dla pewnego podciągu i x X mamy x nk x. Wystarczy teraz sprawdzić, że x n x. Wynika to natychmiast z nierówności ρ(x, x n ) ρ(x, x nk ) + ρ(x nk, x n ). Twierdzenie 5.3 Każdy zbiór postaci A = [a, b] d jest zwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej R d. Dowód. Dla prostoty przyjmijmy, że d = 2. Niech (x n ) n będzie ciągiem w [a, b] 2, gdzie x n = (x n (1), x n (2)). Ciąg liczb x n (1) zawiera podciąg zbiezny x nk (1) do pewnego x(1) [a, b]. Z kolei ciąg x nk (2) zawiera podciag x nkj (2) zbięny do pewnego x(2). Przyjmując x = (x(1), x(2)), mamy lim j x nkj = x na mocy Twierdzenia 3.4. Teraz możemy scharakteryzować zwarte podzbiory przestrzeni euklidesowych. Przypomnijmy, że zbiór A R d jest ograniczony, jeśli A zawiera się w pewnej kuli lub, co na jedno wychodzi, A [ r, r] d dla pewnego r > 0. Twierdzenie 5.4 Zbiór A R d jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest domknięty i ograniczony. Dowód. Niech A będzie zwarty. Wtedy A jest zupełny i dlatego musi być domkniętym podzbiorem R d. Gdyby A nie był ograniczony to moglibyśmy zdefiniować ciąg x n A o własności e(x n, x k ) 1 dla n k. Ale taki ciąg nie zawierałby podciągu zbieżnego. Załóżmy, że A jest domknięty i ograniczony. Wtedy A jest domkniętym podzbiorem przestrzeni X = [ r, r] d dla pewnego r. Na mocy Twierdzenia 5.2 A jest zwarty.

Analiza 4, Przestrzenie metryczne 12 Przykład 5.5. Rozpatrzmy zbiór A = {f C[0, 1] : f(x) 1 dla każdego x}. Wtedy A jest domkniętym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni C[0, 1], ale A nie jest zwarty: można znaleźć ciąg f n A, taki że s(f n, f k ) = 1 dla n k.! W przestrzeniach innych niż euklidesowe zbiór domknięty i ograniczony nie musi być zwarty. Istnieje inny sposób scharakteryzowania zwartości, w którym unika się mówienia o ciągach zbieżnych, natomiast przywołuje się własności małych kul w przestrzeni. Twierdzenie 5.6 Przestrzeń metryczna (X, ρ) jest zwarta wtedy i tylko wtedy gdy jest zupełna oraz spełnia następujący warunek całkowitej ograniczoności: dla dowolnego δ > 0 istnieje skończenie wiele punktów x 1, x 2,..., x k X, takich że k X = B(x j, δ). j=1 Dowód. (Szkic.) Wiemy już, że zwartość implikuje zupełność. Gdyby X nie była całkowicie ograniczona to dla pewnego δ > 0 moglibyśmy skonstruować ciąg x n X o własności ρ(x n, x k ) δ dla n k. Ale taki ciąg nie zawiera podciągu zbieżnego. Pominiemy tutaj dowód, że zupełność i całkowita ograniczoność implikuje zwartość. 6. Funkcje ciągłe Będziemy teraz rozpatrywać odwzorowania działające pomiędzy przestrzeniami metrycznymi, a w szczególności funkcje postaci f : X R. Definicja 6.1 Niech (X, ρ), (Y, d) będa przestrzeniami metrycznymi a f : X Y pewną funkcją. Mówimy, że f jest ciągła w punkcie x 0 X jeśli dla każdego ciągu (x n ) w X, z faktu że lim x n = x 0 wynika że lim f(x n ) = f(x 0 ). Funkcja f jest ciągła jeżeli jest ciągła w każdym punkcie x 0 X. Warto zauważyć że w definicji ciągłości zbieżność ciągu x n rozpatruje się w metryce ρ, a zbieżność ciągu wartości f(x n ) w metryce d. Jak zwykle taką definicję (Heinego) można wyrazić też na sposób Cauchy ego: Twierdzenie 6.2 Funkcja f : X Y jest ciągła w punkcie x 0 X wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0, że jeśli ρ(x, x 0 ) < δ to d(f(x), f(x 0 )) < ε dla wszystkich x. Dowód. Warunek ε δ jest dostateczny: jeżeli x n x 0 to ρ(x 0, x n ) < δ dla prawie wszystkich n; wtedy d(f(x 0 ), f(x n )) < ε dla prawie wszystkich n co pokazuje, że f(x n ) f(x 0 ).

