Krzepnięcie meta i i stopów t. IX P ISSN 0208-9386 ISBN 83-04-2019-X Ossoineum 1985 Radosław Grzymkowski PRZYBLIŻONA METODA ANALIZY WYMIANY CIEPŁA NA POWIERZCHNI WLEWKA CIĄGŁEGO. Wprowadzenie W praktyce inżynierskiej czę sto zachodzi konieczność modeowania procesu fizycznego ceem wyznaczenia brakujących parametrów procesu ub poznania epiej j ego charakteru. Zagadnienie to jest typowe da procesu wytwarzania wewków sposobem ciągłym..-sfo rmułowan e modee mogą zaiczać się do prostych ub odwrotnych. zagadnień przewodzenia ciepła. W zagadnieniach odwrotnych chodzi nie tye o wyznaczenie rozwiązania Wł!wnątrz obszaru ograniczonego brzegiem, na którym zadane są wartości poszukiwanej funkcji ub jej pochodnych, co o ekstrapoucję tego rozw-ią zania poza ten obszar. Ogónie probemy odwrotne w technice to zagadnienia, które wiążą metody matematyczne, pomiary oraz pewne uwarunkowania techniczne. Przykładowo, pomiarów zwyke dokonuje się w miejscach łatwo dostępnych. Niejednokrotnie poszukiwane wiekości mogą zostać zmierzone tyko pośrednio. Stąd jednym z podstawowych probemów dotyczących zastosowań rozwiązań zagadnień odwrotnych, gdy korzysta się z danych doświadczanych, jest probem pomiarów mało zakłócających przebieg wiekości mierzonych. Wymagana jest tu szczegóna staranność w doborze technik pomiarowych i miejsc pomiarów.
64 Radosław Grzymkowski Odwrotne zagadnienia transportu ciepła spotyka się w modeach matematycznych dotyczących optymaizacji procesu wytwarzania wewków ciągłych [ 7 J. Zagadnienie to poega na okreśeniu takich warunków odprowadzania ciepła z powierzchni wewka w obszarze krystaizatora, strefie chłodzenia wtórnego i strefie chłodzenia końcowego, przy których wyrób finany charakteryzuje się najepszą jakością. Jednym z czynników wpływających na jakość wewka ciągłego jest po e temperatury krzepnącego metau. Technoogom i projektantom ur ządzeń do ciągłego odewania znane są postuaty dotyczące charakteru rozkładu temperatury. Można zatem sformułować zagadnienie, w którym poszukuje się warunków brzegowych, tj. warunków wymiany ciepła na powierzchni wewka czyniących zadość ograniczeniom nakładanym na poe temperatury. Badania na możiwością wykorzystania metod rozwiązywania odwrotnych za gadnień brzegowych transportu ciepła przy projektowaniu technoogii COS (ciągłego odewania stai) prowadzone są w ramach Międzyresortowego Probemu Badań P odstawowych nr 20 [ 7 J. Prezentowana praca jest kontynuacją prowadzonych badań i dotyczy metody odtwarzania strumienia ciepła oraz w spółczynnika wymiany ciepła na powierzchni wewka przy zadanych przebiegach temperatury. 2. Założenia W pracy ro zważa się płaskie i okrągłe wewki wytwarzane na urządzeniu pionowym do ciągłego odewania. Modeowane obiekty traktuje się jako obiekty dwuwymiarowe, da których rozkład temperatury da się opisa ć dwuwymiarowym równaniem przewodnictwa ciepła. Przyjmuje się, że wewki o grubości 2r* odewane ze stałą prędkością w, wytwarzane są z metau krzepnącego w przedziae temperatur <T", T'>{T"- temperatura soidus, T' - temp eratura ikwidus ), który wewany do krystaizatora ma temperaturę T* ~ T: Bezawaryjna praca pionowego urządzenia do ciągłego odewania powoduje wygenerowanie się w ewnątrz wewka o długości z* pseudousta:onegc poa temperatury, które w nieruchomym układzie współrzędnych związanym z krzepnącym wewkiem opisuje równanie
Przybiżona metoda anaizy wymiany ciepła 65 "(?!.w J T= r-m J (rmą. J T). + J (.:>..J T), z r r z z O<r<r* O<z<z*, () gdiie T = T (r, z ) jest temperaturą, ~ = -ae (T ) zastępczą pojemnością ciepną (6], 0, = Y (T ) gęstością masy, A. = A.(T ) współc zynnikiem przewodzenia ciepła, a indeks m okreśa geometrię wew_ka (m = O wewek płaski, m = wewek Ókrągły ). Równanie ( ) można częściowo uprościć pomijając człon J (:.t J T ) (p. 7 ), w czego rezutacie otrzymuje się rówz. z nanie paraboiczne, w którym współrz~dn! z spełni;a roę czasu. Lir 123 - I r J,-1 ~~--~-- - - - - 1;" -ł+<-h-h+++ł-h-f-t+hfł+h-i i,., ji~-h-h+++ł++f++~+h - - - - - t-; -++f+ł++t-h++t++-ł/t1~-t+ J~ H+++++++++++t+f+ł-t+ti - z Rys.. Modeowany obiekt. Siatka różnicowa
