Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych decyzyjnych; podać postać funkcji celu; określić postać ograniczeń na decyzje. Zad. 1. Dysponujemy kontenerem transportowym o pojemności V oraz udźwigu P. Należy załadować do niego towar spośród dostępnych N jego rodzajów. Każdy rodzaj towaru charakteryzuje się pewną objętością v n, ciężarem p n oraz zyskiem ze sprzedaży c n (n = 1, 2,..., N). Decydując się załadować do kontenera określoną liczbę sztuk każdego spośród N rodzajów towarów, należy maksymalizować wartość załadunku. Zad. 2. Dla N przedsiębiorstw przygotowano N zleceń transportowych. Każde przedsiębiorstwo wstępnie określa koszt związany z wykonaniem każdego ze zleceń. Mając je dane, należy przyporządkować każdemu przedsiębiorstwu dokładnie jedno zlecenie w taki sposób, aby koszt wykonania wszystkich zleceń był najmniejszy. Zad. 3. Danych jest M hurtowni oraz N zakładów produkcyjnych, od których zamawiają one produkty do sprzedaży. Ze względy na odległości i jakości dróg, z każdym przewozem zamówionego towaru z m-tego zakładu do n-tej hurtowni wiąże się odpowiedni, znany z góry, koszt transportu. Znane są również możliwości produkcyjne zakładów oraz zapotrzebowanie każdej hurtowni. Sformułować zadanie minimalizacji łącznego kosztu transportu. 1
Zad. 4. Mamy za zadanie wytworzyć wymagane ilości M rodzajów produktów dysponując N maszynami. Każdy produkt można wytwarzać na dowolnej maszynie, przy czym ze względu na zróżnicowaną wydajność maszyn do wytworzenia jednostki produktu m-tego maszyna n-ta potrzebuje T mn jednostek czasu, co wiąże się z kosztem w wysokości c mn. Do dyspozycji jest T n jednostek całkowitego czasu n-tej maszyny. Należy przydzielić takie ilości u mn produktu m-tego na n-tą maszynę, by koszt produkcji był minimalny. Zad. 5. Niech danych będzie N linii transportowych. W pewnym okresie można na n-tej linii wykonać b n rejsów. Zasoby czasu użytecznego jednej jednostki transportowej typu m wynoszą a m. W czasie wykonywania n-tego rejsu jednostka transportowa typu m zużywa t mn jednostek czasu, a koszt takiego rejsu wynosi c mn. Należy przydzielić posiadane środki transportu na poszczególne linie w taki sposób, aby przy założeniu, że wszystkie rejsy zostaną wykonane (jeżeli zadanie jest niesprzeczne), łączny koszt był minimalny. Zad. 6. Udowodnij, że zbiór D x = { x 1} jest wypukły. Zad. 7. Korzystając z definicji, zbadaj wypukłość funkcji f(x) = x 2 Zad. 8. Niech F będzie funkcją wypukłą. Udowodnij, że zbiór D α = wypukły. { } x R S : F (x) α jest Zad. 9. Niech funkcje F k (x), k = 1, 2,..., K będą wypukłe. Udowodnij, że ich kombinacja liniowa gdzie α k 0 jest wypukła. F (x) = K α k F k (x), k=1 Zad. 10. Niech funkcja g będzie wypukła a funkcja h wypukła i monotonicznie rosnąca. Udowodnij, że ich złożenie F (x) = h(g(x)) jest funkcją wypukłą. 2
Zad. 11. Zbadaj wypukłość poniższych funkcji, zapisz je w postaci macierzowej i zilustruj na wykresach: a) 2x 2 1 3x2 2 + 4x 1x 2 + 2x 1 + 6x 2 b) 4x 2 1 + 2x2 2 x 1x 2 + 2x 1 x 3 x 1 + x 2 c) x 2 1 6x2 2 + 2x 1x 2 + x 1 10x 2 d) 6x 2 1 + x2 2 4x 1x 2 + 2x 1 3x 2 e) 2x 2 1 + x2 2 + 4x 1x 2 F (x) = x T Ax + b T x + c Zad. 12. Zbadaj określoność macierzy diagonalnej o nieujemnych elementach na przekątnej. Zad. 13. Wyznacz ekstremum funkcji F (x) = x T Ax + b T x + c przy założeniu, że macierz A jest symetryczna i dodatnio określona. Zad. 14. Zbadaj określoność poniższych macierzy i zilustruj (np. na komputerze) na wykresach odpowiadające im formy kwadratowe: A = 1 0 0 1 ] B = 1 0 0 1 ] C = 1 0 0 1 ] D = 1 1 1 1 ] Zad. 15. Wyznacz ekstrema funkcji: a) F (x) = 5x 2 1 + x2 2 4x 1x 2 2x 1 + 3 b) F (x) = x 3 1 + x2 2 6x 1x 2 48x 1 c) F (x) = 10x 2 1 + 10x2 2 + x2 3 + 2x 1x 2 + 6x 1 x 3 + 9x 1 + 3x 3 + 1.25 Zapisz powyższe funkcje w postaci formy kwadratowej. 3
