Logika [dla Psychologii UW]
|
|
|
- Joanna Stankiewicz
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Logika [dla Psychologii UW] Tadeusz Ciecierski Uniwersytet Warszawski 28 listopada 2011 Tadeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
2 Plan wykªadu 1 Klasyczny rachunek zda«[krz] - podstawowe wiadomo±ci Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
3 Klasyczny rachunek zda«klasyczny rachunek zda«klasyczny rachunek zda«jest elementarn teori logiczna, która umo»liwia nam (mi dzy innymi) precyzyjne zdeniowanie poj cia wynikania logicznego. Po±rednio za± pozwala nam ocenia logiczn (formaln ) poprawno± pewnych (cho nie wszystkich) argumentów. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
4 Klasyczny rachunek zda«klasyczny rachunek zda«klasyczny rachunek zda«jest elementarn teori logiczna, która umo»liwia nam (mi dzy innymi) precyzyjne zdeniowanie poj cia wynikania logicznego. Po±rednio za± pozwala nam ocenia logiczn (formaln ) poprawno± pewnych (cho nie wszystkich) argumentów. Klasyczny rachunek zda«- historia Byª badany w staro»ytno±ci (zwªaszcza przez stoików). Wiele praw logicznych KRZ byªo dyskutowanych tak»e w ±redniowieczu (Duns Szkot, Ockham). Jego wspóªczesna wersja uksztaªtowaªa si w wieku XIX i na pocz tku wieku XX. Du»y udziaª w badaniach nad rachunkiem zda«w XX wieku mieli polscy logicy (Šukasiewicz, Le±niewski, Tarski, Ja±kowski). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
5 Klasyczny rachunek zda«krz jako obcy j zyk Mo»emy my±le o klasycznym rachunku zda«jak o pewnym j zyku, na który przekªadalne s - Z PEWNYM STOPNIEM SZCZEGÓŠOWO CI - te fragmenty j zyka naturalnego, które obejmuj ZDANIA W SENSIE LOGICZNYM. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
6 Klasyczny rachunek zda«krz jako obcy j zyk Mo»emy my±le o klasycznym rachunku zda«jak o pewnym j zyku, na który przekªadalne s - Z PEWNYM STOPNIEM SZCZEGÓŠOWO CI - te fragmenty j zyka naturalnego, które obejmuj ZDANIA W SENSIE LOGICZNYM. Stopie«szczegóªowo±ci STOPIE SZCZEGÓŠOWO CI, o którym mowa bierze si z faktu,»e nie jeste±my zainteresowani wewn trzn struktur zda«prostych (zda«, które nie zawieraj innych zda«jako swoich cz ±ci). Interesuj nas natomiast pewne aspekty struktury zda«zªo»onych (zda«, które zawieraj inne zdania jako swoje cz ±ci wªa±ciwe). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
7 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ Obejmuje: Tadeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
8 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ Obejmuje: (1) ZMIENNE ZDANIOWE Tadeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
9 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ Obejmuje: (1) ZMIENNE ZDANIOWE (2) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE Tadeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
10 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ Obejmuje: (1) ZMIENNE ZDANIOWE (2) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE (3) SYMBOLE POMOCNICZE - NAWIASY (mo»emy si ich pozby ). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
11 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - ZMIENNE ZDANIOWE Wyra»enia reprezentuj ce dowolne zdanie w sensie logicznym. Zakªadamy,»e tworz przeliczalnie niesko«czony (jest ich tyle, ile liczb naturalnych) zbiór ZZ. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
12 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - ZMIENNE ZDANIOWE Wyra»enia reprezentuj ce dowolne zdanie w sensie logicznym. Zakªadamy,»e tworz przeliczalnie niesko«czony (jest ich tyle, ile liczb naturalnych) zbiór ZZ. Alfabet KRZ - ZMIENNE ZDANIOWE ZZ = {p 1, p 2, p 3... p n, q, r, s...} Alfabet KRZ - INTERPRETACJA ZMIENNYCH ZDANIOWYCH Jedynym aspektem zda«w sensie logicznym, który nas interesuje z punktu widzenia KRZ jest ich warto± logiczna. Dlatego mo»emy te» powiedzie,»e zmienne zdaniowe reprezentuj warto± logiczn PRAWDY (oznaczan dla wygody jako 1) oraz warto± logiczn FAŠSZU (oznaczan dla wygody jako 0). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
13 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SPÓJNIKI LOGICZNE S to wyra»enia, które pozwalaj tworzy zdania w sensie logicznym z innych zda«w sensie logicznym. Wa»ne w ich charakterystyce jest to, z ilu zda«w sensie logicznym s one w stanie utworzy zdanie. Je±li z jednego mówimy,»e s to SPÓJNIKI JEDNOARGUMENTOWE, je±li z dwóch,»e s DWUARGUMENTOWE. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
14 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SPÓJNIKI LOGICZNE S to wyra»enia, które pozwalaj tworzy zdania w sensie logicznym z innych zda«w sensie logicznym. Wa»ne w ich charakterystyce jest to, z ilu zda«w sensie logicznym s one w stanie utworzy zdanie. Je±li z jednego mówimy,»e s to SPÓJNIKI JEDNOARGUMENTOWE, je±li z dwóch,»e s DWUARGUMENTOWE. Alfabet KRZ - INTERPRETACJA SPÓJNIKÓW LOGICZNYCH Skoro zmienne reprezentuj warto±ci logiczne, spójniki moga by interpretowane jako FUNKCJE, które warto±ciom logicznym porzyporz dkowuj warto±ci logiczne. W wypadku SPÓJNIKÓW JEDNOARGUMENTOWYCH s to funkcje przyporzudkowuj ce warto±ci logicznej warto± logiczn, w wypadku SPÓJNIKÓW DWUARGUMENTOWYCH - funkcje przyporz dkowuj ce parze warto±ci logicznych warto± logiczn. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
15 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SPÓJNIKI LOGICZNE W wypadku SPÓJNIKÓW JEDNOARGUMENTOWYCH s cztery takie funkcje, w wypadku SPÓJNIKÓW DWUARGUMENTOWYCH szesna±cie. Teoretycznie w KRZ mo»emy wyró»ni zatem przynajmniej 20 ró»nych spójników logicznych. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
16 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SPÓJNIKI LOGICZNE W wypadku SPÓJNIKÓW JEDNOARGUMENTOWYCH s cztery takie funkcje, w wypadku SPÓJNIKÓW DWUARGUMENTOWYCH szesna±cie. Teoretycznie w KRZ mo»emy wyró»ni zatem przynajmniej 20 ró»nych spójników logicznych. Alfabet KRZ - SPÓJNIKI LOGICZNE Na szcz ±cie liczb t mo»na znacz co zredukowa (je±li si bardzo postaramy, nawet do jednego spójnika!). Dla wygody przyjmuje si zazwyczaj,»e alfabet obejmuje jeden spójnik jednoargumentowy i cztery spójniki dwuargumentowe. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