66 Rados~aw Grzymkowski Zakłada się ponadto, że znane są zmienne przebiegi temperatury w dowonych ustaonych przemieszczających się wraz z wewkiem punktach kontronych r = r, n = (N, O«r ~ r*, przy czym przyjmuje się, że n n każdej chwii czasu odpowiada tyko je-den taki punkt (rys. 1). Zakładane przebiegi temperatury wynikać mogą z wymogów technoogicznych, pomiarów ub innych ograniczeń nakładanych na modeowany obiekt. Nie znane są natomiast warunki wymiany ciepła na powierzchni wewka r = r*. Fokażerny, że te informacje pozwoą wyznaczyć poe temperatury w całym przekroju obiektu oraz odtworzyć brakujący warunek brzegowy, jaki powinien być zadany aby uzyskać postuowane przebiegi temperatury w punktach kontronych. 3. Układ równań Niech q(z ) będzie poszukiwanym strumieniem ciepła Wówczas korzystając na granicy r = r*. z anaitycznej postaci warunku brzegowego III rodzaju można wyznaczyć współc_zynnik wymiany ciepła 01. (z ). Otrzymuje się. *, O<z~z, (2 ) gdzie T 00 jest temperaturą otoczenia. Datego dasza anaiza probemu ukierunkowana została na rekonstrukcję strumienia ciepła co odpowiada warunkowi brzegowemu II rodzaju postaci q(z),;,- A.[T(r*,z)j ć)r T(r*,z), 0< z~z*. (3) Jednocześnie przyjęte w rozdziae poprzednim założenia pozwaają sformułować zagadnienie brzegowe, które opisują równania E C T z -m m ) r r r. a (i\.r a T, O< z <z*, O< r < r*, (4) T(r,O ) T*(r ), O,.::r~r* (5 ) CJ T (O, z) O, o <z ~z* r (6)
Przybiżona metoder anaizy wymiany ciepła 67 T(rn' z)= fn(z), zn_< z~zn' n=,n, (7) gdzie E = E (T ) = -ae(t ) t'(t ) w, z, z, n=,n, oznaczają początn-1 n kowe i końcowe położenie punktów kontronych r = r, przy czym -z = O, n o a zn ~ z*. Natomiast funkcje fn (z ) oznaczają zakładane przebiegi temperatury, pr':! czym przyjmuje się, że fn(z)~t". Funkcje fn(z) zadawane są zazwyczaj w postaci tabei wartości (dziedzina i I>rzeciwdziedzina są zbiorami iczb ) ub w postaci wykresu. Zagadnienie (3) -1- (7) nae ży do grupy odwrotnych nieiniowych zagadnień brzegowych da równania przewodnictwa ciepła [ J. Odwrotne zagadnienia przewodnidwa ciepła naeżą do ka sy zadań źe uwarunkowanych. Oznacza to, że mała niedokładność wiekości wejściowych może powodować dużą niedo~ładnoś ć w rozwiązaniu. I~tnieją różne sposoby łagodzenia wpływu tej właściwości na jakość uzyskiwanych rezutatów [ 3, 4]. W niniejszej pracy ceem źłagodzenia wpływu złego uwarunkowania proponuje się obok metody różnicow e j rozwiązania wykorzystanie spajnów wygładzających. Pode3ście to łagodzi wpływ złego uwarunkowania na wyniki o biczeń ae nie usuwa go całkowicie'" 4. Metoda rozwią z ania Przybiżonego rozwiązania sformułowanego wy że j zagadnienia poszukuje się w c zterech krokach. W kroku pierwszym wygładza się informacje wejściow e, dotyczące zakładanych przebiegów t emperatury w punktach kontronych. Na obszar modeowanego obiektu nałożono równomierną siatkę ró żn i cową QI,J = w 1 (r ) >< w 1 (z ), przy czym w 1 (r ) { r (i ) r (i) L\ r (i- ), i = 1,1 }, L\ z (j-1 ), j =,J}, gdzie, J oznaczają kroki siatki iczby w ęzłów w kierunku r z odpowiednio, L\ r i L\ z