Analiza 4, Przestrzenie metryczne 13 Aby sprawdzić, że warunek ε δ jest konieczny rozumujemy nie wprost. Przypuśćmy, że istnieje ε > 0, że dla każdego δ > 0 istnieje x B(x 0, δ), taki że d(f(x), f(x 0 )) ε. Podstawiając δ = 1, 1/2,... możemy więc zdefiniować ciąg x n o własnościach ρ(x n, x 0 ) < 1/n, d(f(x n ), f(x 0 )) ε. Oznacza to, że x n x 0, ale f(x n ) nie zbiega do f(x 0 ), sprzeczność. Powyższy dowód nie różni się istotnie od przypadku funkcji R R, należy tylko pamiętać, jaka metryka obowiązuje w danej przestrzeni. Zauważmy, że ciągłość funkcji f : X R opisuje warunek ( x X) ( ε > 0) ( δ > 0)( x X) [ρ(x, x ) < δ f(x) f(x ) < ε]. Pozornie podobny warunek ( ε > 0) ( δ > 0) ( x X) ( x X) [ρ(x, x ) < δ f(x) f(x ) < ε] definiuje jednostajną ciągłość. Różnica w pozycji kwantyfikatora ( x X) jest bardzo istotna, co najlepiej wyjaśnić na przykładzie. Przykład 6.3. Funkcja f : R R, f(x) = 3x + 1 jest jednostajnie ciągła, bo jeśli x x < ε/3 to f(x) f(x ) < ε (niezależnie od tego, gdzie punkty x, x się znajdują). Funkcja g(x) = x 2 nie jest jednostajnie ciągła, bo dla x = n, x = n + 1/n, x x = 1/n, ale g(x ) g(x) = 2 + 1/n 2 2. Dowód następujących faktów jest w zasadzie oczywisty. Twierdzenie 6.4 (1) Złożenie funkcji ciągłych jest ciągłe. (2) Jeśli funkcje f, g : X R są ciągłe to funkcje f + g, fg też są ciągłe. (3) Jeśli funkcja f : X Y jest ciągła to jest ciągła na każdej podprzestrzeni A X. Obecnie rozważmy funkcje postaci f : X R d. Taką funkcję można przedstawić za pomocą jej składowych f = (f 1, f 2,..., f d ), gdzie f j : X R. Zapis ten oznacza po prostu, że f(x) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f d (x)) dla każdego x X. Twierdzenie 6.5 (1) Dla j d rzut π j : R d R, π j (x) = x j jest funkcją ciągłą (2) Funkcja f : X R d jest ciągła wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jej składowe są funkcjami ciągłymi. Dowód. (1) wynika natychmiast z Twierdzenia 3.4. (2) Jeśli f jest ciągła to f j = π j f jest ciągła jako złożenie funkcji ciągłych, patrz Twierdzenie 6.4(1). Załózmy, że wszystkie składowe są ciągłe. Jeśli x n x to f j (x n ) f j (x) dla j d; na podstawie Twierdzenia 3.4 oznacza to, że f(x n ) f(x). Przykład 6.6. Zauważmy że powyższe twierdzenia uzasadniają natychmiast ciągłość wielu typowych funkcji. Niech na przykład f : R 3 R 2 będzie dana wzorem f(x, y, z) = (x cos y, y 2 z).

