WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jaława Dąbwieg Ćwiczenie achunwe Ocena jaści uładu egulacji autmatycznej mg inż. Batz BRZOZOWSKI Wazawa 7
Cel ćwiczenia achunweg Pdcza ćwiczenia puzane będą natępujące zagadnienia: dładnść tatyczna uładów egulacji; dładnść dynamiczna uładów egulacji (yteia: dpwiedzi wej, całwe, częttliwściwe i miejc gemetycznych piewiatów). Celem ćwiczenia jet zdbycie umiejętnści patycznej ealizacji pwyżzych zagadnień. Wymagania wtępne Pzed zpczęciem ćwiczeń tudent zbwiązany jet d zapznania ię z teścią niniejzej intucji. W zczególnści ittne jet piadanie wiedzy teetycznej z zaeu puzaneg pdcza ćwiczenia achunweg. Pnadt tudent zbwiązany jet pześledzić ze zzumieniem wzytie zamiezczne pzyłady, aby wiedzieć w jai pób zpcząć związywanie zadań pdcza ćwiczeń. W pzypadu piadania wątpliwści p zapznaniu ię z teścią intucji w celu ich wyjaśnienia zaleca ię nultacje ię z pwadzącym pzed teminem ćwiczeń achunwych. 3 Wiadmści gólne Pdtawwym wymaganiem tawianym uładwi egulacji (y..) jet uzyanie na jeg wyjściu ygnału y(t) dpwiedni bliieg pzebiegwi watści zadanej w(t), czyli minimalizacji ygnału uchybu e(t): e t wt yt () Ry.. Schemat blwy uładu egulacji Ocena jaści egulacji plega na analizie dwóch tanów uładu egulacji: tanu pzejściweg dładnść dynamiczna; tanu utalneg dładnść tatyczna mg inż. Batz BRZOZOWSKI
Dładnść dynamiczna eśla zdlnść uładu d wieneg i zybieg śledzenia zmiany watści zadanej, a dładnść tatyczna zdlnść uładu d utzymywania watści egulwanej ja najbliżej watści zadanej w tanie utalnym, a więc p zańczeniu tanu pzejściweg. W pzebiegu uchybu uładu e(t): e t e u e () d mżna wydzielić dwie ładwe: uchyb utalny e u wytępujący wtedy, gdy w uładzie dla t, pzy danym ygnale teującym i danych ygnałach załócających. Pzy wymuzeniu wym uchyb utalny ni nazwę uchybu tatyczneg; uchyb dynamiczny e d wytępuje w tanie pzejściwym i jet nazywany uchybem dynamicznym e d (t). Uchyby utalne i dynamiczne eślają dładnść uładu egulacji w tanie utalnym i tanie pzejściwym. 4 Dładnść tatyczna Miaą dładnści tatycznej ą uchyby utalne, utzymujące ię p zaniu pceu pzejściweg, wywłaneg zmianą watści zadanej w(t) lub załócenia z(t) (y.). Ocena dładnści tatycznej uładu pwadza ię d ceny uchybu w tanie utalnym e u : e u t lim e (3) t Ry.. Schemat blwy uładu egulacji z załóceniem Biąc pd uwagę działanie ygnałów z(t) i w(t) (y.), uchyb egulacji e(t) mżna wyazić taże ja umę dwóch ładwych: gdzie: e t e t e t (4) z e z (t) ładwa będąca wyniiem ddziaływania załóceń (uchyb załóceniwy); e w (t) ładwa wywłana zmianą watści zadanej na wejściu uładu (uchyb nadążania). mg inż. Batz BRZOZOWSKI 3 w