Zad. 16. Znajdź minimum funkcji F (x) przy ograniczeniach x D x posługując się metodą Lagrange a: a) F (x) = (x 1 4) 2 + (x 2 2) 2 + (x 3 3) 2 D x = { x R 3 : x 1 + x 2 + x 3 = 9 } b) F (x) = 2x 1 + 3x 2 D x = { x R 3 : x 2 1 + x2 2 = 0} c) F (x) = x 2 1 x2 2 x2 3 D x = { x R 3 : x 1 + x 3 = 0 x 1 x 2 + x 3 = 5 } d) F (x) = x (1) + x (2) D x = { x R 3 : x 2 1 + x2 2 + x2 3 = 2 x2 1 + x2 2 2x 3 = 3 } e) F (x) = x 1 x 2 } D x = {x R 2 : (x 1 1) 2 + x 2 2 = 1 f) F (x) = x 2 1 + x2 2 + x2 3 D x = { x R 3 : x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 x 2 + x 3 = 7 } g) F (x) = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 1 x 3 D x = { x R 3 : x 1 + x 2 + x 3 = 3 } Zad. 17. Znajdź wymiary cylindrycznej puszki maksymalizujące jej objętość przy zadanej powierzchni P = 24Π. 4
Zad. 18. Znajdź minimum funkcji F (x) przy ograniczeniach x D x korzystając z warunków Kuhna-Tuckera: a) F (x) = (x 1 2) 2 (x 2 3) 2 D x = { x R 2 : x 2 1 + x2 2 52} b) F (x) = (x 1 ) 2 + x 2 2 D x = { x R 2 : x 1 10 0 x 1 x 2 2 4 0} c) F (x) = 6x 1 x 2 D x = { } x R 2 : (x 1 1) 2 + x 2 0 x 1 0 x 2 0 d) F (x) = x 2 1 x2 2 D x = { x R 2 : 2x 1 + 3x 2 6 x 1 + x 2 2 x 2 0 } e) F (x) = x 2 1 2x2 2 D x = { x R 2 : x 1 + x 2 1 x 1 0 x 2 0 } f) F (x) = x 1 x 2 D x = { x R 2 : x 1 0 x 2 0 } Zad. 19. programowanie liniowe Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. Zakład może wytwarzać dwa produkty: P 1 i P 2. Ich produkcja jest limitowana dostępnymi zasobami trzech środków: S 1, S 2 i S 3. Zasoby tych środków wynoszą, odpowiednio: 14, 8 i 16 jednostek. Nakład środka S 1 na wytworzenie jednostki produktu P 1 wynosi 2 jednostki, a na wytworzenie produktu P 2 również 2 jednostki. Nakłady środka S 2 wynoszą, odpowiednio 1 i 2 jednostki, natomiast środka S 3 : 4 i 0 jednostek. Zysk osiągany z wytworzenia jednostki produktu P 1 wynosi 2 jednostki a wytworzenia jednostki produktu P 2 : 3 jednostki. Zadanie a): Sformułować i rozwiązać zadanie optymalizacji, którego celem będzie maksymalizacja zysku. Zadanie b): Weź dodatkowo pod uwagę, że zarząd firmy ustalił łączne rozmiary produkcji, które nie mogą być mniejsze od 3 jednostek. 5
Zad. 20. programowanie liniowe Znajdź metodą simpleks maksimum liniowej funkcji celu F (x) przy liniowych ograniczeniach nierównościowych: a) F (x) = 20x 1 + 10x 2 10x 1 x 2 30 2.5x 1 + x 2 25 3x 1 + 0.2x 2 25 b) F (x) = 2x 1 + x 2 x 1 + x 2 30 2x 1 + x 2 4 9x 1 x 2 144 c) F (x) = 2x 1 + 2x 2 x 1 2x 2 10 3x 1 + 2x 2 18 d) F (x) = x 1 + 3x 2 20x 1 + 10x 2 300 x 1 2x 2 20 x 1 + x 2 = 1000 e) F (x) = 4x 1 + 6x 2 2x 1 + x 2 7 x 1 + x 2 4 x 1 + 3x 2 9 f) F (x) = 4x 1 + 6x 2 2x 1 + x 2 7 x 1 + x 2 4 x 1 + 3x 2 9 g) F (x) = 3x 1 5x 2 4x 1 + 2x 2 8 5x 1 + 6x 2 30 h) F (x) = 2x 1 + 2x 2 x 1 + 2x 2 10 3x 1 + 2x 2 18 i) F (x) = 5x 1 7x 2 x 1 + 3x 2 3 5x 1 + 4x 2 20 j) F (x) = x 1 + 2x 2 x 1 + x 2 1 2x 1 + x 2 2 6
Zad. 21. programowanie całkowitoliczbowe Rozwiąż poniższe zadania programowania całkowitoliczbowego dla zadanej funkcji celu i przy ustalonych ograniczeniach liniowych: a) F (x) = x 1 + x 2 14x 1 + 9x 2 51 6x 1 + 3x 2 1 x Z 2 b) F (x) = x 1 + x 2 x 1 + 2x 2 32 18x 1 + 3x 2 224 x Z 2 c) F (x) = 2x 1 5x (2) 2x 1 x 2 6 x 1 6x 2 24 x Z 2 d) F (x) = 3x 1 7x 2 3x 1 + 8x 2 24 2x 1 + 3x 2 12 x Z 2 7