Analiza 4, Przestrzenie metryczne 14 Wtedy f = (f 1, f 2 ), gdzie f 1 (x, y, z) = x cos y, f 2 (x, y, z) = y 2 z. Składowe te są ciągłe na mocy Twierdzenia 6.4, a więc i funkcja f jest ciągła. Jak się za chwilę okaże, ciągłość funkcji można wyrazić w zupełnie inny sposób. Przypomnijmy, że jeśli f : X Y to dla B Y zbiór f 1 [B] = {x X : f(x) B} nazywamy przeciwobrazem zbioru B przez funkcję f.! Nie należy mylić f 1 [{y}] z f 1 (y); podobieństwo jest bardzo pozorne. Twierdzenie 6.7 Niech dana będzie funkcja f : X Y (gdzie X, Y są przestrzeniami metrycznymi). Następujące warunki są równoważne (i) funkcja f jest ciągła; (ii) zbiór f 1 [V ] jest otwarty w X dla każdego otwartego V Y. (iii) zbiór f 1 [F ] jest domknięty w X dla każdego domkniętego F Y. Dowód. (i) (ii) Niech x 0 f 1 [V ]. Wtedy y 0 = f(x 0 ) V i, skoro V jest otwarty to B(y 0, ε) V dla pewnego ε > 0. Dobieramy δ > 0, takie że jeśli x B(x 0, δ) to f(x) B(y 0, ε) V. Oznacza to, że B(x 0, δ) f 1 [V ] i tym samym sprawdziliśmy,że f 1 [V ] jest otwarty. (ii) (iii) Wynika to natychmiast z tożsamości X \ f 1 [F ] = f 1 [Y \ F ]. (iii) (i) Przypuśćmy, że f nie spełnia ciągowej definicji ciągłości w punkcie x 0 ; wtedy istnieje ciąg x n x 0, taki że dla pewnego ε > 0 mamy d(f(x n ), f(x 0 )) ε dla wszystkich n. Zbiór F = {y Y : d(y, f(x 0 )) ε} jest domknięty; z drugiej strony x n f 1 [F ], x 0 / f 1 [F ],co oznacza że f 1 [F ] nie jest domknięty, wbrew założeniu. Przykład 6.8. Z powyższego twierdzenia łatwo wywnioskować, że okrąg A = {(x, y) : x 2 + y 2 = 1} jest domknięty: A = f 1 [{1}], gdzie zbiór {1} jest domknięty, a funkcja f(x, y) = x 2 +y 2 jest ciągła. Ponieważ zbiór A jest oczywiście ograniczony, z Twierdzenia 5.4 wynika, że jest on zwarty. Przypomnijmy, że dla f : X Y i A X zbiór f[a] = {f(x) : x A} jest obrazem zbioru A przez funkcję f. Rozważając funkcję f : R R, f(x) = x 2, łatwo sprawdzić, że! obraz zbioru otwartego przez funkcję ciągłą nie musi być otwarty.

Analiza 4, Przestrzenie metryczne 15 Twierdzenie 6.9 Jeśli funkcja ciągła f : X Y odwzorowywuje zwartą przestrzeń X na przestrzeń metryczną Y to przestrzeń Y też jest zwarta. Dowód. Niech (y n ) n będzie dowolnym ciągiem w Y. Wtedy dla każdego n istnieje x n X, taki że f(x n ) = y n. Ze zwartości X wynika że x nk x dla pewnego podciągu i x X. Wtedy y nk = f(x nk ) y = f(x) z ciągłości funkcji f. Z Twierdzenia 5.4 i powyższego wynika nastepujący wniosek. Wniosek 6.10 Jeśli przestrzeń X jest zwarta a funkcja f : X R jest ciągła to zbiór wartości f[x] = {f(x) : x X} jest domknięty i ograniczony; w szczególności funkcja f przyjmuje swoje kresy. Rozważymy teraz pewne niebanalne odwzorowanie pomiędzy dwiema przestrzeniami metrycznymi. Przykład 6.11. Niech X = {0, 1} N, to znaczy X jest zbiorem wszystkich nieskończonych ciągów o wyrazach 0, 1. Określmy na X metrykę wzorem ρ(x, y) = 1 n, gdzie x y, a n jest najmniejszą liczbą naturalną, dla której