Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład / 6
Ortonormalne układy funkcji Definicja: Niech ϕ (x), ϕ (x),... będzie nieskończonym ciągiem funkcji określonych na przedziale a x b na którym zdefiniwana jest także funkcja r(x) > 0. Funkcje ϕ(x) nazywamy ortogonalnymi ze względu na funkcję wagową r(x) jeśli: ˆ b a r(x)ϕ m (x)ϕ n (x)dx = 0, dla m n Normą funkcji nazywamy ϕ(x) gdzie ϕ n (x) = b a r(x)ϕ n(x)dx 0 Układ znormalizowanych funkcji ˆϕ i (x) = ϕ i (x)/ ϕ i (x), i =,,... nazywamy układem ortonormalnym: ˆ b a r(x) ˆϕ m (x) ˆϕ n (x)dx = δ mn Przykład: Pokaż, że układ funkcji, cos x, sin x, cos x, sin x,... jest układem ortogonalnym na przedziale π x π ze względu na f. wagową r(x) =. π π π sin mx sin nxdx = 0, cos mx cos nxdx = 0, sin mx cos nxdx = 0 π π π π π dx = π, π π sin nxdx = π π π cos nxdx = π, sin mxdx = 0 π Układ ortonormalny ma postać: π, π sin nx, π cos nx, n =,,... M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład / 6
Wielomiany Legendre a Układ monomianów x n, n 0 napina przestrzeń wszystkich wielomianów. Nie jest to jednak układ ortogonalny. Konstrukcja ortonormalnego układu wielomianów na przedziale [, ]: n ˆ P n (x) = a k x k P n (x)p m (x)dx = 0 dla n m ortogonalność: k=0 P n (x)x m dx = n k=0 ( ) m+k+ m+k+ a k = 0 dla 0 m < n normalizacja: P n () = a 0 + a +... + a n = Otrzymujemy w ten sposób ortogonalne wielomiany Legendre a: P 0 (x) =, P (x) = x, P (x) = (3x ), P 3 (x) = (5x3 3x),... Formuła Rodriguesa: korzystamy z reguły Leibniza (fg) (n) = n P n (x) = d n (x ) n n n! dx n = n n k=0 ( n k k=0 ( n k ) f (k) g (n k) ) (x ) n k (x + ) k Iloczyn skalarny wielomianów Legendre a: P n(x)p m (x)dx = n+ δ nm M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 3 / 6
Wielomiany Legendre a - funkcja generująca Współczynniki p n (x) w rozwinięciu funkcji: g(t, x) = = ( ) p n (x)t n, gdzie p n (x) = n xt + t t n xt + t n=0 są wielomianami w zmiennej x. Pokażemy, że są to wielomiany Legendre a. Ponieważ ˆ oraz ˆ dx xt + t xv + v = ln + tv tv g(t, x)g(v, x) dx = ˆ n, tv = p n (x)p m (x)t n v m dx k=0 k + (tv)k więc porównując współczynniki przy tych samych potęgach t n v m widać, że: ˆ p n (x)p m (x)dx = n + δ nm Równocześnie mamy: g(t, x = ) = t = t n = p n ()t n p n () = n=0 n=0 Funkcja g(t, x) jest więc funkcją generującą dla wielomianów Legendre a. M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 4 / 6 t=0
Wielomiany Legendre a - relacje rekurencyjne Pn+ (x) = n + [(n + )xp n(x) np n (x)] Dowód przez porównanie współczynników przy tych samych potęgach t n : g(t, x) t n= x t = ( xt + t ) = np 3/ n (x)t n n= ( xt + t ) np n (x)t n = (x t)g(t, x) = (x t) P n (x)t n P n+(x) + P n (x) = xp n(x) + P n (x) Dowód przez porównanie współczynników przy tych samych potęgach t n : g(t, x) x ( xt + t ) t = ( xt + t ) = 3/ n= n= P n(x)t n = t g(t, x) = P n(x)t n n= P n (x)t n+ n=0 P n+(x) P n (x) = (n + )P n (x) Dowód poprzez kombinację dwóch poprzednich formuł. M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 5 / 6