68 Radosław Grzymkowski /:). r = r* (I - )!::J. z = z*" (J - ) J (8) W modeu założono, że położenie punktów kontronych okreśają te węzły siatki da których i in' ~ jn-' jn' n =, N, gdzie in' =-rn!::j.r +, a j = Z!::J. Z +. n n } Węzły te naeżą do zbiorów W~(z) = {z(:j ) jn-' jn,n =,N. Każdy z tych zbiorów można traktować jako okaną siatkę, na której zadane są z pewnymi błędami wartości funkcji f (z.) = f (:j ). Z uwagi n J n na błędy w okreśeniu wartości funkcji f (j) naeży skonstruować nowe n funkcje F n (z), tak by ich pf.zebieg w otoczeniu zadanyc). punktów był bardziej "płynny" niż funkcji interpoujących. Funkcje takie nazywamy funkcjami wygładzającymi. Żądając aby szukane funkcje wygładzające f (z ) okreśone w przen działach < zn-, z n> minimaizowały funkcjonały n = 1, N gdzie P n (j ), j. = jn-, jn jest zadanym. układem iczb dodatnich - wymusza się przebieg konstruowanych krzywych w pobiżu zadanych punktów oraz gwarantuje się ich minimane "wygięcia". 1m większe są wartości współczynników wagowych P (j ), tym więks c: ' - roę odgrywają warunki n interpoacyjne i tym biżej zadanych punktów przebiega funkcja wygładzająca [ 8]. Rozwiązaniami zadań wariacyjnych (9) są spajny sześcienne (funkcje skejane trzeci_ego stopnia )[ 8], które konstruuje się. w sposób podany w pracy [s]. Wyznaczenie spajnów Fn(z), n= i";n, a dokładniej ich wartości iczbowych F (j ) w węzłach siatki Wn(z), koiczy pierwszy n J etap poszukiwania przybi żonego rozwiązania zagadnienia (3 ) + _ (7 ). Krok drugi poega na ro -związaniu prostego zagadnienia brzegowego (4 ) + (7 ), tzn. na wyznaczeniu poa temperatury w obszarze od osi wewka do inii r = rn' n =, N. Wykorzystać do tego ceu można opra "
Przybiżona metoda anaizy wymiany ciepła 69 cowane specjanie da tego typu zagadnień metody różnicowe, których szczegółowy opis można znaeźć w pracach [ 9 + 12 J. Stosując proponowane metody.~najduje się w węzłach siatki Q, J naieiących do rozważanego obszaru tj. gdy i =, i, n =, N a. j =,J dyskretne poe n temperatury T(i,j) =T [.6r(i-),.6z(j- )]. Jednocześnie zrozumiałe. jest,~e 'da węzłów naeżących do W~(z), tzn. gdy i = in' n =,N a j =,J zachodzi T(i,j ) =F (j..). Wyznaczenie powyższego poa tempen ratury zamyka drugi etap obiczeń. W kroku trzecim otrzymane na poprzednim etapie dyskretne rozwiązanie przedłuża się na cały rozpatrywany obszar oraz wyznacza się temperaturę powierzchni wewka (tam, gdzie nie jest ona zadana). W pracy [ 13 J omówiono szereg stabinych, o wysokim rzędzie ksymacji s c hematów różnicowych da równania prźewodnictwa. Sposób budowy wspomnianych schematów różnicowych okazał się pomocny p_rzy przedłużaniu znaezionego w kroku poprzednim rozwiązania. Da węzłów naeżących do obszaru poło żonego od inii r = r, n =, N do powierz-. :n. chni wewkar = r* (tj. gdy i=~. n=,n aj = 2,J ) różnicową n aproksymację ewej strony równania (4 ) przyjęto w postaci apro [ E J T].. -;~:~ z,j ( " <::1 E (i,j )[ 3T (i+, i+ ) - 4T (i+ 1 i ) + T (i+ 1 j-1 ) 24 b z + + 15 T (i 1 j+ ) - 20 T (id ) + ST{id - ) 2Lh + + 3 T {i-1 2 j+ ) - 4 T (i-1 2 i ) + T {i-1 2 j-1 ) ] 24.6z (10 ) gdzie E (i,j) = E [T (i,j)j. Natomiast prawą stronę równania (4) aproksymowano zgodnie z zasadami podanymi w pracaci [9,11,.12]. Przyjmując,, że w rozważanym obszarze A. = const. można napisać [ r-m d (rma.d. T)].. "' r r 1, J /
70 Radosław Grzymkowski A. [(i-0,5_\m T( ) 2T( ) (i-1,5)m T( ) ] (11) ""' /:,. r 2 i- ) + ' J - ' J + i- - 'J Związki (10 ) i (11 ) wstawione do równania (4) pozwaają po przekształceniach uzyskać da każdej i-tej warstwy i "' i +, i i "' i 1 +, układ równań n n-1, n "' N, 2 oraz e.t(i,j-1) - 4a (i,j) T(i,j) + 3?T(i,j+) ~ j "' j n- +, 1 - b(i,j )' (12) Występujące w równaniach (12) w spółczynniki mają postać a (i, j)? 2 o! - ' "' jn-1 + 1 ' j ~ jn-1 + 1 "' 1 - jjj-1 m + 6H(i,j) (~- 1 5 ) - 2, (13) (14) (15) gdzie (16 ) Jednocześnie b(i,j ) "'24H(i,j ) [c-=_'~)m T(i-2, j)- 2T(i-1, j )]+ [3T(i-2, j+ ) - 4T(i-2,j) + T(i-2), j-j] + / - 10[3T(i-1, j+ ) - 4T(i-,j ) + T(i-1, j-1 ) ] + + (1-t )T(i, j+ ) + (1-? ) T(i,J), (17 ) przy czym T(i,J ) = ( ~=i. 5 )m[ T(i-,J ) - T(i-,_ J-1 )] /H(i-1, j ) +
