opisu procesu przewodzenia ciepła w ośrodkach porowatych. We wszystkich modelach związków konstytutywnych występują właściwości efektywne

Transkrypt

1 Warszawa, Prof. dr hab. inż. Piotr Furmański Instytut Techniki Cieplnej Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechnika Warszawska ul. Nowowiejska 25 Tel: Fax: pfurm@itc.pw.edu.pl Opinia o rozprawie doktorskiej mgr inż. Rafała Broćka pt. Algorytmy rozwiązywania zagadnień odwrotnych przewodzenia ciepła w materiałach porowatych dla wybranych modeli z pochodną niecałkowitego rzędu 1. Omówienie rozprawy doktorskiej Opis złożonych procesów transportu masy, pędu i energii w ośrodkach niejednorodnych stanowi przedmiot zainteresowania wielu badaczy ze względu na istotną rolę, jaką te ośrodki odgrywają w wielu zastosowaniach przemysłowych. Do ośrodków tych należą izolacje cieplne, kompozyty, złoża fluidalne i ziarniste, stopy, porowate skały, zawiesiny nanocząstek, mieszaniny wielofazowe i wiele różnych innych substancji. Ze względu na skomplikowaną, często zmienną w czasie ich strukturę transport energii, pędu i składników w tych ośrodkach jest opisywany przy pomocy zastępczego ośrodka ciągłego o stałych lub zmiennych w przestrzeni i czasie właściwościach efektywnych. Równania opisujące zmianę temperatury, ciśnienia, gęstości, prędkości, odkształcenia lub stężenia składników w ośrodku zastępczym powstają z bilansów energii, pędu, momentu pędu i masy oraz dodatkowych związków zwanych często związkami konstytutywnymi. Związki te wiążą masę, pęd i energię wewnętrzną oraz strumienie wspomniany wielkości z temperaturą, ciśnieniem, prędkością płynu, odkształceniem czy stężeniem składników. Przyjmują one zwykle postać związków nielokalnych, całkowych, w których, np. strumień ciepła i energia wewnętrzna zależą nie tylko od temperatury i jej gradientu w miejscu i momencie czasu wyznaczania strumienia ciepła, ale również od tych wielkości w całym rozpatrywanym obszarze ośrodka oraz od ich wartości w poprzednich chwilach czasu, czyli od tzw. historii procesu. W celu uproszczenia opisu wprowadzane są różnego rodzaju uproszczone modele związków konstytutywnych, w których zamiast postaci całkowej używane są różnego rodzaju rozwinięcia, wykorzystujące pochodne różnych rzędów. W przypadku przewodzenia ciepła najprostszy model związku między gęstością strumienia ciepła a temperaturą przyjmuje postać prawa Fouriera a zmiana energii wewnętrznej ośrodka związany jest liniowo ze zmianą temperatury. Do bardziej złożonych modeli w przypadku przewodzenia ciepła należą przykładowo: model Cattaneo zawierający dodatkowo pochodną gęstości strumienia ciepła względem czasu, model ośrodków dwufazowych (dwuskładnikowych) zawierający odrębne związki konstytutywne dla każdej z faz (składników) i opisujące oddziaływanie między fazami (składnikami). Do modeli wykorzystujących uproszczoną wersję związków konstytutywnych należy również model wykorzystywany w omawianej rozprawie doktorskiej, bazujący na pochodnych temperatury niecałkowitego rzędu i mający posłużyć do 1

2 opisu procesu przewodzenia ciepła w ośrodkach porowatych. We wszystkich modelach związków konstytutywnych występują właściwości efektywne (współczynniki materiałowe) zależne od procesów transportu występujących w poszczególnych składnikach ośrodka, właściwości fizycznych tych składników i sposobu ich rozłożenia w ośrodku (mikrostruktury, morfologii ośrodka). Wspomniane właściwości wyznaczane są poprzez bezpośrednie pomiary lub w sposób pośredni wykorzystujący pomiary, np. temperatury, w wybranych miejscach ośrodka a następnie zastosowanie metod odwrotnych. Zagadnieniu temu poświęcona opiniowana rozprawa doktorska. Przedstawiona jest ona na 163-ch stronach, składa się z dziesięciu rozdziałów i