Inne wielomiany ortogonalne Formuła Rodriguesa pozwala generować inne rodziny wielomianów ortogonalnych na przedziale [a, b] z funkcją wagową w(x): c n d n R n (x) = w(x) dx n [w(x)qn (x)] ˆ b przy założeniu, że w(a)q n (a) = w(b)q n (b) = 0. a R n (x)r m (x)w(x)dx = N n δ nm Wielomiany Hermite a: Q(x) =, w(x) = e x, D d dx ( H n (x) = ( ) n e x dn dx n e x = e x / x d ) n e x / = n e D /4 x n dx Ortogonalne na osi rzeczywistej: ˆ H n (x)h m (x)e x dx = π n n! δ nm Funkcja generująca oraz spełniane równanie różniczkowe: e xy y = H n (x) yn n!, y xy + ny = 0 n=0 Przykład zastosowania: n-ty stan wzbudzony oscylatora harmonicznego jest proporcjonalny do H n (x), gdzie x = mω/ q oznacza bezwymiarowe położenie. M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 6 / 6
Wielomiany Laguerre a Wielomiany Laguerre a: Ortogonalne na przedziale [0, ): ˆ 0 Q(x) = x, w(x) = x α e x L n (α) (x) = ex d n ( e x n!x α dx n x n+α) L (α) n (x)l (α) m (x)x α e x Γ(n + α + ) dx = δ nm n! Funkcja generująca oraz spełniane równanie różniczkowe: ( ) xy ( y) α exp = y n=0 L (α) n (x)y n, xy + (α + x)y + ny = 0 Przykład zastosowania: Część radialna funkcji falowej dla nierelatywistycznego atomu wodoru o liczbach kwantowych n i l dana jest przez ρ l L l+ n l (ρ)e ρ/, gdzie ρ = r/na 0 oraz a 0 jest promieniem Bohra a 0 = 4πɛ 0 /m e e. M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 / 6
Funkcja gamma Γ Definicja: Funkcja gamma zdefiniowana jest jako: Γ(x) = ˆ Ponieważ spełniona jest relacja: 0 e t t x dt, x > 0 Γ(x + ) = xγ(x), x > 0 dlatego dla x = n N zachodzi Γ(n + ) = n! Γ 0 7.5 5.5.5 5 7.5 0 4 x Dla x > 0 funkcja gamma interpoluje pomiędzy kolejnymi wartościami funkcji silnia i może być traktowana jako uogólnienie silni. Funkcja gamma może być rozszerzona na obszar x < 0, x,,... Przykład: Oblicz Γ(/), Γ(7/) oraz Γ( 3/) [Γ(/)] = ( e u u / du ) ( e v v / dv ) = 0 0 u = x, v = y = = 4 e (x +y ) dxdy = 4 π/ dθ e r rdr = π 0 0 0 0 Γ(/) = π Γ ( ) 7 = 5 Γ ( ) 5 = 5 3 Γ ( ) = 5 8 π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( 3 Γ 3 = Γ, Γ ) = Γ ) ( ) = π, Γ 3 = 4 3 π M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 8 / 6
Zastosowania funkcji gamma Γ Uogólnienie symbolu Newtona: ( ) α Dla R α > 0 mamy: = m ( ) n n! = m m!(n m)! = Γ(n + ) Γ(m + )Γ(n m + ) Γ(α + ) Γ(m + )Γ(α m + ) Z relacji Γ(x + ) = xγ(x) wynika, że: a(a + )(a + )...(a + n) = Przykład: Zapisz współczynnik a n = Γ(a + n + ) Γ(a) 5 9... (4n + ) n za pomocą funkcji Γ. 5 9... (4n+) = 4 n+ 4 5 4 9 4... ( 4 +n) = 4n+ Γ( 5 4 +n) a Γ( 4 ) n = n+ Γ( 5 4 + n) Γ( 4 ) Podwójna silnia: (n + )! 3 5... (n + ) = (n + )!! = n, 4 6... (n) = (n)!! = n n! n! Definicja: Funkcja beta: B(x, y) = Własności: B(x, y) = B(y, x), B(x, y) = ( y x+y ˆ 0 t x ( t) y dt, x > 0, y > 0 B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x+y), B(, ) =, B(/, /) = π ) ) B(x, y ) = B(x, y + ) ( x+y y M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 9 / 6
