Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera



Podobne dokumenty
PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego

Sztuczny satelita Ziemi. Ruch w polu grawitacyjnym

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 2. Miejsce na naklejk z kodem szko y CKE MARZEC ROK Czas pracy 150 minut

Optyka geometryczna i falowa

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski 5-6

Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).

Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..)

Obliczanie pozycji obiektu na podstawie znanych elementów orbity. Rysunek: Elementy orbity: rozmiar wielkiej półosi, mimośród, nachylenie

Kwantowa teoria wzgl dno±ci

Kurs z matematyki - zadania

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Ruchy planet. Wykład 29 listopada 2005 roku

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010

Spis treści Wykład 3. Modelowanie fal. Równanie sine-gordona

1 Trochoidalny selektor elektronów

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,

MATEMATYKA. 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań. 2 Zasady poprawnego zapisu odpowiedzi TEST DYDAKTYCZNY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MMA 2018 UZUPEŁNIA ZDAJ CY. miejsce na naklejkę

Kratownice Wieża Eiffel a

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY

XXXV OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne

NUMER IDENTYFIKATORA:

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. pobrano z

Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym

Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2

Kondensat BosegoEinsteina na obwodzie scalonym (BEC on chip)

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Badanie silnika asynchronicznego jednofazowego

DRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie

7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH

MECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

PAiTM - zima 2014/2015

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

10 RUCH JEDNOSTAJNY PO OKRĘGU

Obraz Ziemi widzianej z Księżyca

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Pole grawitacyjne*

pobrano z (A1) Czas GRUDZIE

Ćwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale"

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

Metodydowodzenia twierdzeń

Funkcje wielu zmiennych

POLITECHNIKA WROCŠAWSKA WYDZIAŠ ELEKTRONIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Tom V - WYCI G ZE SZCZEGÓ OWEJ DOKUMENTACJI. Uk ady torowe z podtorzem, robotami oko otorowymi i odwodnieniem. Uk ady torowe.

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

r = x x2 2 + x2 3.

AB = x a + yb y a + zb z a 1

K P K P R K P R D K P R D W

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% C) 5 3 A) B) C) D)

Metody dowodzenia twierdze«

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM

Teoria mnogo±ci. Twierdzenia podziaªowe. Piotr Zakrzewski. Toru«, 31 sierpnia Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Zadanie I. 2. Gdzie w przestrzeni usytuowane są punkty (w której ćwiartce leży dany punkt):

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Pole grawitacyjne*

jest wierzchołkiem kąta prostego. Przeciwprostokątna AB jest zawarta w prostej o równaniu 3 x y + 2 = 0. Oblicz współrzędne punktów A i B.

Ruch pod wpływem sił zachowawczych

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

8. Zginanie ukośne. 8.1 Podstawowe wiadomości

WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 2 (oddział gimnazjalny)

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku

Kod pracy. Po udzieleniu odpowiedzi do zadań 1 20, wypełnij tabelkę

Programowanie funkcyjne. Wykªad 13

Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów

Wektory w przestrzeni

Ruch w potencjale U(r)=-α/r. Zagadnienie Keplera Przybli Ŝ enie małych drgań. Wykład 7 i 8

Co i czym mo»na skonstruowa

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Wykład Prawa Keplera Wyznaczenie stałej grawitacji Równania opisujące ruch planet

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci

Transkrypt:

V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety Dzielimy orbit planety promieniami wodz cymi tworz cymi niewielkie i jednakowe k ty θ. aªe rozumowanie ma sens przej±cia granicznego: b dziemy zakªada,»e θ 0 Zgodnie z II prawem Keplera (prawem pól) pole powierzchni S wycinka utworzonego przez dwa s siednie promienie wodz ce jest proporcjonalne do czasu t przebycia danego odcinka orbity: S t. ole wycinka ma w przybli»eniu ksztaªt trójk ta o dwóch bokach dªugo±ci r, wyra»a si wi c wzorem S = 1 2 r2 sin θ 1 2 r2 θ. Tak wi c r 2 θ t. Zmiana wektora p du pod dziaªaniem przyci gania Sªo«ca jest zgodnie z drug zasad dynamiki Newtona proporcjonalna do siªy F i czasu jej dziaªania t: p = m v = F t. W naszym przypadku siª jest siªa grawitacji, odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odlegªo±ci. Zmiana pr dko±ci odpowiadaj ca k towi θ jest wi c niezale»na od odlegªo±ci i skierowana zawsze ku Sªo«cu: v ( 1 r 2 r2) r r. Sytuacj t przedstawia rysunek poni»ej, gdzie kolejnymi numerami oznaczono kolejne v, pr dko± v 0 jest pr dko±ci w punkcie najbli»szym Sªo«ca - w tzw. peryhelium 2 1 2 1 0 1