zawiera 76 rysunków, 2 zdjęcia, 54 tablice oraz streszczenia w języku polskim i angielskim. Autor rozprawy cytuje 153 pozycji bibliograficznych. Większość z nich pochodzi z ostatnich dziesięciu lat, co dodatkowo świadczy o aktualności tematyki pracy We wstępie do pracy Autor przedstawia różnicę między zagadnieniami prostymi i odwrotnymi przewodzenia ciepła i dyfuzji, opisuje rodzaje zagadnień odwrotnych i ich cechy (złe uwarunkowanie, niestabilność względem małych zmian wielkości wejściowych, potrzebę stosowania regularyzacji) oraz omawia rolę metod optymalizacyjnych w efektywnym uzyskaniu rozwiązania zagadnień odwrotnych. Dalsza część wstępu jest poświęcona omówieniu przykładów zastosowań inżynierskich rachunku różniczkowego niecałkowitego rzędu. W kolejnym (drugim) rozdziale Doktorant formułuje cele pracy i przedstawia jej zakres. Jako cel pracy określa opracowanie efektywnych algorytmów rozwiązywania zagadnień prostych (bezpośrednich) i odwrotnych procesu przewodzenia ciepła opisywanego równaniami różniczkowymi zawierającymi pochodne niecałkowitego rzędu oraz ich weryfikację w oparciu o dane pomiarowe uzyskane z procesu nagrzewania próbki porowatego aluminium. Proponowane algorytmu rozwiązywania zagadnień odwrotnych zamierza oprzeć o klasyczną metodę optymalizacji (algorytm deterministyczny Neldera-Meada) oraz nowych algorytmach optymalizacyjnych takich jak mrówkowy, pszczeli oraz hybrydowy. Algorytmu te mają być zastosowane do niestacjonarnych zagadnień jedno- i dwuwymiarowych przewodzenia ciepła, w których poza wyznaczeniem wybranych właściwości materiałowych mają służyć do przewidywania wartości parametrów występujących w warunkach brzegowych zagadnień prostych przewodzenia ciepła. Jako dodatkowy cel pracy Autor rozprawy precyzuje ocenę skuteczności i użyteczności opracowanych metod rozwiązywania zagadnień odwrotnych oraz dostosowanie wybranych z nich do obliczeń równoległych (na wielu wątkach). Rozdział trzeci dotyczy wprowadzenia do rachunku różniczkowego niecałkowitego rzędu. We wstępie zawiera opis specjalnej funkcji gamma i jej właściwości. Funkcję gamma następnie wykorzystuje we wprowadzeniu definicji dwóch pochodnych niecałkowitego rzędu Riemanna-Liouville a oraz Caputo. W końcowej części przedstawia dwa przykłady tych pochodnych i zależność ich wartości nie tylko od zmiennej niezależnej, ale i rzędu pochodnej. W rozdziale czwartym Doktorant dokonuje przeglądu literatury dotyczącej przewodzenia ciepła w ośrodkach porowatych, ich opisu przy pomocy klasycznych równań zawierających pochodne całkowitego rzędu jak również zastosowania pochodnej niecałkowitego rzędu do opisu zagadnień przewodzenia ciepła oraz metod rozwiązywania zagadnień odwrotnych tych zagadnień. Rozdział piąty rozprawy jest poświęcony omówieniu algorytmów rozwiązań zagadnień prostych (bezpośrednich), zarówno jedno- jak i dwuwymiarowych przewodzenia ciepła zawierających pochodne niecałkowitego rzędu względem zmiennych przestrzennych jak czasu. Warunki brzegowe występujące w tych zagadnieniach są zarówno typu Dirichleta, Neumanna jak i Cauchy ego (mieszane). Uwzględniane jest również występowanie członów związanych z występowaniem źródeł ciepła. Do dyskretyzacji obszaru obliczeniowego Autor 2