Funkcja Bessela pierwszego rodzaju J n (x) Rozwiązując równanie Bessela x d y dx + x dy dx + (x ν )y = 0 metodą Frobeniusa y(x) = r=0 a rx r+c, otrzymujemy: równanie charakterystyczne: c ν = 0 c = ν, c = ν Przyrównując współczynniki kolejnych potęg x do zera, mamy: x c : (c ν )a = 0 0 a 0 0 x c+ : [(c + ) ν ]a = 0 a = 0 x c+r : [(r + c) ν ]a r + a r = 0 a m = 4m(m+ν) a m, m =,,... Wybieramy a 0 = ν Γ(+ν) a m = ( ) m m+ν m!γ(m++ν), m =,,... Pierwsze rozwiązanie metodą Frobeniusa przymuje postać funkcji J ν (x). Funkcja Bessela pierwszego rodzaju rzędu ν: J ν (x) = x ν ( ) m x m m+ν m!γ(m + + ν), x 0 Dla ν = n N mamy: ( ) m x m+n 0. J n (x) = m+n, x 0 0.4 m!(m + n)! M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 0 / 6 J n 0.8 0.6 0.4 0. J 0 J J 4 6 8 0 4 x
Całki oznaczone J 0 (x)dx są dostępne w tablicach (uwaga: 0 J n (x)dx = ). M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład / 6 Funkcja Bessela pierwszego rodzaju J n (x) W przypadku gdy ν nie jest liczbą całkowitą, drugie, liniowo niezależne rozwiązanie równania Bessela ma postać: J ν (x) = x ν ( ) m x m m ν m!γ(m + ν), x 0 Ogólne rozwiązanie ma więc postać: y(x) = C J ν (x) + C J ν (x) Własności funkcji Bessela dla ν = n N: Funkcje Jn (x) i J n (x) są liniowo zależne (przesuwamy indeks m n = k): J n (x) = m=n d dx [xν J ν (x)] = x ν J ν (x), ( ) m x m n m n m!(m n)! = ( )n k=0 d dx [x ν J ν (x)] = x ν J ν (x) ( ) k x k+n k+n k!(k+n)! = ( )n J n (x) Jν (x) + J ν+ (x) = ν x J ν(x), J ν (x) J ν+ (x) = J ν(x) xν J ν (x)dx = x ν J ν (x) + C, x ν J ν+ (x)dx = x ν J ν (x) + C ( ) Przykład: Oblicz całkę: x + x J (x)dx = x J (x)dx + x J (x)dx d dx [x J (x)] = x J (x) x J (x)dx = x J (x) + C x J (x)dx = x [xj (x)]dx = [xj (x)] = xj 0 (x) = J (x)+ J 0 (x)dx
Funkcja Bessela pierwszego rodzaju J ±n/ (x) Sprowadzamy równanie Bessela x y + xy + (x ν )y = 0 do postaci standardowej stosując podstawienie u = x / y : ( ) u + 4ν ν=±/ 4x u = 0 u + u = 0 Rozwiązanie ogólne ma postać: u(x) = C sin x + C cos x y(x) = C x sin x + C x cos x Dwie funkcje występujące w rozwiązaniu ogólnym są niezależne. Dobierając odpowiednio normalizację dostajemy: J / (x) = πx sin x oraz J /(x) = πx cos x Korzystając z relacji rekurencyjnej można znaleźć wyrażenia na J ±n/ (x), np.: J 3/ (x) = ( ) sin x x J /(x) J / (x) = πx x cos x Uwaga: Wszystkie funkcje Bessela J ±n/ (x) dla n nieparzystych można wyrazić za pomocą funkcji elementarnych. M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład / 6
