Wyra»enia logicznie równowa»ne Denicja. Wyra»enia rachunku zda«nazywamy logicznie równowa»nymi, gdy maj równe warto±ci logiczne dla dowolnych warto±ci logicznych zmiennych zdaniowych. 1
Przykªady: Wyra»enia p i ( p) s logicznie równowa»ne. Wyra»enia p q, q p, ( p) q i (p q) s logicznie równowa»ne. Wyra»enia (p q) r i (p r) (q r) s logicznie równowa»ne. Wyra»enia (p q) r i (p r) (q r) s logicznie równowa»ne. 2
Tautologie Przykªad. Wyra»enie (p q) (q p) ma warto± logiczn prawda dla dowolnych warto±ci logicznych zda«prostych. v(p) v(q) v(p q) v(q p) v((p q) (q p)) 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 3
Denicja. Tautologi nazywamy wyra»enie rachunku zda«, które ma warto± logiczn prawda dla dowolnych warto±ci logicznych zmiennych zdaniowych. Przykªady tautologii: p p, p p (prawo wyª czonego ±rodka), (p p) (prawo sprzeczno±ci), ( p p) p (prawo Claviusa), 4
(p q) p, p (p q), p (p q), ((p q) (q p)) (p q), (p (q r)) ((p q) (p r)). 5
Wyra»enie postaci P Q jest tautologi dokªadnie wtedy, gdy wyra»enia P i Q s logicznie równowa»ne. Przykªady. Prawo podwójnego przeczenia: p ( p). Prawa de Morgana: (p q) ( p q), (p q) ( p q). 6
Metoda dowodu nie wprost jest oparta na tautologii (p q) ( q p). Metoda dowodu przez sprzeczno± jest oparta na tautologii (p q) (p q). Rozdzielno± koniunkcji wzgl dem alternatywy: (p q) r (p r) (q r). Rozdzielno± alternatywy wzgl dem koniunkcji: (p q) r (p r) (q r). 7
Przykªad. Warto± logiczn zdania zªo»onego ((p q) (q p)) (p q) dla poszczególnych warto±ciowa«zda«prostych mo»emy obliczy nast puj co: v(p) v(q) v(p q) v(q p) v(p q) 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 v((p q) (q p)) v(((p q) (q p)) (p q)) 1 0 0 1 0 1 1 1 8
Szybszy sposób polega na tym,»e nie wypisujemy poszczególnych zda«skªadowych w oddzielnych kolumnach (np. p q, q p i p q); piszemy tylko caªe zdanie zªo»one, a warto±ci logiczne poszczególnych zda«skªadowych wypisujemy pod tymi zdaniami (dokªadniej: pod ich spójnikami logicznymi). Gdy wypiszemy np. warto±ci logiczne zda«p q i q p, to warto±ci logiczne zdania (p q) (q p) wypisujemy pod spójnikiem. v(p) v(q) ((p q) (q p)) (p q) 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 9
Reguªy dowodzenia Rozwa»my wyra»enia rachunku zda«p 1,..., P n, Q. Je±li wyra-»enie jest tautologi, to schemat P 1... P n Q P 1. P n Q nazywamy reguª dowodzenia. Reguªa dowodzenia oznacza,»e z prawdziwo±ci zda«p 1,..., P n wynika prawdziwo± zdania Q. 10
Przykªady reguª dowodzenia p q p p p q q p q p p q p q p q p p q q p q q r p r p q q p p q 11
Rachunek kwantykatorów 12
Kwantykatory Zdanie zapisujemy symbolicznie Dla ka»dego x X (zachodzi) ϕ(x) x X ϕ(x). 13
Zdanie Istnieje x X takie,»e ϕ(x), zapisujemy x X ϕ(x). Zdanie x X ϕ(x) jest prawdziwe dokªadnie wtedy, gdy ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla co najmniej jednego x X. 14
Symbol nazywamy kwantykatorem ogólnym, a symbol nazywamy kwantykatorem szczegóªowym. for All Exists W matematyce elementarnej popularne s polskie symbole kwantykatorów: kwantykator ogólny (zamiast ), kwantykator szczegóªowy (zamiast ). 15
Przykªady: x R x 2 < 1 zdanie faªszywe, x R x 2 < 1 zdanie prawdziwe, x R x 2 0 zdanie prawdziwe, x R x 2 0 zdanie prawdziwe, 16
n N1 n 6 zdanie faªszywe, n N1 n 6 zdanie prawdziwe, n Z n = n + 1 zdanie faªszywe, n Z n = n + 1 zdanie faªszywe. 17
Formy zdaniowe W zdaniach ϕ(x) jest form zdaniow. x X ϕ(x) i x X ϕ(x) Forma zdaniowa ϕ(x) okre±lona w zbiorze X to wyra»enie, które jest zdaniem, je±li za x wstawimy dowolny element zbioru X. Zbiór X nazywamy zakresem formy zdaniowej ϕ(x). 18
Przykªady. ϕ(x) = x 2 < 1, gdzie x R, ϕ(x) jest zdaniem: prawdziwym dla x ( 1, 1), faªszywym dla x (, 1] [1, + ); ϕ(x) = x 2 0, gdzie x R, ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x R; 19
ϕ(n) = n 6 (n dzieli 6), gdzie n N 1, ϕ(n) jest zdaniem: prawdziwym dla n = 1, 2, 3, 6 faªszywym dla pozostaªych n; ϕ(n) = n = n + 1, gdzie n Z, ϕ(n) jest zdaniem faªszywym dla ka»dego n Z. 20
Uwaga. Forma zdaniowa okre±lona w zbiorze X pozwala ka»- demu elementowi tego zbioru przyporz dkowa zdanie. Mo»emy wi c j nazwa funkcj zdaniow. Pytanie. Co jest dziedzin, a co zbiorem warto±ci tej funkcji? 21
Zauwa»my,»e: je±li ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x X, to zdania x X ϕ(x) i x X ϕ(x) s prawdziwe, je±li ϕ(x) jest zdaniem faªszywym dla wszystkich x X, to zdania x X ϕ(x) i x X ϕ(x) s faªszywe, je±li ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla pewnych elementów zbioru X, a faªszywym dla innych elementów tego zbioru, to zdanie x X ϕ(x) jest faªszywe, a zdanie x X ϕ(x) jest prawdziwe. 22
Zbiorem speªniania formy zdaniowej ϕ(x), okre±lonej w zbiorze X, nazywamy zbiór wszystkich elementów x X, dla których ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym. Zauwa»my,»e: zdanie x X ϕ(x) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zbiorem speªniania formy ϕ(x) jest caªy zbiór X, zdanie x X ϕ(x) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór speªniania formy ϕ(x) jest niepusty. Pytanie. Jak nale»y okre±li warto± logiczn zda«x X ϕ(x) i x X ϕ(x) w przypadku, gdy X jest zbiorem pustym? 23