3 rozprawy stosuje regularną siatkę strukturalną. Do pochodnych całkowitego rzędu stosuje klasyczną aproksymację poprzez ilorazy różnicowe natomiast do pochodnych niecałkowitego rzędu wykorzystuje definicję tych pochodnych zawierającą całki i ilorazy różnicowe. W rozdziale przytoczonych jest szereg przykładów zastosowania opracowanych algorytmów rozwiązywania zagadnień prostych przewodzenia ciepła, dla których znane są rozwiązania analityczne. Rozwiązania te pozwoliły na ocenę wpływu gęstości siatki na wielkość błędów maksymalnych i średnich rozwiązania. Następny rozdział (szósty) rozprawy dotyczy szczegółowego opisu algorytmów optymalizacji stosowanych przy rozwiązywaniu zagadnień odwrotnych przewodzenia ciepła. Doktorant omówił tu wybrane do dalszych zastosowań algorytmy heurystyczne (dwie wersje algorytmu mrówkowego, algorytm pszczeli) oraz algorytm deterministyczny Neldera-Meada. Rozdział siódmy (największy rozdział rozprawy) dotyczy prezentacji zastosowania wspomnianych wyżej algorytmów optymalizacyjnych do rozwiązywania odwrotnych zagadnień przewodzenia ciepła opisywanych równaniami różniczkowymi zawierającymi pochodne niecałkowitego rzędu. Doktorant analizował cztery rodzaje zagadnień (trzy jednowymiarowe i jedno dwuwymiarowe). Otrzymane z rozwiązania odpowiedniego zagadnienia prostego wartości temperatury w wybranych punktach obszaru, w którym występował proces przewodzenia ciepła zaburzano błędami pseudo-losowymi o rozkładzie normalnym i ustalonej wartości maksymalnej. Otrzymane w ten sposób wartości temperatury w tych punktach służyły jako dane wejściowe do rozwiązania zagadnienia odwrotnego. Podczas rozwiązywania zagadnienia odwrotnego stosowano regularyzację Tichonowa a poszukiwane były różne parametry występujące w tych równaniach lub warunkach brzegowych opisujących rozpatrywany proces (strumień ciepła na powierzchni obszaru, współczynnik wnikania ciepła, rząd pochodnej, współczynnik przewodzenia ciepła). W podanych przykładach przy dążeniu do minimalizacji funkcjonału zbudowanego na kwadracie różnic między wartościami przybliżonymi a dokładnymi temperatury wykorzystywano różne algorytmy optymalizacji, różną dyskretyzację rozpatrywanego obszaru, częstotliwość próbkowania wartości temperatury oraz wielkość błędów zaburzających rozwiązanie dokładne. Badano wpływ wspomnianych wielkości na błędy odtworzenia temperatury i poszukiwanych wielkości a więc dokładność rozwiązania rozpatrywanego zagadnienia odwrotnego jak również stabilność prezentowanych algorytmów. W rozdziale ósmym rozprawy Doktorant wykorzystał pomiary w wybranym punkcie prostopadłościennej próbki porowatego aluminium (porowatość 23%) do wyznaczenia parametrów kontrolujących proces przewodzenia ciepła w tym materiale podczas jego chłodzenia. Do opisu procesu stosowano klasyczne jednowymiarowe równanie przewodzenia ciepła oraz trzy wersje jednowymiarowych równań zawierających pochodne niecałkowitego rzędu: model z pochodną Caputo względem czasu, pochodną Riemanna-Liouville a względem przestrzeni oraz zawierający zarówno jedną jak i druga z wymienionych pochodnych. Wyznaczano współczynnik przewodzenia ciepła porowatego aluminium, współczynnik wnikania ciepła oraz rzędu pochodnych względem czasu i przestrzeni w przypadku stosowania do opisu procesu równań zawierających pochodne niecałkowitego rzędu. Określano błąd wyznaczenia wspomnianych wielkości oraz błędy odtworzenia temperatury w punkcie pomiarowym. W rozdziale dziewiątym, na trzech przykładach, przeprowadzono porównanie działania algorytmów optymalizacyjnych stosowanych w pracy oraz algorytmu wziętego z literatury i nazwanego iteracyjnym. Wyznaczano współczynnik przewodzenia i wnikania ciepła. Wyniki pracy podsumowano w rozdziale dziesiątym odnosząc się do celów rozprawy wskazanych w drugim jej rozdziale. Doktorant zarysowuje tu również plan dalszych badań obejmujących rozbudowę i ulepszenie zaproponowanych w pracy algorytmów służących do 3