Wśód liniwych uładów egulacji mżna wyóżnić dwa typy uładów: ułady, w tóych wytępują uchyby utalne, ppcjnalne d watści wymuzenia weg, nazywane uładami egulacji tatycznej: L G tw (5) M ułady, w tóych uchyby utalne pzy tałym wymuzeniu ą ówne ze nazywamy uładami egulacji atatycznej: L G tw (6) M Atatyzm uładu względem ygnału zadająceg lub względem załócenia mże wytępwać wtedy, gdy w tym uładzie ą elementy całujące. Zależnie d uytuwania pbu włączenia tych elementów, uład mże być atatyczny względem jednych ygnałów, natmiat tatyczny względem innych (y.3). a) b) Ry.3. Pzebiegi dpwiedzi uładów egulacji na wymuzenie we az liniw naatające: a) uładu tatyczneg b) uładu atatyczneg. 5 Dładnść dynamiczna Dla zapewnienia eślnych właściwści dynamicznych uładu nie wytacza wymaganie tabilnści. Jeżeli uład jet tabilny, t wiemy jedynie, że pzebiegi pzejściwe w tym uładzie zaniają. Nie znamy jedna ittnych z puntu widzenia egulacji paametów uładu. Są t m.in. dzaj pzebiegów, watść dchyleń maymalnych, cza zaniania pzebiegów pzejściwych (cza egulacji), pam częttliwści, w tóym zachdzi dtwazanie ygnałów wymuzających z zadaną dładnścią, itp. mg inż. Batz BRZOZOWSKI 4
Z dpwiedzi uładu z egulatem ppcjnalnym na wą zmianę watści zadanej (y.4) widać, że wzt wzmcnienia egulata zmniejza watść uchybu utalneg, ale ówncześnie pwduje, że pzebieg ygnału wyjściweg caz badziej dbiega d pzebiegu watści zadanej. Pwduje t więc zmniejzenie dładnści dynamicznej. Jedncześnie cena dładnści dynamicznej nie jet jednznaczna. O ile bwiem uchyb utalny łatw zdefiniwać i wyznaczyć jeg watść, tyle dładnść dynamiczną mżna chaateyzwać za pdtawie óżnych yteiów. Ry.4. Odpwiedź wa dla óżnych wzmcnień egulata (K <K <K 3 ). Kyteia te mżna pdzielić na natępujące gupy: cena paametów dpwiedzi wej; yteia całwe; yteia częttliwściwe; yteia zładu piewiatów. 5. Ocena paametów dpwiedzi wej Piewzym yteium ceny dynamicznej uładów egulacji ą paamety chaateytyi wej uładu (y.5). Ry.5. Chaateytya wa uładu z zaznacznymi waźniami jaści egulacji. mg inż. Batz BRZOZOWSKI 5
Jaść egulacji eśla ię na pdtawie natępujących paametów: cza t d - cza ptzebny, aby dpwiedź p az piewzy iągnęła płwę watści utalnej; cza naatania (cza wztu) t - cza ptzebny, aby dpwiedź wzła d % d 9%, d 5% d 95% lub d d % wjej watści ńcwej. Dla uładów niedtłuminych dugieg lub wyżzeg zędu nmalnie wyzytywany jet cza naatania d % d %. Dla uładów pzetłuminych ( dpwiedzi apeidycznej) pwzechnie wyzytywany jet cza naatania d % d 9%. cza zczytwy t m cza ptzebny aby dpwiedź wa iągnęła piewzy zczyt pzeegulwania; maymalne pzeegulwania A - (w pcentach) jet maymalną watścią dpwiedzi, miezną d watści utalnej y(). Jet n zdefiniwane natępując: yt m y A % (7) y cza egulacji t - cza ptzebny, aby zywa dpwiedzi iągnęła i pztała w tczeniu watści utalnej. Watść teg czau zwyle pzyjmuje ię ja % lub 5% watści utalnej. Cza egulacji jet związany z najwięzą tałą czawą uładu egulacji Dla netneg uładu mżna d ceny wybać jeden lub ila z wyżej wymieninych paametów. Paamety te ą badz ważne ze względu na t, ze więzść uładów egulacji jet badana w dziedzinie czau. Uład egulacji mui być mdyfiwany ta dług, aż paamety dpwiedzi wej nie iągną załżnych watści. 5. Kyteia całwe W gupie yteiów całwych najczęściej twanymi ą: I ed t dt (8) I ed tdtt (9) gdzie: e d uchyb pzejściwy: e t et e e lim et d I t ed t dt () I ed tdt () u Za miaę jaści uładu uważa ię watść całi I, tzn. im mniejza jet ta watść, tym wyżza jet jaść egulacji uładu. W tabilnych uładach egulacji uchyb pzejściwy e d (t) dąży d zea dla czau t, dlateg dla czau t pzyjmuje ię pzedział <t<. Cała I (9) tanwi ple zawate między zywą uchybu egulacji e(t), a aymptta, d tóej dąży ta zywa. Cała ta mże być twana wyłącznie dla pzebiegów u t mg inż. Batz BRZOZOWSKI 6