17 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SPÓJNIKI LOGICZNE JEDNOARGUMENTOWE: (1) NEGACJA - oznaczana zazwyczaj symbolem [czasem jako ] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
18 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SPÓJNIKI LOGICZNE JEDNOARGUMENTOWE: (1) NEGACJA - oznaczana zazwyczaj symbolem [czasem jako ] DWUARGUMENTOWE: (2) KONIUNKCJA - oznaczana zazwyczaj symbolem Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
19 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SPÓJNIKI LOGICZNE JEDNOARGUMENTOWE: (1) NEGACJA - oznaczana zazwyczaj symbolem [czasem jako ] DWUARGUMENTOWE: (2) KONIUNKCJA - oznaczana zazwyczaj symbolem (3) ALTERNATYWA - oznaczana zazwyczaj symbolem Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
20 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SPÓJNIKI LOGICZNE JEDNOARGUMENTOWE: (1) NEGACJA - oznaczana zazwyczaj symbolem [czasem jako ] DWUARGUMENTOWE: (2) KONIUNKCJA - oznaczana zazwyczaj symbolem (3) ALTERNATYWA - oznaczana zazwyczaj symbolem (4) IMPLIKACJA - oznaczana zazwyczaj symbolem [czasem jako ] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
21 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SPÓJNIKI LOGICZNE JEDNOARGUMENTOWE: (1) NEGACJA - oznaczana zazwyczaj symbolem [czasem jako ] DWUARGUMENTOWE: (2) KONIUNKCJA - oznaczana zazwyczaj symbolem (3) ALTERNATYWA - oznaczana zazwyczaj symbolem (4) IMPLIKACJA - oznaczana zazwyczaj symbolem [czasem jako ] (5) RÓWNOWA NO - oznaczana zazwyczaj symbolem [czasem jako ] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
22 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - NEGACJA Odpowiada w j zyku naturalnym wyra»eniom w rodzaju nie, nie jest tak,»e, nieprawda,»e ( p czytamy nie jest tak,»e p). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
23 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - NEGACJA Odpowiada w j zyku naturalnym wyra»eniom w rodzaju nie, nie jest tak,»e, nieprawda,»e ( p czytamy nie jest tak,»e p). Alfabet KRZ - NEGACJA A A Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
24 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - KONIUNKCJA Odpowiada w j zyku naturalnym wyra»eniom w rodzaju oraz, i, a, zarazem itp. (p q czytamy p oraz q). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
25 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - KONIUNKCJA Odpowiada w j zyku naturalnym wyra»eniom w rodzaju oraz, i, a, zarazem itp. (p q czytamy p oraz q). Alfabet KRZ - KONIUNKCJA A B A B Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
26 Alfabet KRZ - ALTERNATYWA Odpowiada w j zyku naturalnym wyra»eniom w rodzaju lub (przy nierozª cznym u»yciu tego spójnika), co najmniej jedno z dwojga itp. (p q czytamy p lub q). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
27 Alfabet KRZ - ALTERNATYWA Odpowiada w j zyku naturalnym wyra»eniom w rodzaju lub (przy nierozª cznym u»yciu tego spójnika), co najmniej jedno z dwojga itp. (p q czytamy p lub q). Alfabet KRZ - ALTERNATYWA A B A B Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
28 Alfabet KRZ - IMPLIKACJA Odpowiada w j zyku naturalnym pewnej interpretacji okresu warunkowego je±li...to... oraz jego odpowiednikom. (p q czytamy je±li p, to q). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
29 Alfabet KRZ - IMPLIKACJA Odpowiada w j zyku naturalnym pewnej interpretacji okresu warunkowego je±li...to... oraz jego odpowiednikom. (p q czytamy je±li p, to q). Alfabet KRZ - IMPLIKACJA A B A B Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
30 PARADOKSY IMPLIKACJI Powy»sza interpretacja okresu warunkowego wydaje si wielu osobom (tak»e logikom) niezadowalaj ca. Zwracaj oni uwag,»e zdania w rodzaju: (1) Je±li ksi»c jest kr»kiem sera, to umr w dniu o dacie parzystej. (2) Je±li Warszawa jest stolic Polski, to = 5. s na gruncie zaproponowanej interpretacji prawdziwe, co wydaje si by wnioskiem nieintuicyjnym. Takie nienituicyjne wnioski okre±lane s mianem PARADOKSÓW IMPLIKACJI (MATERIALNEJ). Po±wi cono im w ostatnim stuleciu ogromn literatur. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
31 Alfabet KRZ - RÓWNOWA NO Odpowiada w j zyku naturalnym pewnej interpretacji zwrotów je±li i tylko je±li, wtedy i tylko wtedy itp. (p q czytamy p wtedy i tylko wtedy, gdy q). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
32 Alfabet KRZ - RÓWNOWA NO Odpowiada w j zyku naturalnym pewnej interpretacji zwrotów je±li i tylko je±li, wtedy i tylko wtedy itp. (p q czytamy p wtedy i tylko wtedy, gdy q). Alfabet KRZ - RÓWNOWA NO A B A B Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
33 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SYMBOLE POMOCNICZE [NAWIASY] Potrzebujemy ich, aby ujednoznaczni formuª (bez nich mo»na byªoby np. interpretowa p q r jako: (p q) r lub jako: p (q r)) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
34 Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SYMBOLE POMOCNICZE [NAWIASY] Potrzebujemy ich, aby ujednoznaczni formuª (bez nich mo»na byªoby np. interpretowa p q r jako: (p q) r lub jako: p (q r)) NOTACJA BEZNAWIASOWA Polski logik Jan Šukasiewicz wymy±liª notacj, w której pozbywamy si nawiasów - zasada jest taka,»e piszemy spójnik przed argumentem/argumentami (Šukasiewicz u»ywaª na oznaczenie spójników nast puj cych liter: C - implikacja, N - negacja, K - koniunkcja, A - alternatywa, E - równowa»no± ). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
35 Klasyczny rachunek zda«notacja BEZNAWIASOWA p (q r) zapiszemy tu jako: ApKqr Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
36 Klasyczny rachunek zda«notacja BEZNAWIASOWA p (q r) zapiszemy tu jako: ApKqr (p q) r jako: KApqr Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
37 Klasyczny rachunek zda«notacja BEZNAWIASOWA p (q r) zapiszemy tu jako: ApKqr (p q) r jako: KApqr p (q r) jako: CpCqNr Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
38 Klasyczny rachunek zda«notacja BEZNAWIASOWA p (q r) zapiszemy tu jako: ApKqr (p q) r jako: KApqr p (q r) jako: CpCqNr [(p q) (q p)] (p q) jako: EKCpqCqpEpq Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
39 Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 1 Je±li Katarzyna jest psychologiem, to interesuje si psychoanaliz oraz zna statystyk. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