.. Przybiżona metoda anaizy wymiany ciepła 71 C:~, s) m T (i-1, J) (18) oraz T (1, ) (i ) ' (19 ) gdzie T* (i) = T* [ir (i- )]. Ponieważ macierze główne układów równań (12 ) są macierzami trójdiagonanymi do rozwiązania w /w układów można z astosować agorytm Thomasa [14]. Uzyskane na tym etapie poe temperatury jest przedłużeniem rozwiązania zagadnienia prostego (4) + (7) na obszar położony od inii r = r, \ n n =, N do powierzchni wewka r = r*. Znaezione wyżej rozwiązanie pozwaa w ostatnim kroku wyznaczyć w postaci dyskretnej poszukiwany strumień ciepła q (z ). Da wyznaczenia strumienia iciepła wykorzystuje się wynikającą z biansu energii zaeżno..ś ć [ 7 J q (j ) A.(,J-1 ) ( 2ij"1) m T(,j ) - T(I-1,j ) ir +.. 41-1 m + T (,J-1 ) ae(,j-1 )r ( ~) \T(,j ) -T(,j-1 ) ( 0) 2z ' j= 2,J ' 2 gdzie q (j ) q [ Lz(j-1 )] dyskretne wartości poszukiwanego strumienia ciepła. S. Przykład Przedstawiony agorytm posłużył do opracowania programu obiczeń w języku BASIC do reaizacji na EMC W ANG 2200. Opracowany program, pozwaający odtworzyć strumienie ciepła na' powierzchni wewka, przetestowano na icznych przykładach uzyskując zadowaające wyniki. Z du żą dokładnością odtwarzane są strumienie ciepła, gdy punkty kontrone eżą na powierzc4ni wewka ub w jej pobiżu. trone eżą W przypadku gdy punkty kon- na powierzchni, to nawet znaczne zaburzenia w danych wejściowych nie zakłócają w sposób istotny wyników obiczeń. '
72 Radosław. Grzymkowski A B 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i 2 3 4 5 6 7. 8 9 10-0 -- 1 j 2 o= -.14-- 3 o ~ E ~. ; "' 10 - -.65-- 10-11 g, 11 12.. c E o.c; "i "i o.q c.. 'O {'j ~ o :c u ~ u,.. f ~ ;;; ~ ~ i:' ~ :: ":!. 46 48 49 49,. 50 R - 3.59-50 0.105 0.105 ~ p o roż enie pun któw kontronych... Rys. 2. Siatka różnicowa. Dwa przykłady okaizacji punktów kontror~ych(a, B ) Na rysunkach 2 t 7 zamie s zczono wyniki obiczeń uzyskane da płaskiego wewka o grubości 0,21 m, wytwarzanego ze stai bardze> miękkiej, odew a nego z prędkością w = 0, 018.3 m/s. Obiczenia testowe prąwadzono w ten spos.ób, ż e najpierw rozwiązano proste zagadnienie brzegowe (p. np. [ 9, 10, 11 J) przy założonych warunka'ch chłodzenia, a uzyskane tą drogą po- "-... e temperatury (rys. 3 ) wykorzystano przy konstruowaniu postuowanych. pr'zebie gów temperatury w. punktach kontronych da zagadnienia odwrotnego. Uzyskane wyniki zamieszczono na rysunkach 4 +.7. 6. Podsumowanie W pracy przedstawiono dogodny do r eai zac ~ i na EMC agorytm rekonstrukcji warunkow brzegowych da kr zepnącego wewka. W modeu wykorzystuje się informa cj ę o _p r zebiegach t emperatury w ustaonych, pr zemi e szc zających się.wraz z wewkiem punktach kontronych, umiejscowionyc h w z ąkrz epłej czę ś c-i wewka.
Prz;rbiżona metoda anai~ wymian;r cieeła 73 Poe temperatury s ex. 0.07 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1544 1464 1014 0.14 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1548 1525 1290 o 1442 0. 22 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1546 1521 1162 1618 0.29 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1544 1516 1082 o 1610 0.36 1550 1550 1550 1550 1550 15~0 1549 1542 1510 1042 o 1487 0.43 1550 1550 1550 1550 1550 1550-1548 1540 1505 1031 o 1315 0.51 1550 1550 1550 1550 15So 1550 1548 1537 1500 1037 o 1164 0.58 1S50 1550 1550 1550 1550 1550 1546 1530 1440 1032 o 1100 0.65 1550 1550 1550 1550 1550 1549 1545 1521 1392 1009 o 1193 0.73 1550 1550 1550 1550 1550 1549 1543 1519 1357 1007 950 0.80 1550 1550 1550 1550 1550 1548 1542 1517 1330 1000 950 0.87 1550 1550 1550 1550 1550 1548 1540 1515 1309 989 950 0.95 1550 1550 1550 1550 1550 1547 1538 1513 1291 978 950 1.02 1550 1550 1550 1550 1550 1547 15:37 1510 1277 967 950 1.10 1550 1550 1550 1550 1549 1546 1535 1507 1265 957 950 1.17 1550 1550 1550 1550 1549 1545 1534 1505 1254 947 950 1.24 1550 1550 1550 1550 1549 1545 1532 1502 1245 939 950 1.32 1550 1550 1550 1550 1549 1544 1531 1499 1237 931 950 1.39 1550 1550 1550 1550 1548 1543 1527 1466 1225 923 950 1.46 1550 1550 1550 1550 1548 1542 1526 1439 1212 915 950 1.54 1550 1550 1550 1550. 