apeidycznych. W pzypadu gdy pzebieg uchybu wazuje pzeegulwanie twane yteium całi I pwadzi d błędnych wyniów. Dla pzebiegów cylacyjnych tuje ię ytia I (8) i I (), pnieważ watści tych całe nie zależą d znau funcji e d (t) a jedynie d watści bezwzględnej tej funcji lub jej dugiej pchdnej. Intepetację gaficzną całe pzedtawin na y.5. Ry.5. Intepetacja gaficzna całwych yteiów jaści egulacji: a) uład atatyczny pzebieg apeidyczny; b) uład atatyczny pzebieg cylacyjny; c) uład tatyczny pzebieg apeidyczny; d) uład tatyczny pzebieg cylacyjny. 5.3 Kyteia częttliwściwe Na pdtawie chaateyty częttliwściwych uładu eślane ą: zapa tabilnści (mdułu i fazy); pulacja dcięcia n chaateytyi widmwej części zeczywitej P() tanmitancji uładu zamnięteg G z (j), czyli pulacja, pzy tóej chaateytya zeczywita (lub tyczna d niej, wytawina w puncie pzegięcia części padającej) pzecina ś dciętych; maymalna watść mdułu M p tanmitancji widmwej uładu zamnięteg Paamety pulacji dcięcia i maymalneg mdułu tanmitancji widmwej mają ściły związe z pzebiegiem dpwiedzi wej uładu zamnięteg. Duże znaczenie ma taże ztałt pzebiegu chaateytyi części zeczywitej P(). mg inż. Batz BRZOZOWSKI 7
Ry.6. Kyteia częttliwściwe uładu egulacji autmatycznej Oceniane ą ównież pzenzne pam, a więc zae częttliwści, w tóym uład zamnięty pzeni ygnały zadane. Miaą pama częttliwści pzenznych pzez uład jet watść ganiczna g, dla tóej lgaytm mdułu tanmitancji widmwej zmniejza ię d watści -3dB, czyli: z j, 77 G () 5.4 Kyteium zładu piewiatów (Metda miejc gemetycznych) Tanmitancję uładu zamnięteg mżemy eślić ja tune wielmianów: g mg inż. Batz BRZOZOWSKI 8 d G z (3) c Jeżeli załżymy, że d() i c() nie mają wpólneg dzielnia, wtedy watści taie, że ównanie chaateytyczne c()= będą epezentwać punty, dla tóych G z () jet nieńczna. Watści będziemy wówcza nazywać biegunami funcji G z (). Watści, dla tóych d()= ą puntami, gdzie G z (), ą nazywane zeami. Itnieje ściła elacja pmiędzy watściami włanymi (biegunami uładu zamnięteg), a jaścią egulacji. Dlateg pdcza pjetwania uładu egulacji należy ptępwać w tai pób, aby pewne nieznane paamety uładu ztały utalne w tai pób, aby zmiezczenie piewiatów, a pzez t zapewnić dpwiednią jaść egulacji. Najptza ytuacja zachdzi wówcza, gdy tyl jeden paamet uładu egulacji jet nieznany. Jeżeli uważa ię ten paamet za zmienną niezależną, t wzytie piewiati tają ię zmiennymi zależnymi d teg nieznaneg paametu. Wtedy na płazczyźnie zmiennych zeplnych (na płazczyźnie ) pjawią ię tzw. zywe piewiatwe, p tóych puzają ię piewiati ównania chaateytyczneg w funcji teg paametu. Tai zbió puntów nazywa ię miejcem gemetycznym piewiatów.