Funkcja Bessela drugiego rodzaju Y ν (x) Poszukujemy drugiego, niezależnego, rozwiązania r. Bessela w przypadku gdy ν = n gdzie n = 0,,,... Rozważmy najpierw przypadek ν = 0, tzn. r. B. ma postać: xy + y + xy = 0 Poszukujemy rozwiązania w postaci: y (x) = J 0 (x) ln x + r=0 b rx r+ Wstawiając do równania otrzymujemy: [xj 0 (x) + J 0(x) + xj 0 (x)] ln x + J 0(x) + + (r + )b r x r + b r x r+ = 0 r=0 r=0 (r + )rb r x r + Człon logarytmiczny znika bo J 0 (x) jest rozwiązaniem równania. Wstawiając za J 0(x) dostajemy: ( ) m x m m (m )!m! + (r + )rb r x r + (r + )b r x r + b r x r+ = 0 m= r=0 Przesuwając indeks i grupując wyrazy otrzymujemy: ( ) m+ x m+ m (m + )!m! + b { 0 + 4b x + (r + ) } b r + b r x r = 0 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 3 / 6 r= r=0 r=0 r=0
Funkcja Bessela drugiego rodzaju Y ν (x) Ponieważ widać, że b 0 = 0, więc wszystkie parzyste współczynniki b m też muszą znikać: ( ) m+ x m+ m (m + )!m! + 4b { x + 4m } b m + b m 3 x m = 0 m= Przyrównując współczynniki przy kolejnych potęgach x do zera, znajdujemy: ( b m = ( )m m (m!) + + 3 +... + ), m =,,... m A więc drugie, liniowo niezależne rozwiązanie, ma postać (dla x > 0): ( ) m h m x m m y (x) = J 0 (x) ln x + m (m!), gdzie h m = k m= Ponieważ dowolna kombinacja liniowa niezależnych rozwiązań równania różniczkowego jest także jego rozwiązaniem, jako drugie rozwiązanie r. Bessela rzędu zerowego przyjmuje się przez konwencję: Y 0 (x) = π [y (x) + (γ ln )J 0 (x)] ( gdzie γ = lim + m + 3 +... + m ln m) = 0.5775... jest stałą Eulera. M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 4 / 6 k=
Funkcja Bessela drugiego rodzaju Y ν (x) Funkcja Bessela drugiego rodzaju rzędy ν jest zdefiniowana jako: Y ν (x) = sin νπ [J ν(x) cos νπ J ν (x)] W szczególności dla ν = n Z przyjmuje postać: Y n (x) = π J n(x) n πx n (ln x + γ ) + xn π (n m )! m n x m m! ( ) m (h m + h m+n ) m+n x m m!(m + n)! Rozwiązanie ogólne r. Bessela dla dowolnych ν: y(x) = C J ν (x) + C Y ν (x) Własności funkcji Bessela drugiego rodzaju: przybliżenia dla małych x: 0.5 Y 0 (x) π ln x, Y ν(x) Γ(ν) ( ) ν π x, ν > 0 zachowanie asymptotyczne dla dużych x: Y ν (x) πx sin [ x ν+ 4 π ] 0.5 lim Y ν =, lim Y x 0 ν(x) = 0..5 x Y n Y 0 Y Y 4 6 8 0 4 x M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 5 / 6
Zmodyfikowane funkcje Bessela I ν (x) oraz K ν (x) Zastępując zmienną niezależną x w równaniu Bessela przez ix otrzymujemy zmodyfikowane równanie Bessela rzędu ν: x y + xy (x + ν )y = 0 Równanie to ma dwa niezależne zespolone rozwiązania J ν (ix) oraz Y ν (ix). Wygodniej jednak posługiwać się rozwiązaniami rzeczywistymi: J ν (ix) = ( ) m (ix) m+ν m+ν m!γ(m + + ν) = iν x m+ν m+ν m!γ(m + + ν) iν I ν (x) gdzie I ν (x) to zmodyfikowana funkcja Bessela pierwszego rodzaju rzędu ν. Ogólne rozwiązanie w przypadku gdy ν / Z: y(x) = C I ν (x) + C I ν (x) Definiujemy zmodyfikowaną funkcję Bessela drugiego rodzaju rzędu ν: K ν (x) = π ( ) I ν (x) I ν (x) sin νπ Definicję tę można rozszerzyć na ν = n podobnie jak dla niezmodyfikowanych funkcji Bessela. Ogólne rozwiązanie zmodyfikowanego r. Bessela przyjmuje wówczas postać: y(x) = C I ν (x) + C K ν (x) I n 0 8 6 4 0 I 0 3 4 x 0 0.5.5.5 3 x M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 6 / 6 K n 8 6 4 K 0 K I