40 Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 1 Je±li Katarzyna jest psychologiem, to interesuje si psychoanaliz oraz zna statystyk. Katarzyna jest psychologiem (interesuje si psychoanaliz zna statystyk ) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
41 Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 1 Je±li Katarzyna jest psychologiem, to interesuje si psychoanaliz oraz zna statystyk. Katarzyna jest psychologiem (interesuje si psychoanaliz zna statystyk ) p (q r) (w beznawiasowej: CpKqr) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
42 Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 2 B d c psychologiem, widz c cierpienie psychiczne innych nie pozostajesz oboj tny. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
43 Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 2 B d c psychologiem, widz c cierpienie psychiczne innych nie pozostajesz oboj tny. [wariant A] Jeste± psychologiem (widzisz cierpienie psychicze innych pozostajesz oboj tny) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
44 Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 2 B d c psychologiem, widz c cierpienie psychiczne innych nie pozostajesz oboj tny. [wariant A] Jeste± psychologiem (widzisz cierpienie psychicze innych pozostajesz oboj tny) p (q r) (w beznawiasowej: CpCqNr) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
45 Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 2 B d c psychologiem, widz c cierpienie psychiczne innych nie pozostajesz oboj tny. [wariant A] Jeste± psychologiem (widzisz cierpienie psychicze innych pozostajesz oboj tny) p (q r) (w beznawiasowej: CpCqNr) [wariant B] (Jeste± psychologiem widzisz cierpienie psychicze innych) pozostajesz oboj tny) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
46 Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 2 B d c psychologiem, widz c cierpienie psychiczne innych nie pozostajesz oboj tny. [wariant A] Jeste± psychologiem (widzisz cierpienie psychicze innych pozostajesz oboj tny) p (q r) (w beznawiasowej: CpCqNr) [wariant B] (Jeste± psychologiem widzisz cierpienie psychicze innych) pozostajesz oboj tny) (p q) r (w beznawiasowej: CKpqNr) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
47 Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 3 Pojad na Filipiny, o ile zdam egzamin z logiki lub wygram w Lotto. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
48 Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 3 Pojad na Filipiny, o ile zdam egzamin z logiki lub wygram w Lotto. Pojad na Filipiny (zdam egazmin z logiki wygram w Lotto) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
49 Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 3 Pojad na Filipiny, o ile zdam egzamin z logiki lub wygram w Lotto. Pojad na Filipiny (zdam egazmin z logiki wygram w Lotto) (q r) p (w beznawiasowej: CAqrp) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
50 Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 3 Pojad na Filipiny, o ile zdam egzamin z logiki lub wygram w Lotto. Pojad na Filipiny (zdam egazmin z logiki wygram w Lotto) (q r) p (w beznawiasowej: CAqrp) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
51 Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 4 Je±li si o»enisz, to twoja»ona b dzie pi kna lub brzydka. Je±li b dzie pi kna, b dziesz j dzieliª z innymi. Je±li b dzie brzydka, b dzie dla ciebie kar. Je±li masz swoj»on dzieli z innymi lub b dzie ona dla ciebie kar, to si nie o»enisz. Zatem: nie o»enisz si. [Bias z Prieny] PRZYKŠAD 4 - ZAPIS Przesªanki: p (q r) [CpAqr] q s [Cqs] r t [Crt] (s t) p [CAstNp] Wniosek: p [Np] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
52 Klasyczny rachunek zda«zmienne zdaniowe w formuªach KRZ Niech Var b dzie funkcj, która ka»dej formule KRZ przyporz dkowuje zbiór zmiennych zdaniowych, które wyst puj w tej formule. Mamy zatem na przykªad: Var( p (q r) ) = {p, q, r} Var( q s ) = {q, s} Var( r t ) = {r, t} Var( (s t) p ) = {p, s, t} Var( p ) = {p} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
53 INTERPRETACJA FORMUŠY A Dowolne podstawienie warto±ci logicznych (0 lub 1) w zbiorze Var(A). Na przykªad: Var( p (q r) ) = {p, q, r} INTERPRETACJE (8 mo»liwych): {p/1, q/1, r/1}, {p/1, q/1, r/0}, {p/1, q/0, r/0}, {p/0, q/0, r/0}, {p/0, q/0, r/1}, {p/0, q/1, r/1}, {p/1, q/0, r/1}, {p/0, q/1, r/1} Var( q s ) = {q, s} INTERPRETACJE (4 mo»liwe): {q/1, s/1}, {q/1, s/0}, {q/0, s/1}, {q/0, s/0} Var( p ) = {p} INTERPRETACJE (2 mo»liwe): {p/1}, {p/0} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
54 PODZIAŠ FORMUŠ KRZ Wszystkie poprawnie zbudowane formuªy KRZ nale» do jeden (i tylko jednej) z trzech klas: 1. Formuª, które s prawdziwe przy ka»dej mo»liwej interpretacji. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
55 PODZIAŠ FORMUŠ KRZ Wszystkie poprawnie zbudowane formuªy KRZ nale» do jeden (i tylko jednej) z trzech klas: 1. Formuª, które s prawdziwe przy ka»dej mo»liwej interpretacji. Formuªy takie nazwiemy TAUTOLOGIAMI KRZ. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
56 PODZIAŠ FORMUŠ KRZ Wszystkie poprawnie zbudowane formuªy KRZ nale» do jeden (i tylko jednej) z trzech klas: 1. Formuª, które s prawdziwe przy ka»dej mo»liwej interpretacji. Formuªy takie nazwiemy TAUTOLOGIAMI KRZ. 2. Formuª, które s prawdziwe przy pewnych interpretacjach, a faªszywe przy innych. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
57 PODZIAŠ FORMUŠ KRZ Wszystkie poprawnie zbudowane formuªy KRZ nale» do jeden (i tylko jednej) z trzech klas: 1. Formuª, które s prawdziwe przy ka»dej mo»liwej interpretacji. Formuªy takie nazwiemy TAUTOLOGIAMI KRZ. 2. Formuª, które s prawdziwe przy pewnych interpretacjach, a faªszywe przy innych. Formuªy takie nazwiemy LOGICZNIE NIEOKRE LONYMI FORMUŠAMI KRZ. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
58 PODZIAŠ FORMUŠ KRZ Wszystkie poprawnie zbudowane formuªy KRZ nale» do jeden (i tylko jednej) z trzech klas: 1. Formuª, które s prawdziwe przy ka»dej mo»liwej interpretacji. Formuªy takie nazwiemy TAUTOLOGIAMI KRZ. 2. Formuª, które s prawdziwe przy pewnych interpretacjach, a faªszywe przy innych. Formuªy takie nazwiemy LOGICZNIE NIEOKRE LONYMI FORMUŠAMI KRZ. 3. Formuª, które s faªszywe przy ka»dej mo»liwej interpretacji. adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