Dodatek Zbiór wypukły Jeżeli dla dowolnych dwóch punktów x 1, x 2 ze zbioru D x punkt x zadany wzorem x = λx 1 + (1 λ)x 2 również należy do zbioru D x, wówczas zbiór ten nazywamy wypukłym. Funkcja wypukła Jeżeli dla dowolnych dwóch punktów x 1, x 2 ze zbioru D x oraz funkcji F : D x R określonej na tym zbiorze zachodzi nierówność wówczas funkcję F nazywamy wypukłą. F (λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf (x 1 ) + (1 λ)f (x 2 ), Forma kwadratowa Formą kwadratową nazywamy funkcję Q(x) : R S R o postaci Q(x) = x T Ax gdzie x R S oraz A R S S jest macierzą symetryczną. Macierz kwadratowa A jest dodatnio (ujemnie) określona, gdy dla dowolnego niezerowego wektora x zachodzi x T Ax > 0 (x T Ax < 0). Macierz kwadratowa A jest dodatnio (ujemnie) półokreślona, gdy dla dowolnego niezerowego wektora x zachodzi x T Ax 0 (x T Ax 0). Macierz kwadratowa A jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej wiodące minory główne są większe od zera. Macierz kwadratowa A jest dodatnio półokreślona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej minory główne są nieujemne. Macierz kwadratowa A jest ujemnie określona(półokreślona) wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A jest dodatnio określona (półokreślona). 8
Gradient i Hesjan Gradientem x F (x) funkcji F : R S R nazywamy S-wymiarowy wektor pochodnych cząstkowych po wszystkich zmiennych funkcji F, natomiast Hesjanem nazywamy macierz H(x) pochodnych cząstkowych drugiego rzędu o wymiarach S S: x F (x) = F x 1 F x 2. F x S, H(x) = x 1 x 1 x 2 x 1. x S x 1 x 1 x 2... x 2 x 2.... x S x 2... Warunek wystarczający na istnienie ekstremum w punkcie x Załóżmy, że x F (x ) = 0. Wówczas: x 1 x S x 2 x S.... x S x S jeżeli macierz H(x ) jest dodatnio określona, to F ma minimum loklane w punkcie x Jeżeli macierz H(x ) jest ujemnie określona, to F ma maksimum loklane w punkcie x Jeżeli macierz H(x ) nie jest ani ujemnie, ani dodatnio półokreślona, to F nie ma ekstremum w punkcie x Uwaga: jeżeli macierz H(x ) jest tylko dodatnio (ujemnie) półokreślona, to nie jest możliwe ustalenie, czy funkcja F ma ekstremum loklane w punkcie x czy też nie ma (obie sytuacje mogą mieć miejsce). Forma kwadratowa jest wypukła (wklęsła) jeżeli jest dodatnio (ujemnie) określona. 9
Optymalizacja z ograniczeniami równościowymi - funkcja Lagrange a Dana jest funkcja F (x), gdzie x R N oraz M ograniczeń równościowych ϕ m (x) = 0; m = 1, 2,..., M. Zadanie optymalizacji z ograniczeniami można sprowadzić do zadania optymalizacji bez ograniczeń funkcji Lagrange a: M L(x, λ) = F (x) + λ m ϕ m (x), m=1 ] T gdzie λ = λ 1 λ 2... λ M, jest wektorem tzw. mnożników Lagrange a. Punkt optymalny jest wówczas rozwiązaniem następującego układu równań: x L(x, λ) = 0, λ L(x, λ) = 0. Jeżeli zachodzi podejrzenie o istnieniu rozwiązań nieregularnych, można je wyznaczyć z tego samego układu równań, z tym, że funkcja Lagrange a ma wówczas postać: M L(x, λ) = λ m ϕ m (x). m=1 Optymalizacja z ograniczeniami nierównościowymi - warunki Kuhna-Tuckera Dana jest funkcja F (x), gdzie x R N oraz M ograniczeń ψ m (x) 0; m = 1, 2,..., M. Zadanie optymalizacji z ograniczeniami można sprowadzić do zadania optymalizacji bez ograniczeń funkcji Lagrange a: M L(x, µ) = F (x) + µ i ψ m (x), m=1 ] T gdzie µ = µ 1 µ 2... µ M, jest wektorem tzw. mnożników Lagrange a. Punkt optymalny jest wówczas rozwiązaniem następującego układu: x L(x, µ) = 0, µ L(x, µ) 0, µ m ψ m (x) = 0, m = 1, 2,..., M, µ m 0, m = 1, 2,..., M. 10