4 rozwiązywania zagadnień odwrotnych przewodzenia ciepła, ich rozszerzenia na zagadnienia wielowymiarowe, zastosowanie nowych algorytmów, które pozwalałyby na zrównoleglenie obliczeń oraz wskazuje na konieczność weryfikacji algorytmów przy ich zastosowaniu do innych zagadnień przewodzenia ciepła, w których wykorzystywane są wyniki rzeczywistych pomiarów. 2. Uwagi natury merytorycznej Podczas zapoznawania się z rozprawą nasunęło mi się kilkanaście uwag natury merytorycznej. 1. Klasyczne równanie przewodzenia ciepła powstaje z bilansu energii i związków konstytutywnych wiążących gęstość strumienia ciepła i energii wewnętrznej z temperaturą. W jaki sposób otrzymano podane w rozprawie równania opisujące proces przewodzenia ciepła z pochodnymi niecałkowitego rzędu i jaki jest ich związek z ogólnymi prawami fizyki? 2. W jaki sposób z rozkładu temperatury, otrzymanego z rozwiązania równania opisującego proces przewodzenia ciepła z pochodnymi niecałkowitego rzędu, obliczyć ilość ciepła, która została oddana lub pobrana przez otoczenie oraz zmianę energii wewnętrznej ciała korzystając np. z warunków brzegowych (19), (20) patrz str.25 czy (36), (37) - patrz str Jakie ograniczenia, wynikające z praw termodynamiki, są nałożone na występujące w równaniach (15), (31), (37) parametry c, czy? Jaka jest interpretacja fizyczna tego ostatniego parametru? 2. Czy opisany algorytm jest własny czy wzięty z literatury? - patrz str Dlaczego występujące w niektórych wzorach wartości współczynnika wnikania ciepła są ujemne? patrz str.35, 50, 51. Wydaje się to sprzeczne z II Zasadą Termodynamiki. 4. Jaki proces jest odpowiedzialny za zmianę współczynnika przewodzenia ciepła w czasie? - patrz str.45, wzór (47). 5. Opis eksperymentu jest niedokładny. Konieczne jest podanie wymiarów odciętej próbki (patrz str.109, 4-ty wiersz od dołu) oraz jak zmieniają się one podczas nagrzewania i chłodzenia (patrz str.110, drugi paragraf)? Nie jest też jasne jak realizowane chłodzenie (patrz str.110, 1-szy wiersz od góry)? Nie wiadomo, w którym dokładnie miejscu na powierzchni próbki zamocowana została termopara oraz jaka była dokładność pomiaru temperatury- (patrz str.110, 5-ty wiersz od góry)? 6. Dlaczego w modelach, używanych do wyznaczenia parametrów równania opisującego proces przewodzenia ciepła w porowatym aluminium, przyjmowano stałą wartość właściwości fizycznych: współczynnika przewodzenia ciepła, ciepła właściwego i gęstości porowatego aluminium (patrz str )? Zmierzona temperatura próbki zmieniała się przecież podczas chłodzenia próbki w szerokim zakresie od 570 do 360 K patrz np. Rys Na jakiej podstawie Autor twierdzi, że proces przewodzenia ciepła w eksperymencie jest jednowymiarowy? Z opisu eksperymentu wydaje się wynikać, że chłodzenie występuje ze wszystkich stron próbki - patrz str Wyniki obliczeń są lub wydają się być dość mocno zależne od wymiaru siatki. Czy badano wpływ podziału przestrzennego na wyniki obliczeń? - patrz str.116, drugi paragraf. 9. Czy we wszystkich przykładach dotyczących rozwiązywania zagadnień odwrotnych stosowano regularyzację? 10. Dlaczego wartości ciepła właściwego i gęstości przyjęte w niektórych przykładach są tak nierealistycznie małe? Patrz przykłady 3, 5-8, 10,

5 11. Dlaczego przyjmowano tak skomplikowane wyrażenia na gęstość źródła ciepła, współczynnik przewodzenia ciepła, wnikania ciepła, początkowy rozkład temperatury czy gęstość powierzchniową strumienia ciepła? Patrz przykłady 3,6-7, 8-13, Skąd wiadomo, jakie są dokładne rozwiązania rozpatrywanych zagadnień? Patrz str.31, 10-ty wiersz od góry oraz przykłady 4,5,6,7,8,9. 