59 PODZIAŠ FORMUŠ KRZ Wszystkie poprawnie zbudowane formuªy KRZ nale» do jeden (i tylko jednej) z trzech klas: 1. Formuª, które s prawdziwe przy ka»dej mo»liwej interpretacji. Formuªy takie nazwiemy TAUTOLOGIAMI KRZ. 2. Formuª, które s prawdziwe przy pewnych interpretacjach, a faªszywe przy innych. Formuªy takie nazwiemy LOGICZNIE NIEOKRE LONYMI FORMUŠAMI KRZ. 3. Formuª, które s faªszywe przy ka»dej mo»liwej interpretacji. Formuªy takie nazwiemy KONTRTAUTOLOGIAMI KRZ. adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
60 JAK BADA TAUTOLOGICZNO FORMUŠ KRZ? 1.METODA TABLEKOWA Tadeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
61 JAK BADA TAUTOLOGICZNO FORMUŠ KRZ? 1.METODA TABLEKOWA 2. METODA SKRÓCONA Tadeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
62 METODA TABELKOWA Polega na konstrukcji tabeli, w której rozwa»ane s wszystkie interpretacje danej formuªy oraz stosowaniu kolejno tabelek prawdziwo±ciowych spójników logicznych w celu obliczenia warto±ci logicznej caªej formuªy przy tej interpretacji. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
63 METODA TABELKOWA - PRZYKŠAD 1 [TAUTOLOGIA] p q p q p q q p (p q) ( q p) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
64 METODA TABELKOWA - PRZYKŠAD 2 [TAUTOLOGIA] p p q p p (p p) q Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
65 METODA TABELKOWA - PRZYKŠAD 3 [TAUTOLOGIA] p q p q p q (p q) q ((p q) q) p Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
66 METODA TABELKOWA - PRZYKŠAD 4 [ZDANIE LOGICZNIE NIEOKRE LONE] p q p q (p q) q ((p q) q) p Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
67 METODA TABELKOWA - PRZYKŠAD 5 [KONTRTAUTOLOGIA] p p p p Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
68 METODA TABELKOWA PRZYDATNA REGUŠA: je±li w formule wyst puje n zmiennych zdaniowych, to ma ona 2 n interpretacji (tyle ró»nych wierszy nale»y uwzgl dni w konstruowanej tabeli). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
69 METODA SKRÓCONA Polega na przeprowadzeniu rozumowania niewprost: zaªo»eniu,»e badana formuªa NIE JEST tautologi oraz wykazaniu,»e zaªo»enie to jest niemo»liwe do speªnienia, poniewa» prowadzi do sprzeczno±ci [w ka»dym wariancie, do rozwa»enia którego zmuszaj nas tabele prawdziwo±ciowe]. Tadeusz Ciecierski (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
70 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 1 (p q) ( q p) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
71 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 1 (p q) ( q p) Zakªadamy,»e (p q) ( q p) nie jest tautologi, tj.»e: (p q) ( q p) = 0 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
72 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 1 (p q) ( q p) Zakªadamy,»e (p q) ( q p) nie jest tautologi, tj.»e: (p q) ( q p) = 0 Z tabelki dla równowa»no±ci, wiemy,»e prowadzi to do rozwa»enia dwóch wariantów: (A) (p q) = 1 ( q p) = 0 (B) (p q) = 0 ( q p) = 1 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
73 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 1 (p q) ( q p) Zakªadamy,»e (p q) ( q p) nie jest tautologi, tj.»e: (p q) ( q p) = 0 Z tabelki dla równowa»no±ci, wiemy,»e prowadzi to do rozwa»enia dwóch wariantów: (A) (p q) = 1 ( q p) = 0 (B) (p q) = 0 ( q p) = 1 Rozwa»my wariant (A). Z tabelki dla implikacji wiemy,»e ( q p) = 0, gdy q = 1 oraz p = 0. A to (tabelka dla negacji) znaczy,»e q = 0 oraz p = 1. Je±li jednak tak jest, to implikacja (p q) = 0, co jest sprzeczne z cz ±ci zaªo»enia wariantu (A). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
74 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 1 (p q) ( q p) Zakªadamy,»e (p q) ( q p) nie jest tautologi, tj.»e: (p q) ( q p) = 0 Z tabelki dla równowa»no±ci, wiemy,»e prowadzi to do rozwa»enia dwóch wariantów: (A) (p q) = 1 ( q p) = 0 (B) (p q) = 0 ( q p) = 1 Rozwa»my wariant (A). Z tabelki dla implikacji wiemy,»e ( q p) = 0, gdy q = 1 oraz p = 0. A to (tabelka dla negacji) znaczy,»e q = 0 oraz p = 1. Je±li jednak tak jest, to implikacja (p q) = 0, co jest sprzeczne z cz ±ci zaªo»enia wariantu (A). Rozwa»my wariant (B). Z tabelki dla implikacji wiemy,»e (p q) = 0, gdy p = 1 oraz q = 0. Je±li jednak tak jest, to implikacja ( q p) = 0, co jest sprzeczne z cz ±ci zaªo»enia wariantu (B). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
75 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 1 (p q) ( q p) Zakªadamy,»e (p q) ( q p) nie jest tautologi, tj.»e: (p q) ( q p) = 0 Z tabelki dla równowa»no±ci, wiemy,»e prowadzi to do rozwa»enia dwóch wariantów: (A) (p q) = 1 ( q p) = 0 (B) (p q) = 0 ( q p) = 1 Rozwa»my wariant (A). Z tabelki dla implikacji wiemy,»e ( q p) = 0, gdy q = 1 oraz p = 0. A to (tabelka dla negacji) znaczy,»e q = 0 oraz p = 1. Je±li jednak tak jest, to implikacja (p q) = 0, co jest sprzeczne z cz ±ci zaªo»enia wariantu (A). Rozwa»my wariant (B). Z tabelki dla implikacji wiemy,»e (p q) = 0, gdy p = 1 oraz q = 0. Je±li jednak tak jest, to implikacja ( q p) = 0, co jest sprzeczne z cz ±ci zaªo»enia wariantu (B). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
76 Oba warianty doprowadziªy nas do sprzeczno±ci. Zaªo»enie o faªszywo±ci formuªy jest niemo»liwe do speªnienia. Zatem formuªa jest TAUTOLOGI Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
77 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 2 (p p) r Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
78 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 2 (p p) r Zakªadamy,»e (p p) r nie jest tautologi, tj.»e: (p p) r = 0 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
79 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 2 (p p) r Zakªadamy,»e (p p) r nie jest tautologi, tj.»e: (p p) r = 0 Z tabelki dla implikacji wiemy,»e znaczy to,»e (p p) = 1 oraz r = 0. Z tabelki dla koniunkcji wiemy z kolei,»e (p p) = 1, gdy p = 1 oraz p = 1, a to z kolei znaczy,»e zarazem p = 1 i p = 0. Otrzymujemy sprzeczno±. Zaªo»enie o faªszywo±ci formuªy jest niemo»liwe do speªnienia. Zatem formuªa jest TAUTOLOGI. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
80 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 3 [(p q) q] p Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