Kolejne wektory v dodaj si do pocz tkowej pr dko±ci v 0, jak pokazuje prawa cz ± rysunku. Maj one jednakow dªugo± i obrócone s o θ wzgl dem siebie. Jasne jest wi c,»e koniec wektora pr dko±ci porusza si po wielok cie. Gdy zmniejszamy θ wielok t ten d»y do okr gu. Mamy wi c nast puj ce Twierdzenie 1 Koniec wektora pr dko±ci planety zatacza ªuk okr gu Lini zataczan przez koniec wektora pr dko±ci nazywa si w mechanice hodografem. Mo»emy wi c powiedzie krótko: W ruchu keplerowskim hodograf jest ªukiem okr gu. Sytuacj przedstawia poni»szy rysunek V( ) V 0 V( ) 0 Zale»nie od warto±ci v 0 pocz tek wektora pr dko±ci le»y wewn trz okr gu, na okr gu b d¹ na zewn trz okr gu. Oczywi±cie powy»sze twierdzenie bardzo ªatwo uzyska na drodze analitycznej podstawiaj c w równaniach ruchu planety zamiast czasu now zmienn θ. Ksztaªt orbity: podej±cie geometryczne Mo»na pokaza,»e w przypadku gdy pocz tek wektora pr dko±ci le»y wewn trz okr gu torem planety jest elipsa. zysto geometryczny dowód zaproponowaª R.. Feynman (D.L. Goodstein, J.R. Goodstein Zaginiony wykªad Feynmana). Najpierw deniujemy elips : dla ka»dego punktu elipsy suma jego odlegªo±ci od dwóch ustalonycxh punktów jest staªa. unkty te nazywamy ogniskami elipsy (nazwa zwi zana jest z faktem,»e ±wiatªo ze ¹ródªa umieszczonego w jednym z ognisk odbijane przez zwierciadªo o ksztaªcie eliptycznym skupia si w drugim ognisku). Mamy wi c z denicji + = const 2

Elips mo»na tak»e skonstruowa w sposób nast puj cy (patrz rysunek poni»ej). Obieramy dwa ogniska elipsy. Nast pnie wykre±lamy okr g o ±rodku i promieniu równym dªugo±ci du»ej osi elipsy. Dla dowolnego punktu na okr gu wykre±lamy odcinki oraz. W ostatnim kroku konstruujemy symetraln odcinka. unkt Xprzeci cia owej symetralnej i promienia le»y na elipsie. Mamy bowiem X + X = X + X = = const. Skorzystali±my tu z faktu,»e punkt symetralnej jest równoodlegªy od ko«ców odcinka: X = X. owtarzaj c konstrukcj dla ró»nych punktów mo»emy znale¹ dowolnie du»o punktów elipsy. X o wiecej ªatwo zauwa»y,»e symetralna z tej konstrukcji jest styczn do elipsy w punkcie X. Ka»dy bowiem inny punkt tej symetralnej ma wi ksz sum odlegªo±ci od ognisk, le»y wi c na elipsie obejmuj cej t dopiero co skonstruowan. Mo»emy teraz przej± do konstrukcji toru planety. Bierzemy w tym celu hodograf pr dko±ci i obracamy go o 90 w prawo (patrz rysunek poni»ej, lewa

cz ± ). ma teraz kierunek promienia wodz cego planety, jest prostopadªe do kierunku pr dko±ci. Je±li zastosujemy dopiero co poznan konstrukcj i narysujemy symetraln odcinka, to ma ona kierunek wektora pr dko±ci, a wi c wektora stycznego do toru. zyli na ka»dym promieniu wodz cym budujemy tor o prawidªowym przebiegu stycznej. Oznacza to,»e konstrukcja jest torem planety z dokªadno±ci do skali: nic wprawdzie nie wiemy o rozmiarach orbity, lecz jej ksztaªt zostaª ustalony jednoznacznie. A zatem: X Twierdzenie 2 Orbita planety jest elips, Sªo«ce znajduje si w jednym z jej ognisk. Nale»y pami ta,»e twierdzenie to odpowiada sytuacji, gdy pocz tek wektora pr dko±ci le»y wewn trz okr gu zakre±lanego przez jego koniec. Dwie pozostaªe mo»liwo±ci prowadz do orbity parabolicznej i hiperbolicznej. Najªatwiej wykaza to jednak w sposób analityczny, co zostanie zrobione poni»ej.

Ksztaªt orbity: podej±cie analityczne Wró my raz jeszcze do sytuacji z twierdzenia o hodograe, przedstawia j poni»szy rysunek. V R V( ) V 1 Wektor pr dko±ci planety mo»na przedstawi jako sum staªego wektora v 1 oraz wektora w ka»dej chwili prostopadªego do promienia wodz cego : v = v 1 +. Korzystaj c z zasady zachowania momentu p du planety mamy r v =, gdzie jest pewn staª. Wstawiaj c wynik twierdzenia o hodograe otrzymujemy r v = r v 1 + r = rv 1 sin(90 θ) + r = r(v 1 cos θ + ) =. Obliczaj c r otrzymujemy r = 1 + v 1 cos θ. Ostanie równanie ma posta biegunowego równania sto»kowej znanego z geometrii analitycznej: r = p 1 + e cos θ. orównuj c oba równania widzimy,»e mimo±ród sto»kowej e jest równy e = v 1. A zatem e > 1 (hiperbola) odpowiada sytuacji, gdy pocz tek wektora pr dko±ci le»y na zewn trz okr gu, parabola e = 1 odpowiada sytuacji, gdy pocz tek ten le»y na okr gu, wreszcie przypadek e < 1 (elipsa) odpowiada sytuacji rozpatrywanej powy»ej w sposób czysto geometryczny. 5