Rzważmy uład, tóeg ównanie chaateytyczne ma jeden piewiate zeczywity alb pjedynczą paę piewiatów zeplnych pzężnych, na tóy działa wymuzenie impulwe. Pytamy w jai pób zmienia ię dpwiedź impulwa, gdy zmienia ię lalizacja watści włanych na płazczyźnie.. Jeżeli G z t t dpwiedź impulwa będzie funcją wyładniczą: gt e t Kiedy >, bieguny płżne ą w płazczyźnie, gdzie < dpwiedź impulwa jet tabilna. Jeżeli <, t bieguny płżne ą na paw d pczątu uładu wpółzędnych, t dpwiedź impulwa jet nietabilna. Piewiati leżące najbliżej i ujnej epezentują ładwe związania zaniające najwlniej, a więc deteminujące zybść działania uładu. Oddalenie piewiatów zeplnych pzężnych d i zeczywitej decyduje częttliwści dgań tłuminych w dpwiedzi cylacyjnej. Oddalenie piewiatów d pczątu uładu wpółzędnych mówi tzw. częttliwść dgań włanych uładu paametze nie ujawniającym ię bezpśedni w dpwiedzi wej. Ry.7. Pzebiegi pzejściwe uładu egulacji w zależnści d płżenia piewiata na płazczyźnie. mg inż. Batz BRZOZOWSKI 9
Analiza dpwiedzi impulwych pzwala na wyznaczenie bzaów tabilnści az tpni tabilnści, na pdtawie tóych eśla ię pzybliżną watść czau egulacji. Pzeegulwanie dpwiedzi wej jet deteminwane tpniem cylacyjnści : max Im Re (4) Im watść, tym mniejze pzeegulwanie A i tym mniejza liczba cylacji w czaie t. Stpień cylacyjnści jet związany ze tuniem dwóch lejnych pzeegulwań zależnścią: An e A n (5) 6 Pzyłady zadań achunwych 6. Pzyład. Wyzytując twiedzenie watści ńcwej znaleźć watść funcji f(t) 4 tanfmacie F. Twiedzenie watści ńcwej mówi, że jeżeli funcja wymiena F() ma bieguny leżące wyłącznie w lewej półpłazczyźnie zmiennej zeplnej, t: lim f ( t) lim F t Stąd: 4 lim f ( t) lim F lim t 6. Pzyład. W uładzie egulacji tałwatściwej pzedtawinej na y.8 watść wyjściwa ygnał tewania w(t)=, biet egulacji jet elementem inecyjnym, natmiat egulat jet ppcjnalny. Wyznaczyć pzebieg pzejściwy y(t) p wej zmianie watści ygnału załócenia z z. Pzyjąć, że pzed wytąpieniem u watść ygnału wyjściweg y(t)=. z(t) u(t) G G e(t) y(t) w(t) Z teści zadania wiemy, że: Ry.8. Uład egulacji tałwatściwej. mg inż. Batz BRZOZOWSKI
tanmitancja bietu egulacji: G tanmitancja egulata: G. Stąd tanmitancja uładu egulacji wyni: G Z G G T ; G T Tanfmata () mże być wyznaczna z pwyżzeg ównania p pdtawieniu Z()=Z/. Z T ( ) Z T P zatwaniu dwtneg pzeztałcenia Lapalce a uzyujemy: y( t) Z e t T Odchyłę tatyczną mżna wyznaczyć z twiedzenia watści ńcwej: lim y( t) lim Z lim T T t p Z 6.3 Pzyład 3. Obiet egulacji będący elementem całującym z inecją wpółpacuje z egulatem ppcjnalnym. Na uład tai ddziałuje załócenie z(t). Należy dbać paamety egulata, aby iągnąć apeidyczny pzebieg egulacji minimalnej całce ładwej pzejściwej uchybu. Z teścią zadania wiemy, że: G b ; G T Tanfmata wielści wyjściwej wyni: Stąd ównanie chaateytyczne ma ptać: X T mg inż. Batz BRZOZOWSKI b p
mg inż. Batz BRZOZOWSKI T T Pzebieg apeidyczny wytępuje pzy wzmcnieniu egulata: T b Całę ładwej pzejściwej uchybu wyaża wzó: X X dt t X X I p p lim lim ) ( lim ) ( lim b b b p b p T T T Watść całi maleje ze wztem wzmcnienia egulata. Dla maymalnie dpuzczalneg wzmcnienia pzy apeidycznym pzebiegu egulacji: T b Stąd tzymujemy minimalną całę uchybu watści: 6 ) ( T I b Wzmcnienie egulata należy więc natawić na watść: T b 4 7 Liteatua. Januz KOWAL T, Uczelniane Wydawnictwa Nauw- Dydatyczne AGH, Kaów 4, Sygnatua: 6378. Tadeuz Kacze Teia tewania. Tm I Ułady liniwe ciągłe i dyetne. Pańtwwe Wydawnictw Nauwe, Wazawa 977