81 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 3 [(p q) q] p Zakªadamy,»e [(p q) q] p nie jest tautologi, tj.»e: [(p q) q] p = 0 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
82 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 3 [(p q) q] p Zakªadamy,»e [(p q) q] p nie jest tautologi, tj.»e: [(p q) q] p = 0 Z tabelki dla implikacji wiemy,»e znaczy to,»e [(p q) q] = 1 oraz p = 0 (czyli,»e p = 1). Z tabelki dla koniunkcji wiemy,»e je±li [(p q) q] = 1, to (p q) = 1 oraz q = 1 (czyli,»e q = 0). Je±li jednak p = 1 oraz q = 0, to (z tabelki dla implikacji) (p q) = 0. Sprzeczno±. Zaªo»enie o faªszywo±ci formuªy jest niemo»liwe do speªnienia. Zatem formuªa jest TAUTOLOGI. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
83 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 4 [(p q) q] p Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
84 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 4 [(p q) q] p Zakªadamy,»e [(p q) q] p nie jest tautologi, tj.»e: [(p q) q] p = 0 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
85 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 4 [(p q) q] p Zakªadamy,»e [(p q) q] p nie jest tautologi, tj.»e: [(p q) q] p = 0 Z tabelki dla implikacji wiemy,»e znaczy to,»e [(p q) q] = 1 oraz p = 0. Z tabelki dla koniunkcji wiemy,»e je±li [(p q) q] = 1, to (p q) = 1 oraz q = 1. Nie otrzymujemy sprzeczno±ci, poniewa» implikacja o postaci (0 1) = 1 (jak wynikªo z analizy). Zdanie to mo»e by zatem faªszywe - nie jest tautologi. NIE WIEMY OCZYWI CIE JESZCZE CZY JEST LOGICZNIE OKRE LONE CZY TE JEST KONTRTAUTOLOGI. Mo»na pokaza,»e nie jest kontrtautologi przeprowadzaj c analogicznie rozumowanie nieprost dla zaªo»enia,»e [(p q) q] p = 1 (i nie otrzymuj c sprzeczno±ci). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
86 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 5 p p Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
87 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 5 p p Zakªadamy,»e p p nie jest tautologi, tj.»e: p p = 0 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
88 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 5 p p Zakªadamy,»e p p nie jest tautologi, tj.»e: p p = 0 Z tabelki dla koniunkcji wiemy,»e mamy tu a» trzy mo»liwo±ci do rozwa»enia: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
89 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 5 p p Zakªadamy,»e p p nie jest tautologi, tj.»e: p p = 0 Z tabelki dla koniunkcji wiemy,»e mamy tu a» trzy mo»liwo±ci do rozwa»enia: (A) p = 0 oraz p = 0, (B) p = 1 oraz p = 0, (C) p = 0 oraz p = 1 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
90 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 5 p p Zakªadamy,»e p p nie jest tautologi, tj.»e: p p = 0 Z tabelki dla koniunkcji wiemy,»e mamy tu a» trzy mo»liwo±ci do rozwa»enia: (A) p = 0 oraz p = 0, (B) p = 1 oraz p = 0, (C) p = 0 oraz p = 1 Zacznijmy od (A). Mamy tu natychmiastow sprzeczno±, bo wychodziªoby,»e p = 0 i p = 1. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
91 METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 5 p p Zakªadamy,»e p p nie jest tautologi, tj.»e: p p = 0 Z tabelki dla koniunkcji wiemy,»e mamy tu a» trzy mo»liwo±ci do rozwa»enia: (A) p = 0 oraz p = 0, (B) p = 1 oraz p = 0, (C) p = 0 oraz p = 1 Zacznijmy od (A). Mamy tu natychmiastow sprzeczno±, bo wychodziªoby,»e p = 0 i p = 1.Rozwa»my (B). Tu nie mamy»adnej sprzeczno±ci (wychodzi nam po prostu,»e p = 1). Nie musimy ju» w ogóle rozwa»a wariantu (C) (znale¹li±my wypadek, który nie prowadzi do sprzeczno±ci). Wiemy,»e formuªa nie jest tautologi (nie wiemy jeszcze czy jest logicznie nieokre±lona czy te» jest kontrtautologi, ale zastosowanie metody skróconej do zaªo»enia,»e p p = 1 prowadzi do natychmiastowej sprzeczno±ci, co rozstrzyga kwesti na rzecz drugiej opcji) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
92 MORAŠ Z POWY SZEGO PRZYKŠADU Je±li znajdziesz sprzeczno± w jednym z kilku wariantów, które musisz rozwa»y, o niczym to jeszcze nie ±wiadczy - musisz zbada pozostaªe. Je±li NIE znajdziesz sprzeczno±ci w jednym z kilku wariantów, które musisz rozwa»y, wówczas nie musisz prowadzi analizy dalej: wiesz,»e formuªa NIE JEST TAUTOLOGI. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
93 WYNIKANIE LOGICZNE - INTUICJA Z pewnego zbioru zda«(przesšanek) wynika logicznie (dedukcyjnie) pewne zdanie (WNIOSEK), gdy nie jest mo»liwe, aby przesªanki byªy prawdziwe a wniosek faªszywy. WYNIKANIE LOGICZNE Stwierdzenie,»e ze zbioru zda«x wynika zdanie α b dziemy zapisywa jako: X = α. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
94 WYNIKANIE LOGICZNE Ogólna i uniwersalna mechaniczna procedura ustalania, czy mamy w danym wypadku do czynienia z wynikaniem nie istnieje. Mo»na natomiast stosowa ró»ne metody cz stkowe. WYNIKANIE LOGICZNE NA GRUNCIE KRZ Ze niepustego i sko«czonego zbioru zda«x wynika na gruncie KRZ zdanie α, gdy dla ka»dej interpretacji koniunkcji wszystkich zda«ze zbioru X jest tak,»e je±li koniunkcja ta jest prawdziwa przy tej interpretacji, prawdziwe jest te» (przy tej interpretacji) zdanie α. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
95 WYNIKANIE LOGICZNE - JAK TO BADA? Konstruujemy tabel, w której reprezentujemy zaªo»enie,»e mo»liwa jest sytuacja, w której przesªanki s prawdziwe, a wniosek jest faªszywy [a zatem,»e wynikanie nie zachodzi]. PRZESŠANKI (1) WNIOSEK (0) p 1 p 2 p 3... p n α WYNIKANIE LOGICZNE - JAK TO BADA? Nast pnie staramy si pokaza (korzystaj c z tabelek),»e zaªo»enie to prowadzi do sprzeczno±ci. Je±li uda nam sie to wykaza, wiemy,»e wniosek wynika z przesªanek (na gruncie KRZ). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
96 PRZESŠANKI (1) WNIOSEK (0) p (q r) q s r t p (s t) p ANALIZA TABELI Je±li p = 0 (a zatem te» p = 0), to (s t) = 0 (w innym wypadku faªszywa byªaby implikacja (s t) p). (s t) = 0, gdy s = 0 oraz t = 0 (z tabelki dla alternatywy). Z tabelki dla implikacji dowiadujemy si natychmiast,»e q = 0 i r = 0. To za± znaczy,»e (q r) = 0. W takiej sytuacji jednak - wbrew zaªo»eniu - implikacja p (q r) = 0. Sprzeczno±. Nie jest zatem mo»liwe, aby przesªanki byªy prawdziwe, a wniosek faªszywy Zatem: {p (q r), q s, r t, s t} = p Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