1547 1541 1525 1418 1298 906 950 1.61 1550 1550 1550 1549 1547 1540 1523 1400 1185 987 950 1.68. 1550 1550 1550 1549 1547 1539 1522 1386 1172 887 950. 76 1550 1550 1550 1549 1546 1538 1520 1373 1159 878 S 50 1.83 1550 1550 1550 1549 1546 1537 1519 1362 1147 869 950 1.90 1550 1550 1550 1549 1545 1536 1517 1352 1136 1 860 L 950-1.98 1550 15SO 1550 1549 1545 1535 1515 1344 1125 851 950 2.05 1550 1550 15.50 i548 1544 1534 1513 1336 1116 844 950 2,12 1550 1550 1550 1548 1544 1533 1511 1328 1106. 836. 950 2.20 1550 1550 1550 1548 1543 1532 1509 1321 1098 829 950 2.27 1550 1550 1549 1547 1543 1531 1507 1315 1090 822 950 2.34 1550 1550 1549 1547 1542 1530 1505 1309 1082 816 950 2.42 1550 1550 1549 1547 1541 1529 1503 1304 1075 810 950 2.49 1550 1550 1549 1547 1541 1527 1501 1299 1069 805 950 2.56 1550 1550 1549 1546 1540 1527 1476 1291 1062 799. 950 2.64 1550 1550 1549 1546 1539 1526 1456 1281 1056 794 950 2. 71 1550 1550 1549 1546 1539 1525 1440 1271 1Q49 789 950 2.78 1550 1550 1548 1545 1538 1524 1427 1261 1041 784 950 2.85 1550 1550 1548 1545 1538 1523 1416 1251 1034 779 950 2.93 1550 1549 1548 154L 1537 1522 1407 1242 1027 773 ' 950 3.00 1550 1549 1548 1544 1536 1521 1399 1233 1020 768 950 3.07 1549 1549 1548 1544 1535 1519 1391 1224 1013 763 950 3.15 1549 1549 1547 1543 1535 1518 1385 1216 1006 758 950 3.22 1549 1549 1547 1543 1534 1516 1379 1209 999 753 950 3.29 1549 1549 1547 1542 1533 1515 1:373 1202 992 748 950 3.37 1549 1549 1547 1542 1532 1513 1368 1196 990 772 2 550 3. 44 1549 1548 1546 1542 1531 1512 1363 1190 990 788 2 550 3. 51 1549 1548 1546 1541 1531 1510 1359 1186 991 800 2 550 3.59 1549 1548 1546 1541 1530 1509 1356 1183 992 808 2 550 Rys. 3. Fragment poa temperatury (obszar krystaizatora + sektor strefy chłodzenia wtórnego); - odegłość od górnej powierzchni (m ), s - strefa chłodzenia, at.- współczynnik wymiany ciepła (W /m 2 K )
74 Radosław Grzymkowski Poe temperatury Ot 0.07 1SSO 1SSO 1SSO 1SSO 1SSO 1SSO 1SSO 1SSO 1S44 1464 1014 0.14 1550 1S50 1S50 1550 1SSO ISSO ISSO 1548 I 52 S I292 I436 0.22 I5SO 1550 I550 I550 I5SO I550 ISSO I546 IS2I 117I I539 0.. 29 I5SO I S 50 I5SO I550 I550 I550 ISSO I544 -I5I6 109I I573 0.36 I5SO I S 50 1S50 1S50 ISSO I5SO IS49 I542 1S11 OS I I449 0.43 I S 50 I550 I550 I550. 1550 I550 I548 IS40 IS06 104I I278 0.5I ISSO 1SSO ISSO I5SO I550 ISSO I 54& 1537 1500 1047 1128 O.S8 1SSO ISSO 1SSO 1SSO 1SSO 1SSO IS47 IS3I 1441 I034 11SO 0.6S I550 1550 ISSO 1SSO 1SSO 1549 1S4S 152I I393 1011 1186 o. 73 ISSO 1SSO 1SSO 1S50 1SSO 1S49 1S43 15I9 13S8 1010 942 0.80 ISSO ISSO ISSO ISSO ISSO IS49 IS42 IS17 I331 I002 942 0.87 15SO 1SSO 1SSO 1SSO ISSO IS48 IS40,ISIS 1310 992 941 0.9S ISSQ 1SSO I5SO ISSO ISSO IS47 1S39 ISI3 I293 ' 98I 94I 1.02 16SO I550 1550 I550 1SSO 1S47 1537 1510 I278 970 946 1.10 1550 I S 50 1550 I550 I549 1546 1535 1500 I266 960 940 LF 1SSO 1SSO 1SSO 1SSO IS49 1S45 1S34 ISOS 1256 951 939 1.24 1SSO 1S50 1SSO 1SSO I549 I54S IS32 1S02 1247 943 939 I.~2 15SO 1S50 1550 I550 IS49 I544 IS3I ISOO 1230 93S 930 1.39 I550 1SSO 1S50 ISSO 1S4t3 IS43 1S27 ' 1466 I227 927 940 1.46 I S 50 I S 50 1550 ISSO I548 1542 ' 1S26 I440 12f 919 93Q I.54 1SSO 1S50 1550 1550 I547 I541 1525 I419 1200 910 939 1.6I 15SO 1550 I550 1549 1547 1546. 1523 ;1.40I 1.187 901 939 I.68 1550 15SO I550 1549 1547 1539 1522 I307 1174 891 938 1.76 I550 I550 1550 1549 I546 I538 I528 1374 116I 882 938 1.83 1550 1550 1550 I549 1546 1537 1S19 1363 1150 873 937 1.90 1550 1550 I550 I549 I545 I536 ISI7 1354 1138 864 937 1. 98 1150 1550 1550 1549 1545 1535 I5I5 1345 1128 856 936 2.05 1550 ISSO ISSO IS48 ~544 1S35 I513 1337 1118 848 936 2.I2 ISSO ISSO 1550 IS48 1S44 1533 1S11 1338 1109 841 936. 