x n y n ; dodatkowo definiujemy ρ(x, x) = 0. Nietrudno sprawdzić?, że ρ spełnia aksjomaty metryki. Niech f : X [0, 1] będzie dana wzorem f(x) = Sprawdzimy, że f jest funkcją ciągłą. Wynika to z faktu, że jeżeli x, y X, ρ(x, y) < 1/k to x j = y j dla j k i wtedy f(x) f(y) = n=1 n=1 x n y n 2 n x n 2 n. n=k+1 1 2 n = 1 2 k. Zauważmy, że funkcja f zamienia ciąg zer i jedynek na liczbę rzeczywistą, która ma odpowiednie rozwinięcie w systemie dwójkowym. Funkcja taka jest ciągła i przekształca X na [0, 1]. Nietrudno zauważyć, że f nie jest funkcją różnowartościową. Przykład 6.12. Rozważmy ponownie X = {0, 1} N z wyżej zdefiniowaną metryką, i funkcję g : X [0, 1], gdzie 2x n g(x) = 3. n n=1 Analogiczne rozumowanie pokazuje, że g też jest funkcją ciągłą. Jeśli x y, x 1 = y 1, x 2 = y 2,..., x k = y k, x k+1 = 1, y k+1 = 0 to g(x) g(y) = n=1 2(x n y n ) 3 n = 2 3 + k+1 n=k+2 2(x n y n ) 3 n

Analiza 4, Przestrzenie metryczne 16 2 3 k+1 n=k+2 2 3 = 2 n 3 1 k+1 3 = 1 k+1 3. k+1 Dowodzi to, że funkcja f jest różnowartościowa. Tym razem g zamienia ciąg zer i jedynek na liczbę, która w rozwinięciu trójkowym my cyfry 0 i 2. Zbiorem wartości funkcji g jest więc znany zbiór Cantora C [0, 1]. Rozważmy jeszcze funkcję odwrotną h = g 1 : C X. Przeprowadzony powyżej rachunek pokazuje, że jeśli g(x) g(y) < 1 1 to ρ(x, y) < 3k+1 3, k+2 co wyjaśnia, że funkcja h też jest ciągła. Ponieważ zbiór Cantora C jest zwarty (jako zbiór domknięty i ograniczony na prostej) a funkcja h przekształca C na X, więc przestrzeń X też jest zwarta. Powróćmy na moment do przestrzeni zupełnych. Następne twierdzenie nosi nazwę Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu zwężającym. Twierdzenie 6.13 Niech (X, ρ) będzie niepustą przestrzenią zupełną, a f : X X odwzorowaniem, takim że dla pewnej stałej r < 1 i wszystkich x, y X ( ) ρ(f(x), f(y)) rρ(x, y). Wtedy istnieje dokładnie jeden punkt x X, taki że f(x) = x. Dowód. Przede wszystkim wywnioskować z warunku (*), że f jest funkcją ciągłą?. Nietrudno też sprawdzić, że funkcja f nie może mieć dwóch punktów stałych, bo jeżeli f(x 1 ) = x 1 i f(x 2 ) = x 2 to z (*) ρ(x 1, x 2 ) rρ(x 1, x 2 ), co daje x 1 = x 2. Punkt stały funkcji zdefiniujemy jako granicę pewnego ciągu. Niech x 0 X będzie dowolny, x 1 = f(x 0 ), ogólnie x n+1 = f(x n ). Rozważamy więc ciąg Oznaczając M = ρ(x 1, x 0 ) z warunku (*) x 0, f(x 0 ), f(f(x 0 )), f(f(f(x 0 ))),... ρ(x 2, x 1 ) = ρ(f(x 1 ), f(x 0 )) rρ(x 1, x 0 ) = rm; ρ(x 3, x 2 ) = ρ(f(x 2 ), f(x 1 )) rρ(x 2, x 1 ) r 2 ρ(x 1, x 0 ) = Mr 2 ; i łatwo sprawdzić przez indukcję że ρ(x n+1, x n ) r n M. Teraz możemy sprawdzić, że x n jest ciągiem Cauchy ego. ρ(x n, x n+k ) ρ(x n, x n+1 ) + ρ(x n+1, x n+2 ) +... ρ(x n+k 1, x n+k ) M(r n + r n+1 +... + r n+k 1 ) M rn 1 1 r. Tym samym warunek Cauchy ego wynika z faktu, że r < 1 i lim r n = 0. Przestrzeń X jest zupełna więc lim x n = x X. Wtedy f(x) = lim f(x n ) = x i to kończy dowód.