97 WYNIKANIE LOGICZNE - A CO Z WYPADKAMI NEGATYWNYMI? Je±li nie otrzymamy sprzeczno±ci - mo»emy co najwy»ej powiedzie,»e zdanie nie wynika NA GRUNCIE RACHUNKU ZDA. Nadal mo»liwe jest,»e WYNIKANIE LOGICZNE ZACHODZI, tylko do uzasadnienia tego twierdzenia potrzebne s inne narz dzia analizy - rachunek predykatów, jaki± nieklasyczny rachunek logiczny etc. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
98 WYNIKANIE LOGICZNE i TAUTOLOGICZNO Przedstawione powy»ej metody sprawdzania wynikania i tautologiczno±ci okre±lane bywaj mianem SEMANTYCZNYCH (ze wzgl du na to,»e odwoªuj si do poj cia interpretacji). Przeciwsatwia si im niekiedy metody okre±lane (niezbyt sªusznie) mianem SYNTAKTYCZNYCH. Za metody takie uchodz : Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
99 WYNIKANIE LOGICZNE i TAUTOLOGICZNO Przedstawione powy»ej metody sprawdzania wynikania i tautologiczno±ci okre±lane bywaj mianem SEMANTYCZNYCH (ze wzgl du na to,»e odwoªuj si do poj cia interpretacji). Przeciwsatwia si im niekiedy metody okre±lane (niezbyt sªusznie) mianem SYNTAKTYCZNYCH. Za metody takie uchodz : [1] METODA AKSJOMATYCZNA (o niej wspomnimy bardzo krótko) [2] METODA ZAŠO ENIOWA Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
100 METODA AKSJOMATYCZNA Polega na podaniu zbioru AKSJOMATÓW rachunku zda«oraz REGUŠ WNIOSKOWANIA, które mówi nam, jakiego rodzaju operacje na aksjomatach i ich konsekwencjach wolno wykona, aby mo»na byªo otrzyma kolejne konsekwencje zachowuj ce prawdziwo± logiczn. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
101 METODA AKSJOMATYCZNA Polega na podaniu zbioru AKSJOMATÓW rachunku zda«oraz REGUŠ WNIOSKOWANIA, które mówi nam, jakiego rodzaju operacje na aksjomatach i ich konsekwencjach wolno wykona, aby mo»na byªo otrzyma kolejne konsekwencje zachowuj ce prawdziwo± logiczn. Systemów aksjomatycznych rachunku zda«jest wiele - my podamy w charakterze przykªadu jeden, którego autorem jest polski logik Jan Šukasiewicz ( ). adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
102 SYSTEM ŠUKASIEWICZA - AKSJOMATY Ax1. (p q) ((q r) (p r)) Ax2. ( p p) p Ax3. p ( p q) Zadanie domowe: wyka»,»e aksjomaty te s tautologiami. SYSTEM ŠUKASIEWICZA - REGUŠY WNIOSKOWANIA - jest aksjomatem lub zostaªo wyprowadzone z aksjomatów A[p] - formuªa, w której przynajmniej raz wyst puje zmienna zdaniowa p A[q(p)] - formuªa powstajaca przez zast pienia ka»dego wyst pienia zmiennej zdaniowej p w formule A[p] przez zmienn zdaniow q Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
103 REGUŠA PODSTAWIANIA A[p] A[q(p)] ODCZYTANIE Je±li formuªa A[p] zostaªa wyprowadzona z aksjomatów, to mo»na z niej wyprowadzi : A[q(p)]. adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
104 REGUŠA PODSTAWIANIA A[p] A[q(p)] REGUŠA ODRYWANIA [MODUS PONENS] A B, B A ODCZYTANIE Je±li formuªa A[p] zostaªa wyprowadzona z aksjomatów, to mo»na z niej wyprowadzi : A[q(p)]. ODCZYTANIE Je±li mamy udowodnion implikacj oraz mamy udowodniony jej poprzednik, mo»emy st d wyprowadzi jej nast pnik. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
105 Aksjomaty Ax1. (p q) ((q r) (p r)) Ax2. ( p p) p Ax3. p ( p q) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
106 Aksjomaty Ax1. (p q) ((q r) (p r)) Ax2. ( p p) p Ax3. p ( p q) Przykªadowy dowód Dowodzimy: p p 1. (p q) ((q p) (p p)) (RP: p/r - Ax1) 2. (p ( p q)) ((( p q) p) (p p)) (RP: ( p q)/q - wiersz 1) 3. (( p q) p) (p p) (RO: 2, Ax3) 4. (( p p) p) (p p) (RP: p/q - Ax1) 5. p p (RO: 4, Ax2) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
107 METODA ZAŠO ENIOWA Polega na dowodzeniu twierdze«przy u»yciu samych reguª wnioskowania (dowody s w niej zazwyczaj du»o bardziej intuicyjne ni» w metodzie aksjomatycznej). REGUŠY Dzielimy ja na dwie grupy: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
108 METODA ZAŠO ENIOWA Polega na dowodzeniu twierdze«przy u»yciu samych reguª wnioskowania (dowody s w niej zazwyczaj du»o bardziej intuicyjne ni» w metodzie aksjomatycznej). REGUŠY Dzielimy ja na dwie grupy: [RW] Reguªy wprowadzania spójników [RE] Reguªy opuszczania (eliminacji) spójników. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
109 Reguªy wprowadzania spójników REGUŠA WPROWADZANIA PODWÓJNEJ NEGACJI [RWPN] A A REGUŠA WPROWADZANIA KONIUNKCJI [RWK] A, B A B adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
110 Reguªy wprowadzania spójników REGUŠA WPROWADZANIA PODWÓJNEJ NEGACJI [RWPN] A A REGUŠA WPROWADZANIA ALTERNATYWY [RWA] A A B REGUŠA WPROWADZANIA KONIUNKCJI [RWK] A, B A B REGUŠA WPROWADZANIA RÓWNOWA NO CI [RWR] A B, B A A B Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
111 Reguªy opuszczania spójników REGUŠA OPUSZCZANIA PODWÓJNEJ NEGACJI [ROPN] A A REGUŠA OPUSZCZANIA KONIUNKCJI [ROK] A B A, B adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
112 Reguªy opuszczania spójników REGUŠA OPUSZCZANIA PODWÓJNEJ NEGACJI [ROPN] A A REGUŠA OPUSZCZANIA ALTERNATYWY [ROA] A B B A REGUŠA OPUSZCZANIA KONIUNKCJI [ROK] A B A, B REGUŠA OPUSZCZANIA RÓWNOWA NO CI [ROR] A B A B, B A Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
113 Reguªy opuszczania spójników REGUŠA ODRYWANIA [RO] A B, B A Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
114 DOWODY WPROST Je±li mamy do udowodnienia formuª o postaci A (B...(C D)), to jako przesªanki dowodu przyjmujemy A, B, C... (poprzedniki odpowiednich implikacji), a dowodzimy (u»ywaj c reguª) D. Podobnie w wypadku, gdy mamy dany zbiór przesªanek i wniosek: przesªanki wypisujemy jako zaªo»enia dowodu, a próbujemy dowodzi wniosku. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
115 Dowody wprost PRZYKŠAD 1 Dowodzimy: (p q) ((q r) (p r)) skróty: zd - zaªo»enie, zdnw - zaªo»enie dowodu nie wprost, w wierwszach podajemy informacj o tym, jak uzyskali±my dan formuª, - koniec dowodu 1. p q zd 2. q r zd 3. p zd 4. q [RO: 1, 3] 5. r [RO: 2, 4]. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
116 Dowody wprost PRZYKŠAD 2 Problem: {p q, p s, (s q) t} t? Dowodzimy: t 1. p q zd 2. p s zd 3. (s q) t zd 4. p [ROK: 1] 5. q [ROK: 1] 6. p [RWN: 4] 7. s [ROA: 2, 6] 8. s q [RWK: 5, 7] 9. t [RO: 3, 8] 10. t [RON: 9]. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