3. Uwagi dotyczące formy redakcyjnej rozprawy Układ pracy jest poprawny a cele rozprawy i sposób rozwiązania problemu opisane są bardzo przejrzyście. Strona graficzna pracy została staranie przygotowana, ale przydałby się jednak spis używanych w pracy oznaczeń. Liczba błędów redakcyjnych oraz niedomówień jest stosunkowo niewielka i nie umniejsza wysokiej oceny strony redakcyjnej rozprawy. Do wspomnianych błędów należą: - str. 7, 6-7-ty wiersz od dołu; Niezręczne sformułowanie zjawisko rozkładu ciepła w materiale ceramicznym - str. 18, wzór: Dlaczego oznaczenie pochodnej Reimanna-Liouville a w tym wzorze jest niezgodne z definicją podaną we wzorze (8) na str str.19, ostatni wiersz drugiego paragrafu: Czym charakteryzuje się zjawisko anomalnej dyfuzji? - str.21, wiersze 4-ty i 12-ty wiersz od góry: Niejasne określenie współczynnika zależnego od zmiennej przestrzennej - str.21, 14-ty wiersz od góry: strumienia czego? - str.24, wiersze cie od dołu: Sformułowanie o nazewnictwie i jednostkach parametrów jest niejasne. Wielkości występujące w przewodzeniu ciepła mają określone znaczenie fizyczne. - str.25, 10-ty wiersz od góry: Co oznacza proces transportu z długą pamięcią - str.26, wzór na dole strony: Co oznacza symbol O( t)? - str.26-27, wzory (23)-(24): Dlaczego zmieniono oznaczenie temperatury z małej litery u na dużą? - str.27, wzór (25): Co oznacza wielkość k U 1? - str.28, wzór (32): Jakie są warunki stabilności równania (32) i czy przy =1 przyjmuje ono klasyczną postać równania różnicowego dla tego zagadnienia? - str.31: Jakie wartości L i T (patrz str.26) przyjęto w przedstawionym przykładzie? - str.32, Rys.6b: Jak jest liczony błąd rozwiązania? - str.32, Rys.7b: Dlaczego przyjmowano tak krótkie czasy? - str.35, Tabela 1: Jak definiowany jest błąd średni? - str.37, 1-szy wiersz od dołu: Zamiast zjawisko superdfuji powinno być zjawisko superdyfuzji. Co to jest za zjawisko? - str.39, 2-gi wiersz od dołu: W jaki sposób rozwiązywano równanie (46)? - str.41, opis przykładu 6: Jakie jednostki mają elementy przypisane są do zbioru D? -str.44, Przykład 7: Jaki był przyjęty przedział czasowy rozwiązania? 5

6 -str.48, 1-szy wiersz od góry: Jaką postać mają macierze A i B? - str.50, dwa pierwsze wiersze: Niejasne wielkości cos1 i sin1. - str.50, parametry modelu: Dlaczego przyjęta dziedzina czasu jest tak krótka? - str.54-55: Gdzie w opisie algorytmu występuje liczba mrówek w populacji p? - str.58,1-szy wiersz od góry: W jaki sposób wygenerowano liczbę plam feromonowych L? - str.58, 11-ty wiersz od góry: W jaki sposób generowany jest wybór losowy l-tego rozwiązania? - str.64, 10-ty wiersz od dołu (wzór): Co oznacza tutaj symbol j x i? - str.70, 7-my wiersz od góry: Co Autor rozumie przez ustalony ośrodek? - str.78, Opis Tabeli 9: Jak jest zdefiniowany błąd względny? - str.89, 2-gi wiersz od dołu: Jak dokładność odtwarzania (błędy względne) zależą od położenia punktu pomiaru temperatury x? p - str.91, Rys.39: Z czego wynika dość dziwna zmiana błędu odtworzenia temperatury dla 1% zaburzenia wyników danych wejściowych? Patrz również Rys str.97, Rys.41: Pomyłka w symbolach a 1, a2. - str.98, Tabela 26: Dlaczego odchylenia standardowe dla wyznaczonych parametrów są tak duże? - str.102, tekst: Brak odwołania do Tabeli str.108, 5-ty wiersz od dołu: Jak jest przyczyna, że błąd odtworzenia współczynnika a 6 jest duży? - str.109, 6-ty wiersz od góry: W pracy naukowej nie powinno się używać określeń tak nieprecyzyjnych jak o pewnym stopniu porowatości - str.112, 7-my wiersz od góry: Zamiast supdyfuzji powinno być subdyfuzji - str.115, 2-gi wiersz od góry: Na jakiej podstawie przyjęto do obliczeń podane wartości ciepła właściwego i temperatury? - str. 115, dane do eksperymentu numerycznego: Jaką postać funkcji f (x), tzn. warunku początkowego przyjęto do obliczeń? - str 122, 8-my wiersz od góry: Dla jakiej temperatury przyjmowano wartości współczynnika przewodzenia ciepła aluminium i powietrza? Zmierzona temperatura zmienia się w szerokim zakresie podczas chłodzenia próbki od 570 do 360 K patrz np. Rys.57 - str.122, Tabela 37: Dlaczego po ustaleniu wartości współczynnika przewodzenia ciepła wyliczone współczynniki w przyjętym wzorze na współczynnik wnikania ciepła tak bardzo się zmieniły? patrz Tabela str.123, Tabela 38: Dlaczego błędy w tym przypadku są większe niż w poprzednim przykładzie mimo zmniejszenia liczby poszukiwanych wielkości? patrz Tabela str. 127, Rys.66: Brak powołania się na ten rysunek w tekście. - str.128, Rys 67: Brak powołania się na ten rysunek w tekście. 6