2.. 20 1SSO 1550 1SSO 1S48 1543 1S32 1S09 1323 110I 834 935 2.27. ISSO 1SSO 1549 1548 1543 1531 1S07 1317 1093 827 935 2.. 34 1SSO 15SO 1S49 1547 1542 1530 1505 I311 1086 821 934 2.42 1550 1550 1549 1547 1541 1529 1503 130S I079 8I6 934 2.49 15SO 1SSO 1S49 1547 1541 1528 1501 I300 1072.810 933 2..56 1550 1S50 1549 1S46 1546 152S 1476 1292 1066 sos 933 2. 64 1550 1550 1S49 1546 1S39 1524 1456 1203 1059 800 932 2.71 1S50 1550 1549 1S46 1S38 1523 :440 1273 1052 79S 931 2.78 1550 1550 1548 154S 1538 1522 1427 1263 1045 790 931 2.85 1550 1550 1548 154S 1537 1521 1416 1253 10.38 785 930 2.. 93 1550 1549 1548 1544 1536 1520 1407 1244 1031 780 929 3.00 1550 1549 1548 1544 1S3S 1519 1399 1235 1024 775 929 3.07 1550 1549 1548 1544 1535 1517 1391 1226 1017 770 928 3.. 1S 1550 1549 1547 1S43 1534 1516 138S 1218 1016 765 928 3.22 1550 1549 1547 1S43 1S33 1514 1279 1211 1003 760 927 3.. 29 1549 1549 1547 1542 1532 1273 1204 1204 997-75S 927 3.37 1S49 1549 1547 1542 1S31-1511 1368 1198 99S 799 532 3.44 1549 1549 1546 1541 1530 1510 1363 1193 995 796 S32 3.51 1549 1548 1546 1S41 1530 1500 1359 1188 995 806 532 3. 59 1549 1S48 1S46 1540 1529 1507 1356 1185 997 816 532 Rys. 4. Odtworzone poe temperatury.i współczynnik wymiany ciepła na powierzchni wewka - wariant A (por. rys. 2 ). Dane wejściowe za burzone osowo w koumnie 9 w granicach : SK a w koumnie 10 w granicach.:: OK /
Prz~biżona metoda anaizy w~iany cieeła 75 ALFA RZECZ. ALFA ODTW. BŁ\,D W ZGL. (% ) 0.07 1014.487918222 1014.48791814 8. 08289566E-09 0.14 1442.351701333 1430.762171011.0035162513615 0.22 1618.511392 1539.441065115 4.885373515184 0.. 29 1610.887032887 1573.832495115 2. 30025675392 0.36 1487.398666669 1449.565646398 2.543569596896 0.43 1315.966336 1278.939039574 2.813696324372 0.51 1164.510083557. 1128. 7.8777 2464 3.067502805628 0.58 1100.949951989 1150.226332157 4.475805651199 0.. 65 1193.205983989 1186.384472697.5716960343423 0.. 73 950 942.. 9731416559. 7396692993789 0.80 950 942.4665999172. 7929894824 0.87 950 941.. 9333790442.8491179953474 g. 95 950 941.3854256278.9067973023368 1.02 950 946.83651151375.9652093065789 1.10 950 946.2737083115 1.023820177737 1.17 950 939.7182844621. 882285852411 1.24 950 939. 1662894484. ).48398584379 1.. 32 950 938.6189494421 1.198005321884 1.39 950 940.1194118608. 040061909389 1.46 950 939.816991521 1.071895629368 1.54 950 939. 4751493244 1.107879018484 1.61 950 939.1024708533 1.147108331232 1.68 950 938.7061868449 1.188822437379 1. 76 950 938.2921991187. 232400092768 1.83 950 937.8652334333 1. 277343849126 1.90 950 937.. 4290236169 1.323260671905 1.98 950 936.9864895692 1.. 369843203242 2.05 950 936.5398978057 1.416852862558 2.12 950 936. 0909910677 1.. 4641062034 2.20 950 935.6411002291. 1.511463133770 2.27 950 935.1912325535. 558817625947 2.. 34 950 934.7421418701 1.606090329463 2.42 950 934.2943849573. 653222636074 2.49 950 933.8483659858 1.700172001495 2..56 950 933.0402135943. 785240674284 2.. 64 950. 932.3109551367 1.. 862004722453 2..71 950 931.6420007215 1.932420976684 2. 78 950 931.0193531016 1.997962831411 2~85 950 930.4325704786 2.. 059729424147 2.93 950 929.8738931406 2.118537564147 3.00 950 929.3375485506 2.,.17499488941 3.. 07 950 928.819222275 2.. 22955555 3.. 15 950 928.3156654368 2.282561532968 3.22 950 927. 8244b39005 2.334273273632 3.29 950 927.3435316383 2.384891406495 3.. 37 550 532.0300909978 3.267256182218 3.44 550 532.2156189343 3.233523830127-3.51 550 532.2848205097 3.. 220941725509 3.59 550 532.2815573424 3. 221535028655. Rys. 5. Porównanie strumienia rzeczywistego i odtworzonego - wariant A
76 Radosław Grzvmkowski Poe temperatury O. 0.07 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1543 1454 1139 0.14 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1548 1523 1281 1468 0.22 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1546 1519 1153 1647 0.29 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1t;(. Q 1544 151~ 11)"7'1 1639 0.,36 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1549 1541 1500 1034 1514 0.43. 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1548 ~539 1503 1023 1340 0.51 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1547 1537 1498 1030 1185 0.58 1550 1550 1550 1550 1550 ' 1550 1546 1530 1438 1025 1118 0.65 1550 1550 ' 1550 1550 1550 1549 1545 1520 1390 1002 1209 0.73 1550 1550 1550 1550 1550 1549 1543 1518 1354. 1001 962 0. 80 1550 1550 1550 1550 1550 1548 1541 1516 1327 994 960 0.87 1550 1550 1550 1550 1550 1548 1540 1514 1306 984 958 0.95 1550 1550 1550 1550 1550 1547 1538 1512 1288 973 957 10.2 1550 1550 1550 1S50 1550 1547 1537 1509 1274 963 956 1.10 1550 1550 1550 1550 1549 1546 1535 1507 1262 953 955 1.17 1550 1550-1550 ' 1550 1549 '1545 1533 1504 1252 944 953 1.24 1550 1550 1550 1550 1549 1544 1532 1501 1242 936 952 1.32 1550 1550 1550 1550 1548. 1543 1528 1468 1210 928 939 1.39 1550 1550 1550 15.50 1548 1542 1522 1441 1217 921-931 1.46 1550 1550 1550 1550 1548 1541 1521 1419 1203 913 92~ 1.54 1550 1550 1550 1550 1547 1540 1520 1402 1189 984 926 1.61 1550 1550 1550 1549 1547 1539 1519 1387 1176 895 925 1.68 1550 1550 1550 1549. 1546 1538 1517 1374 1164 ~ 886 925 1.76 1550 1550 1550 1549 1546 1537 1516 1363 52 877 925 1.83 1550 1550 1550 1549 1545 1536 1514 1353 41 869 926 1.90 1550 1550 1550 1549 1545 1534 1512 1344 1130 860 926 1.98 1550 1550 1550 1548 1544 1533-1510 1337 1120 852 926 2.05 1550 1550 1550 1548 1543 1532 1500 1329 11 845 926 2.12 1550 1550 S 50 1548 1543 1531 1506 1322 03 838 92G 2.20 1550 1550 1549 1547 1542 1538 1504 1316 1095 931 926 2.27 1550 1550 1549 1547 1542 1529 1502 1316 1087 825 926 2.. 34 1550 1550 549 1547 1541 1527 1500 1305 1080 819 926 2.42 1550 1550 1549 1546 1540 1527 1476 1297 1073 813 924 2.49 1550 1550 1549 1546 1540 1526 1457 12$7 1066 808 926 2.56 1550 1550 1549 1546 1539 1525 1442 1277 1059 804 916 2.64 1550 1550 1549 1538 1524 1429 1267 1052 1052 799 912 2. 71 1550 1550 1548 1545 1538 1523 1419 1258 1045 794 909 2.78 1550 1550 1548 1545 1537 1522 1410 1248 1038 789 907 2.85 1550 1549 1548 15U 1536 1521 1402 1239 1031 785 905 2.93 1550 1549 1548 1544 1536 1520 1394 1231 1024 780 904 3.00 1550 1549 1548 1544 1535 1518 1388 1223 *017 775 904 3.07 1550 1549 1547 1_543 1534 1517 1382 1216 1010 770 903 3.. 15 1550 1549 1547 1543 1533 1515 1377 1209 1004 765 903 3.. 22 i549 1549 1547 1542 1533 1514 1371 1202 998 761 903 3.29 1549 1549 1547 1542 1532 1512 1367 96 992 756 903 3.37 1549 1549 1546 1541 1531 15 1362 1191 990 780 509 3.44 1549 1548 1546 1541 1530 1509 1358 86 991 797 510 3. 51 1549 1548 1546 1540 1529 1507 1355 83 992 809 5 3.59 1549 1548 1546 1540 1528 1506 1351 80 994 818 512 Rys. 6. Odtworzone poe temperatury i współczynnik wymiany ciepła na powierzchni wewka - wariant B (por. rys. 2 ). Dane wejściowe za burzono osowe w granicach + OK w koumnie 10
Prz,rbiżona metoda anai~ wymian,r cieeła 77 ALFA RZECZ. ALFA ODTW. BLĄD W ZGL. (%) 0.07 1014.487918222 1139.751531787 12.34747218917 0.14 1442.351701333 1468. 354605205. 802812992696 0.22 1618.511392 1647.294608126. 778375874787 0.29 1610. 887-032887 1639.95566824. 804511102241 0.36 1487.398666668 1514.638864177 1.831398542936 0.43 1315.966336 1346.204361573 1.841842371643 0.51 1164. 510083557 1185.635686143 1.814119335186 0.58 1100.949951989 1118.576403922 1.601022090165 0.65 1193.205983989 1209.2590'71921 1.345374407052 0.73 950 962.2202408984. 1..2863411472 0.80 950 960.4640082932 1.101474557179 0.87 950 958.9360349965.9406352627i95 0.95 950 957.5512912113 79487 27 590842 1.02 950 956.2579923409.6587360358842 1.. 10 950 955.0235440003.5287941137158 1.17 950. 953.8269944778.4028415239789 1.24 950 952.6547128349.2794434563053 1.32 950 939.3009682042 1.126213873242 1.39 950 931.874516:1.665. 007945666684 1.46 950 928.0107350732 2.314659465979 1.54 950 926.2314894114 2.501948483011 1.61 950 92:).6234836689 2.565949087484 1.68 950 925.628088179 2.565464402211. 76 950 925.908212169 2.535977666421 1.83 950 926.264812181 2.498440823053 1.90 950 926.58451340693 2.464780540074 1.98 950 J 926. 8071332329 2. 441354396537 2.05 950 926.9043175067 2.431124463505 2.12 950 926.867268079 2.435024412737 2.20 950 9 26. 698 2383565 2.. 452817015105 2.27 950 926.4055302625 2.483628393421 2.34 950 926.0003692696 2.5262769189!39 2.. 42 950 924.0799093156 2. 728430598358 2.49 950 920.2800358087 3.128417283295 2.56 950 916.2191562156 3.555878293095-2.64 950 912.6171388238 3.935038018547 2.71 950 909.7188900266 4.240116839305 2.70 950 '907.5346395178 4.470037945495 2.85 950 905.9718482112 4.634542293558 2.93 950 904.. 9044359678 4.746901477074 3.00 950 904.2067402747 4. 820343128979 3.07 950 903.7682694246 4.866497955305 3.15 950 903.4984370479 4.894901363379 3.22 950 903. 3264004841 4. 913010475358 3.29 950 903.1987755722 4.926444676611 3.37 550 509.7192213355-7.. 323777939 3.44 550 510.9875761934 7.093167964836 3.51 550 511.9112334954 6.. 925230273564 3.59 550 512.5943500565 6. 801027262455 Rys. 7. Porównanie strumienia rzeczywistego i odtworzonego -wariant B
78 Radosław Grzymkowski Prezentowany agorytm oparto na rozwiązaniu odwrotnego nieiniowego zagadnienia brzegowego da równania przewodnictwa. Rozwiązania w/w zagadnienia pozwaa da z góry ustaonych przebiegów temperatury w punktach kontronych wyznaczyć warunki chłodzenia powierzchni wewka. Wyznaczone na podstawie modeu 'reane strumienie ciepła mogą być wykor"zystane przy konstruowaniu urządzeń do ciągłego odewania, optymanych ze wzgędu na okreśone wc~eśniej potrzeby jakościowe wewka. Na przykład właściwe chłodzenie wtórne powinno być tak przeprowadzone, aby na całym obwodzie wewka była utrzymywana równomierna temperatura. R.,ównież temperatura powierzchni wewka- po jego wyjściu z krystatzatora aż do skrzepn-lęcia na całym przekroju powinna spadać stae i równomiernie. Ten drugi postuat może być z powodzeniem testowari.y przy pomocy omawianej w pracy metody. 7. Literatura [1] Tichonow A. N.; nż. Fiz. Żurna, 34, 2(1975) 338-343. (2] Woska- Bochenek J. i in.: Zarys teorii równań całkowych i równań różniczkowych cząstkowych, PWN, Warszawa 1981. [3] Tichonow A. N.: Mietody nieszenija niekorriektnych zadacz, Nauka Moskwa 1980.. [4] His R.G. i in.: nt.journa of Heat and Mass Transfer, 22, 8 (1979 ) 1221-1229. [SJ Zawiałow J. S., i in. Metody spajn-funkcji, Nauka, Moskwa 1980. [6] Samejłowicz J.A.: Formirowanije sitka, Metaurgija, Moskwa 1977. 7] Sprawozdanie z reaizacji zadania "Optymaizacja procesów prze- [8] pływu ciepła w układzie odewu i formy", 20.04.02. Międzyresortowy Probem Badań Podstawowych nr 20, Giwice 1983. -, Marczuk G. I.: Anaiza numeryczna zagadnień -fizyki matematycznej, PWN, Warszawa 1983. [9] Grzymkow ski R.: Modeowanie procesów odewania i krystaizacji wewków ciągłych, Praca doktorska, Giwice 1980. [10] Sprawozdanie z reaizacji zadania "Podstawy krystaizacji w procesie odewania ciągłego", 20. 04.04 Międzyresortowy Probem Badań Podstawowych nr 20, Giwice 1976-1980.
Przybiżona metoda anaizy wymiany ciepła 79 [11] Grzymkowski R., Mochnacki B.: Krzepnięcie Metai Stopów, 2 (1980) 69-134. [12J Mochnacki B.: Arch. Hutn., 28, zesz. (1983) 79-100. [13] Richtmyer R. D.: Difference methods for initia - rane probems uterscince Pubisher s, New York 1957. [14] Rosenberg D. V.: Methods for the Numerica soution of partia! differentia equations, American Esevir Pubishing Company, New York 1969.