117 DOWODY NIE WPROST W tym wypadku przyjmujemy jako dodatkowe zaªo»enie dowodu negacj formuªy, któr chcemy udowodni i staramy si pokaza,»e z tego zaªo»enia oraz innych zaªo»e«dowodu wynika sprzeczno± (formuªa o postaci A A ). Je±li tak jest, wówczas wiemy,»e z zaªo»e«dowodu wynika na pewno formuªa, której negacj wprowadzili±my jako zaªo»enie dowodu nie-wprost. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
118 Dowody nie wprost PRZYKŠAD 1 Dowodzimy: (p q) ( q p) 1. p q zd 2. q zd 3. p zdnw 4. p [RON: 3] 5. q [RO: 1, 4] 6. q q [RWK: 2, 5] SPRZECZNO. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
119 Dowody nie wprost PRZYKŠAD 2 Problem: { p q} (p q)? Dowodzimy: (p q) 1. p q zd 2. (p q)zdnw 3. p q [RON: 2] 4. p [ROK: 1] 5. q [ROK: 1] 6. q [ROA: 3, 4] 7. q q [RWK: 5, 6] SPRZECZNO. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
120 DODATKOWE TEZY I PODSTAWIANIE Je±li mamy ju» dowód jakiej± tezy KRZ (wiemy,»e jest prawem logicznym) to mo»emy wprowadzi j do dowodu jako dodatkow przesªank. Reguª podstawiania wolno stosowa JEDYNIE DO PRAW LOGICZNYCH (formuª, o których wiemy,»e s tautologiami) [zazwyczaj nie stosuje si jej w ogóle]. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
121 Dowód z dodatkow tez i podstawieniem w prawie PRZYKŠAD Dowodzimy: p p 1. (p p) zdnw 2. ( p q) (p q) Prawo de Morgana 3. ( p p) (p p) [Podstawienie w prawie de Morgana: p za q] 4. (p p) ( p p) ROR, 3 5. p p [RO: 1, 4] SPRZECZNO. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
122 Rozumowanie przez przypadki Rozumowanie przez przypadki A B [A...C] [B...C] (A B) C ODCZYTANIE Je±li mamy dowód (wprost lub nie wprost) C z ka»dego z czªonów alternatywy A B, to znaczy,»e mamy dowód implikacji (A B) C. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
123 Rozumowanie przez przypadki PRZYKŠAD - ROZUMOWANIE BIASA Problem: {p (q r), q s, r t, (s t) p} p? Dowodzimy: p 1. p (q r) zd 2. q s zd 3. r t zd 4. (s t) p zd 5. p zdnw 6. p [RON: 5] 7. q r [RO: 1, 6] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
124 Rozumowanie przez przypadki PRZYKŠAD - ROZUMOWANIE BIASA cd. 8. q zaªo»enie nr 1 rozumowania przez przypadki 9. s [RO: 2, 8] 10.(s t) [RWA: 9] 11. p [RO: 4, 10] 12. p p [RWK: 6,11] SPRZECZNO. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
125 Rozumowanie przez przypadki PRZYKŠAD - ROZUMOWANIE BIASA cd. 13. r zaªo»enie nr 2 rozumowania przez przypadki 14. t [RO: 3, 13] 15.(s t) [RWA: 14] 16. p [RO: 4, 14] 17. p p [RWK: 6, 16] SPRZECZNO. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
126 PRAWA LOGICZNE KRZ I WYNIKANIE PRAWA LOGICZNE I WYNIKANIE Metody semantyczne, syntaktyczne w KRZ pozwalaj dowodzi tych samych zbiorów twierdze«- wybór metody dowodzenia mo»na w danym wypadku uzale»ni od tego, jak jest ona wygodna. PEŠNO KRZ W metalogice wªasno± polegaj c na tym,»e zbiory twierdze«dowodliwych semantycznie i aksjomatycznie (oraz zaªo»eniowo) pokrywaj si (w wypadku danego systemu logicznego) nazywamy PEŠNO CI tego systemu. Klasyczny rachunek zda«jest w tym sensie systemem peªnym. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
127 PRAWA LOGICZNE KRZ POPULARNE PRAWA KRZ I ICH UTARTE NAZWY p p PRAWO WYŠ CZONEGO RODKA (p p) PRAWO NIESPRZECZNO CI p p PRAWO TO SAMO CI p ( p q) PRAWO DUNSA SZKOTA (1) (p p) q) PRAWO DUNSA SZKOTA (2) ( p p) p) PRAWO CLAVIUSA (p q) ( q p) PRAWO TRANSPOZYCJI p (q p) PRAWO SYMPLIFIKACJI (p q) ((q r) (p r)) PRZECHODNIO IMPLIKACJI (p (q r)) ((p q) (p r)) PRAWO FREGEGO [p (q r)] [q (p r)] PRAWO KOMUTACJI [p (q r)] [(p q) r] PRAWO EKSPORTACJI Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
128 PRAWA LOGICZNE KRZ WZAJEMNE DEFINICJE SPÓJNIKÓW LOGICZNYCH (p q) ( p q) (p q) (p q) ( p q) ( p q) (p q) (p q) ( p q) (p q) [(p q) (q p)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
129 PROBLEM NR 1 DO PRZEMY LENIA DYSJUNKCJA I BINEGACJA Dowolny z dwóch spójników logicznych, których tabelki podane s na nast pnych slajdach umo»liwia zdeniowanie wszystkich pozostaªych spójników KRZ (tak»e negacji). Pierwszy nazywany jest BINEGACJ [podwójnym zaprzeczeniem] i odpowiada zwrotom takim jak: ani...ani,»adne z dwojga itp. Drugi nazywany jest DYSJUNKCJ i odpowiada zwrotom takim jak co najwy»ej jedno z dwojga itp. Czy potrasz zaproponowa odpowiednie denicje dla pi ciu spójników KRZ? Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
130 BINEGACJA A B A B Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
131 DYSJUNKCJA A B A B Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
132 PROBLEM NR 2 DO PRZEMY LENIA SPÓJNIKI TRÓJARGUMENTOWE Spójników 1-argumentowych jest 4, 2-argumentowych: 16. Czy potrasz pokaza,»e ka»dy spójnik trójargumentowy mo»na zredukowa do kombinacji spójników 1 i 2 argumentowych? PODPOWIED Zastanów si, czy potrasz zapisa informacj zawart w danej tabelce (w której badasz dowoln formuª A) przy u»yciu koniunkcji, alternatywy i negacji. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
133 PROBLEM NR 3 DO PRZEMY LENIA EKSTENSJONALNO SPÓJNIKÓW KRZ Wszystkie spójniki klasycznego rachunku zda«(oraz ich odpowiedniki w j zyku naturalnym, o ile takie w ogóle istniej ) to tzw. SPÓJNIKI EKSTENSJONALNE, tzn. zast pienie w zdaniu zªo»onym dowolnego zdania prostego przez dowolne zdanie o tej samej warto±ci logicznej nie zmieni warto±ci logicznej caªego zdania. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
134 PROBLEM NR 3 DO PRZEMY LENIA NIEEKSTENSJONALNO WIELU SPÓJNIKÓW [KONTEKSTÓW] W J ZYKU NATURALNYM Wiele spójników (lub szerzej: kontekstów) w j zyku naturalnym jest NIEEKSTENSJONALNA, tzn. nie zawsze zast pienie wyst puj cego w ich zasi gu zdania prostego o danej warto±clo logicznej przez inne zdanie o tej samej warto±ci logicznej prowadzi do zachowania warto±ci logicznej caªego zdania. Przykªadami mog tu by : (a) Spójniki/konteksty psychologiczne: A jest przekonany,»e p, A wie,»e p, A nie wie, czy p itp. (b) Spójniki czasowe: Byªo tak,»e p, B dzie tak,»e p itp. (c) Spójniki modalne: Mo»liwe,»e p, Konieczne,»e p itp. (d) Nierzeczywiste okresy warunkowe: Gdyby p, to q. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada / 77
Wyra»enia logicznie równowa»ne
Wyra»enia logicznie równowa»ne Denicja. Wyra»enia rachunku zda«nazywamy logicznie równowa»nymi, gdy maj równe warto±ci logiczne dla dowolnych warto±ci logicznych zmiennych zdaniowych. 1 Przykªady: Wyra»enia
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019
Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Zdanie logiczne.