7 - str , Tabele 43-48, Rys.68-70, 72-73: Brak powołania się na wspomniane tabele i rysunki w tekście. - str.132, 1-szy wiersz od góry w opisie modelu KP: Wniosek odnośnie współczynnika wnikania ciepła jest oczywisty. Ze względu na dużą wartość współczynnika przewodzenia ciepła współczynnik wnikania ciepła kontroluje on proces chłodzenia. Przyjmowane wartości współczynnika wnikania ciepła wydają się w wielu przypadkach za duże patrz Tabela str.136, 10-ty wiersz od dołu: Co to za warunek pod względem fizykalnym? - str.137, dane do obliczeń: Jakie są jednostki funkcji a (t) oraz (t)? WNIOSEK KOŃCOWY Recenzowana rozprawa doktorska podejmuje trudną i stosunkowo nową tematykę związaną z wyznaczaniem parametrów występujących w równaniach zawierających pochodne cząstkowe niecałkowitego rzędu. Znajdują się one w równaniach opisujących przewodzenie ciepła, dyfuzję składników i przepływ płynu w ośrodkach niejednorodnych oraz równaniach zjawiska zachodzące w ośrodkach poddanych szybkozmiennym zaburzeniom oraz w układach o wymiarach porównywalnych z drogą swobodną nośników energii.. Zjawiska te w przypadku przewodzenia ciepła związane są ze skończoną prędkością rozchodzenia się zaburzeń cieplnych czy występowaniem zjawiska tzw. drugiego dźwięku w helu II, czy anomalnej dyfuzji w ośrodkach niejednorodnych poddanych przemianie fazowej jednego ze składników. Autor zastosował do wyznaczenia nieznanych parametrów we wspomnianych równaniach metody rozwiązywania zagadnień odwrotnych przewodzenia ciepła. Zagadnienia te są źle uwarunkowane, często prowadzą do niestabilności rozwiązania, wymagają stosowania regularyzacji i czasochłonnych metod optymalizacyjnych. Istotne jest przy tym dobranie takich algorytmów optymalizacyjnych, które byłyby wystarczająco szybkie i dokładne a jednocześnie, w celu dalszego ograniczenia czasu obliczeń, pozwoliłby na przeprowadzenie obliczeń na wielu wątkach (zrównoleglenia obliczeń). Opracowanie efektywnych algorytmów tego typu oraz pokazanie ich dokładności uważam za główne osiągnięcie pracy. Wymagało to bardzo dobrej znajomości metod numerycznych, kodów numerycznych czy języków programowania. Niestety Autor rozprawy nie podał czy korzystał z kodów komercyjnych lub ich elementów lub czy programy obliczeniowe przygotował we własnym zakresie. Pewien niedosyt dotyczy pełniejszego interpretacji zjawiska przewodzenia ciepła przy zastosowaniu opisu równaniami cząstkowymi zawierającymi pochodne niecałkowitego rzędu w tym fizykalnych ograniczeń nakładanych na parametry występujące w tych równaniach. Treść rozprawy świadczy o dużej erudycji w zakresie zagadnień optymalizacyjnych i umiejętności posługiwania się algorytmami służącymi do wyznaczania minimum funkcjonału wykorzystywanego przy rozwiązywaniu zagadnień odwrotnych przewodzenia ciepła. Na uwagę zasługuje również fakt, że szereg wyników badań opisanych w rozprawie zostało już opublikowanych w kilkunastu artykułach w tym w większości umieszczonych w znanych czasopismach zagranicznych. Oceniając rozprawę doktorską mgr inż. Rafała Broćka stwierdzam, że w pełni spełnia one wymagania określone w Ustawie o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach i tytule w zakresie sztuki z dnia 14 marca 2003 r z późniejszymi zmianami. W mojej opinii Kandydat zasługuje, na nadanie mu stopnia naukowego doktora nauk technicznych. W związku z tym wnioskuję o dopuszczenie rozprawy mgr inż. Rafała Broćka do publicznej obrony. 7