Analiza 4, Przestrzenie metryczne 17 7. Twierdzenie Stone a Weierstrassa Niech X będzie ustaloną przestrzenią zwartą. Przez C(X) oznaczymy zbiór wszystkich funkcji ciągłych f : X R. Z Twierdzenia 6.9, każda taka funkcja jest ograniczona i możemy jak w Przykładzie 2.4 wprowadzić w C(X) metrykę supremum s(f, g) = sup{ f(x) g(x) : x X}. Rozumując jak w przypadku X = [a, b] stwierdzamy, że zbieżnośc f n f w tej metryce to po prostu jednostajna zbieżnośc ciągu funkcyjnego. Dowód poniższego twierdzenia nie różni się specjalnie od dowodu Twierdzenia 4.6. Twierdzenie 7.1 Przestrzeń C(X) jest zupełna w metryce supremum. Przedstawimy teraz bez dowodu, który wymaga czasu i wysiłku, ważne twierdzenie dotyczące gęstych podzbiorów przestrzeni C(X). Definicja 7.2 Niech P C(X). Mówimy, że (i) P jest pierścieniem funkcji jeśli P zawiera funkcje stałe oraz jest zamknięty na dodawanie i mnożenie, to jest jeśli f, g P to f + g, fg P ; (ii) P rozdziela punkty X jeśli dla dowolnych x, y X, x y istnieje f P, taka że f(x) f(y). Przykład 7.3. W C[a, b] zbiór wielomianów jest pierścieniem funkcji. Ponadto P rozdziela punkty [a, b]; istotnie sama tylko funkcja g(x) = x rozdziela punkty. Przykład 7.4. Niech P będzie zbiorem funkcji f : [a, b] R danych wzorem f(x) = a 0 + a 1 cos x + b 1 sin x + a 2 cos 2x + b 2 sin 2x +... + a n cos nx + b n sin nx, dla pewnych a j, b j R i n N. Takie funkcje nazywamy wielomianami trygonometrycznymi. Sprawdzimy, że zbiór ten jest pierścieniem. Oczywiście P zawiera stałe i jest zamknięty na dodawanie. Mniej oczywiste jest to, że iloczyn wielomianów trygonometrycznych tez jest takim wielomianem (stąd nazwa!). Wynika to ze wzorów, takich jak sin kx cos mx = 1 (sin(k + m)x + sin(k m)x). 2 Zauważmy, że wielomiany trygonometryczne rozdzielają punkty przedziału [0, b] dla dowolnego b < 2π, natomiast nie rozdzielają punktów przedziału [0, 2π]. Twierdzenie 7.5 (Stone a Weierstrassa) Jeśli X jest przestrzenią zwartą, a P C(X) jest pierścieniem funkcji rozdzielającym punkty X to P jest gęstym podzbiorem w przestrzeni C(X).

Analiza 4, Przestrzenie metryczne 18 Przypomnijmy, że gęstość P w C(X) oznacza, że dla każdego ε > 0 i f C(X) istnieje g P, taka że s(f, g) < ε. Inaczej mówiąc dla każdej f C(X) istnieje ciąg (g n ) n elementów z P, który jest zbieżny jednostajnie do f. W szczególnym przypadku otrzymujemy klasyczne twierdzenie. Wniosek 7.6 (Weierstrassa) Każdą funkcję ciągłą na odcinku [a, b] można jednostajnie przybliżać wielomianami. Wniosek 7.7 Dla b < 2π zbiór wielomianów trygonometrycznych leży gęsto w C[0, b]. Wniosek 7.8 Funkcje f : [0, 1] 2 R postaci f(x, y) = g 1 (x)h 1 (y) +... g k (x)h k (y), gdzie g j, h j są funkcjami ciągłymi jednej zmiennej tworzą zbiór gęsty w C[0, 1] 2. Dowód. Przestrzeń [0, 1] 2 jest zwarta; wystarczy więc zauważyć, że opisane funkcje stanowią pierścień rozdzielający punkty. Oczywiście taki wniosek uogólnia się na wyższe wymiary. Pozostaje pytanie, jaki zbiór stanowią wielomiany trygonometryczne w przestrzeni C[0, 2π]. Przykład 7.9. Niech ϕ : [0, 2π] R 2, ϕ(t) = (cos t, sin t). Wtedy ϕ jest funkcją ciągłą, przekształcającą odcinek na okrąg jednostkowy O na płaszczyźnie. Istnieje odpowiedniość pomiędzy funkcjami ciągłymi na O a funkcjami ciągłymi na [0, 2π] o własności f(0) = f(2π). Stosując Twierdzenie 7.5 do C(O) można stąd wywnioskować, że wielomianami trygonometrycznymi można przybliżać jednostajnie każdą funkcję ciągłą o okresie 2π.