Logika matematyczna (16) (JiNoI I)
Logika matematyczna (16) (JiNoI I) Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 15/16 lutego 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16
Podstawy matematyki dla informatyków. Logika formalna. Skªadnia rachunku zda« Skróty i priorytety. Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011
Podstawy matematyki dla informatyków Logika formalna Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011 Skªadnia rachunku zda«symbole (zmienne) zdaniowe (p, q, r,...), oraz znaki i s formuªami zdaniowymi.
Indeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych
1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera
Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
JÓZEF W. BREMER WPROWADZENIE DO LOGIKI
JÓZEF W. BREMER WPROWADZENIE DO LOGIKI Wydawnictwo WAM Kraków 2006 Spis tre ci Przedmowa Jana Wole skiego 9 Wst p 11 1 Logika i jej rozumienie 17 1.1 Teksty wprowadzaj ce...................... 17 1.1.1
Logika [dla Psychologii UW]
![Logika [dla Psychologii UW]](/thumbs/94/118488875.jpg "Logika [dla Psychologii UW]")
Logika [dla Psychologii UW] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl Uniwersytet Warszawski 19 grudnia 2011 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011
x y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu
➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje
0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Logika [dla Psychologii UW]
![Logika [dla Psychologii UW]](/thumbs/52/30278579.jpg "Logika [dla Psychologii UW]")
Logika [dla Psychologii UW] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl Uniwersytet Warszawski 24 pa¹dziernika 2011 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 24 pa¹dziernika
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
Matematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje
ĆWICZENIE 2 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, iniowalność spójników za mocą formuły. DEF.
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Podstawy logiki i teorii zbiorów wiczenia
Spis tre±ci 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Ró»nica symetryczna 4 5 Kwantykatory 5 6 Relacje 7 7 Relacje porz dku i równowa»no±ci 8 8 Funkcje
Dalszy ciąg rachunku zdań
Dalszy ciąg rachunku zdań Wszystkie możliwe funktory jednoargumentowe p f 1 f 2 f 3 f 4 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Wszystkie możliwe funktory dwuargumentowe p q f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f
Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań
Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie
Macierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Definicja: alfabetem. słowem długością słowa
Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na
Logika intuicjonistyczna
9 listopada 2011 Plan 1 2 3 4 Plan 1 2 3 4 Intuicjonizm Pogl d w lozoi matematyki wprowadzony w 1912 L. E. J. Brouwera. Twierdzenia matematyczne powstaj dzi ki intuicjom naszego umysªu. Skupienie si na
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas
Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Ćwiczenie 1. (Zad. L. Newelskiego) Niech p oznacza zdanie Ala je, zaś q zdanie As wyje. Zapisz jako formu ly rachunku zdań nastȩpuj ace zdania: 1.1.
Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
Elementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/wstep.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wyksztaªcenie u studentów podstaw j zyka matematycznego, wypracowanie podstawowych umiej tno- ±ci przeprowadzania
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór
Podstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy
Dowody założeniowe w KRZ
Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody
Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego
Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie
Rachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań 1 Istnieje wiele systemów aksjomatycznych Klasycznego Rachunku
Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
LOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Matematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.
Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność
Logika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
Preliminaria logiczne
Preliminaria logiczne Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR Jerzy Pogonowski (MEG) Preliminaria
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne
Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.
Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne
Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )
Logika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 18 listopada 2012 Michał Lipnicki Logika 18 listopada 2012 1 / 1 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Ukªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Arytmetyka pierwszego rz du
Arytmetyka pierwszego rz du B dziemy bada arytmetyk liczb naturalnych z z perspektywy logiki pierwszego rz du. Sªowo arytmetyka u»ywane jest w odniesieniu do ró»nych teorii dotycz cych liczb naturalnych.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
Logika dla matematyków i informatyków Wykªad 1
Logika dla matematyków i informatyków Wykªad 1 Stanisªaw Goldstein Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ 16 lutego 2016 Wszech±wiat matematyczny skªada si wyª cznie ze zbiorów. Liczby naturalne s zdeniowane
Rachunek zdań i predykatów
Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)
Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.
Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były
1. Podstawy budowania wyra e regularnych (Regex)
Dla wi kszo ci prostych gramatyk mo na w atwy sposób napisa wyra enie regularne które b dzie s u y o do sprawdzania poprawno ci zda z t gramatyk. Celem niniejszego laboratorium b dzie zapoznanie si z wyra
Metoda aksjomatyczna
Metoda aksjomatyczna Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR 27x2015 Jerzy Pogonowski (MEG)
Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Prawa rachunku zbiorów to takie wyra enia j zyka tego rachunku, które staj si zdaniami prawdziwymi przy ka dym podstawieniu nazw zbiorów za zmienne.
Prawa rachunku zbiorów to takie wyra enia j zyka tego rachunku, które staj si zdaniami prawdziwymi przy ka dym podstawieniu nazw zbiorów za zmienne. PRAWA RACHUNKU ZBIORÓW LP PRAWO NAZWA 1 A B = B A A
Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.
Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy
Konsekwencja logiczna
Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami
Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Logika pierwszego rz du. Sposób u»ycia. Tautologie, sposoby u»ywania logiki pierwszego rz du, zwi zki z j zykiem naturalnym
Logika pierwszego rz du. Sposób u»ycia. Tautologie, sposoby u»ywania logiki pierwszego rz du, zwi zki z j zykiem naturalnym Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ)
Przekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.)
Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.) Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej Wydział Elektroniki Wnioskowanie przybliżone Wnioskowanie w logice tradycyjnej (dwuwartościowej) polega na stwierdzeniu
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych
Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Zapoznaj z poniŝszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŝonych